2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《如何作輔助圓》專項測試卷（附答案）

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《如何作輔助圓》專項測試卷（附答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1.（10分）（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)，若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點在同一個圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，請運(yùn)用小剛的思路解決這個問題．（3）【問題拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的長．2．（10分）小明在學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”后，想探究它的逆命題“對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點在同一個圓上”是否成立．他先根據(jù)命題畫出圖形，并用符號表示已知，求證．已知：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求證：點A，B，C，D在同一個圓上．他的基本思路是依據(jù)“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，先作出一個過三個頂點A，B，C的⊙O，再證明第四個頂點D也在⊙O上．具體過程如下；步驟一、作出過A，B，C三點的⊙O．如圖1，分別作出線段AB，BC的垂直平分線m，n，設(shè)它們的交點為O，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑作⊙O．連接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（①）．（填推理依據(jù)）∴OA＝OB＝OC．∴點B，C在⊙O上．步驟二、用反證法證明點D也在⊙O上．假設(shè)點D不在⊙O上，則點D在⊙O內(nèi)或⊙O外．i、如圖2，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)．延長CD交⊙O于點D1，連接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（②）．（填推理依據(jù)）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（③）．（填推理依據(jù)）∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立．即點D不在⊙O內(nèi)．ii、如圖3，假設(shè)點D在⊙O外．設(shè)CD與⊙O交于點D2，連接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立．即點D不在⊙O外．綜上所述，點D在⊙O上．∴點A，B，C，D在同一個圓上．閱讀上述材料，并解答問題：（1）根據(jù)步驟一，補(bǔ)全圖1（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）填推理依據(jù)：①，②，③．3．（10分）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關(guān)于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．4．（5分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且點E在矩形ABCD的內(nèi)部，求∠ABE的取值范圍．5．（10分）如圖，已知矩形ABCD．（1）如圖①，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝45°的點P的軌跡；（2）如圖②，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝90°的點P的軌跡；（3）如圖③，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝120°的點P的軌跡．6．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，CB＝4，AB＝AC＝AD＝3，則BD的長為．7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，點D在AC邊上運(yùn)動，將△BCD沿BD翻折，點C的對應(yīng)點為C′，在點D從點C到點A的動過程中，點C′運(yùn)動的路徑長為．8．（3分）如圖示，A，B兩點的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點C在y軸上，且∠ACB＝45°，則點C的坐標(biāo)為．9．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點C是x軸正半軸上一點，連接BC．過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D，連接BD，則sin∠BDC的值是．10．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P從C點出發(fā)，沿CB運(yùn)動到點B停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為Q，點Q運(yùn)動的路徑長為．11．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E在對角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點F，則＝．參考答案與試題解析1．（1）[學(xué)習(xí)心得]小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝45或135°．（2）[問題解決]如圖②，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓．這樣A，B，C，D四點在同一個圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，請運(yùn)用小剛的思路解決這個問題．（3）[問題拓展]如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的長．【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解即可；（2）根據(jù)已知90°的角不難得到點A，B，C，D共圓，然后根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角相等即可得解；（3）作△ABC外接圓，構(gòu)造等腰直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）∵AD＝AC，AB＝AC，∴以點A為圓心，點B，D，C必在⊙A上．]當(dāng)點D在劣弧上時，∵∠CAB是⊙A的圓心角，而∠CDB是圓周角，∴∠CDB＝∠CAB＝45°；當(dāng)點D在優(yōu)弧上時，則∠BDC＝135°；故答案為：45或135．（2）如圖①，取BD的中點O，連接OA，OC，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴點A，B，C，D共圓，∴∠BDC＝∠BAC＝25°；（3）如圖②，作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點E，作OF⊥AD于點F，連接OA，OB，OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，OB2+CO2＝BC2，∴BO＝CO＝4．∵OE⊥BC，∴BE＝EC＝BC＝4，∴DE＝OF＝EC﹣CD＝2．在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，∴OE＝DF＝4．在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，∴AF＝＝＝2，∴AD＝2+4．【點評】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．2．小明在學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”后，想探究它的逆命題“對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點在同一個圓上”是否成立．他先根據(jù)命題畫出圖形，并用符號表示已知，求證．已知：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求證：點A，B，C，D在同一個圓上．他的基本思路是依據(jù)“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，先作出一個過三個頂點A，B，C的⊙O，再證明第四個頂點D也在⊙O上．具體過程如下；步驟一、作出過A，B，C三點的⊙O．如圖1，分別作出線段AB，BC的垂直平分線m，n，設(shè)它們的交點為O，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑作⊙O．連接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（①）．（填推理依據(jù)）∴OA＝OB＝OC．∴點B，C在⊙O上．步驟二、用反證法證明點D也在⊙O上．假設(shè)點D不在⊙O上，則點D在⊙O內(nèi)或⊙O外．i、如圖2，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)．延長CD交⊙O于點D1，連接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（②）．（填推理依據(jù)）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（③）．（填推理依據(jù)）∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立．即點D不在⊙O內(nèi)．ii、如圖3，假設(shè)點D在⊙O外．設(shè)CD與⊙O交于點D2，連接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立．即點D不在⊙O外．綜上所述，點D在⊙O上．∴點A，B，C，D在同一個圓上．閱讀上述材料，并解答問題：（1）根據(jù)步驟一，補(bǔ)全圖1（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）填推理依據(jù)：①線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，②圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，③三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【分析】（1）根據(jù)作線段的垂直平分線的基本作法作圖；（2）根據(jù)反證法的步驟進(jìn)行證明．【解答】解：（1）如圖：⊙O即為所求；（2）步驟一、作出過A，B，C三點的⊙O．如圖1，分別作出線段AB，BC的垂直平分線m，n，設(shè)它們的交點為O，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑作⊙O．連接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）．∴OA＝OB＝OC．∴點B，C在⊙O上．步驟二、用反證法證明點D也在⊙O上．假設(shè)點D不在⊙O上，則點D在⊙O內(nèi)或⊙O外．i、如圖2，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)．延長CD交⊙O于點D1，連接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)）．∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）．∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立．即點D不在⊙O內(nèi)．ii、如圖3，假設(shè)點D在⊙O外．設(shè)CD與⊙O交于點D2，連接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立．即點D不在⊙O外．綜上所述，點D在⊙O上．∴點A，B，C，D在同一個圓上．故答案為：①線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；②圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；③三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【點評】本題考查了反證法，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及有關(guān)圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為45°．拓展探究：（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關(guān)于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過三點的圓解答即可；（2）根據(jù)四點共圓、圓周角定理解答；（3）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，進(jìn)而得到∠AED＝∠ABC，證明結(jié)論；②連接CF，證明△ABD∽△AFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【解答】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓，故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；（2）解：∵∠1＝∠2，∴點A，B，C，D四點在同一個圓上，∴∠3＝∠4，∵∠3＝45°，∴∠4＝45°，故答案為：45°；（3）①證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵點E與點C關(guān)于AD的對稱，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，∴A，D，B，E四點共圓；②解：AD?AF的值不會發(fā)生變化，理由如下：如圖4，連接CF，∵點E與點C關(guān)于AD對稱，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE，∴∠FED＝∠FCD，∵A，D，B，E四點共圓，∴∠FED＝∠BAF，∴∠BAF＝∠FCD，∴A，B，F(xiàn)，C四點共圓，∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，∵∠BAD＝∠FAB，∴△ABD∽△AFB，∴＝，∴AD?AF＝AB2＝8．【點評】本題考查的是四點共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，正確理解四點共圓的條件是解題的關(guān)鍵．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且點E在矩形ABCD的內(nèi)部，則∠ABE的取值范圍為60°≤∠ABE＜90°．【分析】以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，當(dāng)BE與⊙C相切時，∠CBE最大，此時∠ABE最小，這時求出∠CBE，即可解決問題．【解答】解：以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，當(dāng)BE與⊙C相切時，∠CBE最大，此時∠ABE最小，∵半徑CE⊥BE，∴sin∠CBE＝＝＝，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∵點E在矩形ABCD的內(nèi)部，∴∠ABE＜90°，∴60°≤∠ABE＜90°．故答案為：60°≤∠ABE＜90°．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，判斷出BE與⊙C相切時∠ABE最?。?.如圖，已知矩形ABCD．（1）如圖①，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝45°的點P的軌跡；（2）如圖②，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝90°的點P的軌跡；（3）如圖③，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝120°的點P的軌跡．【分析】（1）作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓即可；（2）以AB為直徑作圓，則即為所求；（3）作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則即為所求．【解答】解：（1）如圖，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則即為所求；（2）如圖，以AB為直徑作圓，則即為所求（不與A、B重合）；（3）如圖，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則即為所求（不與A、B重合）；．【點評】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，軌跡問題，熟練掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，CB＝4，AB＝AC＝AD＝3，則BD的長為2．【分析】以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的長【解答】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．∵AB＝AC＝AD＝3，∴D，C在圓A上，∵DC∥AB，∴弧DF＝弧BC，∴DF＝CB＝4，BF＝AB+AF＝2AB＝6，∵FB是⊙A的直徑，∴∠FDB＝90°，∴BD＝＝＝2故答案為：2．【點評】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出以A為圓心，AB長為半徑的圓，構(gòu)建直角三角形，從而求解．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，點D在AC邊上運(yùn)動，將△BCD沿BD翻折，點C的對應(yīng)點為C′，在點D從點C到點A的動過程中，點C′運(yùn)動的路徑長為2π．【分析】由題意可知點C′的運(yùn)動軌跡是以B為圓心，BC為半徑的扇形，由此即可解決問題．【解答】解：由題意可知點C′的運(yùn)動軌跡是以B為圓心，BC為半徑的扇形，當(dāng)點D從點C到點A的動過程中，點C′運(yùn)動的軌跡是扇形，扇形的圓心角為180°，點C′運(yùn)動的路徑長＝＝2π，故答案為：2π．【點評】本題考查翻折變換，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點C′的運(yùn)動軌跡，屬于中考?？碱}型．8．如圖示，A，B兩點的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點C在y軸上，且∠ACB＝45°，則點C的坐標(biāo)為（0，6）或（0，﹣6）．【分析】在x軸的上方作等腰直角△ABF，F(xiàn)B＝FA，∠BAF＝90°，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑作⊙F交y軸于C，連接CB，CA．首先證明∠ACB＝45°，根據(jù)FC＝，構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：在x軸的上方作等腰直角△ABF，F(xiàn)B＝FA，∠BAF＝90°，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑作⊙F交y軸于C，連接CB，CA．∵∠ACB＝∠AFB＝45°，∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（，），F(xiàn)A＝FB＝FC＝，設(shè)C（0，m），則（）2+（m﹣）2＝（）2，解得m＝6或﹣1（舍棄）∴C（0，6），根據(jù)對稱性可知C′（0，﹣6）也符合條件，綜上所述，點C的坐標(biāo)為（0，6）或（0，﹣6）．故答案為（0，6）或（0，﹣6）．【點評】本題考查圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用輔助圓解決問題，屬于中考?？碱}型9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點C是x軸正半軸上一點，連接BC．過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D，連接BD，則sin∠BDC的值是．【分析】作DE⊥x軸于點E，設(shè)AD交BC于點F，先證明△AFB∽△CFD，導(dǎo)出相應(yīng)的條件以證明△AFC∽△BFD，則∠DAE＝∠DBC，再證明∠ADE＝∠BDC＝∠BAO，由勾股定理求出AB的長，則sin∠BDC＝sin∠BAO＝＝．【解答】解：作DE⊥x軸于點E，設(shè)AD交BC于點F，∵AD⊥AB，CD⊥BC，∴∠BAF＝∠DCF＝90°，∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB∽△CFD，∴＝，∴＝，∵∠AFC＝∠BFD，∴△AFC∽△BFD，∴∠FAC＝∠FBD，即∠DA