2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-導(dǎo)函數(shù)的零點【課件】

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用補(bǔ)上一課導(dǎo)函數(shù)的零點導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，其核心又是由導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)或研究不等式問題時，繞不開研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，往往需要解方程f′(x)＝0，但有時該方程不易求解，可應(yīng)用以下三種方法解決.題型一仔細(xì)觀察，猜出零點例1

(2024·長沙模擬改編)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋1，若f(x)<kex對任意的x∈ (－1，＋∞)恒成立，求k的取值范圍.∴m(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減.又m(0)＝0，∴當(dāng)x∈(－1，0)時，m(x)＞0，即h′(x)＞0，此時h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0，＋∞)時，m(x)＜0，即h′(x)＜0，此時h(x)單調(diào)遞減.∴h(x)max＝h(0)＝1，∴k＞1.故實數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞).感悟提升當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)，無法利用解方程的方法求其零點，可以在觀察方程結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上大膽猜測其零點，一般地，當(dāng)所求的導(dǎo)函數(shù)解析式中出現(xiàn)lnx時，常猜x＝1，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的解析式中出現(xiàn)ex時，常猜x＝0或x＝lnx.顯然φ′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又∵φ′(e)＝0，則當(dāng)x∈(0，e)時，φ′(x)>0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時，φ′(x)<0，從而φ(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，所以φ(x)max＝φ(e)＝e，題型二設(shè)而不求，巧借零點例2(2024·青島質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù)；證明

由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)的唯一零點為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).感悟提升記h(x)＝g′(x)＝ex－2x－1?h′(x)＝ex－2，當(dāng)x∈(0，ln2)時，h′(x)<0；當(dāng)x∈(ln2，＋∞)時，h′(x)>0，故h(x)即g′(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，又g′(0)＝0，g′(ln2)＝1－2ln2<0，故當(dāng)x∈(0，x0)時，g′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，g′(x)>0，故g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，題型三二次構(gòu)造(求導(dǎo))避免求根又f(x)在(0，1)上有唯一的零點x0，且當(dāng)x→0＋時，f(x)→－∞，感悟提升當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點不易求且含有參數(shù)時，往往利用導(dǎo)函數(shù)在其零點處的函數(shù)值為0構(gòu)建方程，結(jié)合其它條件消去參數(shù)，重新構(gòu)造函數(shù)，利用該函數(shù)的性質(zhì)求解.證明

f(x)＝e2x－(x＋1)ex，則f′(x)＝ex(2ex－x－2)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2ex－x－2，則g′(x)＝2ex－1，又g′(x)在R上單調(diào)遞增，且g′(－ln2)＝0，故當(dāng)x<－ln2時，g′(x)<0；當(dāng)x>－ln2時，g′(x)>0，則g(x)在(－∞，－ln2)上單調(diào)遞減，在(－ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x<x0時，f′(x)>0；當(dāng)x0<x<0時，f′(x)<0；當(dāng)x>0時，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)存在唯一極大值點x0.課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知函數(shù)f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點；證明

設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx.故g(x)在(0，π)存在唯一零點.所以f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點.(2)若x∈[0，π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍.解由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一個零點，設(shè)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(x0，π)時，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，π)上單調(diào)遞減.又f(0)＝0，f(π)＝0，所以當(dāng)x∈[0，π]時，f(x)≥0.又當(dāng)a≤0，x∈[0，π]時，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范圍是(－∞，0].則當(dāng)x∈(0，e)時，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e，＋∞)時，g′(x)<0，g(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，(2)當(dāng)x>0時，證明：f(x)≥g(x).證明f(x)≥g(x)等價于證明xex＋1－2≥lnx＋x(x>0)，即xex＋1－lnx－x－2≥0.令h(x)＝xex＋1－lnx－x－2(x>0)，3.(2024·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)， (1)求函數(shù)f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；解由f(x)＝ex－xlnx，知f′(x)＝e－lnx－1，則f′(1)＝e－1，f(1)＝e，則所求切線方程為y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1.(2)若g(x)≥f(x)對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范圍.解∵f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，∴g(x)≥f(x)對任意的x∈(0，＋∞)恒成立等價于ex－tx2＋x－ex＋xlnx≥0對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，∴當(dāng)x∈(0，1)時，G(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，G(x)>0，即當(dāng)x∈(0，1)時，F(xiàn)′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)′(x)>0，∴F(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴F(x)≥F(1)＝1，∴t≤1，即t的取值范圍是(－∞，1].4.(2024·廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋1－asinx，x∈[0，π]，a∈R，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù). (1)當(dāng)a＝1時，證明：函數(shù)f(x)在[0，π]沒有零點；證明若a＝1，則f(x)＝x2＋1－sinx，x∈[0，π]，又x2＋1≥1，0≤sinx≤1，故0≥－sinx≥－1，所以x2＋1－sinx≥0，所以x2＋1－sinx>0恒成立，所以當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)在[0，π]沒有零點.(2)若f′(x)＋asinx＋a≤0在[0，π]上恒成立，求a的取值范圍.解f′(x)＝2x－acosx，x∈[0，π]，故2x－acosx＋asinx＋a≤0在[0，π]上