【學案一】3.1 第2課時　不等式的性質(zhì)

高中數(shù)學精選資源PAGE2/2第2課時不等式的性質(zhì)[目標]1.掌握不等式的有關性質(zhì)；2.能利用不等式的性質(zhì)比較大小、證明不等式、求代數(shù)式的取值范圍．[重點]不等式的性質(zhì)及應用．[難點]對不等式性質(zhì)的理解．知識點不等式的性質(zhì)[填一填][答一答]1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d，是否有a>b，c>d則a－c>b－d成立？提示：不一定，如3>1，－1>－10，則3－(－1)>1－(－10)不成立．2．兩個不同向不等式的兩邊可以分別相除嗎？提示：不可以．兩個不同向不等式的兩邊不能分別相除，在需要商時，可利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同向不等式相乘．3．對不等式變形時，要注意什么？提示：對不等式的每一次變形，都要有相應的性質(zhì)為依據(jù)，否則，變形就是錯誤的．4．由a≥b，b≥c能否得到a≥c呢？如果a≥b，b>c，能否一定得到a≥c呢？提示：由a≥b，b≥c可以得到a≥c；而如果a≥b，b>c，我們一定可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a＝c”，所以a≥c是一定成立的．故如果a≥b，b>c，一定可以得到a≥c.類型一不等式性質(zhì)的應用命題視角1：判斷命題的真假[例1]判斷下列命題是否成立，若不成立，適當增加條件使之成立．(1)若a>b，則ac≤bc；(2)若ac2>bc2，則a2>b2；(3)若a>b，則lg(a＋1)>lg(b＋1)；(4)若a>b，c>d，則eq\f(a,d)>eq\f(b,c).[分析]本題考查不等式的性質(zhì)的應用，可結(jié)合不等式的性質(zhì)找出所缺少的條件．[解](1)不成立．命題“若a>b且c≤0，則ac≤bc”成立，即增加條件“c≤0”．(2)不成立．由ac2>bc2可得a>b，但只有b≥0時，才有a2>b2，即增加條件“b≥0”．(3)不成立．由a>b可得a＋1>b＋1，但作為真數(shù)，應有b＋1>0，故應增加條件“b>－1”．(4)不成立.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)成立的條件有多種(如a>b>0，c>d>0)，因此，可增加條件“b>0，d>0”．1.判定一個命題是假命題，有下面兩種方法：1從已知條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)論；2舉出反例，反例法簡捷、快速、有效，是解決該類問題行之有效的好方法.,2.應用不等式基本性質(zhì)時，一定要注意“保序”時的條件，如“非負乘方保序”，其中“乘負反序”“同時取倒反序”兩種情況極易忽視，應特別注意.[變式訓練1]已知a，b，c∈R，且c≠0，則下列命題正確的是(D)A．如果a>b，那么eq\f(a,c)>eq\f(b,c)B．如果ac<bc，那么a<bC．如果a>b，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D．如果a>b，那么eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)解析：利用不等式的性質(zhì)或者舉反例進行判斷．取a＝2，b＝－1，c＝－1，滿足選項A，B，C中的條件．對A有：eq\f(a,c)<eq\f(b,c)，故A錯．對B有a>b，故B錯．對C有eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故C錯．對于D，∵c≠0，∴eq\f(1,c2)>0，由不等式的性質(zhì)4知，D正確．命題視角2：證明不等式[例2](1)已知a>b>0，求證：eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2).(2)若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[證明](1)a>b>0?a2>b2>0?eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2).(2)bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)，又bd>0，兩邊同除以bd得，eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).利用不等式性質(zhì)證明不等式的實質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式進行變形.在此過程中，一要嚴格符合性質(zhì)條件；二要注意向特征不等式的形式化歸.[變式訓練2]若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).證明：∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴a－c>b－d>0.∴(a－c)2>(b－d)2>0.∴0<eq\f(1,a－c2)<eq\f(1,b－d2).又∵e<0，∴eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).命題視角3：求取值范圍[例3]已知－6<a<8,2<b<3，分別求2a＋b，a－b，eq\f(a,b)的取值范圍．[分析]解答本題可利用不等式的可加性和可乘性求解．[解]∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a<16.∴－10<2a＋b<19.又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)當0≤a<8時，0≤eq\f(a,b)<4；(2)當－6<a<0時，－3<eq\f(a,b)<0.由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.求含有字母的數(shù)或式子的取值范圍時，要注意以下兩點：1要注意題設中的條件；2要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減；兩邊都是正數(shù)的同向不等式可乘不可除.[變式訓練3](1)已知12<a<30,15<b<48，則eq\f(a,b)的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2)).解析：∵15<b<48，∴eq\f(1,48)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15).又12<a<30，∴eq\f(12,48)<eq\f(a,b)<eq\f(30,15)，即eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<2.(2)已知0≤a≤1,2≤a－b≤3，則a－2b的取值范圍是[3,6]．解析：∵0≤a≤1,2≤a－b≤3，∴－1≤－a≤0,4≤2a－2b≤6.∴3≤－a＋(2a－2b)≤6，即3≤a－2b≤6.類型二不等式的性質(zhì)與函數(shù)性質(zhì)的綜合應用[例4](1)已知實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1) B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C．sinx>siny D．x3>y3(2)設a＝log36，b＝log510，c＝log714，則()A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c[解析](1)由ax<ay(0<a<1)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x>y，而函數(shù)y＝x3是單調(diào)遞增函數(shù)，所以x3>y3.(2)因為a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，又y＝log2x是增函數(shù)，所以log27>log25>log23>0因為log27＝eq\f(1,log72)，log25＝eq\f(1,log52)，log23＝eq\f(1,log32)，所以log32>log52>log72，所以a>b>c.[答案](1)D(2)D高考中這樣的考題較多，多是研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的運算性質(zhì)和單調(diào)性，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的運算性質(zhì)是關鍵.[變式訓練4]若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))lnx，c＝elnx，則(D)A．c>b>a B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．b>c>a解析：c＝elnx＝x∈(e－1,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))lnx∈(1,2)，a＝lnx∈(－1,0)，所以b>c>a.1．設a>b>c，且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是(C)A．a(chǎn)b>bc B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)b>ac D．a(chǎn)|b|>c|b|解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0得a>0，c<0，b符號不確定，則由a>0，b>c一定有ab>ac成立．故選C.2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)，則(B)A．bc<ad B．bc>adC.eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)解析：由－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)得eq\f(c,a)>eq\f(d,b)又ab>0得eq\f(c,a)·ab>eq\f(d,b)·ab即bc>ad.故選B.3．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是(A)A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<－β<1，則有－2<α－β<2，又α<β，∴α－β<0.綜上必有－2<α－β<0.4．給出下列命題：①a>|b|?a2>b2；②a>b?a3>b3；③|a|>b?a2>b2.其中正確的命題是①②.5．已知a>b>0，c<d<0，求證：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).證明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d).又a>b>0，∴－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.∴eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c))，兩邊同乘－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).——本課須掌握的兩大問題1．對不等式性質(zhì)的六點說明(1)性質(zhì)1和2，分別稱為“對稱性”與“傳遞性”，在它們的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識．(2)性質(zhì)3(即可加性)是移項法則“不等式中任何一項的符號變成相反的符號后，可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù)．(3)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號”．(4)性質(zhì)5(即加法法則)，即“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減”．(5)性質(zhì)6,7(即乘法法則與乘方法則)，即