2025年中考數(shù)學總復習《銳角三角函數(shù)》專項測試卷含答案

第第頁2025年中考數(shù)學總復習《銳角三角函數(shù)》專項測試卷含答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?蜀山區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，AB＝5，則cos∠ACD的值為（）A．35 B．45 C．342．（2024秋?本溪期末）一木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角度數(shù)為（）A．160° B．120° C．110° D．90°3．（2024秋?萊陽市期末）某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，點A為出發(fā)點，途中設置兩個檢查點分別為點B和點C，行進路線為A→B→C→A．點B在點A的南偏東25°方向32km處，點C在點A的北偏東80°方向，∠ABC＝45°．則檢查點B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米4．（2025?浦東新區(qū)一模）在網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，那么∠BAC的正切值是（）A．55 B．255 C．25．（2024秋?永春縣期末）如圖，一枚運載火箭從地面L處發(fā)射，雷達站R與發(fā)射點L水平距離為8km，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為53°，則這枚火箭此時的高度AL為（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° 6．（2025?金山區(qū)一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB=35 B．cosB=35 C．7．（2024秋?碑林區(qū)期末）周末許老師參加騎行爬山活動，他沿著坡度為1：3的山坡上坡騎行前進了1800mA．900m B．1000m C．6003m 8．（2024秋?灞橋區(qū)校級期末）將Rt△ABC的邊長都擴大為原來的3倍，則cosA的值（）A．變大 B．不變 C．變小 D．無法判斷9．（2024秋?灞橋區(qū)校級期末）如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的交點上，則tanC的值為（）A．1 B．13 C．12 10．（2024秋?揭陽期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，則cosA．53 B．35 C．45二．填空題（共5小題）11．（2024秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，一個山坡的坡度i=1：3，則坡角α的度數(shù)為12．（2024秋?梁溪區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則sinA的值為．13．（2024秋?鹽湖區(qū)校級期末）如圖，第24屆國際數(shù)學家大會會徽的設計是1700多年前的中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若每個直角三角形的兩條直角邊長分別為5，12，直角三角形的較小的銳角為α，則sinα的值是．14．（2025?浦東新區(qū)一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么這個斜坡的坡度i＝．15．（2025?嘉定區(qū)一模）如圖，某商場開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，已知樓梯高AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：43，則至少需要紅地毯m三．解答題（共5小題）16．（2024秋?溧陽市期末）在學習銳角的三角函數(shù)時，小明同學對“具有倍半關系的兩個銳角的三角函數(shù)值具有怎樣的關系”這個問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝；發(fā)現(xiàn)結論：tanα2tan1（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求tan1研究思路：小明想構造包含12∠ABC的直角三角形：于是延長CB至D，使得DB＝AB，連接AD，所以得到∠D=12∠ABC，即轉化為求∠D（3）在△ABC中，∠A為銳角，tanA=13，∠B＝2∠A，AB=213．求S17．（2024秋?本溪期末）如圖1，是臺式桌面化妝鏡，由鏡面和底座組成，鏡面可以繞兩固定點轉動，如圖2，是其側面示意圖，OC⊥MN，AB可繞點O旋轉，O是AB的中點，測得AB＝16厘米．（1）正常放置時，∠AOC＝30°，求此時點A到OC的距離；（2）如圖3，AB繞點O逆時針旋轉到A1B1的位置，此時∠A1OC＝53°，求點A在豎直方向上升的高度（結果精確0.1厘米）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，3≈18．（2024秋?拱墅區(qū)期末）圖1是某種筆記本電腦支架．如圖2，其底座AB放置在水平桌面上，通過調節(jié)點C，點D處的角度，控制托盤EF的位置．電腦機身和屏幕分別用線段EG，GH表示，CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，ED＝5cm．（1）若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°．①為使屏幕與桌面保持垂直，求∠EGH的度數(shù)．②求點H到桌面的最大距離（不計材料的厚度）．（2）在（1）的情況下，保持∠CDG＝90°，并逐漸減小∠ACD的度數(shù)．圓圓同學說：“點G到桌面的距離越來越?。秉c點同學說：“點G到桌面的距離先變大，后變?。蹦阏J為誰的說法正確，說明理由．19．（2025?浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB=45．點D是邊AB的中點，過點D作CD的垂線，與邊BC相交于點（1）求線段CE的長；（2）求sin∠BDE的值．20．（2025?浦東新區(qū)一模）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門打卡地．某校實踐小組利用所學知識測量雙子山主峰的高度，他們設計了兩個測量方案，并利用課外時間完成了實地測量．下面是兩個方案的示意圖及測量數(shù)據(jù)．測量項目CDαβ方案一10m12°11.5°方案二1.3m12°11.7°任務一：請選擇其中一種方案，求出雙子山主峰AB的高度（結果保留1位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)見下表：三角比角度sincostancot12°0.2080.9780.2134.70511.5°0.1990.9800.2044.91511.7°0.2030.9790.2074.829任務二：上海世博文化公園官網(wǎng)上顯示：雙子山主峰的高度為48米．請你用一句話簡單說明你求出的高度與48米不一致的原因：．參考答案與試題解析題號12345678910答案BCCDDAABBB一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?蜀山區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，AB＝5，則cos∠ACD的值為（）A．35 B．45 C．34【考點】銳角三角函數(shù)的定義；余角和補角；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力．【答案】B【分析】利用勾股定理求得BC的長度，然后根據(jù)同角的余角相等求得∠B＝∠ACD，再利用銳角三角函數(shù)定義的定義即可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC=52?32∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cos∠B=BC故選：B．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，余角和補角，勾股定理，結合已知條件求得BC的長度及∠ACD＝∠B是解題的關鍵．2．（2024秋?本溪期末）一木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角度數(shù)為（）A．160° B．120° C．110° D．90°【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠3＝90°，根據(jù)三角形的內角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°，根據(jù)平行線的性質即可得到結論．【解答】解：如圖，由題意可得：∠3＝90°，∵重力G的方向豎直向下，∴∠α+∠1＝90°，∴∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°，∵摩擦力F2的方向與斜面平行，∴∠β+∠2＝180°，∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣70°＝110°，故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質，正確進行計算是解題關鍵．3．（2024秋?萊陽市期末）某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，點A為出發(fā)點，途中設置兩個檢查點分別為點B和點C，行進路線為A→B→C→A．點B在點A的南偏東25°方向32km處，點C在點A的北偏東80°方向，∠ABC＝45°．則檢查點B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題；勾股定理的應用．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】C【分析】過A點作AH⊥BC于H點，如圖，根據(jù)方向角的定義和平角的定義可計算出∠BAC＝75°，再計算出∠CAH＝30°，接著在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性質計算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°計算出CH=3km，最后計算BH+CH【解答】解：過A點作AH⊥BC于H點，如圖，∵點B在點A的南偏東25°方向處，點C在點A的北偏東80°方向，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°，∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°，∴∠BAH＝45°，∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABH中，∵∠B＝45°，∴AH＝BH=22AB=22×在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH=33AH=33×∴BC＝BH+CH＝（3+3）km故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，在解決有關方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角，然后運用解直角三角形解決問題．4．（2025?浦東新區(qū)一模）在網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，那么∠BAC的正切值是（）A．55 B．255 C．2【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)所給網(wǎng)格，連接BC得出BC與AC垂直，再結合正切的定義即可解決問題．【解答】解：連接BC，如圖所示，則BC⊥AC．令小正方形網(wǎng)格的邊長為a，則由勾股定理得，BC=aAC=(2a在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC故選：D．【點評】本題主要考查了解直角三角形，通過連接BC構造出直角三角形及熟知正切的定義是解題的關鍵．5．（2024秋?永春縣期末）如圖，一枚運載火箭從地面L處發(fā)射，雷達站R與發(fā)射點L水平距離為8km，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為53°，則這枚火箭此時的高度AL為（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° 【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得：AL⊥LR，然后在Rt△ALR中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR?tan53°＝8tan53°（km），∴這枚火箭此時的高度AL為8tan53°km，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．6．（2025?金山區(qū)一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB=35 B．cosB=35 C．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】A【分析】利用勾股定理求得BC的長度，然后利用銳角三角函數(shù)定義的定義逐項判斷即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC=5sinB=ACAB=cosB=BCAB=cotB=BCAC=tanB=ACBC=故選：A．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握其定義是解題的關鍵．7．（2024秋?碑林區(qū)期末）周末許老師參加騎行爬山活動，他沿著坡度為1：3的山坡上坡騎行前進了1800mA．900m B．1000m C．6003m 【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】A【分析】根據(jù)坡度與坡角的關系求出坡角，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質計算即可．【解答】解：設斜坡的坡角為α，∵坡度為1：3，∴tanα=1∴α＝30°，∴許老師所在的位置上升的高度為：12×1800＝900（故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，正確理解坡度與坡角的關系是解題的關鍵．8．（2024秋?灞橋區(qū)校級期末）將Rt△ABC的邊長都擴大為原來的3倍，則cosA的值（）A．變大 B．不變 C．變小 D．無法判斷【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】解直角三角形及其應用；模型思想．【答案】B【分析】利用相似變換可判斷∠A沒有發(fā)生變化，則根據(jù)余弦的定義得到∠A的余弦值不變．【解答】解：∵Rt△ABC的邊長都擴大為原來的3倍，∴∠A沒有發(fā)生變化，∴cosA的值不變．故選：B．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確理解余弦的定義是解決問題的關鍵．9．（2024秋?灞橋區(qū)校級期末）如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的交點上，則tanC的值為（）A．1 B．13 C．12 【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【解答】解：如圖：在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝6，∴tanC=AD故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．10．（2024秋?揭陽期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，則cosA．53 B．35 C．45【考點】同角三角函數(shù)的關系．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意設BC＝4x，AB＝5x，根據(jù)勾股定理求出AC，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．【解答】解：由條件可知sinA=BC設BC＝4x，AB＝5x，AC=A∴cosA=AC故選：B．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的表示是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，一個山坡的坡度i=1：3，則坡角α的度數(shù)為30°【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】30°．【分析】根據(jù)坡度＝坡角的正切值計算即可．【解答】解：根據(jù)坡度＝坡角的正切值計算如下：由題意得tanα=1：3∴∠α＝30°故答案為：30°．【點評】本題考查了坡度的定義，特殊角的三角函數(shù)值，掌握坡度＝坡角的正切值是解題關鍵．12．（2024秋?梁溪區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則sinA的值為35【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力．【答案】35【分析】利用勾股定理求得AB的長，然后根據(jù)正弦的定義即可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=3∴sinA=BC故答案為：35【點評】本題考查銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握其定義是解題的關鍵．13．（2024秋?鹽湖區(qū)校級期末）如圖，第24屆國際數(shù)學家大會會徽的設計是1700多年前的中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若每個直角三角形的兩條直角邊長分別為5，12，直角三角形的較小的銳角為α，則sinα的值是513【考點】解直角三角形的應用；勾股定理的證明．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】513【分析】根據(jù)“弦圖”已知數(shù)據(jù)求得每個直角三角形的斜邊長為13，進而根據(jù)正弦的定義，即可求解．【解答】解：在直角三角形中，兩條直角邊長分別為5，12，由勾股定理得：斜邊長為52∵直角三角形的較小的銳角為α，∴邊長為5所對的直角三角形的銳角，∴sinα=5故答案為：513【點評】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理的證明，解答本題的關鍵是熟練掌握銳角三角形函數(shù)的定義．14．（2025?浦東新區(qū)一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么這個斜坡的坡度i＝1：3．【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】1：3．【分析】由勾股定理可得此人行走的水平距離，進而根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比解答．【解答】解：由勾股定理得此人行走的水平距離為22∴那么這個斜坡的坡度i＝1：3．故答案為：1：3．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡度的定義是解答本題的關鍵．15．（2025?嘉定區(qū)一模）如圖，某商場開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，已知樓梯高AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：43，則至少需要紅地毯14m【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】應用題．【答案】見試題解答內容【分析】根據(jù)坡面AC的坡度i＝1：43，求出BC的長度，從而利用平移的知識可得地毯的長度＝AB+BC【解答】解：∵AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：43∴BC＝6×43=故可得地毯的長度＝AB+BC＝6+8＝14m．故答案為：14．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，利用坡度求出BC的長度是解答本題的關鍵，另外要掌握平移的運用．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?溧陽市期末）在學習銳角的三角函數(shù)時，小明同學對“具有倍半關系的兩個銳角的三角函數(shù)值具有怎樣的關系”這個問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝3，tan30°＝33發(fā)現(xiàn)結論：tanα≠2tan1（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求tan1研究思路：小明想構造包含12∠ABC的直角三角形：于是延長CB至D，使得DB＝AB，連接AD，所以得到∠D=12∠ABC，即轉化為求∠D的正切值，那么tan（3）在△ABC中，∠A為銳角，tanA=13，∠B＝2∠A，AB=213．求S【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力．【答案】（1）3；33（2）13（3）6．【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案，根據(jù)tan60°≠2tan30°即可得出答案；（2）延長CB至D，使得DB＝AB，連接AD，則∠D＝1/2∠ABC，先求出BD＝AB＝5，則CD＝BC+BD＝9，然后在Rt△ACD中，根據(jù)正切函數(shù)的定義tanD=ACCD=（3）過點C作CD⊥AB于點D，在DA上截取DE＝DB，連接CE，則CE＝CB，再證明∠A＝∠ECA得AE＝CE，在Rt△ACD中，tanA=CDAD=13，可設CD＝a，AD＝3a，則DE＝3a﹣AE，DE＝DB＝3a﹣AE，AB＝6a﹣AE=213，由此得AE＝CE=6a?213，DE=2【解答】解：（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：tan60°=3，tan30°=∵tan60°≠2tan30°，∴tanα≠2tan1故答案為：3；33（2）延長CB至D，使得DB＝AB，連接AD，如圖1所示：∴∠D＝∠BAD，∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠D，∴∠D=12∠在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝√AC∴BD＝AB＝5，∴CD＝BC+BD＝4+5＝9，在Rt△ACD中，tanD=AC∴tan1故答案為：13（3）過點C作CD⊥AB于點D，在DA上截取DE＝DB，連接CE，如圖2所示：∴CD是線段BE的垂直平分線，∴CE＝CB，∴∠B＝∠CED，∵∠CED＝∠A+∠ECA，∠B＝2∠A，∴2∠A＝∠A+∠ECA，∴∠A＝∠ECA，∴AE＝CE，在Rt△ACD中，tanA=CD∴設CD＝a，AD＝3a，∴DE＝AD﹣AE＝3a﹣AE，∴DE＝DB＝3a﹣AE，∴AB＝AE+DE+BE＝AE+3a﹣AE+3a﹣AE＝6a﹣AE，∵AB=213∴213∴AE＝CE=6a?213∴DE＝3a﹣AE=3a?(6a?213在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝CD2+DE2，∴(6a?212整理得：13a解得：a=61313∴CD=6∴S△ABC=12AB?CD【點評】此題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理，理解等腰三角形的性質，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，靈活運用勾股定理進行運算是解決問題的關鍵．17．（2024秋?本溪期末）如圖1，是臺式桌面化妝鏡，由鏡面和底座組成，鏡面可以繞兩固定點轉動，如圖2，是其側面示意圖，OC⊥MN，AB可繞點O旋轉，O是AB的中點，測得AB＝16厘米．（1）正常放置時，∠AOC＝30°，求此時點A到OC的距離；（2）如圖3，AB繞點O逆時針旋轉到A1B1的位置，此時∠A1OC＝53°，求點A在豎直方向上升的高度（結果精確0.1厘米）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，3≈【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）4cm；（2）2.1厘米．【分析】（1）作AD⊥OC于點D，根據(jù)已知易得：OA＝OB＝8cm，然后在Rt△AOD中，利用銳角三角函數(shù)求出AD＝AOsin∠AOC的長；（2）作A1E⊥OC于點E，根據(jù)在Rt△A1OE中，可求OE＝OA1?cos∠A1OE＝4.8cm，然后在Rt△AOD中，OD=OA?cos∠AOC=43【解答】解：（1）作AD⊥OC于點D，∴∠ADO＝90°．由題意可得：OA＝OB=12AB=在Rt△AOD中，∠ADO＝90°，∠AOC＝30°，∵sin∠AOC=AD∴AD=AOsin∠AOC=8×1（2）作A1E⊥OC于點E，∴∠A1EO＝90°．在Rt△A1OE中，∠A1EO＝90°，∠A1OC＝53°，∵cos∠A又∵OA＝OA1，∴OE＝OA1?cos∠A1OE≈8×0.6＝4.8cm．在Rt△AOD中，∵cos∠AOD=OD∴OD=OA?cos∠AOC=8×3∴DE=OD?OE=43答：點A在豎直方向上升的高度約為2.1厘米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．18．（2024秋?拱墅區(qū)期末）圖1是某種筆記本電腦支架．如圖2，其底座AB放置在水平桌面上，通過調節(jié)點C，點D處的角度，控制托盤EF的位置．電腦機身和屏幕分別用線段EG，GH表示，CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，ED＝5cm．（1）若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°．①為使屏幕與桌面保持垂直，求∠EGH的度數(shù)．②求點H到桌面的最大距離（不計材料的厚度）．（2）在（1）的情況下，保持∠CDG＝90°，并逐漸減小∠ACD的度數(shù)．圓圓同學說：“點G到桌面的距離越來越?。秉c點同學說：“點G到桌面的距離先變大，后變?。蹦阏J為誰的說法正確，說明理由．【考點】解直角三角形的應用；勾股定理的應用．【專題】數(shù)形結合；解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】（1）①∠EGH＝120°；②點H到桌面的最大距離為（29+83）cm；（2）點點同學說得對，理由見解答部分．【分析】（1）①易得CDE＝90°，∠BMG＝90°，根據(jù)四邊形的外角和是360°可得∠EGH的度數(shù)；②作DN⊥GM于點N，DH⊥AB于點H，分別求得GN和DH的長，再加上HG的長度，即為點H到桌面的最大距離；（2）判斷出點G到桌面的距離的表示方法，取幾個特殊值代入可得點G到桌面的距離，即可判斷哪位同學的說法正確．【解答】解：（1）①延長HG交AB于點M，則∠BMG＝90°，∵∠CDG＝90°，∴CDE＝90°，∵四邊形的外角和為360°，∠ACD＝60°，∴∠EGH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；②作DN⊥GM于點N，DH⊥AB于點H，∴∠DNG＝90°，∠DHC＝90°，∵∠ACD＝60°，CD＝16cm，∴DH＝CD?sin60°＝83（cm），∵EG＝21cm，ED＝5cm，∴DG＝21﹣5＝16（cm），∵∠EGH＝120°，∴∠DGN＝60°，∴GN＝16×cos60°＝8（cm），∵GH＝21cm，∴點H到桌面的最大距離為：21+8+83=（29+83）cm答：點H到桌面的最大距離為（29+83）cm；（2）點點同學的說法正確．理由如下：設∠ACD＝α，則∠DGH＝180°﹣α，∴∠DGN＝α，∴點G到桌面的距離為：GN+DH＝16×cosα+16×sinα，當∠ACD＝60°時，點G到桌面的距離為（8+83）cm，當∠ACD＝45°時，點G到桌面的距離為：16×cos45°+16×sin45°＝162（cm），當∠ACD＝30°時，點G到桌面的距離為：16×cos30°+16×sin30°＝（83+8）cm∵8+83＜162∴點G到桌面的距離先變大，后變?。帱c點同學說得對．【點評】本題考查解直角三角形的應用．把所求的線段合理分割，整理到直角三角形中，是解決本題的關鍵．19．（2025?浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB=45．點D是邊AB的中點，過點D作CD的垂線，與邊BC相交于點（1）求線段CE的長；（2）求sin∠BDE的值．【考點】解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）254（2）725【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根據(jù)斜邊上的中線求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出關于BF的關系式，從而求出∠BDE的正弦值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosB=4∴BCAB∴AB＝10，∴BC＝8，∴AC=A又∵D為AB中點，∴AD＝BD＝CD=12∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB=CDCE，cos∠B∴5CE∴CE=25（2）作EF⊥AB交AB于F，由（1）知CE=25則BE＝8?254=7設BF＝x，則DF＝BD﹣BF＝5﹣x，在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝（154）2﹣（5﹣x）2在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝（74）2﹣x2∴22516?（5﹣x）2=49解得x=7∴EF2＝（74）2﹣（75）2EF=21∴sin∠BDE=EF【點評】本題主要考查解直角三角形和斜邊上的中線，關鍵是直角三角形中，正弦、余弦的應用．20．（2025?浦東新區(qū)一模）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門打卡地．某校實踐小組利用所學知識測量雙子山主峰的高度，他們設計了兩個測量方案，并利用課外時間完成了實地測量．下面是兩個方案的示意圖及測量數(shù)據(jù)．測量項目CDαβ方案一10m12°11.5°方案二1.3m12°11.7°任務一：請選擇其中一種方案，求出雙子山主峰AB的高度（結果保留1位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)見下表：三角比角度sincostancot12°0.2080.9780.2134.70511.5°0.1990.9800.2044.91511.7°0.2030.9790.2074.829任務二：上海世博文化公園官網(wǎng)上顯示：雙子山主峰的高度為48米．請你用一句話簡單說明你求出的高度與48米不一致的原因：測量有誤差（答案不唯一）．【考點】解直角三角形的應用．【專題】數(shù)形結合；運算能力；應用意識．【答案】（1）方案一，AB≈48.3米；方案二：AB≈46.2米；（2）測量有誤差（答案不唯一）．【分析】（1）選擇方案一，設BC長x米，根據(jù)α的正切值表示出AB的長，進而根據(jù)β的正切值為相等關系列出方程求解即可；選擇方案二，設BC為x米，根據(jù)β的正切值表示出AE的長，進而根據(jù)α的正切值為相等關系列出方程求解即可；（2）可從測量的角度出發(fā)回答問題．【解答】解：（1）選擇方案一：由題意得：AB⊥BD，∴∠B＝90°，設BC長x米，則BD長（x+10）米，∵∠α＝12°，∴AB＝x?tanα≈0.213x米，∵∠β＝11.5°，∴（x+10）?tan11.5°＝0.213x，即0.204（x+10）＝0.213x，解得：x≈226.67，∴AB≈48.3米；選擇方案二：由題意得：∠AED＝∠ABC＝90°．設BC為x米，則DE為x米．∵β＝11.7°，∴AE＝x?tanβ≈0.207x米，∵α＝12°，∴AB＝x?tanα≈0.213x米，由題意得：BE＝CD＝1.3米，∴0.207x+1.3＝0.213x，解得：x≈216.67，∴AB≈46.2米．（2）測量有誤差（答案不唯一）．【點評】本題考查解直角三角形的應用．應用所給角的正切值表示出相應線段的長度或得到能解決問題的相等關系是解決本題的關鍵．

考點卡片1．余角和補角（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補角．（3）性質：等角的補角相等．等角的余角相等．（4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯(lián)．注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系．不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應的關系．2．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．3．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．4．直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．7．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫