走進(jìn)數(shù)學(xué)思維鄭毓信省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

走進(jìn)數(shù)學(xué)思維鄭毓信，12于廣東第1頁(yè)引入：從一篇文章談開去“關(guān)于數(shù)學(xué)教育若干主要問(wèn)題探討——對(duì)話特級(jí)教師王凌讀書筆記”（王凌、余慧娟，《人民教育》，第七期），第39-45頁(yè)）主要內(nèi)容：對(duì)于若干“語(yǔ)錄”解讀。第2頁(yè)背景（按）前一段時(shí)間，我在網(wǎng)上神游，突然發(fā)覺許多數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站、數(shù)學(xué)教師博客上都流傳首“王凌35條精彩語(yǔ)錄”，而且點(diǎn)擊率很高。如今能成為“語(yǔ)錄”東西該是稀罕物了。打開仔細(xì)一看，真是“精彩”！濃縮了不少數(shù)學(xué)教育思想精華。能寫如此“精彩語(yǔ)錄”人，不用管“語(yǔ)錄”從何而來(lái)，都代表了一個(gè)學(xué)養(yǎng)，一個(gè)品位。我決定見識(shí)見識(shí)這位隱藏著智者，就其中一些“語(yǔ)錄”向王老師發(fā)問(wèn)。經(jīng)過(guò)兩輪挑戰(zhàn)和對(duì)話，形成了以下文字，第3頁(yè)一個(gè)值得思索問(wèn)題一篇讀書筆記為何會(huì)引發(fā)人們?nèi)绱伺d趣？這一事件又給了我們什么樣啟示？第4頁(yè)[按]……我決定見識(shí)見識(shí)這位隱藏著智者……經(jīng)過(guò)兩輪挑戰(zhàn)和對(duì)話，形成了以下文字，也拿來(lái)與更多讀者分享——數(shù)學(xué)教師該讀什么書，數(shù)學(xué)教育精華是什么？數(shù)學(xué)理論該怎樣用實(shí)踐來(lái)解讀——這一系列困擾每一個(gè)教師問(wèn)題答案。第5頁(yè)另一段對(duì)話“這些筆記確實(shí)很精辟，不過(guò)我以為您解讀更精彩，從某種角度講，能用恰到好處實(shí)例來(lái)解讀理論人，比只會(huì)給出抽象理論人更偉大，因?yàn)檫@不但表明消化理論能力，也代表了思索透徹與思想成熟。您讓我們看到了濃縮理論后面豐富實(shí)踐風(fēng)景，同時(shí)也引發(fā)了新思維風(fēng)暴?！钡?頁(yè)啟示（1）：教學(xué)研究一條可能路徑用恰到好處實(shí)例來(lái)解讀理論。第7頁(yè)啟示（2）：關(guān)于教師培訓(xùn)工作培訓(xùn)形式必要轉(zhuǎn)變。應(yīng)該主動(dòng)引導(dǎo)教師去讀書、讀好書。第8頁(yè)加強(qiáng)學(xué)習(xí)意義（1）了解發(fā)展動(dòng)態(tài)，明確教學(xué)研究方向。第9頁(yè)[例1]一段評(píng)論“新課程實(shí)施以來(lái)，廣大一線教師在實(shí)踐中不停碰到新問(wèn)題，如‘算法多樣化’、‘創(chuàng)設(shè)情境’、‘小組合作’等，伴隨課程改革深入，老師們對(duì)這些問(wèn)題認(rèn)識(shí)逐步趨于清楚并付諸實(shí)踐，而近兩年來(lái)，‘處理問(wèn)題’教學(xué)成了教師們最為關(guān)注話題……”（《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》編輯部，年第七期）第10頁(yè)[例2]另一篇受歡迎文章邱學(xué)華等：“年小學(xué)數(shù)學(xué)教育回顧與展望”（《小學(xué)教學(xué)》，年第三期）相關(guān)大事；熱點(diǎn)問(wèn)題；主要著作與論文。展望。第11頁(yè)加強(qiáng)學(xué)習(xí)意義（2）增強(qiáng)判斷能力，預(yù)防對(duì)于時(shí)髦時(shí)尚盲目追隨。第12頁(yè)[例3]一段心得體會(huì)“最大讀書心得是什么？許多事情，過(guò)去有過(guò)；許多問(wèn)題，前人想過(guò)，許多方法，曾經(jīng)用過(guò)；許多錯(cuò)誤，頻頻犯過(guò)?！老惹笆虑椋鸫a不至于輕信，不至于盲從?！保愃囊?，《文藝報(bào)》，，9，17）第13頁(yè)[例4]美國(guó)課程改革相關(guān)教訓(xùn)

第一，對(duì)基本知識(shí)和技能忽略。第二，不恰當(dāng)教學(xué)形式，即如對(duì)于合作學(xué)習(xí)過(guò)分強(qiáng)調(diào)等，但卻未能很好地發(fā)揮教師應(yīng)有作用。尤其是，因?yàn)椤敖?gòu)主義”盛行，人們認(rèn)為學(xué)生只能掌握（或了解）其本身或經(jīng)過(guò)同伴間合作所得以“建構(gòu)”知識(shí)，而這實(shí)際上就從根本上消取了教師在教學(xué)中所應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用。第14頁(yè)

第三，數(shù)學(xué)并不只是一個(gè)有趣活動(dòng)，僅僅使數(shù)學(xué)變得有趣起來(lái)并不能確保數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定能夠取得成功，因?yàn)?，?shù)學(xué)上成功還需要艱辛工作。事實(shí)是，在實(shí)踐中我們經(jīng)常能夠看到這么現(xiàn)象，即為了吸引學(xué)生興趣，教師或教材把注意力和大量時(shí)間放到了對(duì)應(yīng)活動(dòng)或情景之上，但卻沒有能集中于其中數(shù)學(xué)內(nèi)容，這當(dāng)然是一個(gè)本末倒置。

第15頁(yè)第四，課程組織過(guò)分強(qiáng)調(diào)情景學(xué)習(xí)，而忽略了知識(shí)內(nèi)在聯(lián)絡(luò)。比如，在按照這種思想所編制一些中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，傳統(tǒng)關(guān)于幾何、代數(shù)和三角區(qū)分被取消了，取而代之則是所謂‘整合性數(shù)學(xué)’，也即主要圍繞實(shí)際生活來(lái)組織相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)。然而，盡管后者含有綜合性特點(diǎn)，并很好地表達(dá)了數(shù)學(xué)實(shí)際意義，但卻未能使學(xué)生很好地掌握對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)。

第16頁(yè)第五，未能給予數(shù)學(xué)推理足夠重視。盡管《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確地指出應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力，不過(guò)，就實(shí)踐而言，所唯一得到強(qiáng)調(diào)只是試驗(yàn)與猜測(cè)在數(shù)學(xué)發(fā)覺中主要作用，而邏輯與證實(shí)則完全被拋棄了。第17頁(yè)第六，廣而淺薄，這即是指，因?yàn)槲茨芎芎玫赜蚍质裁词亲钪饕筒荒敲粗饕F(xiàn)行數(shù)學(xué)教育表現(xiàn)出了‘廣而淺’弊病。特殊地，‘大眾數(shù)學(xué)’看來(lái)忽略了不一樣學(xué)生有著不一樣需要，而一個(gè)更應(yīng)注意防止弊病則是將為一切人數(shù)學(xué)變成了‘最小公分母’式教育?！保ā扒曛幻绹?guó)數(shù)學(xué)教育”，載鄭毓信，《數(shù)學(xué)教育當(dāng)代發(fā)展》，江蘇教育出版社，1999年）第18頁(yè)加強(qiáng)學(xué)習(xí)意義（3）從久遠(yuǎn)角度看，能夠不停提升自己理論素養(yǎng)，開拓視野，增強(qiáng)思維深刻性。第19頁(yè)插入：一點(diǎn)提議不論是專業(yè)理論研究工作者，或是在職教師或未來(lái)教師，都應(yīng)經(jīng)常自問(wèn)：什么是自己專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)最為主要一些著作或論文？教育領(lǐng)域內(nèi)各個(gè)教授、包含各級(jí)教研員以及優(yōu)異教師都能為一線教師認(rèn)真推薦本專業(yè)幾本好書或好文章。

第20頁(yè)我推薦：一個(gè)值得關(guān)注領(lǐng)域——數(shù)學(xué)教育哲學(xué)

（1）數(shù)學(xué)教育哲學(xué)興起必要思索：這是否僅僅是一個(gè)時(shí)髦，還是有其一定必定性，合理性？第21頁(yè)（2）數(shù)學(xué)教育哲學(xué)主要內(nèi)容數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)教育觀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀與數(shù)學(xué)教學(xué)觀第22頁(yè)（3）回到主題什么是數(shù)學(xué)教育價(jià)值？尤其是，數(shù)學(xué)教育對(duì)于提升學(xué)生素養(yǎng)終究又能起到怎樣作用？基本立場(chǎng)：我們既應(yīng)充分表達(dá)數(shù)學(xué)教育特殊性，同時(shí)也應(yīng)高度重視教育整體性質(zhì)。

第23頁(yè)可能結(jié)論（1）充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化價(jià)值；（2）幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，乃至“經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”。第24頁(yè)進(jìn)入主題：走進(jìn)數(shù)學(xué)思維！一個(gè)連續(xù)熱點(diǎn)；現(xiàn)實(shí)狀況與問(wèn)題： 第一，普遍存在一個(gè)思想障礙：因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，所以就不可能很好表達(dá)數(shù)學(xué)思維； 第二，在現(xiàn)實(shí)中我們并可經(jīng)常看到“簡(jiǎn)單移植”、“隨意拔高”等作法。第25頁(yè)當(dāng)務(wù)之急應(yīng)該針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際情況、包含詳細(xì)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生認(rèn)知水平更為深入去開展工作，尤其是， 第一，清楚界定； 第二，很好處理詳細(xì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容（包含知識(shí)與技能）教學(xué)與數(shù)學(xué)思維教學(xué)之間關(guān)系。第26頁(yè)一、從數(shù)學(xué)抽象談起父：“假如你有一個(gè)橘子，我再給你兩個(gè)，你數(shù)數(shù)看一共有幾個(gè)橘子？”子：“不知道！在學(xué)校里，我們都是用蘋果數(shù)數(shù)，從而不用橘子。（《譯林?文摘版》）第27頁(yè)數(shù)學(xué)最基本特征：抽象性“甚至對(duì)數(shù)學(xué)只有淺薄知識(shí)就能輕易地覺察到數(shù)學(xué)這些特征：第一是它抽象性，……。抽象性在簡(jiǎn)單計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)。我們利用抽象數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同詳細(xì)對(duì)象聯(lián)絡(luò)起來(lái)。我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)是抽象乘法表——總是數(shù)字乘法表，而不是男孩數(shù)目乘上蘋果數(shù)目，或是蘋果數(shù)目乘上蘋果價(jià)錢等等。”（亞歷山大洛夫）第28頁(yè)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)第一，數(shù)學(xué)抽象源于現(xiàn)實(shí)生活，包含詳細(xì)事物與現(xiàn)象，以及人們運(yùn)作；第二，數(shù)學(xué)抽象又高于現(xiàn)實(shí)，并是一個(gè)建構(gòu)活動(dòng)，即包含了與現(xiàn)實(shí)世界在一定程度上分離。第29頁(yè)分析與思索“數(shù)學(xué)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是利用自己生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象一個(gè)‘解讀’?！保ㄞD(zhuǎn)引自衡鋒，“‘錯(cuò)題’演繹精彩”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，年第十期）對(duì)照：學(xué)習(xí)主要是一個(gè)“順應(yīng)”過(guò)程，也即怎樣對(duì)主體已經(jīng)有認(rèn)知框架作出必要調(diào)整或重建。第30頁(yè)[例一]這個(gè)學(xué)生缺終究是什么？

（樓文勝，“問(wèn)題到底出在哪兒？”）

任課教師要求學(xué)生求解這么一個(gè)問(wèn)題：“52型拖拉機(jī)，一天耕地150畝，問(wèn)12天耕地多少畝？”一位學(xué)生是這么解題：52×150×12=……第31頁(yè)接下來(lái)對(duì)話“告訴我，你為何這么列式？”“老師，我錯(cuò)了?！薄昂?，告訴我，你認(rèn)為正確該怎么列式？”“除?！薄霸趺闯?？”“大除以小?！钡?2頁(yè)“為何是除呢？”“老師，我又錯(cuò)了?！薄澳阏f(shuō)，正確該是怎樣呢？”“應(yīng)該把它們加起來(lái)?！钡?3頁(yè)啟而不發(fā)？“我們換一個(gè)題目，比如你天天吃兩個(gè)大餅，5天吃幾個(gè)大餅？”“老師，我早上不吃大餅?！薄澳悄愠允裁矗俊薄拔医?jīng)常吃粽子?！薄昂?，那你天天吃兩個(gè)粽子，5天吃幾個(gè)粽子？”第34頁(yè)“老師，我一天根本吃不了兩個(gè)粽子?！薄澳悄隳艹詭讉€(gè)粽子？”“吃半個(gè)就能夠了。”“好，那你天天吃半個(gè)（小數(shù)乘法沒學(xué)）粽子，5天吃幾個(gè)粽子？”“兩個(gè)半。”“怎么算出來(lái)？”“兩天一個(gè)，5天兩個(gè)半?！薄?5頁(yè)結(jié)論之一學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維首要涵義：學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象（模式化）。數(shù)學(xué)：模式科學(xué)。這就是指，數(shù)學(xué)所反應(yīng)不只是某一特定事物或現(xiàn)象量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量方面共同性質(zhì)。第36頁(yè)[例二]這能否算一堂真正數(shù)學(xué)課？這是關(guān)于“問(wèn)題處理”一個(gè)教學(xué)實(shí)例，教師要求一群三年級(jí)學(xué)生求解以下問(wèn)題： “某女士外出旅行時(shí)帶了兩件不一樣顏色上衣和三條不一樣顏色裙子，問(wèn)共有多少種不一樣搭配方法？”教師勉勵(lì)學(xué)生們用“試驗(yàn)”方法去處理問(wèn)題：學(xué)生拿出了筆和紙，開始在紙上實(shí)際地畫出各種可能搭配……結(jié)果表明，在大多數(shù)情況下學(xué)生都可憑借本身努力（單獨(dú)地或合作地）得出正確解答。第37頁(yè)事后思索學(xué)生經(jīng)過(guò)這一教學(xué)活動(dòng)終究學(xué)到了什么，尤其是，這些學(xué)生能否被認(rèn)為已經(jīng)掌握了對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)？第38頁(yè)更多問(wèn)題某人有兩套不一樣西裝和三條不一樣顏色領(lǐng)帶，問(wèn)共有多少種不一樣搭配方法？有兩個(gè)軍官和三個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡查隊(duì)，問(wèn)共有多少種不一樣組成方式？某女士外出旅行時(shí)帶了三件不一樣顏色上衣和四條不一樣顏色裙子，問(wèn)共有多少種不一樣搭配方法？有三個(gè)軍官和四個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡查隊(duì)，問(wèn)共有多少種不一樣組成方式？第39頁(yè)結(jié)論之二幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象關(guān)鍵：應(yīng)該超越問(wèn)題現(xiàn)實(shí)情境過(guò)渡到抽象數(shù)學(xué)模式。（“去情境化”）相關(guān)敘述：數(shù)學(xué)教學(xué)必定包含“去情景化、去個(gè)人化和去時(shí)間化”。問(wèn)題：怎樣才能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“去情境化”？第40頁(yè)[例三]“找規(guī)律”

（黃愛華、胡愛民）“師：在中國(guó)少年先鋒隊(duì)鼓號(hào)隊(duì)鼓號(hào)曲里，我們把第一個(gè)音唱做‘咚’，第二個(gè)音唱做‘噠’，第三個(gè)音唱做‘啦’，所以這個(gè)樂(lè)句就變成│咚噠啦│咚噠啦│咚噠啦│……“請(qǐng)想一想：第16個(gè)音符是什么？為了能讓他人看得一清二白，請(qǐng)你在初稿本上用一個(gè)適當(dāng)方式表示出來(lái)，能夠?qū)懸粚?、畫一畫、算一算?！钡?1頁(yè)方法一：用圖形表示│□○△│□○△│□○△│□○△│□○△│□方法二：用數(shù)字表示 │123│123│123│123│123│1第42頁(yè)結(jié)論之三模式化主要伎倆之一：引入適當(dāng)圖形或符號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)與詳細(xì)情境在一定程度上分離。

第43頁(yè)二、數(shù)學(xué)中分類課改以來(lái)一個(gè)新增內(nèi)容。對(duì)應(yīng)思索：終究什么是數(shù)學(xué)中分類？這與普通分類又有什么不一樣（顯然，這也直接關(guān)系到了終究什么是數(shù)學(xué)課所應(yīng)該含有“數(shù)學(xué)味”）？

第44頁(yè)[例四]幾何模塊分類常見組織方式。第45頁(yè)第46頁(yè)分析與思索問(wèn)題：我們是否應(yīng)該一樣地去必定學(xué)生所提出各種分類方法，包含按形狀、顏色和材料等進(jìn)行分類？有益對(duì)照：自然數(shù)認(rèn)識(shí)。

第47頁(yè)深入問(wèn)題：數(shù)學(xué)中終究又為何要進(jìn)行分類？第48頁(yè)[例四]“100以內(nèi)加減法練習(xí)”34+42=76，37+17=54，69-15=54，59+17=76，91-15=76，83-29=54。第49頁(yè)“師：剛才全體兒童認(rèn)認(rèn)真真地做好了六道100以內(nèi)加減計(jì)算題，而且做得很對(duì)?，F(xiàn)在我們?cè)賮?lái)仔細(xì)觀察這六道題，假如我們把它們分成兩類，你有什么好方法？為何能夠這么分？”第50頁(yè)方法一：按照得數(shù)相同來(lái)分；方法二：按加法和減法來(lái)分；方法三：按不進(jìn)位加法和不退位減法、以及進(jìn)位加法和退位減法來(lái)分；第51頁(yè)方法四：把37+17、59+17分成一組，把34+42、69-15、91-15、83-29分成一組。（因?yàn)榍岸咧卸及?7。）方法五：把34+42=76分成一組，剩下為一組?！ㄒ?yàn)榍罢咚ǘ际桥紨?shù)。）第52頁(yè)教師總結(jié)“教學(xué)中教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不一樣角度來(lái)分析問(wèn)題——進(jìn)行合理分類，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)相互交流，從中感受到分類結(jié)果在不一樣標(biāo)準(zhǔn)下多樣性，感受到不一樣標(biāo)準(zhǔn)分類有著不一樣意義和作用，就能使學(xué)生思維得到發(fā)散，使學(xué)生不一樣思想方法得到充分有效交流。”不過(guò)，我們終究為何要進(jìn)行分類？第53頁(yè)結(jié)論之四分類應(yīng)該含有明確目標(biāo)性。 第一，歸類：數(shù)學(xué)抽象直接基礎(chǔ)； 第二，不一樣類別區(qū)分：由簡(jiǎn)到繁、由特殊到普通地去開展研究。分類問(wèn)題也需要優(yōu)化。（用數(shù)學(xué)家眼光去對(duì)待世界、分析問(wèn)題、處理問(wèn)題。）

第54頁(yè)一個(gè)練習(xí)“制作正方體及長(zhǎng)方體折紙圖樣”（展開圖）。問(wèn)題：怎樣去判別一個(gè)六聯(lián)方是不是正方體展開圖？正方體又一共有多少種不一樣六聯(lián)方展開圖？（馮振業(yè)：“經(jīng)過(guò)‘?dāng)?shù)學(xué)化教學(xué)’進(jìn)行教材研發(fā)及教師培訓(xùn)”，《小學(xué)數(shù)學(xué)》，年第五期）第55頁(yè)[例五]“三角形分類”終究什么應(yīng)是這一堂課教學(xué)重點(diǎn)：是角度量？還是分類必要性與合理性？一個(gè)主要思想：分類活動(dòng)科學(xué)性。第56頁(yè)一個(gè)相關(guān)研究：數(shù)學(xué)家與初學(xué)者（學(xué)生）比較問(wèn)題不一樣分類： 按問(wèn)題“表層結(jié)構(gòu)”（事實(shí)性內(nèi)容與表述方式）與“深層結(jié)構(gòu)”（內(nèi)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、解題方法）。學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維又一主要內(nèi)涵：由“表層結(jié)構(gòu)”逐步深入到“深層結(jié)構(gòu)”。第57頁(yè)[例六]水池問(wèn)題

（祝中錄）“學(xué)生在處理水池問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)認(rèn)為水池一邊開進(jìn)水管，一邊開出水管，不論經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間都不會(huì)注滿水池。在教課時(shí)教師能夠不急于講解，而是引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中類似實(shí)例。（1）追及問(wèn)題?？蛙嚸啃r(shí)行40千米，小汽車每小時(shí)行50千米?，F(xiàn)在客車在小汽車前25千米地方，同時(shí)沿筆直公路行駛，多長(zhǎng)時(shí)間小汽車能追上客車？（2）儲(chǔ)蓄問(wèn)題。父親每個(gè)月工資420元，媽媽每個(gè)月工資300元，每個(gè)月平均支出450元，余下錢存在銀行，幾個(gè)月后能買一臺(tái)價(jià)格1350元電視機(jī)？經(jīng)過(guò)這些實(shí)例學(xué)生就輕易弄明白只要進(jìn)水量大于出水量，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間水池就一定能注滿水?！钡?8頁(yè)結(jié)論之五學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維又一主要內(nèi)涵：思維必要優(yōu)化。第59頁(yè)三、數(shù)學(xué)中類比數(shù)學(xué)思維合剪發(fā)展：由歸類、到分類、到類比（聯(lián)想）。問(wèn)題：終究什么是類比（聯(lián)想）？在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們又應(yīng)怎樣去進(jìn)行類比（聯(lián)想）教學(xué)？第60頁(yè)一個(gè)常見說(shuō)法“我們觀察到兩個(gè)或兩類事物在許多屬性上都相等，便推出它們?cè)谄渌鼘傩陨弦蚕嗤＿@就是類比法?！钡?1頁(yè)[例七]必要思索：一些實(shí)例一元一次方程、一元二次方程與一元三次方程比較。等腰三角形與等腰梯形比較。第62頁(yè)結(jié)論之六：什么是真正類比？類比在數(shù)學(xué)中主要作用：就是經(jīng)過(guò)兩個(gè)不一樣對(duì)象比較由已經(jīng)取得知識(shí)去引出新猜測(cè)。成功應(yīng)用類比聯(lián)想關(guān)鍵：求同存異第63頁(yè)為了應(yīng)用類比，我們不需要相關(guān)對(duì)象在全部方面都完全一樣，而只要求在這二者在某首先或在某一抽象層次上是相同，這就是“求同”，也即怎樣能在抽象分析基礎(chǔ)上找出兩個(gè)對(duì)象“類似之處”?！按娈悺眲t是指新猜測(cè)產(chǎn)生并不是簡(jiǎn)單重復(fù)、模仿，而是一個(gè)創(chuàng)造性工作，尤其是，在由已知事實(shí)去引出新猜測(cè)時(shí)，我們必須注意分析二者之間所存在差異，也即必須依據(jù)對(duì)象詳細(xì)情況作出適當(dāng)“調(diào)正”。第64頁(yè)結(jié)論之七相對(duì)于歸類與分類而言，類比聯(lián)想是一個(gè)更為高級(jí)思維形式。教學(xué)中關(guān)鍵：怎樣能夠針對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平去有針對(duì)性地去進(jìn)行教學(xué)？第65頁(yè)四、問(wèn)題處理與數(shù)學(xué)思維——從“植樹問(wèn)題”談開去教學(xué)研究一個(gè)連續(xù)熱點(diǎn)：“眾所周知，‘植樹問(wèn)題’是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，長(zhǎng)久備受眾多教授、特級(jí)老師青睞，曾經(jīng)無(wú)數(shù)次被搬上‘舞臺(tái)’演繹出許多經(jīng)典課例?！保ㄡB丹）第66頁(yè)“植樹問(wèn)題”與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維“在本課教學(xué)設(shè)計(jì)中，解題不是主要教學(xué)目標(biāo)，主要任務(wù)是向?qū)W生滲透一個(gè)思想，……”（吳荔丹，“‘植樹問(wèn)題’教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》年No.1)“設(shè)計(jì)上一個(gè)主要思索是向?qū)W生滲透一個(gè)思想，一個(gè)在數(shù)學(xué)上和研究問(wèn)題方面都很主要思想……”（張錫忠，“‘植樹問(wèn)題’課堂實(shí)錄”，《小學(xué)數(shù)學(xué)》年No.2）第67頁(yè)另外一些共同點(diǎn)任課教師通常尤其重視關(guān)于“植樹問(wèn)題”三種不一樣類型區(qū)分，也即所謂“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。就上述三個(gè)類型區(qū)分而言，設(shè)計(jì)者又往往歸結(jié)為“規(guī)律發(fā)覺”，并普遍地采取了“學(xué)生獨(dú)立探究（或分組探究）、反饋交流、教師總結(jié)”這么教學(xué)方法。第三，就相關(guān)數(shù)學(xué)思想而言，有不少教師突出地強(qiáng)調(diào)了所謂“化歸思想”。第68頁(yè)分析與思索（1）：“歸類”與“分類”“植樹問(wèn)題”實(shí)際上包括到了兩種不一樣數(shù)學(xué)活動(dòng)： （1）以“植對(duì)問(wèn)題”為原型引出普遍性數(shù)學(xué)模式，然后再利用這一模式去處理各種新問(wèn)題，如路燈問(wèn)題、鋸樹問(wèn)題、爬樓問(wèn)題等。 （2）對(duì)于所提到每一個(gè)問(wèn)題我們又都能夠區(qū)分出三種不一樣情況，這也就是所謂“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。關(guān)鍵：終究何者應(yīng)該被看成這一教學(xué)活動(dòng)重點(diǎn)？什么又是這一教學(xué)活動(dòng)真正難點(diǎn)？

第69頁(yè)分析與結(jié)論假如學(xué)生未能清楚地認(rèn)識(shí)到路燈問(wèn)題、鋸樹問(wèn)題、爬樓問(wèn)題等都與植樹問(wèn)題有著相同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也即能夠被歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模式，對(duì)他們來(lái)說(shuō)“這終究屬于‘植樹問(wèn)題’中哪個(gè)類型啊”這么問(wèn)題就是完全沒有意義。從而，“模式建構(gòu)”就比“三種情況區(qū)分”有著更大主要性，在教學(xué)上我們也應(yīng)對(duì)此給予更大關(guān)注。

第70頁(yè)教學(xué)中相關(guān)現(xiàn)象“有些學(xué)生即使會(huì)處理這一問(wèn)題，但這些學(xué)生尚不能把植樹問(wèn)題處理方法與生活中相同現(xiàn)象進(jìn)行知識(shí)鏈接，這就造成了能找到規(guī)律但不會(huì)熟練利用規(guī)律……”（張錫忠，“‘植樹問(wèn)題’課堂實(shí)錄”）第71頁(yè)深入思索：怎樣能夠超出“植樹問(wèn)題”并引出對(duì)應(yīng)普遍性模式？由“植對(duì)問(wèn)題”過(guò)渡到“分隔問(wèn)題”；圖形與符號(hào)符號(hào)適當(dāng)應(yīng)用。 一些實(shí)例：葉婉紅，“‘植樹問(wèn)題’教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，No.7；張錫忠,，“‘植樹問(wèn)題’課堂實(shí)錄”，《小學(xué)數(shù)學(xué)》No.2第72頁(yè)分析與思索（2）：規(guī)律“機(jī)械應(yīng)用”與思維靈活性問(wèn)題：我們?cè)诮虒W(xué)中是否應(yīng)該對(duì)于“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”這么三種情況區(qū)分給予尤其重視，并要求學(xué)生牢牢地記住對(duì)應(yīng)計(jì)算法則（“加一”、“不加不減”、“減一”）以致在面對(duì)新類似問(wèn)題時(shí)就能不假思索地直接加以應(yīng)用？第73頁(yè)相關(guān)思索就“植樹問(wèn)題”而言，在現(xiàn)實(shí)中是否真就只有“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”這么三種情況？進(jìn)而，對(duì)于其它一些可能情況我們又是否也應(yīng)要求學(xué)生總結(jié)出相關(guān)類型，并牢牢地去記住對(duì)應(yīng)“規(guī)律”（“加二”、“減二”、“乘二”、“除二”……）？第74頁(yè)分析與結(jié)論將“三種情況”區(qū)分以及對(duì)應(yīng)計(jì)算法則看成是一個(gè)“規(guī)律”、并要求學(xué)生牢靠掌握從而就能直接加以利用恐怕不很恰當(dāng)；毋寧說(shuō)，在此真正主要應(yīng)是“一一對(duì)應(yīng)”這么一個(gè)數(shù)學(xué)思想——就“植樹問(wèn)題”進(jìn)行分析，這也就是指，在此真正主要是在“間隔”與“樹”之間所存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)而，所謂“加一”、“減一”等法則又只是針對(duì)詳細(xì)情況作出適當(dāng)改變——從而，在此真正需要就不是“規(guī)律應(yīng)用”；而是思維靈活性，也即怎樣能夠依據(jù)基本模式并經(jīng)過(guò)適當(dāng)改變以適應(yīng)改變了情況。第75頁(yè)總結(jié)對(duì)于“植樹問(wèn)題”教學(xué)應(yīng)該區(qū)分出這么兩個(gè)不一樣教學(xué)要求或教學(xué)步驟：（1）突出“分隔問(wèn)題”，即是怎樣能以“植樹問(wèn)題”為背景幫助學(xué)生建構(gòu)對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模式；（2）明確引出“間隔數(shù)”與“所種樹棵數(shù)”這二者關(guān)系，突出“一一對(duì)應(yīng)”思想，并以此為基礎(chǔ)求解各種改變了情況。對(duì)于“兩端都種”等三種情況區(qū)分不應(yīng)過(guò)于強(qiáng)調(diào)，更不應(yīng)將對(duì)應(yīng)計(jì)算法則看成主要規(guī)律乃至要求學(xué)生牢切記住從而就能不假思索地加以應(yīng)用。

第76頁(yè)五、數(shù)學(xué)中特殊化與普通化

兩個(gè)應(yīng)該思索問(wèn)題：終究什么是數(shù)學(xué)中特殊化與普通化？小學(xué)數(shù)學(xué)中是否也有特殊化與普通化？第77頁(yè)一點(diǎn)提醒：對(duì)于抽象定義必要超越特殊化“是從考慮一組給定對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合一個(gè)較小子集，或僅僅一個(gè)對(duì)象?！逼胀ɑ笆菑目紤]一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到包含該對(duì)象一個(gè)集合，或者從考慮一個(gè)該小集合過(guò)渡到包含該較小集合更大集合?！钡?8頁(yè)（1）從概念學(xué)習(xí)角度看數(shù)學(xué)抽象就是一個(gè)普通化過(guò)程；怎樣為抽象數(shù)學(xué)概念給出詳細(xì)例子則就是特殊化過(guò)程。插入：數(shù)學(xué)教師一個(gè)基本功：適當(dāng)舉例！第79頁(yè)理論指導(dǎo)下自覺實(shí)踐：變式理論關(guān)鍵思想之一：“標(biāo)準(zhǔn)變式”與“非標(biāo)準(zhǔn)變式”。背景：一些常見錯(cuò)誤觀念。 角必定有一條水平射線； 直角必定是指向右邊角； 三角形和四邊形底邊都應(yīng)處于水平位置； 三角形高必須處于垂直位置，并必定于三角形底邊相交；……第80頁(yè)分析與思索學(xué)生之所以會(huì)形成這些錯(cuò)誤觀念往往就與我們?cè)诮虒W(xué)中所使用往往只是“標(biāo)準(zhǔn)變式”有著直接關(guān)系。從而我們?cè)诮虒W(xué)中不應(yīng)唯一地局限于平時(shí)所經(jīng)慣用到一些實(shí)例，而也應(yīng)有意識(shí)地引入一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”。第81頁(yè)關(guān)鍵思想之二：“概念變式”與“非概念變式”就概念了解而言，“非概念變式”實(shí)際上起到了“反例”作用，這么，經(jīng)過(guò)與“正例”（“概念變式”）對(duì)照，就能夠幫助學(xué)生更加好地去掌握概念本質(zhì)。第82頁(yè)（2）從“問(wèn)題處理”角度看相關(guān)敘述：“特殊化與普通化組成了整個(gè)解題過(guò)程基礎(chǔ)?！保飞┑?3頁(yè)關(guān)于特殊化由隨意特殊化，去了解問(wèn)題；由系統(tǒng)特殊化，為普通化提供基礎(chǔ)；由巧妙特殊化，去對(duì)普通性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。（梅森）第84頁(yè)[例八]自行道問(wèn)題假設(shè)商店中鋪設(shè)了單一方向上前進(jìn)自行道，問(wèn)用戶由自行道往返一次（比如，由商店大門順道前往某一柜臺(tái)然后再逆道返回）所花費(fèi)時(shí)間與先前完全依靠人力行走相比終究是花費(fèi)了更多時(shí)間、還是節(jié)約了時(shí)間？第85頁(yè)[例九]“小數(shù)乘整數(shù)”與找規(guī)律

（張勇成）“師：有些小數(shù)和整數(shù)相乘很簡(jiǎn)單，同學(xué)們口算就能夠處理了，請(qǐng)看—— 0.1×4=0.4；（師：“這么8份呢？”） 0.01×4=0.04；（師：“這么23份呢？”） 0.001×9=0.009。（“師：這么129個(gè)呢？）“師：剛才口算這些乘法，都是哪些小數(shù)與整數(shù)相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001與整數(shù)相乘。 “師：當(dāng)0.1，0.01，0.001與一個(gè)整數(shù)相乘時(shí)，你們?yōu)楹芜@么快就得出了結(jié)果？有什么規(guī)律嗎？第86頁(yè)“生1：乘得結(jié)果越來(lái)越小。 “生2：都和幾個(gè)零點(diǎn)幾相關(guān)系。 “生3：乘得結(jié)果都是小數(shù)?！皫煟和瑢W(xué)們觀察得很仔細(xì)，當(dāng)0.1，0.01，0.001乘一個(gè)整數(shù)時(shí)，它們計(jì)算結(jié)果是幾位小數(shù)和誰(shuí)相關(guān)系呢？……“師：也就是說(shuō)，因數(shù)中有幾位小數(shù)，積——“生：就有幾位小數(shù)?！保ㄏ侣裕?/p>

第87頁(yè)回顧由隨意特殊化，去了解問(wèn)題；由系統(tǒng)特殊化，為普通化提供基礎(chǔ)；由巧妙特殊化，去對(duì)普通性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。（梅森）第88頁(yè)關(guān)于普通化什么看上去像是真？為何它是真？它在怎樣范圍內(nèi)看上去也是真？第89頁(yè)[例十]普通化實(shí)例在掌握了“三角形內(nèi)角和為180°”以后，我們顯然就應(yīng)深入去思索怎樣才能求得四邊形、五邊形、乃至n邊形后者內(nèi)角和？在處理了“怎樣由長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬去求取它對(duì)角線”以后，我們就可進(jìn)而去考慮“怎樣由長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高去求取它對(duì)角線”；乃至……“已知平行六面體從對(duì)角線一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)三條棱長(zhǎng)度以及三棱間三個(gè)夾角，求對(duì)角線長(zhǎng)？”“已知正八面體棱，求其對(duì)角線長(zhǎng)？”……第90頁(yè)插入數(shù)學(xué)教師又一基本功：適當(dāng)提問(wèn)！三個(gè)主要方面：（1）解題策略；（2）數(shù)學(xué)精神；（3）學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。第91頁(yè)六、數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)與教學(xué)努力加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維（數(shù)學(xué)方法論）學(xué)習(xí)。兩條主要線索：（1）“問(wèn)題處理”與“問(wèn)題提出”；（2）概念生成、分析與組織。第92頁(yè)數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)關(guān)鍵不應(yīng)求全，而應(yīng)求用，也即應(yīng)該親密聯(lián)絡(luò)自己教學(xué)實(shí)踐去進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)以致用。長(zhǎng)久努力方向：理論指導(dǎo)下自覺實(shí)踐。第93頁(yè)相關(guān)思想基礎(chǔ)知識(shí)：不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)；基本技能：不應(yīng)求全，而應(yīng)求變；數(shù)學(xué)思維：不應(yīng)求全，而應(yīng)求用。第94頁(yè)一個(gè)練習(xí)“紅花映綠葉×春=葉綠映花紅，要求想出‘紅’、‘花’、‘映’、‘綠’、‘葉’分別代表什么數(shù)字？”請(qǐng)嘗試著以數(shù)學(xué)啟發(fā)法為指導(dǎo)去求解這一問(wèn)題（對(duì)應(yīng)解答為：21978×4=87912）。第95頁(yè)當(dāng)前應(yīng)該尤其注意一個(gè)問(wèn)題預(yù)防簡(jiǎn)單移植：集合與分類；函數(shù)與改變；極限與無(wú)限；……第96頁(yè)[例十一]“除非它們都能站起來(lái)！”這是發(fā)生在20世紀(jì)60年代一個(gè)真實(shí)故事：當(dāng)初“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”作為風(fēng)靡全球改革運(yùn)動(dòng)正處于高潮之中，其關(guān)鍵思想就是認(rèn)為應(yīng)該用當(dāng)代數(shù)學(xué)思想對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育作出改造，因?yàn)榧细拍钤诋?dāng)代數(shù)學(xué)中占據(jù)了尤其主要位置，所以，下述情況出現(xiàn)就無(wú)足為奇了。第97頁(yè)在幼稚園上學(xué)女兒告訴數(shù)學(xué)家父親：“我們今天學(xué)了‘集合’！”父親：“老師是怎么教？”女兒：“女教師首先讓班上全部男孩子站起來(lái)，然后告訴大家這就是男孩子集合；其次，她又讓全部女孩子站起來(lái)，并說(shuō)這是女孩子集合；接下來(lái)，又是白人孩子集合，黑人孩子集合，……最終，教師問(wèn)全班：‘大家是否都懂了？’她得到了必定回復(fù)?！钡?8頁(yè)父：“那么，我們是否能夠?qū)⑹澜缟先砍鬃踊蛲炼菇M成一個(gè)集合？” 遲疑了一會(huì)，女兒最終作出了這么回答：“不行！除非它們都能站起來(lái)！”第99頁(yè)結(jié)論應(yīng)該更為清楚地去界定，就小學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)習(xí)階段而言什么是相關(guān)數(shù)學(xué)思維？應(yīng)該主動(dòng)從事數(shù)學(xué)思維教學(xué)，這主要地又并非是指于專門性思維教學(xué)，而應(yīng)愈加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想滲透，也即用數(shù)學(xué)思想分析指導(dǎo)、帶動(dòng)詳細(xì)知識(shí)內(nèi)容教學(xué)。第100頁(yè)[例十二]“重建”高斯少年時(shí)代高斯是怎樣很快求得1+2+3+……+99=4950？

第101頁(yè)類比與啟示為了求解S=1+2+3+……+99=？我們也可首先去計(jì)算2S：2S=1+2+3+……+99+99+98+97+……+1=100

99=9900S=4950第102頁(yè)結(jié)論之八用思維分析帶動(dòng)詳細(xì)知識(shí)內(nèi)容教學(xué)關(guān)鍵：方法論重建，從而實(shí)現(xiàn)化神奇為平凡、化難為易。意義之一：使數(shù)學(xué)教學(xué)真正“講活”、“講懂”、“講深”；意義之二：使數(shù)學(xué)思維真正成為能夠了解、能夠?qū)W到手、和能夠加以推廣應(yīng)用。第103頁(yè)“講活”：教師應(yīng)該經(jīng)過(guò)自己教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生展現(xiàn)“活生生”數(shù)學(xué)研究工作，而不是死數(shù)學(xué)知識(shí)；“講懂”：教師應(yīng)該幫助學(xué)生真正了解相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；“講深”：教師不但應(yīng)幫助學(xué)生掌握詳細(xì)數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也應(yīng)幫助學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)并逐步掌握內(nèi)在思維方法。第104頁(yè)一些有益實(shí)踐與體會(huì)“顯”與“隱”。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想滲透，并非是指在教學(xué)中我們只需重視詳細(xì)知識(shí)內(nèi)容而完全不用去顧及數(shù)學(xué)思維，從而使后者一直處于“深藏不露”局面，而是指我們不應(yīng)用數(shù)學(xué)思維分析去完全取代知識(shí)內(nèi)容教學(xué)，或是使二者處于完全割裂狀態(tài)?！皵?shù)學(xué)思想方法該露臉時(shí)就露臉，依據(jù)需要，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉、歸納和概括?！保ㄊY巧君，“小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)新探”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，No.9）第105頁(yè)所謂不應(yīng)“求全”，也并非是指在“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”這首先根本不用設(shè)定任何詳細(xì)目標(biāo)，而可“自由行事，廉價(jià)處置”；恰恰相反，我們