中職數(shù)學(xué)教案第二十二章極限與連續(xù)

教案

授課日期授課班級20會計(jì)大專

授課課時授課形式新授

授課章節(jié)

22.1極限

名稱

使用教具多媒體

教學(xué)目的1.了解數(shù)列極限的概念.

教學(xué)重點(diǎn)了解數(shù)列極限的概念

教學(xué)難點(diǎn)了解數(shù)列極限的概念

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課外作業(yè)課本習(xí)題

教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書設(shè)計(jì)

函數(shù)的概念（二）

1極限：例題1

2探究：例題2

3總結(jié)方法：練習(xí)1

練習(xí)2

小結(jié)：

作業(yè)：

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟

教師活動學(xué)生活動

復(fù)習(xí)戰(zhàn)國時代哲學(xué)家莊周著的＜莊子天下篇》引

探究

用過一句話：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”

假設(shè)原錘長為1,第n天剩下的錘長記為an

(1)試寫出數(shù)列｛aJ的前5項(xiàng)。

讓學(xué)生在給出相應(yīng)的

(2)隨著n的無限增大,an的變化趨勢是什探究結(jié)論以后抽象出定義

域和值域的一般含義.

么？

探究

(3)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以

至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”

定義講解

數(shù)列的概念

定義:如果按照某一法則,對每個xe,對

應(yīng)著一個確定的實(shí)數(shù)a”,這些實(shí)數(shù)x“按照下標(biāo)n從

小到大排列得到的一個序列

X,XvX…，X,…就叫做數(shù)列，簡記為數(shù)列

新課講授

{4}

例題1習(xí)題講解

觀察下列數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限

(1)an=—

-

(2)an=2-

(3)a=—

n3n

_

(4)an=2

練習(xí)P3學(xué)生練習(xí)

寫出下列數(shù)列的極限

⑴得

⑵0n衛(wèi)

n

(3)an=l-—

3n

(4)a?=5-(-1)n+,

(5)an=2

4

(6)%=(一)"

5

思考交流P3

教案

授課日期授課班級20會計(jì)大專

授課課時授課形式新授

授課章節(jié)

22.2函數(shù)的極限1

名稱

使用教具多媒體

1.理解當(dāng)L+8,A一一8,八一8時，函數(shù)Hx）的極限的概念.

2.從函數(shù)的變化趨勢，理解掌握函數(shù)極限的概念.

教學(xué)目的3.會求當(dāng)函數(shù)的自變量分別趨于+8,—8,8時的極限.

教學(xué)重點(diǎn)從函數(shù)的變化趨勢來理解極限的概念，體會極限思想

教學(xué)難點(diǎn)對極限概念如何可從變化趨勢的角度來正確理解

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課外作業(yè)課本習(xí)題

教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書設(shè)計(jì)

函數(shù)的概念（1）

1函數(shù)的極限：例題1

2探究：例題2

3總結(jié)方法：練習(xí)1

練習(xí)2

小結(jié):

作業(yè):

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟

教師活動學(xué)生活動

復(fù)習(xí)：數(shù)列的極限

新課講解

探究

1.數(shù)列極限的定義：

一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)〃無限增大時，無窮數(shù)列學(xué)生回答

｛〃”｝的項(xiàng)％不限單近千某個常數(shù)4(即㈤

無限趨近于0),那么就說數(shù)列｛4｝以。為極限，

或者說。是數(shù)列｛七｝的極限.記作lima”，

，r->R

讀作“當(dāng)〃趨向于無窮大時，明的極限等于?！?

8”表示“〃趨向于無窮大”，即〃理解：數(shù)列的極限的

直觀描述方式的定義，只

無限增大的意思一〃有時也記作：當(dāng)〃一

新課講授Jim%是對數(shù)列變化趨勢的定

性說明，而不是定量化的

8時，an—>a.定義.”隨著項(xiàng)數(shù)〃的無

限增大，數(shù)列的項(xiàng)&無限

2.幾個重要極限：

地趨近于某個常數(shù)a”的

(1)lim—=0(2)limC=C(C意義有兩個方面：一方

面，數(shù)列的項(xiàng)&趨近于a

是常數(shù))(3)無窮等比數(shù)列的"｝(際<1)的是在無限過程中進(jìn)行的，

即隨著，的增大金越來越

極限是0,即limg"=O(|d<l).

接近于a；另一方面，an

不是一般地趨近于，而

3.將a,看成是n的函數(shù)即a,=/(〃).自變量N,,a

是“無限”地趨近于辦

&就是一個特殊的函數(shù).數(shù)列的項(xiàng)&，隨著〃的增

大亂越來越接近于&也就是尸(〃)越來越接近于即|&一4隨〃的增大而

無限地趨近于0.

a.對于一般的函數(shù)f(x),自變量x￡R,是否有

同樣的結(jié)論呢？這節(jié)課就來研究當(dāng)L8時，函數(shù)

A力的極限.

函數(shù)極限的定義：

(1)當(dāng)自變量X取正值并且無限增大時，如果

函數(shù)尸(*)無限趨近于一個常數(shù)&就說當(dāng)*趨向

于正無窮大時，函數(shù)的極限是私

記作：lim/'(x)=a,或者當(dāng)x—+8時，F(xiàn)(x)-&

(2)當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對值無限增大

時，如果函數(shù)Hx)無限趨近于一個常數(shù)外就說

當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時，函數(shù)/'(*)的極限是&

記作lim/(AT)=a或者當(dāng)x——8時，f{x}-a,

⑶如果limf(*)=a且Mm/'(>)=4那么

X-

就說當(dāng)x趨向于無窮大時，函數(shù)/(X)的極限是品

記作：limF(/)=a或者當(dāng)x~*8時，

X->00

3.常數(shù)函數(shù)f(x)=c.(xER),有l(wèi)imr(x)=c.

.18

注意：liin存在，表示liin/(x)和

limA*)都存在，且兩者相等.所以limf(*)中

XT-<CXf?

的8既有+8,又有一8的意義，而數(shù)列極限

lim4,中的8僅有+8的意義.

XT8

二,例題講解例題講解

例1分別就自變量才趨向于+8和-8的情況，討

論下列函數(shù)的變化趨勢.

⑴*J)'⑵尸2’

2

三、課堂練習(xí)；學(xué)生練習(xí)

1.寫出下列函數(shù)極限的值.

(1)lim-Lr：(2)lim10'：

XiVX-

52

(3)lun—：(4)lim------?

Xf2<5Xfyx+1

答案：(DO(2；0(3)0⑷0

小結(jié)：當(dāng)X分別趨向于+8,—8,8時，函數(shù)

f(x)的極限,以及常數(shù)函數(shù)的極限，注意lim/(A)

XTR

中的8和數(shù)列極限lim&中的8的不同意義.以

〃-8

概念為依據(jù)，結(jié)合函數(shù)圖象，學(xué)會求一些函數(shù)的

極限.

教案

授課日期授課班級

授課課時授課形式新授

授課章節(jié)

22.2函數(shù)的極限2

名稱

使用教具多媒體

1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限，并會求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限.

2.已知函數(shù)的左、右極限，會求函數(shù)在一點(diǎn)處的左右極限.

教學(xué)目的

3.理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左右極限的關(guān)系.

掌握當(dāng)XT與時函數(shù)的極限

教學(xué)重點(diǎn)

教學(xué)難點(diǎn)對=時，當(dāng)時函數(shù)的極限的概念”的理解

內(nèi)容更刪

課外作業(yè)課本習(xí)題

教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書設(shè)計(jì)

函數(shù)的極限（2）

1函數(shù)的極限：例題1

2探究：例題2

3總結(jié)方法：練習(xí)1

練習(xí)2

小結(jié):

作業(yè):

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟

教師活動學(xué)生活動

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了當(dāng)X趨向于8即X-8時

函數(shù)凡1)的極限.當(dāng)X趨向于8時，函數(shù)兒6的值就

問題引入

無限趨近于某個常數(shù)。我們可以把8看成數(shù)軸上

的一個特殊的點(diǎn).那么如果對于數(shù)軸上的一般的點(diǎn)學(xué)生回答

X0,當(dāng)X通向于X0時，函數(shù)J(x)的值是否會趨近于

某個常數(shù)。呢？

一.新課講解

1.數(shù)列極限的定義：

2.幾個重要極限：

3.函數(shù)極限的定義：

4.常數(shù)函數(shù)/1(￥)=<?.(>￡R),有l(wèi)imf(x)=c.

.研究實(shí)例

新課講授1

探討函數(shù)當(dāng)人無限趨近于2時的變化趨探究

X2-1

勢.探究y=-——，當(dāng)x無限趨近于1(XH1)

X-1

時的變化趨勢：

2.趨向于定值的函數(shù)極限概念：當(dāng)自變量M

無限趨近于4(XHX。)時，如果函數(shù)y=/(x)

無限趨近于一個常數(shù)4,就說當(dāng)X趨向/時，函

數(shù)),=/3)的極限是a，記作limf(x)=a.

特別地，limC=C：limx=x0.

.j/r->.v0

3.

limf(x)=a<^>limf(.v)=limf(x)=a

1%KT.%-KT%'

其中l(wèi)im/'")=〃表示當(dāng)x從左側(cè)趨近于與時

的左極限，lim/(x)=a表示當(dāng)x從右側(cè)趨近

XT.%*

于X。時的右極限.

例題講解

⑵*(!)*⑵片2"

2

例題講解三、例題講解

例1求下列函數(shù)在X=0處的極限學(xué)生聽講

A2-1Lvl

(1)lim-......(2)limU

XT。2x~-X-\XT)X

2r>0

(3)f(x)=<O,x=O

l+x2,x<0

,,...x~—11.X+1

(1)hm-；------=hm-----=1

r->02X--X-12x+l

(2)=lim?=lnlim?不存

x-MTXXT°.Xx->0X

在.

學(xué)生練習(xí)

學(xué)生練習(xí)四學(xué)生練習(xí)

求如下極限：

X2-1

⑴lim-------

I2x~-A-1

小［.(x-1)3+(1-3x)

(2)lim-----；---------;

10廠+2r

小結(jié)反思

小結(jié)

五、小結(jié)：球數(shù)極限存在的條件：如何求函

數(shù)的極限.

教案

授課日期授課班級

授課課時授課形式新授

授課章節(jié)

22.2函數(shù)的極限2-兩個重要極限(1)

名稱

使用教具多媒體

知識與技能：讓學(xué)生了解公式lim包竺=1的證明過程，正確理解

XTOx

公式，知道公式應(yīng)用的條件，熟練運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)

極限的計(jì)算。

過程與方法：通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、分析討論

教學(xué)目的和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、舉一反三的能力，進(jìn)一步認(rèn)識換元法、

轉(zhuǎn)化思想、數(shù)型結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。

情感態(tài)度與價值觀：通過對這一重要極限公式的研究，進(jìn)一步認(rèn)

識數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于

總結(jié)的良好思維品質(zhì)。

正確理解公式1加他竺=1,并能運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極

教學(xué)重點(diǎn)3X

限的計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)公式］=l的證明、公式及其變形式靈活運(yùn)用。

IX

內(nèi)容更刪

課外作業(yè)課本習(xí)題

教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書設(shè)計(jì)

教材分析：《兩個重要極限》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及函數(shù)

極限的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，它是解決極限計(jì)算問題的一個有效工

具，也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個工具，所以兩個重要極限是后繼學(xué)習(xí)

的重要基礎(chǔ)。

學(xué)情分析：一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，會用

因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計(jì)算“2型”函數(shù)的極

0

限，具備了接受新知識的基礎(chǔ)；另一方面.，學(xué)生理性思維能力相對較弱，對函數(shù)

極限概念的理解還比較淺顯，運(yùn)用極限思維解決問題的能力有限。

教學(xué)方法：本節(jié)課采用實(shí)驗(yàn)法、討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。通過復(fù)習(xí)函數(shù)

極限的定義以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，強(qiáng)化學(xué)生對極限概念的

理解和運(yùn)算能力。在公式的引入上通過設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、討論、猜想，并借助

多媒體動畫幫助學(xué)生理解結(jié)論，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問題的意識，提

高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對于公式的證明，所涉及的內(nèi)容比較多，邏輯性較強(qiáng)，在老

師的引導(dǎo)下了解論證過程。在公式的運(yùn)用上按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)梯度、降

低難度，留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨(dú)立思考和相互

交流相結(jié)合的形式，在教師的指導(dǎo)卜.分析和解決問題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟

教師活動學(xué)生活動

一、問題的提出利用幾何畫板

復(fù)習(xí)導(dǎo)入“苧型”極限的計(jì)算方法，到目前為止，我們事先制作課件，

拖動動點(diǎn)，讓學(xué)

學(xué)過囚式分解約去非零囚子，有理化分子或分母

這兩種方法。是不是所有的“。型”都可以用這兩生觀察比值的

0變化，驗(yàn)證猜

種方法解決呢？

想。體會數(shù)形結(jié)

問題：如何求hm皿？

合思想的作用

10X

(學(xué)生使用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)驗(yàn))

教師講授證明

二、動態(tài)演示，驗(yàn)證猜想過程，學(xué)生理解

作單位圓O,設(shè)乙408=x,(()<x<^),則弧48=x,檄^嬸公式

特征。

于C,則8C=sinx,拖動點(diǎn)8,改變x的大小，

觀察吧值的變化趨勢。

X

得出結(jié)論：limg=l

?I。X

三、證明猜想

過程見課本4一招2

教師引導(dǎo)鼓勵

強(qiáng)調(diào)：①極限中函數(shù)也的分子分母都是當(dāng)

X學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)。

Xf()時的無窮小。第(1)小題學(xué)

②這里的自變量X是用弧度度量的，生獨(dú)立思考，第

以后引用這個極限時必須用弧度作單位。(2)小題教師

③在利用這個極限求較復(fù)雜函數(shù)的極引導(dǎo)并板書。

限時，必須注意所有含有自變量的表達(dá)形式

新課講授

應(yīng)一致。

@lim—^―=1師生回顧歸納

J。sinx

交流解題經(jīng)驗(yàn)

四、公式的應(yīng)用

例1：求⑴lim2吧(2)

io3x

tanx

hm----

xX

解：⑴

..sin.r,1sinx,1sinx1,1

inn----=lim(-------)=-lim----=--1=-綜合運(yùn)用，提高

s。3xf3x33刀33

分析、解決問題

(2)

tanx...sinx1sinx..1的能力

hm----=lim(----------)=lun-----lun-----

x->0xXT)xcosxx->°xcosx

=1x1=1

回顧反思：1、求此類函數(shù)的極限其關(guān)鍵是把此函

數(shù)轉(zhuǎn)化為皿與另一個函數(shù)的乘積，若另一個函

X

數(shù)的極限可求，則可求出此函數(shù)的極限。

學(xué)生練習(xí)：課堂練習(xí)

1.正確、靈活地運(yùn)用公式lim包廿=1。

3。X

例題講解2.當(dāng)x—>0時，x、sinx、tanx為等價無窮小。

3.運(yùn)用換元法時須注意自變量的變化趨勢的改

變和系數(shù)的變化。

學(xué)生練習(xí)4.利用此公式求極限時，一定要注意變量的變化

趨勢，不能一概而論，造成思維定勢，如求

sinx八

hm----=()。

X—X

小結(jié)

教案

授課日期授課班級

授課課時授課形式新授

授課章節(jié)

22.2函數(shù)的極限2-兩個重要極限(2)

名稱

使用教具多媒體

知識與技能：讓學(xué)生了解公式lim包竺=1的證明過程，正確理解

XTOx

公式，知道公式應(yīng)用的條件，熟練運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)

極限的計(jì)算。

過程與方法：通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、分析討論

教學(xué)目的和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、舉一反三的能力，進(jìn)一步認(rèn)識換元法、

轉(zhuǎn)化思想、數(shù)型結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。

情感態(tài)度與價值觀：通過對這一重要極限公式的研究，進(jìn)一步認(rèn)

識數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于

總結(jié)的良好思維品質(zhì)。

正確理解公式1加他竺=1,并能運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極

教學(xué)重點(diǎn)3X

限的計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)公式］=l的證明、公式及其變形式靈活運(yùn)用。

IX

內(nèi)容更刪

課外作業(yè)課本習(xí)題

教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書設(shè)計(jì)

教材分析：《兩個重要極限》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及函數(shù)

極限的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，它是解決極限計(jì)算問題的一個有效工

具，也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個工具，所以兩個重要極限是后繼學(xué)習(xí)

的重要基礎(chǔ)。

學(xué)情分析：一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，會用

因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計(jì)算“2型”函數(shù)的極

0

限，具備了接受新知識的基礎(chǔ)；另一方面.，學(xué)生理性思維能力相對較弱，對函數(shù)

極限概念的理解還比較淺顯，運(yùn)用極限思維解決問題的能力有限。

教學(xué)方法：本節(jié)課采用實(shí)驗(yàn)法、討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。通過復(fù)習(xí)函數(shù)

極限的定義以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，強(qiáng)化學(xué)生對極限概念的

理解和運(yùn)算能力。在公式的引入上通過設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、討論、猜想，并借助

多媒體動畫幫助學(xué)生理解結(jié)論，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問題的意識，提

高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對于公式的證明，所涉及的內(nèi)容比較多，邏輯性較強(qiáng)，在老

師的引導(dǎo)下了解論證過程。在公式的運(yùn)用上按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)梯度、降

低難度，留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨(dú)立思考和相互

交流相結(jié)合的形式，在教師的指導(dǎo)卜.分析和解決問題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟

教師活動學(xué)生活動

四、公式的應(yīng)用設(shè)疑激趣

復(fù)習(xí)導(dǎo)入例2：求⑴lim亞衛(wèi)分組討論

X

r、..tan3x教師視情況引

(2)lim-----

sosin2x導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)

解：⑴lim列巫=lim(二'孽”3..sin3x.

hm-----=3

XTOxx->0算器代入進(jìn)行

新課講授3XT。3X

小rtan3x..'3tan3x2x、近似計(jì)算，并猜

(2)hm-----=lim

^-*°sin2xI。<23xsin2x>想。

3..tan3x2x

=-?lim------hm------

23D3X2Dsin2x

利用幾何畫板

=3

~2

事先制作課件，

回顧反思：1、此例用到了變量替換（換元），變

拖動動點(diǎn)，讓學(xué)

例題講解量替換后一定要注意變量的變化趨勢可能會發(fā)生

生觀察比值的

變化。

變化，驗(yàn)證猜

2、函數(shù)變形后要注意系數(shù)的變化，防止計(jì)算錯誤。

想。體會數(shù)形結(jié)

3、一般地1加隨竺=a..【anora

—,hm-=

7，合思想的作用

5bxb10bx

..tanaxa

11111——o

sinbxb教師講授證明

/r.lQ-p.].]一COSX

例3:求hm--------過程，學(xué)生理解

ioX

識記，記住公式

f2

?入

.2sin2—[sm-

An..1-COSX..21r特征。

解：hm---；——=lim----=—hm_2

D￡XTO廠2,oX~2

2

k27

學(xué)生練習(xí)回顧反思：利用公式lim任=1求函數(shù)極限，

有時不僅要進(jìn)行變量替換，還要利用三角函數(shù)公

式進(jìn)行變形。

學(xué)生練習(xí)：課堂練習(xí)教師引導(dǎo)鼓勵

4.正確、靈活地運(yùn)用公式lim2=1。學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)。

XTOX

小結(jié)第（1）小題學(xué)

5.當(dāng)x—＞。時，x、sinx、tanx為等價無窮小。

生獨(dú)立思考，第

6.運(yùn)用換元法時須注意自變量的變化趨勢的改

（2）小題教師

變和系數(shù)的變化。

引導(dǎo)并板書。

5.利用此公式求極限時，一定要注意變量的變化

趨勢，不能一概而論，造成思維定勢，如求

sinx八

hm------=（）。

學(xué)生嘗試，教師

引導(dǎo)。體會換元

法、轉(zhuǎn)化思想在

數(shù)學(xué)解題中的

重要作用。

師生回顧歸納

交流解題經(jīng)驗(yàn)

綜合運(yùn)用，提高

分析、解決問題

的能力

教案

授課日期授課班級

授課課時授課形式新授

授課章節(jié)

22.2函數(shù)的極限2-兩個重要極限(3)

名稱

使用教具多媒體

1、了解無論窮小量與無窮大量的關(guān)系，掌握無窮小量與無窮大量的比較方法；

教學(xué)目的2、正確理解函數(shù)的兩個重要極限，并會用兩個重要極限求函數(shù)的極限。

3、會利用無窮小(大)量、重要極限求未定式極限

教學(xué)重點(diǎn)無窮小量與無窮大量的比較方法，函數(shù)的兩個重要極限，常見未定式極限。

教學(xué)難點(diǎn)無窮小量與無窮大量的比較方法，運(yùn)用函數(shù)的兩個重要極限，常見未定式極限；

內(nèi)容更刪

課外作業(yè)課本習(xí)題

教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書設(shè)計(jì)

教材分析：《兩個重要極限》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及函數(shù)

極限的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，它是解決極限計(jì)算問題的一個有效工

具，也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個工具，所以兩個重要極限是后繼學(xué)習(xí)

的重要基礎(chǔ)。

學(xué)情分析：一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，會用

因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計(jì)算“2型”函數(shù)的極

0

限，具備了接受新知識的基礎(chǔ)；另一方面.，學(xué)生理性思維能力相對較弱，對函數(shù)

極限概念的理解還比較淺顯，運(yùn)用極限思維解決問題的能力有限。

教學(xué)方法：本節(jié)課采用實(shí)驗(yàn)法、討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。通過復(fù)習(xí)函數(shù)

極限的定義以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，強(qiáng)化學(xué)生對極限概念的

理解和運(yùn)算能力。在公式的引入上通過設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、討論、猜想，并借助

多媒體動畫幫助學(xué)生理解結(jié)論，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問題的意識，提

高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對于公式的證明，所涉及的內(nèi)容比較多，邏輯性較強(qiáng)，在老

師的引導(dǎo)下了解論證過程。在公式的運(yùn)用上按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)梯度、降

低難度，留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨(dú)立思考和相互

交流相結(jié)合的形式，在教師的指導(dǎo)卜.分析和解決問題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟

教師活動學(xué)生活動

一、復(fù)習(xí)基本知識——無窮小與無窮大（課件展示）教師引導(dǎo)，學(xué)生

、無窮小量的概念：

復(fù)習(xí)導(dǎo)入1回憶口述，為了

2、無窮小量的性質(zhì)：

解公式的證明、

3、無窮大量的概念。

二、講授新課正確計(jì)算有關(guān)

1、無窮小量與無窮大量的關(guān)系（作圖說明）函數(shù)極限作鋪

結(jié)論：在自變量的同一變化過程中（注意：在極限

墊,達(dá)到溫故知

符號中省略了自變量的變化趨勢），設(shè)若

新的目的。

limf(x)=oo,則lim―—=0，反之，若limf(x)=0,則

/(x)

1

hin-------=oo。

/(-V)學(xué)生分組鞏固

老師利用板竹通過例題對上述結(jié)論做進(jìn)?步的講練習(xí)

解，使學(xué)生對無窮小與無窮大的關(guān)系有進(jìn)一步的理解。

2、無窮小量與無窮大量的比較

結(jié)論：（1）高階無窮??；設(shè)疑激趣

（2；低階無窮小；分組討論

⑶同階無窮?。?/p>

教師視情況引

通過給出為例題對無窮小與無窮大的比較仔細(xì)講

解，使學(xué)生正確理解并會利用。導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)

算器代入進(jìn)行

定理?如果當(dāng)xt.r(>時，a(x)-a(x),//(x)~/?(x),

且|im駟存在，則|所姻也存在，且近似計(jì)算，并猜

XT.5a(x).r->x<7(x)

0想。

伙X)..

rlim———=lim=-o

a(x).v-?.v0a(x)

說明：求兩個無窮小之比時，分子、分母均可用等利用幾何畫板

價無窮小替代。

新課講授事先制作課件，

注意：常見的等價無窮小，當(dāng)x-0時，有

拖動動點(diǎn)，讓學(xué)

12r

sinx~x,tanx-x?1-cosx—x?e-x,

2生觀察比值的

ln(l+x)~x等。

變化，驗(yàn)證猜

強(qiáng)調(diào):等價無窮小中的X,可用含有X的表達(dá)式代替O

想。體會數(shù)形結(jié)

合思想的作用

3、兩個重要極限(列表說明)(熟記)

/I、..sinx.

(1)hm---=1

A->0X教師講授證明

過程，學(xué)生理解

(2)limfI+—1=e

XToc'x)識記，記住公式

4、未定式極限(略)特征。

三、課堂演練

例題講解

例1求iin—。

.1X-1學(xué)生嘗試，教師

例2利用等價無窮小代換定理求下列函數(shù)的極限：

引導(dǎo)。體會換元

..sin4.v/汽、..tanjv-sinx

(1)hm-----；(2)lim-----------o

2法、轉(zhuǎn)化思想在

i：an2xx->0a-sjnA-

數(shù)學(xué)解題中的

例3計(jì)算lim亞久0例4計(jì)算

x->0x重要作用。

..1-cosx

lim——--o

x->0x2

例5計(jì)算。例6計(jì)算

JX)

師生回顧歸納

r仆"1儼)

lim----o

A—>oo^X+2)交流解題經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生練習(xí)四、課堂小結(jié)(提問回答)

1、無窮小