2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2.圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為31C.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差D.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為293．正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A． B． C． D．4．已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．向量是空間的一個(gè)單位正交基底，向量在基底，，下的坐標(biāo)為，則在基底的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6.某商場(chǎng)開(kāi)展20周年店慶購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)（100%中獎(jiǎng)），凡購(gòu)物滿500元的顧客均可參加該活動(dòng)，活動(dòng)方式是在電腦上設(shè)置一個(gè)包含1，2，3，4，5，6的6個(gè)數(shù)字編號(hào)的滾動(dòng)盤，隨機(jī)按下啟動(dòng)鍵后，滾動(dòng)盤上的數(shù)字開(kāi)始滾動(dòng)，當(dāng)停止時(shí)滾動(dòng)盤上出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字，若該數(shù)字是大于5的數(shù)，則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為150元；若該數(shù)字是小于4的奇數(shù)，則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為100元；若該數(shù)字出現(xiàn)其它情況，則獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為50元.現(xiàn)某顧客依次操作兩次，則該顧客獎(jiǎng)金之和為200元的概率為（）A. B. C. D.7.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A．8π B．16π C．26π D．32π二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法不正確的是（）A．任意一條直線都有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D．與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或10.一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和小于5”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于2”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對(duì)立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件是互斥事件11.如圖，在直三棱柱中，已知為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱分別交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．線段長(zhǎng)度的取值范圍是C．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，截面的周長(zhǎng)為D．存在點(diǎn)，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平行六面體中，，，，則．13.已知，，三點(diǎn)，則到直線的距離為.14.如圖，已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心.過(guò)點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn).設(shè)，，且設(shè)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，設(shè)，記，則的值域?yàn)開(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部啟動(dòng)了“強(qiáng)基計(jì)劃”的招生改革工作.某校強(qiáng)基招生面試有兩道題，兩道題都答對(duì)者才能通過(guò)強(qiáng)基招生面試.假設(shè)兩題作答相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲?乙?丙三名學(xué)生通過(guò)考核進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，他們答對(duì)第一題的概率分別是，答對(duì)第二題的概率分別是.(1)求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率；(2)求甲?乙?丙三人中至少有一人通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率.16.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．對(duì)800名參加競(jìng)賽選拔學(xué)生的成績(jī)作統(tǒng)計(jì)（），將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為50,60，60,70，，80,90，90,100，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這800名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人.若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為78分和，第三組的學(xué)生實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為72分和1，求第四組80,90的學(xué)生實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)與方差.19．在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；（3）（i）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合.記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.數(shù)學(xué)答案9.ABC10.ACDABCC9.ABC10.D11.AC12.213.14.15．(1)(2)【詳解】（1）甲通過(guò)考核進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，答對(duì)第一題的概率分別是，答對(duì)第二題的概率分別是，甲考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率為.乙考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率為，甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率為：.（2）丙考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率為，甲?乙?丙三人中至少有一人通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率為.16.（1）（2）【小問(wèn)1詳解】因，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)椋瑒t，可得，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)?，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.17.(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，且，所以平?（2）因?yàn)?，由?）知四邊形為矩形，則，又平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，取平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以.，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)眾數(shù)為；平均數(shù)為(2)平均數(shù)為；方差為【詳解】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)的定義，可得這800名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為，這800名學(xué)生成績(jī)的的平均數(shù)為：（分）.（2）解：根據(jù)題意，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，各段抽取的人生分別為：12人，16人，6人，4人和2人，其中分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生為10人，分別為，其中平均成績(jī)與方差分別為，則，設(shè)第三組學(xué)生實(shí)際成績(jī)分別為，其平均數(shù)和方差為，則，設(shè)第四組學(xué)生實(shí)際成績(jī)分別為，其平均數(shù)和方差為，由，可得，由，可得，解得，所以第四組的學(xué)生實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)為與方差為.19.（1）（2）（3）（i）；（ii）（1）由題可知，直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則有，所以，直線與平面所成角的余弦值為.（2）由題可知平面的法向量為，且過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）（i）建