不等式及其解集教案+2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級下冊

.1.1不等式及其解集【素養(yǎng)目標(biāo)】1.理解不等式的概念，理解不等式的解與解集的意義，知道它們的區(qū)別與聯(lián)系.2.經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)生活中不等關(guān)系的探究過程，體會建模思想.3.會用數(shù)軸表示簡單不等式的解集，滲透數(shù)形結(jié)合思想.【教學(xué)重點(diǎn)】正確理解不等式、不等式的解與解集的意義，把不等式的解集正確地表示在數(shù)軸上.【教學(xué)難點(diǎn)】理解不等式解集的意義以及在數(shù)軸上正確表示不等式的解集.【教學(xué)過程】活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，新知導(dǎo)入[設(shè)計(jì)意圖]通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，從“等”過渡到“不等”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引入新課.我們學(xué)過等式，知道利用等式可以解決許多問題.同時(shí)，我們也知道在現(xiàn)實(shí)生活中還存在許多不等關(guān)系，利用不等關(guān)系同樣可以解決實(shí)際問題.(1)猜大小.同學(xué)們知道圖①中的兩個(gè)蘋果誰的體積比較大嗎？左邊的蘋果的體積比較大.(2)猜體重.同學(xué)們知道圖②中的小明和小穎誰的體重比較大嗎？小明的體重比較大.[教學(xué)建議]利用學(xué)生感興趣的圖片、游戲，使學(xué)生體會到在現(xiàn)實(shí)生活中存在著許多不等關(guān)系，比如身高、體重、分?jǐn)?shù)等，從而引入不等式的概念.活動(dòng)二：問題引入，探究新知[設(shè)計(jì)意圖]通過問題引入不等式的概念，使學(xué)生體會不等式是表示不等關(guān)系的式子，并能根據(jù)問題描述列出簡單的不等式.探究點(diǎn)1不等式的概念與列不等式閱讀教材P121至例1之前，想一想：(1)對于課本中的“問題”，若設(shè)車速為xkm/h，則：①從時(shí)間的角度看，因?yàn)闀r(shí)間＝路程速度，所以不等關(guān)系可以表示為210x＜2.②從路程的角度看，因?yàn)槁烦蹋綍r(shí)間×速度，所以不等關(guān)系可以表示為2x＞210.(2)像①②這樣用符號“＜”或“＞”表示不等關(guān)系的式子，叫作不等式.像a＋2≠a－2這樣用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.“≠”是不等于號，讀作“不等于”，它表示兩個(gè)量不相等(填“相等”或“不相等”).表示不等關(guān)系的“＞”“＜”“≠”都是不等號.我們常用不等式來表示不等關(guān)系.(3)在下列所給式子：①a＋3≠1；②12x＞2；③3＜5；④3x＋1；⑤－2＞－1；⑥1x＜－1；⑦a＋b＝b＋a中，屬于不等式的有①②③⑤⑥.例1(教材P121例1)用不等式表示下列不等關(guān)系：(1)a與15的和大于27；(2)b的一半與3的差是負(fù)數(shù)；(3)某縣在鄉(xiāng)村振興項(xiàng)目的援助下，共種植1333hm2獼猴桃，種植面積超過全縣原有獼猴桃種植面積的18倍.解：(1)a＋15>27；(2)b2－3＜0；(3)設(shè)這個(gè)縣原有獼猴桃種植面積為xhm2，那么1333>18x，也可以表示為18x＜1333.[對應(yīng)訓(xùn)練]1.如圖，身高為xcm的1號同學(xué)與身高為ycm的2號同學(xué)站在一起時(shí)，如果用一個(gè)不等式來表示他們的身高關(guān)系，那么這個(gè)式子可以表示成x＜y.(填“＞”“＜”或“＝”)2.教材P123練習(xí)第1題.[教學(xué)建議]教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，從實(shí)際問題出發(fā)，得出不等式的概念，再以實(shí)際問題為歸宿，讓學(xué)生學(xué)會列簡單的不等式.注意強(qiáng)調(diào)：判斷一個(gè)式子是不是不等式，關(guān)鍵看是否含表示不等關(guān)系的符號，與式子的正確性，是不是整式，或者是否含未知數(shù)都無關(guān).[設(shè)計(jì)意圖]通過列舉滿足實(shí)際問題條件的數(shù)值使學(xué)生感受不等式的解的概念.探究點(diǎn)2不等式的解閱讀教材P121例1之后至P122探究之前，想一想：(1)要使汽車在8：00之前駛過A地，車速可以是110km/h嗎？107km/h呢？105km/h呢？90km/h呢？車速可以是110km/h或107km/h，不能是105km/h或90km/h.(2)請你類比方程的解的概念，歸納一下何謂不等式的解.使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解.(3)根據(jù)你歸納的不等式的解的概念，判斷一下(1)中給出的數(shù)哪些是不等式2x＞210的解，哪些不是.110，107是不等式2x＞210的解，105，90不是不等式20x＞210的解.[對應(yīng)訓(xùn)練]1.下列不是不等式5x－3＜6的解的是（B）A.1B.2C.－1D.－22.教材P123練習(xí)第2題.[教學(xué)建議]教師引導(dǎo)學(xué)生類比方程的解的概念，確定不等式的解的概念，讓學(xué)生充分發(fā)表意見，并通過計(jì)算、動(dòng)手驗(yàn)證、動(dòng)腦思考加深理解.提醒學(xué)生注意：①驗(yàn)證不等式的解時(shí)，將其代入看不等式是否成立即可判斷；②有時(shí)候題目討論的是不等式的特殊解，如整數(shù)解等.[設(shè)計(jì)意圖]引入不等式的解集和解不等式的概念，探究在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.探究點(diǎn)3不等式的解集閱讀教材P122探究至本頁末尾，想一想：(1)再取x的一些值試一試：95，100，104，106，108，109，哪些是不等式2x＞210的解？觀察不等式2x＞210的解，它們都滿足什么條件？106，108，109是不等式2x＞210的解.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＞105時(shí)，不等式2x＞210總成立；而當(dāng)x＜105或x＝105時(shí)，不等式2x＞210不成立.這就是說，任何一個(gè)大于105的數(shù)都是不等式2x＞210的解，這樣的解有無數(shù)個(gè)；任何一個(gè)小于或等于105的數(shù)都不是不等式2x＞210的解.(2)什么叫作不等式的解集？它與不等式的解有何區(qū)別與聯(lián)系？什么叫作解不等式？一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系如下表：區(qū)別 不等式的解集是能使不等式成立的所有未知數(shù)的值的集合，不等式的解是能使不等式成立的未知數(shù)的值聯(lián)系 解集包含所有的解，所有的解組成解集求不等式的解集的過程叫作解不等式.(3)不等式的解集有哪幾種情況？在數(shù)軸上如何表示？空心圓圈表示什么意思？畫線方向怎樣確定？不等式的解集有以下四種情況，在數(shù)軸上的表示如下(a＞0)：不等式的解集 x＞a x＞－a x＜a x＜－a用數(shù)軸表示 在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，先畫數(shù)軸，再尋找臨界點(diǎn)，最后畫方向線.空心圓圈表示解集不包含這一臨界點(diǎn).畫線時(shí)，大于臨界點(diǎn)向右畫，小于臨界點(diǎn)向左畫，且要與數(shù)軸平行.(4)根據(jù)以上探究總結(jié)一下，要使汽車在8：00之前駛過A地，對于車速有什么要求？不等式2x＞210的解集是什么？表示在數(shù)軸上是怎樣的？由教材P121給出的不等式①能得出這個(gè)結(jié)果嗎？車速必須大于105km/h.不等式的解集是x＞105.表示在數(shù)軸上如圖所示.由教材P121給出的不等式①能得出這個(gè)結(jié)果.[對應(yīng)訓(xùn)練]1.下列說法中，錯(cuò)誤的是(B)A.不等式x＜5的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)B.不等式x＞－5的負(fù)數(shù)解有有限個(gè)C.不等式x＋4＞0的解集是x＞－4D.－40是不等式2x＜－8的一個(gè)解2.教材P123練習(xí)第3題.拓展設(shè)問：把上題中得到的各解集分別表示在數(shù)軸上.解：(1)x＞3；(2)x＜4；(3)x＞2.解集在數(shù)軸上的表示如圖所示.[教學(xué)建議]通過大量列舉不等式的解引導(dǎo)學(xué)生歸納得出不等式的解集的概念.教學(xué)過程中不僅要考慮到數(shù)學(xué)概念本身的特點(diǎn)，更要注意遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律，努力為學(xué)生創(chuàng)造自主探究、合作交流的空間.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)用數(shù)軸表示不等式的解集，以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識.有時(shí)候在數(shù)軸上表示不等式的解集會遇到是否包含臨界點(diǎn)這一問題，可以跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)包含時(shí)則畫成實(shí)心圓點(diǎn)，表示“≥”或“≤”，這在下一課時(shí)將會學(xué)到.活動(dòng)三：難點(diǎn)突破，提升探究[設(shè)計(jì)意圖]強(qiáng)化根據(jù)實(shí)際問題中的不等關(guān)系列不等式的能力，理解不等式的特殊解的意義.例2如圖，小明和爸爸媽媽玩蹺蹺板游戲，如果爸爸的體重是72kg，小明的體重是媽媽體重的一半，媽媽手中的啞鈴重6kg.(1)設(shè)媽媽的體重為xkg，請你根據(jù)圖中的不等關(guān)系列式.(2)媽媽的體重可以是40kg嗎？45kg呢？50kg呢？解：(1)x＋x2＋6＞72.(2)把x＝40，45，50分別代入(1)中的不等式，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝40時(shí)，不等式不成立；當(dāng)x＝45或50時(shí)，不等式成立.所以媽媽的體重不可以是40kg，可以是45kg或50kg.[對應(yīng)訓(xùn)練]某校要購買一批羽毛球拍和羽毛球，現(xiàn)有經(jīng)費(fèi)700元，已知一副羽毛球拍的價(jià)格為150元，一筒羽毛球的價(jià)格為30元，該校計(jì)劃購買羽毛球拍4副，且購買后經(jīng)費(fèi)要有剩余.(1)若購買羽毛球x筒，請根據(jù)以上描述列出數(shù)學(xué)關(guān)系式；(2)該校計(jì)劃至少購買一筒羽毛球，有幾種購買方案？解：(1)150×4＋30x＜700.(2)當(dāng)x＝1，2，3時(shí)，分別代入不等式，不等式成立；當(dāng)x＝4時(shí)，代入不等式，不等式不成立.所以有3種購買方案.[教學(xué)建議]學(xué)生分組討論交流，教師指定學(xué)生代表作答，并對學(xué)生的作答予以指導(dǎo)和訂正，使學(xué)生經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)生活中不等關(guān)系的探究過程，體會建立不等模型的思想，并能根據(jù)題目中的限制條件，求出