積分表147個公式的推導(dǎo)(修正版)

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

目錄

（一）含有ox+b的積分（1~9）....................................................................................................................1

（二）含有dax+b的積分（10-18）.........................................................................................................5

（三）含有，土/的積分（必21）............................................................................................................9

（四）含有?±b（a>0）的積分（22-28）.............................................................................................11

2

（五）含有ax+bx+c（a>0）的積分（29-30）...................................................................................14

（六）含有JF+M（々>0）的積分（31-44）....................................................................................15

（七）含有J——/（々>0）的積分（45-58）.....................................................................................24

（八）含有J/r2g>0）的積分（59-72）.....................................................................................37

2

（九）含有血a+bx+c（a>0）的積分（73-78）............................................................................48

（十）含有J土"一儀或J（xa）（b豆的積分（79-82）.........................................................51

（十一）含有三角函數(shù)的積分（83~112）..........................................................................................55

（十二）含有反三角函數(shù)的積分（其中〃>0）（113-121）.................................................68

（十三）含有指數(shù)函數(shù)的積分（122-131）......................................................................................73

（十四）含有對數(shù)函數(shù)的積分（132?136）........................................................................................78

（十五）含有雙曲函數(shù)的積分（137-141）......................................................................................80

（十六）定積分（142-147）..............................................................................................................................81

附錄：常數(shù)和基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式85

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

（一）含有ox+b的積分（1~9）

1.[=—'ln\ax+b\+C

Jax-^-ba

證明:被積函數(shù)/(x)=—!—的定義域為

ax+ba

令ax+b=t。00),則力=adx,dx=—dt

a

dx1rl.

-------=-\-dt

ax+baJt

=-ln|t\+C

將f=ar+b代入上式得：j—=—ln\ax+b\+C

Jax-^ba

2.[{ax+bYdx=--------(ar+b),i+i+C

」a(〃+1)

證明：令ar+b=，，則力=adx，.tdx=—dt

a

^(ax-\-bydx=—^t(tdt

1

"7+C

。(〃+1)

將/=or+b代入上式得j(ax+b)"dx=—/—―(ax+b)""+C

3.dx=-^-(ax+b-b-ln\ax+b|)+C

Jax+b

證明：被積函數(shù)/"）=X的定義域如|xw-2}

ax+ha

令ax+b=tQ工0),則x-b),dx--di

a

\^—dx=

Jax+b

=*一尚?力川+c

aa

=-y(r-b-In|r|)+C

將/=OA+。代入上式得孑一dx——b—b'In|UA+b|)+C

-I-

4.f-------dx=--—(6L￥+6)2—2b(6LX+b)+力~,InIcix+bI+C

Jax+bQ312

證明：j-^—dx=[("'+")一2〃以一”一)dx

Jax+ba~Jax+b

=；J(奴+b)dx--\\2abXdx--yfbdx

aJaJax+baJax+b

1(ox+b)dx=—!-r(ax+A)?+C[

a~J2a

2abx.2brax-￥b-b...

———ax=—r-----------a(ax)

ax+ba'Jax+b

-------d{ax+b)

序Ji笠Jax+b

=ax+b\+C2

二f———dx=(f-一d(ax+b)=^-rln\ax+b\+C,

a2)ax+ba3]ax+ba3113

1

由以上各式整理得:-^-rdx=——((7X+Z?)2-2b(ax+b)+b2-ln\ax+b\+C

ax+b

_rdx1,ax+b-

5.---------------------In----------bC

Jx{ax+b)bx

證明：被積函數(shù)〃x)=——?——的定義域為

x?(ar+b)a

IAB

設(shè)---------=一+------，則1=A(a￥+Z?)+BX=(Aa+B)x+Ab

x-(ax+b)xax+b

[A=1

七A〃+3=0A八b

...有<=>

Ab=1_a

'D=---

b

于是(一——=f[------------------yix=-\-dx--\—^—dx

Jx(ax+h)Jbxb(ax+b)b:xb」ax+b

=—ln\x\---ln\ax+b\+C

1,x〃

=-?In-------+C

bax+b攝示nogab'=-log“b

1.ax+b_

=-----In--------+C

bx

-2-

積分表147個公式的推導(dǎo)(修正版)

,rdx1a,ax+b

6.-----------=--+—?//?--------+C

Jx(ax+b)bxb~x

證明：被積函數(shù)==~5-------的定義域為{x|xw-4

x\ax+b)a

i殳--------=---1-4---------,則1—Ax(67X+Z?)+B(QX+分)+Cx~

x\ax+b)xxax+b

即/(加+C)+x(Ab++Bb=1

A=—

Aa-^-C-0b

有《Ab+aB=0B=-

b

Bh=\

c專

工包I*dx?rl.Ifl,1,

于是—：-----------=——r—+--dx-￥—\--------dx

Jx2(ax+b)ZrJxZ?Jx-b~Jax+b

個"3一萬寂甸""+"+c

1a.ax+b-

=-----+-In--------+C

bxb~x

7.f-----dx=-^r\ln\ax+b\A--------j+C

J(ax+b)2/(I?以+b)

jrb

證明：被積函數(shù)"X)=——---的定義域為國工工-3

(ax+b)a

xAR

設(shè)--------=-----+--------則x=A(ax+b)+B

(ax+b)ax+b(ax+b)

即xAa+(Ah+B)=x

[A=-

.??有*(A=1n°

Ab+B=^b

nD=----

a

于是f----------dx=—[―--dx--[---------T-dx

J(ax+b)aJor+baJ{ax+b)

1r1,、br1..,、

~I-------d(fzax+b)-I----------d(cix+b)

a2Jax+ba2(ax+b)2

=~,biax+Z?H—----------FC

a211a2(ax+b)

=-vfln\ax+b\+---1+C

11ax+b)

-3-

2?/2、

8.[——-——-dx=—ax+b-2bln\ax-\-bI---------+C

J(ax+b)2a3[?1ax+b)

證明：被積函數(shù)/，的定義域為[幻不工-h二｝

(ax+b)a

令ax+h=t(，工0),則x=—(，-Z?),必:=，dt

aa

x1_(b-t)2_〃+/一2初

"(ar+?2-二^--~a￥~

222

f%2cb+t-2bt.br1.1f,2bfl」

JI---------2rdx=I--------3--2-----dt=--I—dtT--dtI-dt

(ax+b)Jat/J產(chǎn)/Ja3jz

b21處，??「

=———+—r——--ln\t\+C

ataa

=-^-(t-2hln\t\-y)+C

=or+Z?代入上式得―^--7dx=^-fb-2bln\ax+b\-b2

+C

ax+b

rdx11.,ax+b,「

------------r=-------------------rlnI--------1+C

JA((2X+b)b(ax+b)bx

證明：被積函數(shù)〃x)=——!—的定義域為｛x|xw-勺

%(or+bya

11ABD

1又：-------------Z-=1-----------------1-----------------5

x(ax+b)xax+b(ox+b)

則1=A(ax+b)2+Bx(ax+b)+Dx

=Aa2x2+Ab2+2Aabx+Bax2+Bbx+Dx

=x2(Aa2+Ra)+x(2AabA-Rh+D)+Ah2

A=

Aa2+Ba=0V

/.有\(zhòng)2Aaln-Bb+D=0n<

Ab2=1

D=~l

于是=J_f_L_^

Jx｛ax+b)Z?~Jxb~ax+bb，(ax+b)-

=TV,/〃|x|-7V-ln\ax+b|+?——+C

bb~bax+b

11..ax+b.「

=-------------?/川--------|+C

b(ax+b)bx

-4-

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（二）含有dax+b的積分（10~18）

_____2/

10.j>lax+bdr=—?-J(ar+Z?)3+C

證明:JJor+Z?=—j(ax+b)2d(ax+b)=——^—^(ax+b)2+C

l+2

=—,《(ax+b)?+C

3a

11.jxylax+bdx=]52?(3"-2b)?Jiax+b)3+C

證.明：令」ax+b=t(fNO),則x=-----,dx=-dt,xy/ax+b=------

aaa

jxy/ax+bdx=^~-----t-dt=-bt2)dt

-^-(3t2-5b)+C

15/

將”《ax+b代入上式得，娛ax+bdx=----7[3(ar+b)-5b]-yj(ax+b)3+C

15。

----7?(3ax-2b)?J(ax+b)3+C

15〃

0_____________

12.jx2y/ax+bdx=1os3?(15a2x2-I2abx+8b2)?<(ax+Z?)3+C

i-------r_b2t,

證明：令J“x+Z?=f。20),則工=------,dx=—dt,

a

dE=9.t=t5+b2t-2bt3

aa2

二.x24ax+bdx=(t5+b2t-Ibt^ydt

6+12b~1i+24814+ir

=F----H—；---------1—；---------1+c

a31+6a31+2a31+4

2

272b3-215+C

—+—r'f

7/3a35/

=-------(15r4+35Z?2-42br)+C

105/7

將，=Jar+b代入上式得：

22

jxyjax+bdx=§.J(ar+')3[]5〃2彳2+15從+2>Oabx-\-35b-42Z?-(ax+Z?)]

0________

]()53(⑸?/-\2abx+Sb2)-yl(ax+b)y+C

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

13.f1------dx-——--(ax-2b)-J(ax+b)+C

JJor+b3a2、

i正明：令Jar+b=i(z>0),則x=—-,dx=—dt,

aa

rx.fr2-b2i.

「.[dx=-----------dt

Jylax+b，ata

=4\『dt-4'bdi

aJaJ

21川2b廠

a21+2a2

GOL\

將7=Rax+8代入上式得:[/xjx---?(ax+/?)?y](ax+b)——-?J(ax+b)+C

，Hax+b3〃~a~

2______

=——?(ux—2Z?),J(-+-)+C

20______

14.f/-dx=------(3a2x1-4abx+Sb2)-J(ax+b)+C

Jdax+b15/x

證明：令JQX+b=tQ>0),則工二-——-,dx=—dt,

aa

rx2,f,產(chǎn)一久,12t,

,--------dx=(--------)-------dt

Jy/ax+bJata

^“〃+〃一2初2辿

斕即”

=^-(-r5+Z?2/--r3)+C

a353

二W(3——15從一10。/)+。

\5a

將/=Jar+J代入上式得：

—j.、.dx=―?y](ax+b)?[3(a2%2+Z?2+2abx)+15b2-[Ob'(ax+/?)]??ax+b)+C

y/ax+b15。

2______

=-——y(3a2%2-4abx+8b2)?y/(ax+b)+C

-6-

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

S〉o)

S<0)

證明：令Nax+b=t?>0),則x=^---,dx=—dt,

aa

dxr1It.

i------------=---------------dt

xyjax+bJt-ba

---------I

a

將t=dax+b代入上式得：f產(chǎn)=\ln

+C

Jxy/ax+bVb

r2r1

2.當(dāng)人<0時，]丁二刃=2(:一=-dt

}t1-bJ『+(Q)2

公式19:—：---z-=—arctan—FC

」x+a

2t「aa

=.—?aretan,——+C

yTbyPb

將/=dax+b代入上式得:f—產(chǎn)=3—?arctanJ竺--+C

Jxy/ax+b4-bV-b

1

+CS>0)

dx4byjax+b+y[b

綜合討論1,2得:

xyjax+b2ax+b

—f=?aretan"I?3〉o)

-b

-7-

積分表147個公式的推導(dǎo)(修正版)

dxyjax+b--a-Ir,dx,

x2yjax+bbx2b'xyjax+b

ym、幾1ABylax+b▲_

7正明：7殳—―/=—/+---------,則1=Ax+B(zax+b\

x2-y/ax+bxylax+bx

A4=—a

A+3。=0b

Bb=l

B=-

b

于是J,心1y/ax+b

2dx

Jxylax+bxyjax+bX

=——f-/1dx--fyjax+bd—

b」xVax+bbJx

ar1,Jax+b1r1,/-------

=———,ax------------+—\—dyJax-\-b

b，x」ax+bbxbJx

b」xylax+bbxx2

ar1.Maxtbac1,

——dx------------+——--------dx

bJxyjax+bbx2bJxyiax-vb

yjax+bardx

bx2Z?Jxylax+b

17.「公+3x=2jor+"”產(chǎn)

JxJxy/ax+b

證明：令Jar+力=t(IN0),則x=------,dx=—dt

aa

cy/ax+b,rat2t,_rt2,

二.-------dx=—---------dt=2\———dt

Jxh2-baJt2-b

=2/2-夕+?力=2(d"2"Jdt

Jt2-bJJ產(chǎn)-b

=2t+2b\-^—^dt

???Z?取值為R,符號可正可負「.f」一力不能明確積分

Jt-b

Nax+b,-…r1,

/.---------dx=2t+2b\―：dt

Jxh2-b

=2t+2b\^-^-dx

h2-b2t

axa

JQ=dax+b代入上式得：I*7”心-2J(ax+b)+2b\----------------.dx

JxJax+b-b2y/ax+b

=2y/ax+b+b\一:'x

Jxylax+b

-8-

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

Nax+bth

18.---------ax

Jxxyjax+b

證明j寫〉T疝萬~

y/ax+hr1.I-------

=------------+\—dyiax+b

xJx

=J^+jL(…-山

xx2

y/ax+bardx

---------------1—I—/

x2Jxyjax+b

（三）含有/±〃2的積分（19-21）

rdx1x

19.I__=arctanIC

Jx+aaa

證明：令x=〃?tant(--則公=d(a-tant)=a-sec2tdt

1_dx_1

x1+a:/.(I+tan2t)a2sec2t

cdxfl2i

.------7=—：——廠asectat

Jxz+a2Jasect

=—\dt

aJ

=-?/+C

x=a-tantt=arctan—

a

將，=arctan二代入上式得:f八=—?arctan—+C

aJx+aaa

-9-

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

20[dx=x+2〃-3(-dx

](x2+a2)n2(?-l)a2-(;t2+a2)n-i12(w-l)a2J（一+/尸

證明：f——蟲—=——上

2)M-Xd(x2^a2)n

X-jx-(-n)?(x2+a?)-”7?2xdx

X+2〃J

嚴■dx

222

Xx+a-a

+2〃J-dx

=-2*2〃+2"f—1dx-2na2f—；~1dx

22n

(/+〃27J(x+a)J(/+a2嚴

移項并整理得：（＞2〃）J—午=晨k-2"叫/干

1,1X

___________dx—_______________

(x2+a2y+i~2na2(x2+a2Y(x2+a2)"

令〃+1=〃，則左當(dāng)?[

2(n-\)a2

x2n-3rdx

2(n-1)a2\x2+a2)n-'+2(n-l)-a2J(x2+a2產(chǎn)

21.+C

1

明

=五

——]dx

1x+a

=五

1

=五x-a\--------ln\x+a\+C

1la11

1

x-a

=五

+C

x+a

-10-

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

(四)含有ax^+b[a>0)的積分(22-28)

S>0)

(a>0)

+C(Z?<0)

證明：

3>。)

dx

綜合討論1,2得:J

ax2+b

+CsV0)

23.f-——dx=-lti\ax2+b\+C(a>0)

Jax2^b2a11

ii明：f一f——dx=—f-Y——dx2

Jax22Jax2+h

=—[———diax1+b)

laJax~+b

=-----/H|ax2+/?|+C

-11-

cx2.xbrdx

24.J----dx=------J-—-(za>0)

Jax"+baaJax'+b

證明：f?dx=']?2

Jax+baJax+bb

aJbaJax+b

_xbrdx

aaJax1+b

Vtdx1.x八

25.|--------------=—?In-：------r+C(a>0)

Jx(ar+b)2b\ax"+b

證明：f——"一=J/(/+)產(chǎn)

Jx(ax+b)

=S/(32+))“

1AB

1=1+

x2(ax2+b)x2ax2-\-b

則1=432+勿+8/=x\Aa+B)+Ab

Aa+B=0A-j

『4=4

Ab=1_a

D=-----

1b

a

心=lfrJ___也2

x(ax2+b)2Jbx2b(ax2+b)

a」

=1Ir-71d,x2------I—f--1---dx2

2bJx22b)ax2+b

=——[--rdx2———f——----d(ax2+b)

2/7JX22Z?Jax2+b

=五?歷.卜豆./九辰2+@+c

ax+h\

-12-

積分表147個公式的推導(dǎo)（修正版）

dx1ad2x

26.Jbx'ax+b(。>0)

x2(ax2+b)

\A

證明：設(shè)：————=?+B

x2(ax1+b)x2ax2+b

貝41=A(ax2+Z?)4-Bx2=x2(Aa+B)+Ab

A」

Aa+B=O

有'b

Ab=\

B=--

b

于是]dx

Jbxb{ax2+b)

1

dx--\2dx

b'ax+b

irdx

bxZ?Jax2+b

dxaax1+陷

27.J—+C(a>0)

x3(ax2+Z?)2b22bx2r

dxx

證明：J=Jdx

x3(ax2+b)x4(ax2+b)

dx2

1ABC

設(shè)：1=1+1+1

x4(ax2+b)x2x4ax2+b

貝1=Ax2(ax2+/?)+B{ax2+b)+Cx4

=(A〃+C)/+(Ab+Ba)x2+Bb

Aa+C=O

「?有＜Ab+Ba=O=A=

b2

Bb=\

a2

CF

dx22

于是Jdx+-[^-dx+―dx2

x3(ax2+b)2b)x4ax+b

a1

-In\x2?In[ax1+Z?+C

2bx22h2

ax~2+b

―yin\1+C

2b2x22bx2

-13-

dxX書烝「47巡式的推導(dǎo)（魁：版。）

28.

{ax2+b)22b{ax2+b）2bjax12+b

證明：勿2=」丁￡”募匕11f1,1

+I------d-------

2axax24-bJax~4-b2ax

i______1

dx

2axax匕Tax2+b2ax2

AB

設(shè)：_______________,貝41=A(ax2+b)+2Bax2=(Aa+2Ba)x2+Ab

Zax2{ax2+Z?)-2--a--x-T---a--x-2--+---b-