高等代數考研考研真題北京大學考研真題二

《高等代數》考研2021考研真題北京大學考研真題二

第一部分名?？佳姓骖}

第6章線性空間

一、選擇題

1.下面哪一種變換是線性變換（）.［西北工業(yè)大學研］

1

A.v=k.r+l＞B.'fBdjC，室

【答案】C查看答案

【解析】、,心+，，不一定是線性變換比如V=1則/＜，＞"也不是線性變換比如給人’）八

而"""，一，,'不是惟一的.

2.在n維向量空間取出兩個向量組，它們的秩（）.［西北工業(yè)大學研］

A.必相等B.可能相等亦可能不相等C.不相等

【答案】B查看答案

【解析】比如在R"中選三個向量組

(1):0

（n）；t,（i.o.-,o）

.nlO.I?….0）.

若選（1）（11）,秩（1）」秩（11）,從而否定人，若選（11）（111）,秩（111）=秩（11）,

從而否定C,故選B.

二、填空題

1.若

V—（（?+/?.<-!??/,）|a,/>.r.JfR］

則V對于通常的加法和數乘，在復數域C上是_____維的，而在實數域R上是_____

維的.［中國人民大學研］

【答案】2;4.查看答案

【解析】在復數域上令~一（1.。）."一（0」）；則a-a,是線性無關的.

V8=(arv

則

8=Q+厲+<r+di)a：

此即證3可由ai,a：,線性表出2.

在實數域上，令

自(1.0).艮-=(0.1).A=(0,?)

若

一同+-&—一—+瓦-=0

,其中LCR3=1.2,3Z),則

(ki+?八兒+?儲=(0?0)

:J上=?,=4=。此即昌,/q?6在R上線性關?

YB=(a+加.<?+力)￡丫.0咱I貨+5Td&?3

可由用小&小線性表出，所以在實數域R上,有力"小-4.

三、分析計算題

1.設V是復數域上n維線性空間，V1和V2各為V的ri維和2維子空間，試求v-v之

維數的一切可能值.［南京大學研］

解：取V的一組基g，a，.…，a”,再取VI的一組基以?住?…,①則

匕=L(aitai，…,a")，匕=L(ai.a?，…?*?).

V|+V2=/.(ai?.a,i.3,….許)

;

cJhn(Vt+V?)=秩Si.….a.?，風?….砌

max{ri,r2}^dirn(V［+V2)&，〃，〃(n+r2

2.設U是由

((1.3.2.2.3).(1.4.-3,4.2).(2.3,-1.-2.9)}

生成的K的子空間，W是由

(1.3.0.2.1).(1.5.-6.6,3).(2.5.3.2.1>>

生成的l<的子空間，求

(1)U+W:

(2)LAW的維數與基底.［同濟大學研］

解：(1)令

a-(1.3.2.2.3).0-(1.4.-3.1.2).a.=(2.3.1.2.9).

3t=<l.3.0.2.1).ft-(1.5.-6.6.3>.A-(2.5.3.2.1).

可得

IL(ai?az*a,)~L(aito?).L(.Bi，&，8n)=以Bi，自)

.所以

UIW=L(ai9at?5i).

由于G&,向為a,.M的W的一個極大線性無關組，因此又可得

U+W=L(s.a??3).

Bclim(U十W)-W,故ai，ar?3i為U+W的一組基.

(2)令

qai+公。2+和&+y?a=0?0)

因為秩6，公通通>=3.所以齊次方程組①的基礎解系由一個向量組成：

6=(()?2?一

再令

.0.

￡(a,?a)(]=2a：(2.8?6.8.4)

，則

(/nW=L(e)ndim(ur\w)I.

故《為unw的一組基.

3.設A是數域K上的一個mXn,矩陣，B是一個m維非零列向量.令

W二laeK*|存住ieK,使Aa=tB.

(1)證明：W關于Kn的運算構成Kn的一個子空間；

(2)設線性方程組AX=B的增廣矩陣的秩為r.證明W的維數dimW=n-r+l:

(3)對于非齊次線性方程組

f2xt-x2+X)+3X4=-1

、盯+2xj+3xy-x4=2,

4x,+3x,++7xt+xA=3.

求w的一個基.［華東師范大學研］

證明：(1)顯然,yyta.BeW.k.leK.

因為存在ti,t2使Aa=tiB,Ap=t2B.所以

A(kaIp)=kAaIAp

=kitB+h2B

=+“2)，，

即ka+lp￡W,此說明W是Kn的子空間.

(2)對線性方程組(A,B)Xn+i=O,由題設，其解空間V的維數為(n+1)-r

(A,B)=n-r+1.

任取awW,存在tWK,使

Aa=tB.

所以(二)是線性方程組(A,B)Xn+1=0的解.

這樣，存在w到V的映射，?°?(：)顯然，這是W形至(JV的一個雙射.又Vai,

aaeW,keK,存在ti,t2GK,使Aai=tiB,Aa2=t2B,則

A(a?/)=(/f*/,)B,

所以

(z(a,+a；)=("+%)=(",卜(%)=4r(a,)+cr(a,),

且

tr(A%)=(。；)=卜kor{ct.).

可見W與V同構,從而有dimW=dimV=n-r+1.

(3)由(2)W與如下齊次線性方程組解空間同構.

[2勺-x2+x3+3X4-x5:0,

X|+2X2+3%,-x4+2x$=0,

+3X2+7X3+x4+3X5=0.

該方程組的一個基礎解系為：

f,=(-I.-1.1.0,0)',^=(-1,1,0,1,0)),=(0,-1,0,0,1)),

其在。之下原像

a,=(-1,-l.l.OJ'.a,s(-1,1.0,l)\a,=(0,-1.0.0),

即為W的一組基.

4.設V1,V2均為有限維線性空間V的子空間，且，lim"也)-dm(匕CQ

則和空間

V.+匕與V..V,中-個重介.

匕n「與另一個重合.［上海交通大學研］

證明：因為匕C%U匕C匕+V,.

所以

dim匕C匕Wdim匕Wdim（匕?匕），

由題設

dim（匕+匕）?dimV,H匕?1,

所以

dim匕H匕SdimV,Sdim匕H匕+I.

即

0Wdim匕-dimV,。匕WI.

當dimK-dimi;nr,=。時,由匕nv,cL得

v.nv,

此時

匕c匕n匕?匕

當dim匕-dimKnK=1時

dimV,=dim匕ClV,.I=dim(Vt+匕).

因為1，U匕+%,所以匕=匕+%,此時,%cv,.r,nV,=%.

5.設V是數域K±n維線性空間，Vi，…,Vs是V的s個真子空間，證明：

(1)存在“uV，使得aeV,U-UV..

(2)存在V中一組基F.,…花，使

l?iIn(匕u%u…uV,)=

［北京大學研］

證明：(1)因V1，…,Vs是V的真子空間，由上例，存在八ev.(i=1.2.-3)

(2)令%=/，(%),同樣有6,eK(|=1.2,??“)?.e『，顯然,￡|，￡,線性無關.令

則存在

E.eK(?=ew,.F,ew,

,且小￡，建線性無關，如此繼續(xù)下去，可得線性無關向量組a，?….巨(構成V的基),

且有

3n(匕u-u…u匕)=0

6.設V是定義域為實數集R的所有實值函數組成的集合，對于f,gwV,a￡R,分

別用下列式子定義f+g與af:

(/+?)(幻3/(*)+晨#),(a/)(#)=?(/(?)),V*eR.

則V成為實數域上的一個線性空間.

設fo(X)=1,fl(X)=COSX,,f2(x)=cos2x,f3(X)=cos3x,

(1)判斷fo,fl,f2,f3是否線性相關,寫出理由；

(2)用＜f,g＞表示f,g