2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)(新高考專用)專題3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【九大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用】 2【題型2（復(fù)合）函數(shù)的運(yùn)算】 3【題型3求曲線切線的斜率（傾斜角）】 3【題型4求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過一點(diǎn)的切線方程】 4【題型5與切線有關(guān)的參數(shù)問題】 4【題型6切線的條數(shù)問題】 5【題型7兩條切線平行、垂直問題】 5【題型8公切線問題】 6【題型9與切線有關(guān)的最值問題】 61、導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(2)通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(3)能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2022年新課標(biāo)I卷：第15題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第13題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第7題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第6題，5分導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近三年的高考情況來看，主要涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，一般以選擇題、填空題的形式考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進(jìn)行考查，試題難度屬中低檔.【知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的方法技巧】1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的方法技巧(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.【知識點(diǎn)2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】1.復(fù)合函數(shù)的定義

一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為=，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.3.求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟第一步：分層：選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；第二步：分別求導(dǎo)：分別求各層函數(shù)對相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)；第三步：相乘：把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘；第四步：變量回代：把中間變量代回.【知識點(diǎn)3切線問題的解題策略】1.求曲線“在”某點(diǎn)的切線方程的解題策略：(1)求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲線“過”某點(diǎn)的切線方程的解題通法：(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)T(x0,f(x0))(不出現(xiàn)y0)；(2)利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.3.與切線有關(guān)的參數(shù)問題的解題策略：(1)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上，故滿足切線方程；③切點(diǎn)在曲線上，故滿足曲線方程.(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.4.公切線問題的解題思路求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.【題型1導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用】【例1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）limΔx→02+Δx3?23Δx=（

A．72 B．12 C．8 D．4【變式1-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx在x0處的導(dǎo)數(shù)為f′x0，則A．mf′x0 B．?mf′x0 C．【變式1-2】（23-24高二下·江西贛州·期中）設(shè)fx存在導(dǎo)函數(shù)且滿足limΔx→0f1?f1?2A．?1 B．?2 C．1 D．2【變式1-3】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=?1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>k>1，則f1A．f1k?1≥C．f1k?1>【題型2（復(fù)合）函數(shù)的運(yùn)算】【例2】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2xx?2x?2A．220 B．221 C．222【變式2-1】（2024·山東·二模）已知fx為定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)f′x為fx的導(dǎo)函數(shù)，若fxA．1 B．?2023 C．2 D．2023【變式2-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）設(shè)fx=sinx，f1則i=12024fiA．0 B．32 C．3?12【變式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函數(shù)fx,gx的定義域均為R,g′x為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+g′A．2 B．1 C．0 D．-1【題型3求曲線切線的斜率（傾斜角）】【例3】（2024·福建廈門·一模）已知直線l與曲線y=x3?x在原點(diǎn)處相切，則lA．π6 B．π4 C．3π【變式3-1】（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）已知曲線fx=2xcosx在x=0處的切線為A．ln2 B．?ln2 C．1【變式3-2】（2024·新疆阿克蘇·一模）若直線y=kx+n與曲線y=lnx+1x相切，則A．?∞,14 B．4,+∞ 【變式3-3】（2024·貴州·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)fx=x3?12f′A．0,3π4 B．0,π2∪【題型4求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過一點(diǎn)的切線方程】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x3?f′A．e2?12e B．3e2【變式4-1】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）曲線y=xex+2x?2在x=0A．3x+y+2=0 B．2x+y+2=0C．2x?y?2=0 D．3x?y?2=0【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）過原點(diǎn)可以作曲線y=fx=xA．y=x和y=?x B．y=?3x和y=3xC．y=x和y=?3x D．y=?x和y=3x【變式4-3】（2024·北京東城·一模）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=ex?2+1A．y=x B．y=2x C．y=1e2【題型5與切線有關(guān)的參數(shù)問題】【例5】（2024·廣西貴港·三模）已知曲線y=axex+lnx在點(diǎn)1,aA．a(chǎn)=e，b=?2 B．a(chǎn)=eC．a(chǎn)=e?1，b=?2 D．a(chǎn)=【變式5-1】（2024·河南鄭州·二模）已知曲線y=xlnx+ae?x在點(diǎn)x=1處的切線方程為2x?y+b=0，則A．－1 B．－2 C．－3 D．0【變式5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax2+blnx的圖象在點(diǎn)1,fA．1 B．2 C．3 D．4【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知曲線fx=ex在點(diǎn)P0,f0處的切線也是曲線A．e3 B．e2 C．e2【題型6切線的條數(shù)問題】【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）若曲線y=1?xex有兩條過點(diǎn)Aa,0的切線，則A．?∞,?1∪C．?∞,?3 【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?x3+3x，則過點(diǎn)?3,?9A．0 B．1 C．2 D．3【變式6-2】（2021·全國·高考真題）若過點(diǎn)a,b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（A．eb<a C．0<a<eb 【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(?∞,+∞C．(?1,3) D．(?【題型7兩條切線平行、垂直問題】【例7】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）與曲線f(x)=12x2+x+14b?12和A．-8 B．-3 C．4 D．6【變式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函數(shù)f(x)=lnx+x與g(x)=2x?mx?1的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線y=2x+1平行，則實數(shù)m=（A．178 B．176 C．174【變式7-2】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=ax+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)A．0,1 B．0 C．0,1 D．1,+∞【變式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a＞0)對稱，且當(dāng)x≥a時，f(x)=exe2a，過點(diǎn)P(a,0)作曲線y=f(x)的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數(shù)f(x)的最小值為A．e?12 B．e?1 C．【題型8公切線問題】【例8】（2024·福建·模擬預(yù)測）已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線A．k=1e，b=0 B．k=1C．k=1e，b=?1 D．k=1【變式8-1】（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+yA．0或2 B．?2或0 C．－1或0 D．0或【變式8-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）若曲線f(x)=ax(a>1)與曲線g(x)=logaA．e B．e2 C．e1e【變式8-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx與gx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，直線l與gA．π6 B．π4 C．π3【題型9與切線有關(guān)的最值問題】【例9】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=1+2tanωx2?tan2ωx21+tanA．2 B．32 C．1 D．【變式9-1】（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=aex與g(x)=lnx+1存在公切線，則實數(shù)A．2e B．1e C．12e【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線y=x+aexa>1在x=0處的切線為l，則A．1 B．32 C．2 D．【變式9-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知直線y=ax+b與曲線y=lnex相切，則a+bA．12 B．1 C．2 D．一、單選題1．（2024·湖北襄陽·二模）已知函數(shù)f(x)=x2+1xA．1 B．12 C．2 2．（23-24高二下·山東·階段練習(xí)）若limΔx→0f(?2+Δx)?f(?2?A．1 B．-1 C．2 D．-23．（2024·福建漳州·三模）已知函數(shù)fx=lnx+x,gx是函數(shù)fA．1 B．2 C．3 D．44．（2024·上海閔行·二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=ft，用?fb?fab?a

A．在t1B．在t2C．在t3D．甲企業(yè)在0,t1，t1,t5．（2024·河南·模擬預(yù)測）曲線y=x33?2在點(diǎn)A．3x+3y+4=0 B．3x+3y?4=0 C．3x?3y+4=0 D．3x?3y?4=06．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=a?3x3+a?2x2+a?1x+a若對任意A．0 B．1 C．2 D．37．（2024·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)m,n可作函數(shù)y=2x+1xx>0A．0<2m+1m<nC．2m<n<2m+1m 8．（2024·遼寧遼陽·二模）若對函數(shù)fx=2x?sinx的圖象上任意一點(diǎn)處的切線l1，函數(shù)gx=mexA．?e2,0C．?1,0 D．0,1二、多選題9．（2024·湖南·二模）下列函數(shù)的圖象與直線y=x+1相切的有（

）A．y=ex C．y=sinx+1 10．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx，gx的定義域為R，g′x為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+A．f4=3 C．f1+f311．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線y=lnx兩條互相垂直的切線l1、l2，切點(diǎn)為P1、P2(P1、P2不重合)，設(shè)直線l1A．P1、P2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值 B．直線C．線段AB的長度為定值 D．△ABP面積的取值范圍為0,1三、填空題12．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+ax，若13．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）曲線f(x)=x3?.14．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=ax（a>0且a≠1四、解答題15．（23-24高二下·北京延慶·期末）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)f(x)=x(2)f(x)=log(3)f(x)=sin(4)f(x)=ln16．（23-24高二·全國·隨堂練習(xí)）（1）已知f(x+?)?f(x)=2?x+5?+?2，用割線逼近切線的方法求（2）已知g(x+?)?g(x)=3?x2+317．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，若直線y=?3x+b與曲線y=fx相切，求b(2)若直線y=?2x?2與曲線y=fx恰有兩個公共點(diǎn)，求a18．（2024·湖南郴州·三模）已知函數(shù)fx(1)若a=1,fx>gx在區(qū)間0,t(2)若函數(shù)fx和gx有公切線，求實數(shù)19．（23-24高二下·江西·期中）已知函數(shù)fx=x?a(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在x=0(2)若a+b=1，是否存在直線l與曲線y=fx和y=gx都相切？若存在，求出直線l的方程（若直線l的方程含參數(shù)，則用專題3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用】 2【題型2（復(fù)合）函數(shù)的運(yùn)算】 3【題型3求曲線切線的斜率（傾斜角）】 5【題型4求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過一點(diǎn)的切線方程】 6【題型5與切線有關(guān)的參數(shù)問題】 8【題型6切線的條數(shù)問題】 9【題型7兩條切線平行、垂直問題】 11【題型8公切線問題】 14【題型9與切線有關(guān)的最值問題】 161、導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(2)通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(3)能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2022年新課標(biāo)I卷：第15題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第13題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第7題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第6題，5分導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近三年的高考情況來看，主要涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，一般以選擇題、填空題的形式考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進(jìn)行考查，試題難度屬中低檔.【知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的方法技巧】1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的方法技巧(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.【知識點(diǎn)2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】1.復(fù)合函數(shù)的定義

一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為=，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.3.求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟第一步：分層：選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；第二步：分別求導(dǎo)：分別求各層函數(shù)對相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)；第三步：相乘：把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘；第四步：變量回代：把中間變量代回.【知識點(diǎn)3切線問題的解題策略】1.求曲線“在”某點(diǎn)的切線方程的解題策略：(1)求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲線“過”某點(diǎn)的切線方程的解題通法：(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)T(x0,f(x0))(不出現(xiàn)y0)；(2)利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.3.與切線有關(guān)的參數(shù)問題的解題策略：(1)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上，故滿足切線方程；③切點(diǎn)在曲線上，故滿足曲線方程.(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.4.公切線問題的解題思路求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.【題型1導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用】【例1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）limΔx→02+A．72 B．12 C．8 D．4【解題思路】令fx【解答過程】令fxlimΔx→02+f′x=3故選：B．【變式1-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx在x0處的導(dǎo)數(shù)為f′x0，則A．mf′x0 B．?mf′x0 C．【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出．【解答過程】limΔx→0故選：A．【變式1-2】（23-24高二下·江西贛州·期中）設(shè)fx存在導(dǎo)函數(shù)且滿足limΔx→0f1?f1?2A．?1 B．?2 C．1 D．2【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義即可求解.【解答過程】解：因為fx存在導(dǎo)函數(shù)且滿足lim所以f′1=?1，即曲線y=fx上的點(diǎn)故選：A.【變式1-3】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=?1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>k>1，則f1A．f1k?1≥C．f1k?1>【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合題意得出fx+1x【解答過程】∵f′x=∴fx?f0令x=1k?1，得：∴f1k?1>故選：C.【題型2（復(fù)合）函數(shù)的運(yùn)算】【例2】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2xx?2x?2A．220 B．221 C．222【解題思路】觀察f(x)，構(gòu)造函數(shù)φx=x?2x?2【解答過程】設(shè)φx則f(x)=2xφ(x)，故f′所以f=2故選：C.【變式2-1】（2024·山東·二模）已知fx為定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)f′x為fx的導(dǎo)函數(shù)，若fxA．1 B．?2023 C．2 D．2023【解題思路】根據(jù)fx=f2?x+4x?4進(jìn)行f′【解答過程】因為fx=f2?x即f′因為fx為定義在R上的奇函數(shù)，則f(?x)=?f(x)所以兩邊求導(dǎo)，得f′(x)=f′(?x)所以f′(2?x)=f所以f′(x?2)+f所以f′所以f′由①式，令x=1，得f′(1)=2，所以故選：C.【變式2-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）設(shè)fx=sinx，f1則i=12024fiA．0 B．32 C．3?12【解題思路】根據(jù)題意分析可知：可知fn+4x=【解答過程】由題意可得：f1可知fn+4x=且2024=506×4，所以i=12024故選：A.【變式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函數(shù)fx,gx的定義域均為R,g′x為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+g′A．2 B．1 C．0 D．-1【解題思路】由題意分析可得g′(x)=?g′(2?x)【解答過程】由題意fx+g′x令x=1可得，g′(1)=?g又因為gx為偶函數(shù)，所以g(?x)=g(x)，兩邊同時求導(dǎo)可得，?令x=0可得，?g′(0)=聯(lián)立①②可得，g′(?x)=g′(2?x)，化簡可得g′(x)=又因為fx+g′x所以f2023故選：A.【題型3求曲線切線的斜率（傾斜角）】【例3】（2024·福建廈門·一模）已知直線l與曲線y=x3?x在原點(diǎn)處相切，則lA．π6 B．π4 C．3π【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線的斜率，進(jìn)而確定傾斜角.【解答過程】由y′=3x2?1，則y根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知：l的傾斜角為3π故選：C.【變式3-1】（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）已知曲線fx=2xcosx在x=0處的切線為A．ln2 B．?ln2 C．1【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算即可求解.【解答過程】對fx=2xcosx求導(dǎo)得，f′x=故選：A.【變式3-2】（2024·新疆阿克蘇·一模）若直線y=kx+n與曲線y=lnx+1x相切，則A．?∞,14 B．4,+∞ 【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)的取值范圍，即可求解.【解答過程】y′由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，k≤1故選：A.【變式3-3】（2024·貴州·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)fx=x3?12f′A．0,3π4 B．0,π2∪【解題思路】求出f′x，令x=1后可求f′x，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍可得【解答過程】∵fx=x∴f′1=3?12∴tanα≥?1，∴0≤α<π2故選：B.【題型4求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過一點(diǎn)的切線方程】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x3?f′A．e2?12e B．3e2【解題思路】先求導(dǎo)，令x=1，求出f′【解答過程】依題意，f′x=3故f′1=3?f′12故選：D．【變式4-1】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）曲線y=xex+2x?2在x=0A．3x+y+2=0 B．2x+y+2=0C．2x?y?2=0 D．3x?y?2=0【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去求曲線y=xex+2x?2【解答過程】y=xex+2x?2當(dāng)x=0時，y=?2，y′所以切線方程為y??2=3x，即故選：D．【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）過原點(diǎn)可以作曲線y=fx=xA．y=x和y=?x B．y=?3x和y=3xC．y=x和y=?3x D．y=?x和y=3x【解題思路】由解析式得fx為偶函數(shù)，故過原點(diǎn)作的兩條切線一定關(guān)于y軸對稱，再由導(dǎo)數(shù)幾何意義求x>0【解答過程】由x∈R,f?x=(?x)故過原點(diǎn)作的兩條切線一定關(guān)于y軸對稱．當(dāng)x>0時，fx=x設(shè)切點(diǎn)為Px0,x02?所以切線斜率為1，從而切線方程為y=x．由對稱性知：另一條切線方程為y=?x．故選：A.【變式4-3】（2024·北京東城·一模）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=ex?2+1A．y=x B．y=2x C．y=1e2【解題思路】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,et?2+1)，求得切線方程為y?(et?2+1)=e【解答過程】由函數(shù)y=ex?2+1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,et?2+1)把原點(diǎn)(0,0)代入方程，可得0?(et?2+1)=解得t=2，所以切線方程為y?(e0+1)=故選：A.【題型5與切線有關(guān)的參數(shù)問題】【例5】（2024·廣西貴港·三模）已知曲線y=axex+lnx在點(diǎn)1,aA．a(chǎn)=e，b=?2 B．a(chǎn)=eC．a(chǎn)=e?1，b=?2 D．a(chǎn)=【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得y′|x=1=3，即可求出【解答過程】解：y′=ae∴ae=1，∴a=1e=e?1．將1,1故選：C．【變式5-1】（2024·河南鄭州·二模）已知曲線y=xlnx+ae?x在點(diǎn)x=1處的切線方程為2x?y+b=0，則A．－1 B．－2 C．－3 D．0【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線斜率為1?ae=2，可得a=?【解答過程】由題意可得y′根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在點(diǎn)x=1處的切線斜率為1?ae=2所以切點(diǎn)為1,?1，代入切線方程可得2+1+b=0，解得b=?3.故選：C.【變式5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax2+blnx的圖象在點(diǎn)1,fA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】對函數(shù)求導(dǎo)，再求出x=1處的切線方程，即可求得a,b；【解答過程】解：函數(shù)fx=ax2+blnx，則f所以f′1=2a+b=3f1故選：C.【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知曲線fx=ex在點(diǎn)P0,f0處的切線也是曲線A．e3 B．e2 C．e2【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得fx在P點(diǎn)處的切線方程，設(shè)其與gx相切于點(diǎn)x0,ln【解答過程】∵fx=ex，∴f∴fx在點(diǎn)P0,f0設(shè)y=x+1與gx相切于點(diǎn)x0,lna又lnax0?1x故選：C.【題型6切線的條數(shù)問題】【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）若曲線y=1?xex有兩條過點(diǎn)Aa,0的切線，則A．?∞,?1∪C．?∞,?3 【解題思路】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，然后列出不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】設(shè)切點(diǎn)為x0,1?x0切線方程為y?1?∵直線過點(diǎn)Aa,0，∴?化簡得x0∴Δ=a+12?4>0，則故選：D.【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?x3+3x，則過點(diǎn)?3,?9A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為a,?a3+3a，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在切點(diǎn)a,?a3【解答過程】解：因為fx=?x設(shè)切點(diǎn)為a,?a所以在切點(diǎn)a,?a3+3a又?3,?9在切線上，所以?9=?3a即?9=3a整理得2a3+9a2所以過點(diǎn)?3,?9可作曲線y=fx故選：C．【變式6-2】（2021·全國·高考真題）若過點(diǎn)a,b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（A．eb<a C．0<a<eb 【解題思路】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線y=ex的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和【解答過程】在曲線y=ex上任取一點(diǎn)Pt,et所以，曲線y=ex在點(diǎn)P處的切線方程為y?e由題意可知，點(diǎn)a,b在直線y=etx+令ft=a+1?t當(dāng)t<a時，f′t>0當(dāng)t>a時，f′t<0所以，ft由題意可知，直線y=b與曲線y=ft的圖象有兩個交點(diǎn)，則b<f當(dāng)t<a+1時，ft>0，當(dāng)t>a+1時，ft

由圖可知，當(dāng)0<b<ea時，直線y=b與曲線故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線y=ex的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知

故選：D.【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(?∞,+∞C．(?1,3) D．(?【解題思路】求得f′(x)=?xex【解答過程】設(shè)過點(diǎn)P(m,0)的直線與曲線f(x)=x+1ex由f(x)=x+1ex，可得f′(x)=?整理得t2因為切線有2條，所以切點(diǎn)有2個，即方程t2則Δ=(1?m)2?4>0，解得所以m的取值范圍是(?∞故選：D．【題型7兩條切線平行、垂直問題】【例7】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）與曲線f(x)=12x2+x+14b?12和A．-8 B．-3 C．4 D．6【解題思路】由題可得切線斜率為2，分別設(shè)出切點(diǎn)，利用斜率求出切點(diǎn)即可得出.【解答過程】因為直線l與直線x+2y+a?1=0垂直，所以直線l的斜率為2，設(shè)直線l與fx相切于x因為f′x=x+1，所以f′x1=x1設(shè)直線l與gx相切于x因為g′x=2x?1，則g所以直線l的方程為y?1=2x?2，即2x?y?3=01,1+14b在直線l上，則2?故選：A.【變式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函數(shù)f(x)=lnx+x與g(x)=2x?mx?1的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線y=2x+1平行，則實數(shù)m=（A．178 B．176 C．174【解題思路】設(shè)函數(shù)fx=lnx+x圖象上切點(diǎn)為(x0,y0)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f′(x0)=2【解答過程】解：設(shè)函數(shù)fx=lnx+x圖象上切點(diǎn)為(x0,y0)，因為f′(x)=1x+1，所以f′(x0)=1x0+1=2，得x0=1，所以y0=f(x0)=f(1)=1故選：A.【變式7-2】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=ax+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)A．0,1 B．0 C．0,1 D．1,+∞【解題思路】求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義和直線垂直的條件可得方程a2【解答過程】因為fx=ax+sin因為函數(shù)fx=ax+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，所以不妨設(shè)在則a+cosx1因為a的值一定存在，即方程①一定有解，所以Δ=cos即cosx1?cosx又cosx≤1，所以有cosx1=1，cosx2=?1故選：B.【變式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a＞0)對稱，且當(dāng)x≥a時，f(x)=exe2a，過點(diǎn)P(a,0)作曲線y=f(x)的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數(shù)f(x)A．e?12 B．e?1 C．【解題思路】當(dāng)x≥a時，fx=exe2a=ex?2a，可得函數(shù)fx在a,+∞為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的最小值為fa,進(jìn)而分析可得點(diǎn)Pa,0作曲線y=fx的兩條切線的斜率k=±1，設(shè)x=a【解答過程】根據(jù)題意，分析可得當(dāng)x≥a時，fx則函數(shù)fx在a,+∞又由函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=a對稱，函數(shù)fx在所以函數(shù)的最小值為fa點(diǎn)Pa,0作曲線y=f則兩條切線的關(guān)于直線x=a對稱，即兩條切線的斜率互為相反數(shù)，若兩條切線互相垂直，切線的斜率k=±1，設(shè)x=a右側(cè)的切點(diǎn)為m,e因為fx=e則有f'm=e又由切線過點(diǎn)a,0，可得em?2a即1m?a=1，解可得聯(lián)立①②可得a=1，則函數(shù)fx的最小值為f故選B.【題型8公切線問題】【例8】（2024·福建·模擬預(yù)測）已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線A．k=1e，b=0 B．k=1C．k=1e，b=?1 D．k=1【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，利用對應(yīng)系數(shù)相等建立方程，解出即可.【解答過程】設(shè)直線與曲線y=lnx的切點(diǎn)為x1與曲線y=?ln(?x)的切點(diǎn)為x2又y′=ln則直線y=kx+b與曲線y=lnx的切線方程為y?ln直線y=kx+b與曲線y=?ln(?x)的切線方程為y+ln則1x1=?1x故選：A.【變式8-1】（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+yA．0或2 B．?2或0 C．－1或0 D．0或【解題思路】設(shè)直線l的方程為y=x+b，先根據(jù)直線和圓相切算出b，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算a.【解答過程】依題意得，設(shè)直線l的方程為y=x+b，由直線和圓x2+y2=當(dāng)b=1時，y=x+1和y=ln設(shè)切點(diǎn)為(m,n)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，1m+a又切點(diǎn)同時在直線和曲線上，即n=m+1n=ln(m+a)即y=x+1和y=lny=x?1和y=lnx仍會保持相切狀態(tài)，即b=?1時，綜上所述，a=2或a=0.故選：A.【變式8-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）若曲線f(x)=ax(a>1)與曲線g(x)=logaA．e B．e2 C．e1e【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出其公切線，計算即可.【解答過程】易得f′(x)=ln則由題意可得ax0且ln?令lnx0記?t=2lnt+t?1t，則?′t=t+12t2故選：C.【變式8-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx與gx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，直線l與gA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】根據(jù)fx=lnx與gx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，得到gx=ex，設(shè)直線l與函數(shù)g【解答過程】解：因為函數(shù)fx=lnx與所以fx=lnx與則g′x=ex設(shè)直線l與函數(shù)gx=e與函數(shù)?x=e則直線l的斜率k=ex1顯然x1≠x所以直線l的傾斜角為π4故選：B．【題型9與切線有關(guān)的最值問題】【例9】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=1+2tanωx2?tan2ωx21+tanA．2 B．32 C．1 D．【解題思路】先利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)，根據(jù)題意得函數(shù)fx在?【解答過程】fx=1+2因為?x0∈?π4,所以函數(shù)fx在?π4,π令ωx+π4=k因為?π4≤x≤即?14≤又ω>0，故k=0時，ω取最小值為34故選：D.【變式9-1】（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=aex與g(x)=lnx+1存在公切線，則實數(shù)A．2e B．1e C．12e【解題思路】分別求出函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)寫出切線方程，利用對應(yīng)系數(shù)相等列出方程，構(gòu)造函數(shù)?(x)=(x?1)lnx?1，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性求出最值，可得實數(shù)【解答過程】f′(x)=a設(shè)f(x)=aex和g(x)=lnx+1的切點(diǎn)分別為m,aem,(n,即y=aemx+(?m+1)aem,y=1?′(x)=lnx?1x+1,?(x)在(0,1)上遞減，在(1,+∞)遞增，?(x)在x=1處取到最小值，∴l(xiāng)n故選：B．【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線y=x+aexa>1在x=0處的切線為l，則A．1 B．32 C．2 D．【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求出直線l的方程，求出直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用基本不等式可求得l與兩條坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積的最小值.【解答過程】對y=x+aex求導(dǎo)，得y′=1?a?xe所以曲線y=a+xexa>1在x=0處的切線在直線l的方程中，令x=0，可得y=a；令y=0，可得x=a故l與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為Aaa?1,0所以l與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形為△OAB，其面積S=1當(dāng)且僅當(dāng)a?1=1a?1a>1所以，l與兩條坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積的最小值為2.故選：C．【變式9-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知直線y=ax+b與曲線y=lnex相切，則a+bA．12 B．1 C．2 D．【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0【解答過程】由y=lnex設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0所以1x0=a,∴x0則lne∴a+b=a?ln令g(x)=1x+令g′(x)=0，解得當(dāng)0<x<1時，g′(x)<0，當(dāng)x>1時，g′(x)>0，則g(x)故a+b的最小值為1.故選：B.一、單選題1．（2024·湖北襄陽·二模）已知函數(shù)f(x)=x2+1xA．1 B．12 C．2 【解題思路】由題意，根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則可得f′【解答過程】由題意知，f′(x)=2x?1所以limΔ故選：B.2．（23-24高二下·山東·階段練習(xí)）若limΔx→0f(?2+Δx)?f(?2?A．1 B．-1 C．2 D．-2【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及給出的極限值可得答案.【解答過程】lim=lim所以f′故選：B.3．（2024·福建漳州·三模）已知函數(shù)fx=lnx+x,gx是函數(shù)fA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】計算f2x+1=ln【解答過程】因為fx所以f2x+1即f′所以g(x)=2所以g(0)=4.故選：D.4．（2024·上海閔行·二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=ft，用?fb?fab?a

A．在t1B．在t2C．在t3D．甲企業(yè)在0,t1，t1,t【解題思路】根據(jù)題目中的數(shù)學(xué)模型建立關(guān)系，比較甲乙企業(yè)的污水治理能力.【解答過程】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=?t，乙企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=g對于A選項，在t1,t乙企業(yè)的污水治理能力g(t)=?gt2所以?(t)>g(t),即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A選項錯誤；對于B選項，由圖可知，?(t)在t2時刻的切線斜率小于g(t)在t但兩切線斜率均為負(fù)值，故在t2對于C選項，在t3故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達(dá)標(biāo)，故C選項錯誤；對于D選項，由圖可知，甲企業(yè)在0,t1，t1在t1,t2時故選：D.5．（2024·河南·模擬預(yù)測）曲線y=x33?2在點(diǎn)A．3x+3y+4=0 B．3x+3y?4=0 C．3x?3y+4=0 D．3x?3y?4=0【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切點(diǎn)和斜率，即可求切線方程.【解答過程】a=(?1)33?2=?73，故切點(diǎn)為所以切線方程為y??73故選：D.6．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=a?3x3+a?2x2+a?1x+a若對任意A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】求得f′x=3【解答過程】由函數(shù)fx可得f′因為曲線y=fx在點(diǎn)x0,f可得y=f′x為偶函數(shù)，所以a?2=0故選：C.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)m,n可作函數(shù)y=2x+1xx>0A．0<2m+1m<nC．2m<n<2m+1m 【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為a,2a+1a，a>0，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得【解答過程】設(shè)切點(diǎn)為a,2a+1a，又y′=2?1所以切線方程為y?2a+又切線過點(diǎn)m,n，則n?2a+1a即2m?na由過點(diǎn)m,n可作兩條切線，所以2m?na即2m?n≠0Δ=2故選：C.8．（2024·遼寧遼陽·二模）若對函數(shù)fx=2x?sinx的圖象上任意一點(diǎn)處的切線l1，函數(shù)gx=mexA．?e2,0C．?1,0 D．0,1【解題思路】求導(dǎo)得到?1f′(x)范圍A，再分m>0，m<0，【解答過程】由fx=2x?sinx，得由gx=mex+(1)當(dāng)m>0時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，g′由題意得?故m?2<?1，解得0<m<1；(2)當(dāng)m<0時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，g′x∈?∞,m?2，同理可得（3）當(dāng)m=0時，不符合題意.綜上所述：m的取值范圍為0,1.故選：D.二、多選題9．（2024·湖南·二模）下列函數(shù)的圖象與直線y=x+1相切的有（

）A．y=ex C．y=sinx+1 【解題思路】假設(shè)選項中的曲線與直線y=x+1相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對應(yīng)斜率是否為1，求得切點(diǎn)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論.【解答過程】選項A中，若y=ex與y=x+1相切，設(shè)切點(diǎn)為易知y′=ex，則ex1=1選項B中，若y=lnx與y=x+1相切，設(shè)切點(diǎn)為易知y′=lnx′=1x，則選項C中，若y=sinx+1與y=x+1相切，設(shè)切點(diǎn)為易知y′=cosx，則當(dāng)k=0時，切點(diǎn)為0,1，切線方程為y=x+1，C正確；選項D中，易知y=x3+1與y=x+1又y′=3x故選：AC.10．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx，gx的定義域為R，g′x為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+A．f4=3 C．f1+f3【解題思路】由gx為偶函數(shù)，得g?x=g【解答過程】對于A，∵g(x)為偶函數(shù)，則g兩邊求導(dǎo)得:?g′?x=g′x令x=4，則f4?g′0對于B，令x=2，可得f(2)+g′(2)=4f(2)?g′(2)=4，則對于C，fx+可得，f2?x?令x=1，即可得f1+f3對于D，∵fx+g又fx?g′4?x=4，可得所以f1=f(1?4)=f?3故選：BCD.11．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線y=lnx兩條互相垂直的切線l1、l2，切點(diǎn)為P1、P2(P1、P2不重合)，設(shè)直線l1A．P1、P2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值 B．直線C．線段AB的長度為定值 D．△ABP面積的取值范圍為0,1【解題思路】根據(jù)切線方程的定義，利用分類討論的思想，可得整理切線方程，根據(jù)直線垂直可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積，進(jìn)而可得縱坐標(biāo)的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得A,B,P的坐標(biāo)，可得答案.【解答過程】由函數(shù)y=lnx=設(shè)P1x1當(dāng)0<x1<1，1<x2當(dāng)x1,x2∈當(dāng)x1,x2∈對于A，y1對于B，直線P1P2對于C，易知直線l1:y=?1令x=0，則y=y1+1，即AAB=對于D，聯(lián)立y=?1x1x+y令fx=2xx2所以，函數(shù)fx在0,1上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈0,1時，所以，S△ABP故選：BCD.三、填空題12．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+ax，若f′【解題思路】求出導(dǎo)函數(shù)，利用f′【解答過程】由fx=lnx+ax得f故答案為：?1.13．（2024·云南楚雄·模