2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)(新高考專(zhuān)用)專(zhuān)題2.5對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【六大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題2.5對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【六大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)數(shù)的運(yùn)算】 2【題型2指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用】 2【題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】 3【題型4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 5【題型5解對(duì)數(shù)不等式】 5【題型6對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 61、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)

(2)通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)(3)了解指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）互為反函數(shù)2022年天津卷：第6題，5分2022年浙江卷：第7題，5分2022年新課標(biāo)I卷：第7題，5分2023年北京卷：第4題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第6題，5分2024年北京卷：第7題，5分對(duì)數(shù)函數(shù)是常見(jiàn)的重要函數(shù)，對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)數(shù)函數(shù)往往與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用冪函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問(wèn)題，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等題型.【知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)運(yùn)算的解題策略】1．對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.(3)指對(duì)互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.【知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題及解題思路】1．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.2．對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題的解題策略利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.【題型1對(duì)數(shù)的運(yùn)算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，則化簡(jiǎn)2log23+(a)2+b2的結(jié)果是（

）A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【變式1-1】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6A．1a+1b=1c B．【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若2a=3，3b=5，5cA．?2 B．12 C．22【題型2指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的特殊的幾何圖形，即441個(gè)點(diǎn).根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉3×1015個(gè)二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

A．10117萬(wàn)年 B．10120萬(wàn)年 C．10123萬(wàn)年 【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)tmin后的溫度為y℃，可選擇函數(shù)y=60×0.9t+20（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【變式2-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）萬(wàn)有引力定律是英國(guó)偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓提出來(lái)的，即任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)連心線(xiàn)方向上的力相互吸引，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為F=Gm1?m2r2，其中F表示兩個(gè)物體間的引力大小，G為引力常數(shù)，m1,m2分別表示兩個(gè)物體的質(zhì)量，rA．lnF1+C．lnF1?【題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【例3】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=eA． B． C． D．【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x?1A． B．C． D．【變式3-2】（2024·陜西寶雞·二模）函數(shù)fx=1+A． B．C． D．【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【題型4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例4】（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【變式4-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知a=40.3,b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>a>b【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=f(2?x)，且在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減.設(shè)a=f(?ln1.1)，b=f2A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【題型5解對(duì)數(shù)不等式】【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=lnx，若faA．5?12,1 B．0,5?12【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=3xA．?∞,8 B．0,8 C．18【變式5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）“a>b”是“l(fā)na2+A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ax+k?1a?x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【題型6對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例6】（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(1)求fx(2)若關(guān)于x的方程fx=k在R上有解，求實(shí)數(shù)【變式6-1】（2024·陜西安康·一模）已知函數(shù)f(x)=log(1)若f(1)=3，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式6-2】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log2x2?log2x4【變式6-3】（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log1(1)若y=lggx的值域?yàn)?2)若非常數(shù)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?2,2的奇函數(shù)，且?x1∈[1,2)，?x2一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知正實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足12lnm=lnm?2nA．1 B．14 C．4 D．1或2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m，n，t滿(mǎn)足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．3．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)f(x)=1+loga(2x?3)?(a>0,a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)(m,n)A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律，后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．6775．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log56，b=log28，c=e，則aA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=?14x?4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 7．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1?22x1+22x，A．?x=fxC．?x=fx8．（2024·江西·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿(mǎn)足fx+2=f?x=?fx，當(dāng)0<x≤1時(shí)，fxA．?52+4k,?32+4k，C．?12+4k,12+4k，二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．a(chǎn)b>1 C．a(chǎn)+b>2 10．（2024·河南·三模）已知函數(shù)fx=lgA．fx的定義域?yàn)锽．fx的值域?yàn)镃．fD．y=fx211．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?2,2B．若0<a<1，b<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?C．若a>1，b<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?D．若0<a<1，b>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為2,+三、填空題12．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足logab+logba=513．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為14．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=logax+ax?1+2（a>0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)k,b，若m+n=b?k且m>0，四、解答題15．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)27(2)log216．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）（1）求值：(3（2）已知lgx+lgy=217．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=?log2x2+m(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求函數(shù)fx18．（2024·陜西榆林·一模）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(1)求fx(2)若fa?1?f119．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log(1)求a的值;(2)設(shè)g(x)=f(x)+x，?(x)=x2?2x+m，若對(duì)任意的x1∈0,4，存在專(zhuān)題2.5對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【六大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)數(shù)的運(yùn)算】 2【題型2指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用】 3【題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】 5【題型4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 7【題型5解對(duì)數(shù)不等式】 9【題型6對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 111、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)

(2)通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)(3)了解指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）互為反函數(shù)2022年天津卷：第6題，5分2022年浙江卷：第7題，5分2022年新課標(biāo)I卷：第7題，5分2023年北京卷：第4題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第6題，5分2024年北京卷：第7題，5分對(duì)數(shù)函數(shù)是常見(jiàn)的重要函數(shù)，對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)數(shù)函數(shù)往往與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用冪函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問(wèn)題，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等題型.【知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)運(yùn)算的解題策略】1．對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.(3)指對(duì)互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.【知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題及解題思路】1．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.2．對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題的解題策略利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.【題型1對(duì)數(shù)的運(yùn)算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，則化簡(jiǎn)2log23A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【解題思路】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可.【解答過(guò)程】由2log23=3，2log故選：B.【變式1-1】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【解題思路】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.【解答過(guò)程】由5b=6?所以ab?log32=log35?log5故選：A.【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6A．1a+1b=1c B．【解題思路】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)驗(yàn)證即可．【解答過(guò)程】依題意設(shè)4a=6b=9c所以1a則1a+1則1b則1a故選：D.【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若2a=3，3b=5，5cA．?2 B．12 C．22【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，即可求解.【解答過(guò)程】由2a=3，3b=5，所以abc=log23×故選：B.【題型2指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的特殊的幾何圖形，即441個(gè)點(diǎn).根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉3×1015個(gè)二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

A．10117萬(wàn)年 B．10120萬(wàn)年 C．10123萬(wàn)年 【解題思路】利用取對(duì)數(shù)法進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．【解答過(guò)程】∵1萬(wàn)年用掉3×10∴大約能用2441設(shè)x=24413×即x≈10故選：A．【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)tmin后的溫度為y℃，可選擇函數(shù)y=60×0.9t+20（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【解題思路】令60×0.9t+20=60，則0.9【解答過(guò)程】由題可知，函數(shù)y=60×0.9令60×0.9t+20=60兩邊同時(shí)取對(duì)可得：lg0.9t=即t=lg2?lg故選：B.【變式2-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【解題思路】根據(jù)條件中的概率公式，結(jié)合求和公式，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求解.【解答過(guò)程】n=4k即lgk+14=ln3故選：A.【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）萬(wàn)有引力定律是英國(guó)偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓提出來(lái)的，即任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)連心線(xiàn)方向上的力相互吸引，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為F=Gm1?m2r2，其中F表示兩個(gè)物體間的引力大小，G為引力常數(shù)，m1,m2分別表示兩個(gè)物體的質(zhì)量，rA．lnF1+C．lnF1?【解題思路】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意知，F(xiàn)1F2=r22故選：A.【題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【例3】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=eA． B． C． D．【解題思路】根據(jù)x<0時(shí)f(x)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【解答過(guò)程】fx因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，y=e所以，y=ex?又因?yàn)閒?x所以fx故選：A.【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x?1A． B．C． D．【解題思路】先判斷函數(shù)奇偶性排除選項(xiàng)A，再根據(jù)函數(shù)值正負(fù)排除B,C,即可得出答案.【解答過(guò)程】因?yàn)閒x的定義域?yàn)?∞,0∪0,+∞，當(dāng)x>1時(shí)，x?1x>0，lnx2>0，所以fx>0故選:D.【變式3-2】（2024·陜西寶雞·二模）函數(shù)fx=1+A． B．C． D．【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性和特殊值判斷出選項(xiàng)．【解答過(guò)程】∵f?x=1+又f1故選：B.【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【解題思路】利用函數(shù)的定義域，奇偶性及其他性質(zhì)判斷即可.【解答過(guò)程】fx=x2ln因?yàn)閒?x=?fx當(dāng)x∈0,1時(shí)，f故選：C.【題型4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例4】（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【解題思路】判斷a，b，c與0和1的大小關(guān)系即可得到答案．【解答過(guò)程】a=2b=log0=log0.3?1<故c>a>b.故選：C.【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【解題思路】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值“12【解答過(guò)程】因?yàn)閥=0.5x在R上單調(diào)遞減，則0.53.1又因?yàn)閥=log0.9x在0,+∞上單調(diào)遞減，則可得c=log1312則12=log綜上所述：a<c<b.故選：D.【變式4-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知a=40.3,b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到a>1，利用指對(duì)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到0<b<1，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到c<0，則比較出大小.【解答過(guò)程】因?yàn)閍=40.3>40c=log所以a>b>c，故選：A.【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=f(2?x)，且在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減.設(shè)a=f(?ln1.1)，b=f2A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【解題思路】由f(x)=f(2?x)，得到對(duì)稱(chēng)軸為x=1，然后求解a=f(?ln1.1)=f(2+ln1.1)，進(jìn)而利用【解答過(guò)程】由f(x)=f(2?x)，得到對(duì)稱(chēng)軸為x=1，則a=f(?ln而1<20.4<2+ln1.1<2+則f20.4>f(2+ln1.1)>故選：D.【題型5解對(duì)數(shù)不等式】【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=lnx，若faA．5?12,1 B．0,5?12【解題思路】結(jié)合函數(shù)y=fx的圖象和函數(shù)y=fx+1的圖象，由【解答過(guò)程】在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=fx的圖象和函數(shù)y=f設(shè)兩圖象交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a1由圖象可得滿(mǎn)足fa≤fa+1的實(shí)數(shù)a對(duì)于a1，由?lna所以a12+a1故選：C.【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=3xA．?∞,8 B．0,8 C．18【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【解答過(guò)程】當(dāng)x≥0時(shí)，fx因?yàn)楹瘮?shù)y=3x,y=2x?1所以函數(shù)fx在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，且又fx為R則flog2x?32<0，即所以log2x<3，解得1故選：C．【變式5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）“a>b”是“l(fā)na2+A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】取a=1，b=?2即可說(shuō)明不充分，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式也可說(shuō)明不必要由此即可得解.【解答過(guò)程】取a=1，b=?2可得lna若lna2+故a2>b2，得故“a>b”是“l(fā)na故選：D．【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ax+k?1a?x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【解題思路】根據(jù)fx是偶函數(shù)求得k=2，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性不等式等價(jià)于log【解答過(guò)程】∵fx∴f?x=f化簡(jiǎn)得k?2∴k=2，fx=ax+f'xa>1,0<a<1時(shí)都能得到f'x所以fx=a∴fx=ax+a?x∴flogkx即log2x>1，即解得x>2或0<x<12.即故選：B.【題型6對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例6】（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(1)求fx(2)若關(guān)于x的方程fx=k在R上有解，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式；（2）求函數(shù)fx的值域，即可求k【解答過(guò)程】（1）當(dāng)x>0時(shí)，?x<0，則f?x因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在R所以f?x故fx當(dāng)x=0時(shí)，f0綜上，所以fx的解析式為f（2）當(dāng)x<0時(shí)，fx因?yàn)閤<0，所以?1<?2x<0所以?log由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)x>0時(shí)，0<fx當(dāng)x=0時(shí)，f0綜上，?log所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是?log【變式6-1】（2024·陜西安康·一模）已知函數(shù)f(x)=log(1)若f(1)=3，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】（1）利用f(1)=3求得a，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得fx（2）根據(jù)fx的最小值為0列方程，從而求得a【解答過(guò)程】（1）∵f(1)=3，∴a+9=23，即f(x)=log2?解得?1<x<5，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,5)，∵函數(shù)t=?x2+4x+5在(?1,2)又∵y=log2t∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,5).（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值為0，?(x)=ax∵函數(shù)f(x)的最小值為0，∴函數(shù)?(x)的最小值為1，所以a>0①，且20a?164a聯(lián)立①②解得：a=1，∴存在實(shí)數(shù)a=1，使函數(shù)f(x)的最小值為0.【變式6-2】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log2x2?log2x4【解題思路】（1）考慮a≥0和a<0兩種情況，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得到答案.（2）確定定義域，設(shè)?x1,x2（3）根據(jù)單調(diào)性確定x∈0,1時(shí)fx的值域A=3,+∞，設(shè)【解答過(guò)程】（1）由已知函數(shù)需滿(mǎn)足2x+a≠0，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)fx=2即2?x+12?x+a=?2當(dāng)a<0時(shí)，x≠log2?a又函數(shù)fx=2此時(shí)fx=2f?x綜上所述：a=?1；（2）fx在?∞,0fx=2設(shè)?x1,則f因?yàn)閤1,x2∈所以fx1>fx2同理可證，所以fx在?所以fx在0,+∞，（3）函數(shù)fx在?∞,0且當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，fx<0x2∈0,1時(shí)，fx≥f1=3又gx設(shè)t=log2x,t∈當(dāng)t=32時(shí)，取最小值為?14+m即gx在x∈2,8上的值域又對(duì)任意的x1∈2,8，總存在x即B?A，所以?14+m≥3，解得m≥【變式6-3】（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log1(1)若y=lggx的值域?yàn)?2)若非常數(shù)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?2,2的奇函數(shù)，且?x1∈[1,2)，?x2【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)y=lg[g(x)]的值域?yàn)镽，可得函數(shù)g(x)的值域包含(0,+∞)，再分m=0，（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f(x)的解析式，再根據(jù)?x1∈[1,2),?x2∈[?1,1],f(x1)?g(【解答過(guò)程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=lggx的值域?yàn)镽，所以函數(shù)ggx當(dāng)m=0時(shí)，gx=?2當(dāng)m≠0時(shí)，令t=2x，t∈0,+當(dāng)m>0時(shí)，ymin=m?2m2所以3?4m≤0當(dāng)m<0時(shí)，2m<0，則函數(shù)y=mt2?4t+3的值域?yàn)?綜上所述，0<m≤43，所以滿(mǎn)足條件的整數(shù)m的值為（2）因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義域?yàn)?2,2所以f0=0f?1=?f1，即由函數(shù)fx不是常數(shù)函數(shù)，所以a=2經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，即fx由?x1∈1,2，得?x1∈1,2，只要fx當(dāng)x∈1,2時(shí)，2?x所以函數(shù)fxmin=gx令n=2x，因?yàn)閤∈?1,1函數(shù)y=m?n當(dāng)m=0時(shí)，y=?4n+3，n∈12,2當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)y=m?n2?4n+3當(dāng)m<0時(shí)，則n=2時(shí)，ymin當(dāng)0<2m≤12，即m≥4時(shí)，則n=當(dāng)2m≥2，即0<m≤1時(shí)，則n=2時(shí)，當(dāng)12<2m<2，即1<m<4時(shí)，則n=2m綜上所述，m的取值范圍為?∞一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知正實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足12lnm=lnm?2nA．1 B．14 C．4 D．1或【解題思路】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)等式，列出關(guān)于nm【解答過(guò)程】由12lnm=lnm?2n整理得2(nm)2所以nm故選：B.2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m，n，t滿(mǎn)足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．【解題思路】根據(jù)指對(duì)數(shù)的互化可得m=log5t，n=log7【解答過(guò)程】因?yàn)?m=7n=t且1所以m=log5t所以1m=log所以1m+1故選：D．3．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)f(x)=1+loga(2x?3)?(a>0,a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)(m,n)A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】令2x?3=1，即可求解f(x)恒過(guò)定點(diǎn)(2,1)，進(jìn)而求解.【解答過(guò)程】令2x?3=1，解得x=2，此時(shí)f(2)=1+log所以f(x)恒過(guò)定點(diǎn)(2,1)，則m=2,n=1，所以m+n=3.故選：C.4．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律，后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．677【解題思路】結(jié)合條件及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【解答過(guò)程】n=k2024P10n=故選：B.5．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log56，b=log28，c=e，則aA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a【解題思路】由已知結(jié)合冪函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷a，b，c的范圍，即可比較a，b，c的大?。窘獯疬^(guò)程】因?yàn)閏=e>9a=log所以a<b<c．故選：A．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=?14x?4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于a的不等式，即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，當(dāng)x≤34時(shí)，fx=?1要使得函數(shù)fx=?則滿(mǎn)足a>1，且loga4×3所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,3故選：B.7．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1?22x1+22x，A．?x=fxC．?x=fx【解題思路】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的定義域和圖象逐項(xiàng)分析即可；【解答過(guò)程】依題意可知，函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，f所以函數(shù)fx函數(shù)gx的定義域?yàn)閤x≠0，所以函數(shù)gx對(duì)于A，?x=fx+gx對(duì)于B，函數(shù)?x=fx?gx對(duì)于C，函數(shù)?x=fxgx的定義域?yàn)閧x|x≠0}，?對(duì)于D，函數(shù)?x=fxg故選：C．8．（2024·江西·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿(mǎn)足fx+2=f?x=?fx，當(dāng)0<x≤1時(shí)，fxA．?52+4k,?32+4k，C．?12+4k,12+4k，【解題思路】依題意可得fx的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性與周期性，即可得到fx的圖象，即可得到?1【解答過(guò)程】因?yàn)閒?x=?fx又因?yàn)閒x+2=f?x，所以f由fx+4=?fx+2=fx因?yàn)楫?dāng)0<x≤1時(shí)，fx=log2x+1函數(shù)fx根據(jù)圖象可知，若fa+1>fa，則?解得?32+4k<a<所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是?32+4k,故選：D．二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．a(chǎn)b>1 C．a(chǎn)+b>2 【解題思路】對(duì)A：使用換底公式化簡(jiǎn)可判斷a的范圍；對(duì)B：使用換底公式化簡(jiǎn)證明；對(duì)C：根據(jù)基本不等式證明；對(duì)D：根據(jù)函數(shù)y=x+1x在【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：a=log選項(xiàng)B：ab=log選項(xiàng)C：a+b>2ab>2，（a>32，選項(xiàng)D：易知函數(shù)y=x+1x在32故選：BC.10．（2024·河南·三模）已知函數(shù)fx=lgA．fx的定義域?yàn)锽．fx的值域?yàn)镃．fD．y=fx2【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域值域即可判斷A、B，求出f?1【解答過(guò)程】對(duì)AB，由1?x>0，得x<1，則fx的定義域?yàn)?∞,1對(duì)C，f?1對(duì)D，因?yàn)閒x2=u=1?x2，令1?x內(nèi)層函數(shù)u=1?x2，在?1,0上單調(diào)遞增，所以y=fx2的單調(diào)遞增區(qū)間為?1,0不是故選：ABC.11．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?2,2B．若0<a<1，b<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?C．若a>1，b<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?D．若0<a<1，b>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為2,+【解題思路】先判斷函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2+bx)為奇函數(shù)，再分a>1和0<a<1討論y=logat的單調(diào)性，分【解答過(guò)程】對(duì)于函數(shù)f(x)=loga(1+b2x不妨設(shè)t=1+b2對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)a>1時(shí)，y=log因b>0，則t=1+b2x2+bx在由f(?m+m2+12)+f(?m)≥0?f(?m+m①當(dāng)m≤0時(shí)，此時(shí)恒成立；②當(dāng)m>0時(shí)，由（*）可得m2+12≥4m2，解得對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)0<a<1時(shí)，y=logat在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因b<0，則t=1+b2x由A項(xiàng)分析可得，f(?m+m2+12對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)a>1時(shí)，y=logat在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因b<0，則t=1+b2x由f(?m+m2+12)+f(?m)≥0?f(?m+m①當(dāng)m≤0時(shí)，無(wú)解；②當(dāng)m>0時(shí)，由（*）可得m2+12≤4m2，解得m≤?2或?qū)τ贒項(xiàng)，當(dāng)0<a<1時(shí)，y=logat在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因b>0，則t=1+b2x由C項(xiàng)分析可得，f(?m+m2+12故選：BD.三、填空題12．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足logab+logba=52，【解題思路】令t=logab，則由logab+logba=5【解答過(guò)程】令t=logab由logab+log所以2t2?5t+2=0，解得t=所以logab=1所以a12=b當(dāng)a12=b由aa=bb，得由2a=ba=b2，又a>0所以a+b=3當(dāng)a2=b時(shí)，由aa=b由a=2ba2=b，又a>0所以a+b=3綜上所述，a+b=3故答案為：3413．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為?