2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新高考專用)重難點(diǎn)28圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題【六大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)28圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求圓錐曲線的切線方程】 2【題型2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問(wèn)題】 3【題型3切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】 3【題型4與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問(wèn)題】 5【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問(wèn)題】 6【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題】 71、圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題的考查頻率變高，考查形式多種多樣，以選擇題或填空題的形式考查時(shí)，主要考查切線方程與切點(diǎn)弦方程，難度不大；以解答題的形式考查時(shí)，主要考查切點(diǎn)弦問(wèn)題和以切線為載體的面積、最值、定值等問(wèn)題，難度較大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問(wèn)題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦】1．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦(1)切線方程：過(guò)圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點(diǎn)弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：①對(duì)于橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點(diǎn)M(x0,y0)，則過(guò)該點(diǎn)作切線得到的切線方程+=1.當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過(guò)M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為+=1.②更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即圓錐曲線形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M(x0,y0)有對(duì)應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原圓錐曲線上時(shí)，這條直線為過(guò)M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.2．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論(1)過(guò)橢圓+=1上一點(diǎn)Px0,y0(2)過(guò)橢圓+=1外一點(diǎn)Px0,y0(3)過(guò)雙曲線?=1上一點(diǎn)Px0,y0(4)過(guò)雙曲線?=1外一點(diǎn)Px0,y0【題型1求圓錐曲線的切線方程】【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓x24+3y24=1上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是．【變式1-1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）若直線l與單位圓（圓心在原點(diǎn)）和曲線x24?y2【變式1-2】（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知橢圓M:y2a2+(1)求M的離心率；(2)若直線l:y=x+m與M有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求l的一般式方程.【變式1-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=x24與直線y=kx+a,a>0交與(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.【題型2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問(wèn)題】【例2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)M2,?2p引拋物線x2=2pyp>0的切線，切點(diǎn)分別為A，B.若AB的斜率等于2，則A．14 B．12 C．1【變式2-1】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，且滿足A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過(guò)P引雙曲線x2?y22=1【變式2-3】（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Tm,n在橢圓C上（點(diǎn)T不在坐標(biāo)軸上），證明：直線mx2+ny=1(3)設(shè)點(diǎn)P在直線x=?1上（點(diǎn)P在橢圓C外），過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△PAB和△OAB的面積之和為1，求直線AB的方程.【題型3切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【例3】（2024·湖南·三模）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B(1)求E的方程；(2)直線l:x=?4，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線PM,PN，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【變式3-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)Q為直線x+y?2=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點(diǎn)分別為D、E），試證明動(dòng)直線DE恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式3-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)與橢圓C':x24+(1)求拋物線C的方程．(2)證明直線MN過(guò)定點(diǎn)，并且求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【變式3-3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·期中）已知橢圓E：x2a2+y(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0在其上一點(diǎn)Qx0,y0①證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；②求△ABM面積的最大值.【題型4與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問(wèn)題】【例4】（2024·江西新余·一模）過(guò)點(diǎn)P(2，－1)作拋物線x2=4y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PEF與△OAB的面積之比為（A．32 B．33 C．12 【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）拋物線Γ:x2=2y上有四點(diǎn)A，B，C，D，直線AC，BD交于點(diǎn)P，且PC=λPA，PD=λPB0<λ<1．過(guò)A,B分別作ΓA．32 B．23 C．33【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C1：y2a2+x2b2=1a>b>0與拋物線C2(1)求橢圓C1與拋物線C(2)橢圓C1上一點(diǎn)P在x軸下方，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C2的切線，切點(diǎn)分別為A,B，求【變式4-3】（2024·貴州黔東南·二模）已知拋物線E:y2=2x的焦點(diǎn)為F，A，B，C(1)若FA+FB+(2)過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作E的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)D，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l1，l2的垂線l3，l（i）若AB=4，求△ABD（ii）若直線AB過(guò)點(diǎn)1,0，求點(diǎn)M的軌跡方程.【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問(wèn)題】【例5】（2024·河北·三模）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程．(2)設(shè)圓O：x2+y2=a2+b2，過(guò)圓O上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為【變式5-1】（23-24高三上·浙江·期中）已知雙曲線E：y2a2?x2b2=1（a>0，b>0）過(guò)點(diǎn)Q3,2，且離心率為2，F(xiàn)2，F(xiàn)1為雙曲線E的上、下焦點(diǎn)，雙曲線E在點(diǎn)Q處的切線(1)求△F(2)點(diǎn)P為圓F2上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P能作雙曲線E的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，記直線MF1和NF1的斜率分別為k【變式5-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E:x2=2py(p>1)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P1,?1作拋物線(1)求拋物線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線l1,l2，直線l1交拋物線E于A,B兩點(diǎn)，直線l2交拋物線E于C,D兩點(diǎn)，連接AD,BC,AC,BD，設(shè)【變式5-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2=r2有以下性質(zhì)：①過(guò)圓C上一點(diǎn)Mx0,y0的圓的切線方程是x0x+y0y=r2．②若Mx0,y0為圓C外一點(diǎn)，過(guò)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B(1)類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過(guò)橢圓C′:x(2)過(guò)橢圓C′:x2a2+(3)若過(guò)橢圓C′:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點(diǎn)【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題】【例6】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）記橢圓C：x2+2y2=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線l交橢圓于A，B，A，B處的切線交于點(diǎn)P，設(shè)A．2 B．3 C．5 D．6【變式6-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線Γ：y=14x2的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交Γ于點(diǎn)A,B，分別在點(diǎn)A,B處作Γ的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)PA．0,1 B．0,12 C．0,1【變式6-2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線l與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l1，在B點(diǎn)處的切線為l2，直線l1與直線l2交于點(diǎn)M(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求|AB||MN|【變式6-3】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM與圓C1：x+12+y2=49和圓C2(1)求Γ的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則曲線上一點(diǎn)x0,y0處的切線方程為：Ax0x+Bx0y+y0x+Cy（?。┳C明：A1（ⅱ）點(diǎn)A1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′1，直線A′1A2交x軸于點(diǎn)N，直線PC2交曲線Γ于G，H兩點(diǎn).記△G一、單選題1．（23-24高二下·江西鷹潭·期末）拋物線y2=9x在點(diǎn)1,3處的切線的斜率為（A．－1 B．?32 C．32．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過(guò)點(diǎn)4,33作直線，使它與雙曲線x24A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知直線l與橢圓Γ，點(diǎn)F1,F2分別為橢圓Γ:x22+y2=1的左右焦點(diǎn)，直線F1M⊥l，A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要4．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知過(guò)圓錐曲線x2m+y2n=1上一點(diǎn)Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=05．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P3,?2作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且Q為C上一動(dòng)點(diǎn)，若QFA．75 B．1252 C．752 6．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)橢圓C：x24+y23=1上的點(diǎn)Ax1,y1，A．?32 B．?94 7．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4y，過(guò)直線l：x+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)P可作C的兩條切線，記切點(diǎn)為A,B，則直線AB（A．斜率為2 B．斜率為±2 C．恒過(guò)點(diǎn)0,?2 D．恒過(guò)點(diǎn)?1,?28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）拋物線E:y2=x的焦點(diǎn)為F，P為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A與PA．1 B．2 C．3 D．1二、多選題9．（23-24高二上·山西呂梁·期中）已知雙曲線E過(guò)點(diǎn)?2,32且與雙曲線x24?y29=1共漸近線，直線l與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是xB．若AB的中點(diǎn)為1,4，則直線l的方程為9x?16y+55=0C．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,y1D．若點(diǎn)P在直線3x?4y+6=0上運(yùn)動(dòng)，則直線l恒過(guò)點(diǎn)3,610．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）已知拋物線x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，且AF=6，點(diǎn)M是拋物線上BA間不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)N，拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)A．拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,3B．過(guò)點(diǎn)N作拋物線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為±C．在△FMN中，若MN=tMF，t∈R，則tD．TF11．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x22+y2=1,O為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)Px0,y0作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為AA．k3?k4為定值C．x0?y0的最大值為2三、填空題12．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)P為圓O：x2+y2=5上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓x23+y22=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)O，P到直線14．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4y，定點(diǎn)T1,0，M為直線y=12x?1上一點(diǎn)，過(guò)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，A，B是切點(diǎn)，則四、解答題15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）求雙曲線x2?y（2）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過(guò)P引雙曲線x2?y22=1的兩條切線PA,PB16．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F(1)求p；(2)已知點(diǎn)P(?1,?2)，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求AB．17．（2024·安徽·二模）已知點(diǎn)P在橢圓C：x24+y22=1的外部，過(guò)點(diǎn)P(1)①若點(diǎn)A坐標(biāo)為x1,y1，求證：直線PA的方程為x1x4+y(2)若點(diǎn)P在圓x2+y18．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）已知A0,2,P是拋物線C1:x2=4y上任一點(diǎn)，Q(1)求C2(2)過(guò)點(diǎn)P作曲線C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N，求點(diǎn)P到直線MN19．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x24+y2=1，直線x+2y+4=0，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作橢圓C的切線PS(1)當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為2,?3時(shí)，求直線ST的方程；(2)求證：當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線ST恒過(guò)定點(diǎn)M；(3)是否存在點(diǎn)P使得△PST的重心恰好是橢圓的左頂點(diǎn)?2,0，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．重難點(diǎn)28圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求圓錐曲線的切線方程】 2【題型2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問(wèn)題】 4【題型3切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】 8【題型4與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問(wèn)題】 13【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問(wèn)題】 19【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題】 241、圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題的考查頻率變高，考查形式多種多樣，以選擇題或填空題的形式考查時(shí)，主要考查切線方程與切點(diǎn)弦方程，難度不大；以解答題的形式考查時(shí)，主要考查切點(diǎn)弦問(wèn)題和以切線為載體的面積、最值、定值等問(wèn)題，難度較大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問(wèn)題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦】1．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦(1)切線方程：過(guò)圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點(diǎn)弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：①對(duì)于橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點(diǎn)M(x0,y0)，則過(guò)該點(diǎn)作切線得到的切線方程+=1.當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過(guò)M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為+=1.②更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即圓錐曲線形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M(x0,y0)有對(duì)應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原圓錐曲線上時(shí)，這條直線為過(guò)M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.2．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論(1)過(guò)橢圓+=1上一點(diǎn)Px0,y0(2)過(guò)橢圓+=1外一點(diǎn)Px0,y0(3)過(guò)雙曲線?=1上一點(diǎn)Px0,y0(4)過(guò)雙曲線?=1外一點(diǎn)Px0,y0【題型1求圓錐曲線的切線方程】【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓x24+3y24【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程.【解答過(guò)程】∵橢圓x2∴y>0時(shí)，y=43?∴x＝1時(shí)，y′=?1∴橢圓x24+3y即x+3y?4=0．故答案為：x+3y?4=0．【變式1-1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）若直線l與單位圓（圓心在原點(diǎn)）和曲線x24?y28=1均相切，則直線l的一個(gè)方程可以是3x+y+2=0（或【解題思路】根據(jù)直線與圓，以及雙曲線相切，可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以及判別式進(jìn)行聯(lián)立方程求解滿足題意的直線.【解答過(guò)程】顯然直線l存在斜率，設(shè)直線l：y=kx+mk≠±聯(lián)立方程組y=kx+m,x得2?因?yàn)橹本€l與曲線相切，所以Δ=4即m2因?yàn)橹本€l與單位圓相切，所以m聯(lián)立方程組m2解得k=±3，故直線l的方程可能是3x+y+2=0，3x?y+2=0，3故答案為：3x+y+2=0（或3x?y+2=0，3x?y?2=0，【變式1-2】（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知橢圓M:y2a2+(1)求M的離心率；(2)若直線l:y=x+m與M有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求l的一般式方程.【解題思路】（1）由橢圓M:y2a2+x2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)（2）聯(lián)立M和l的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ=0，可求得m=±22，即可得到【解答過(guò)程】（1）因?yàn)闄E圓M:y2a2+所以6a2=1由a2=b所以M的離心率e=c（2）

由（1）可得M的方程為，y2聯(lián)立y26+由Δ=4m2∴直線l的一般式方程為：x?y±22【變式1-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=x24與直線y=kx+a,a>0交與(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.【解題思路】（1）先求出M，N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M，N.（2）先作判定，再利用設(shè)而不求思想．將y=kx+a代入曲線C的方程整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用a表示出來(lái)，利用直線PM，PN的斜率為0，即可求出a,b關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】（1）由題設(shè)可得M(2a,a)，N?2a,a，或M故y=x24在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為a，y?a=a(x?2a故y=x24在x=?2a處的導(dǎo)數(shù)值為?ay?a=?a(x+2a故所求切線方程為ax?y?a=0或a（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P（0,b）為符合題意的點(diǎn)，M(x1,y1)將y=kx+a代入C得方程整理得x2∴x1∴k1+k2=當(dāng)b=?a時(shí)，有k1+k2=0，則直線故∠OPM=∠OPN，所以P(0,?a)符合題意.【題型2圓錐曲線的切點(diǎn)弦問(wèn)題】【例2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)M2,?2p引拋物線x2=2pyp>0的切線，切點(diǎn)分別為A，B.若AB的斜率等于2，則A．14 B．12 C．1【解題思路】先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再代入點(diǎn)M，得到A，B均滿足得到一元二次方程，即得到直線AB的方程和斜率，結(jié)合斜率為2解得參數(shù)即可.【解答過(guò)程】拋物線x2=2pyp>0，即y=設(shè)切點(diǎn)Ax1,y1所以切線MA方程為y?y1=同理切線MB方程為y=1兩切線均過(guò)點(diǎn)M2,?2p，故?2p=1px1?2?y1?2p=1px2?2?y2，即故p=1.故選：C.【變式2-1】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，且滿足A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】先設(shè)直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再寫出切線方程，聯(lián)立，根據(jù)條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再帶回到切線方程求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【解答過(guò)程】y2=6x,2p=6,p2=32設(shè)Ax1,y1在A點(diǎn)處的切線方程l1為y?同理可得在B點(diǎn)處的切線方程l2為：y=聯(lián)立方程y2=6xx=my+32，解得y2?6my?9=0聯(lián)立方程y=3y1x+y即P點(diǎn)在準(zhǔn)線x=?32上，設(shè)P?考慮拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取t=3，代入①得：3=3y1由圖可知y1=33,y故選：D.【變式2-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過(guò)P引雙曲線x2?y22=1【解題思路】根據(jù)雙曲線的切線方程（或切點(diǎn)弦方程）的結(jié)論直接代入即可得直線AB的方程.【解答過(guò)程】如下圖所示：方法一：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Ax根據(jù)結(jié)論：若點(diǎn)P0x0,y0在雙曲線則可得切線PA,PB的方程分別為x1x?y又因?yàn)镻1,1在切線上，可得x1?因此Ax1,可知直線AB的方程為x?y2=1方法二：可直接利用結(jié)論：若點(diǎn)P0x0,y0在雙曲線x2a2可得直線AB的方程為x?y2=1【變式2-3】（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Tm,n在橢圓C上（點(diǎn)T不在坐標(biāo)軸上），證明：直線mx2+ny=1(3)設(shè)點(diǎn)P在直線x=?1上（點(diǎn)P在橢圓C外），過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△PAB和△OAB的面積之和為1，求直線AB的方程.【解題思路】（1）根據(jù)已知建立關(guān)于a,b的方程組求解即可；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y，結(jié)合點(diǎn)Tm,n（3）設(shè)Ax1,y1,Bx2,【解答過(guò)程】（1）由題知，12a2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程x2（2）因?yàn)辄c(diǎn)Tm,n在橢圓C上，所以m22聯(lián)立x22+y2即2x2?4mx+2所以直線mx2+ny=1與橢圓（3）設(shè)Ax將x=?1代入x22+因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C外，所以t<?22或t>2由（2）可得，切線PA,PB的方程分別為x1因?yàn)辄c(diǎn)P在切線PA,PB上，所以?x所以點(diǎn)A,B在直線?x2+ty=1，即直線AB的方程為聯(lián)立x?2ty+2=0x2+2y2則y1所以AB=記點(diǎn)O,P到直線AB的距離分別為d1則d1因?yàn)椤鱌AB和△OAB的面積之和為1，所以12解得t=±1，所以AB的方程為x?2y+2=0或x+2y+2=0.【題型3切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【例3】（2024·湖南·三模）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B(1)求E的方程；(2)直線l:x=?4，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線PM,PN，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線AB的方程為x=12y+p2（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+n，Mx3,y3，Nx4,y【解答過(guò)程】（1）由已知，F(xiàn)p2,0，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A設(shè)AB的方程為x=12y+聯(lián)立y2=2pxx=12則y1所以|AB|=x解得p=4，故拋物線E的方程為：y2（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+n，Mx3,聯(lián)立y2=8xx=my+nΔ=64m2所以y3+y令y3>0，當(dāng)y2=8x可化為y=22x則在M處的切線PM的方程為：y?y即y=4同理可得切線PN的方程為：y=4聯(lián)立PM與PN的方程，解得xp所以y3y4=?32=?8n，則則直線MN的方程為x=my+4，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為4,0.【變式3-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)Q為直線x+y?2=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點(diǎn)分別為D、E），試證明動(dòng)直線DE恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解題思路】（1）根據(jù)條件得到關(guān)于a,b,c的方程組，即可求解；（2）首先利用點(diǎn)D,E的坐標(biāo)表示切線方程，并利用兩點(diǎn)確定一條直線，確定直線DE的方程，再根據(jù)含參直線確定定點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】（1）∵橢圓C:x2a橢圓上的點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F1∴ca解得a=2∴橢圓C的方程為x2（2）證明：設(shè)切點(diǎn)為Dx1,∵兩條切線都過(guò)x+y?2=0上任意一點(diǎn)Qm,2?m∴得到x1∴Dx1,又mx?2my+4y?2=0,mx?2y由x?2y=0y?12即對(duì)任意的m，直線mx+22?my=2始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn)∴動(dòng)直線DE恒過(guò)一定點(diǎn)1,1【變式3-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)與橢圓C':x24+(1)求拋物線C的方程．(2)證明直線MN過(guò)定點(diǎn)，并且求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)計(jì)算求參得出拋物線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線斜率再分別表示切線應(yīng)用同構(gòu)或待定系數(shù)法求解即可.【解答過(guò)程】（1）由題意橢圓C':xp2=1，∴p=2，∴（2）法一（同構(gòu)法）．設(shè)點(diǎn)Mx1,y1由y=x24?y′即x同理可得l∵點(diǎn)A∈lAM，代入l∵點(diǎn)A∈lAN，代入l∴點(diǎn)M、N都滿足關(guān)系ax=2∴l(xiāng)MN又點(diǎn)A∈l，∴2b=a?8，代入①得ax=2y+a?8?a故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)1,4．法二（配極原則）．設(shè)定點(diǎn)為Qx0,y0，由題目可知點(diǎn)即x對(duì)比l:x?2y?8=0的系數(shù)可得x∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)1,4．【變式3-3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·期中）已知橢圓E：x2a2+y(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0在其上一點(diǎn)Qx0,y0①證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；②求△ABM面積的最大值.【解題思路】（1）利用待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）①首先設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，求直線PA,PB的切線方程，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)確定直線方程；②根據(jù)①的結(jié)果，設(shè)直線AB的方程x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，利用坐標(biāo)表示△MAB的面積，再根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)求最值.【解答過(guò)程】（1）由條件可知a=2，e=ca=1則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）①設(shè)切點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，P(4,t)，又橢圓由條件，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線PA的方程得x1+y1t則A、B兩點(diǎn)都在直線x+yt則切點(diǎn)弦AB直線方程為x+yt直線AB過(guò)定點(diǎn)1,0.②M?2,0，設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)為K顯然直線AB不可能水平，故設(shè)直線AB方程為：x=my+1，x=my+1x3m因?yàn)橹本€AB恒過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)，所以Δ>0y1+yS△MAB==32×令m2S△MAB當(dāng)n∈1,+∞，所以當(dāng)n=1時(shí)，S△MAB最大值為9【題型4與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問(wèn)題】【例4】（2024·江西新余·一模）過(guò)點(diǎn)P(2，－1)作拋物線x2=4y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PEF與△OAB的面積之比為（A．32 B．33 C．12 【解題思路】由已知拋物線方程求導(dǎo)得y'=12x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，得出點(diǎn)A，B處的切線方程，求得點(diǎn)Ex12,0，F(xiàn)【解答過(guò)程】由x2=4y得y=14x2，求導(dǎo)得y'=12x，設(shè)A(x1，則點(diǎn)A，B處的切線方程為y?y即x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E2y1x1,0，F(xiàn)2y2因?yàn)檫@兩條切線都過(guò)點(diǎn)P(2，－1)，則2x所以lAB：x＝－1＋y，即lAB過(guò)定點(diǎn)(0，1)，則S△故選：C．【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）拋物線Γ:x2=2y上有四點(diǎn)A，B，C，D，直線AC，BD交于點(diǎn)P，且PC=λPA，PD=λPB0<λ<1．過(guò)A,B分別作ΓA．32 B．23 C．33【解題思路】由題意可得AB∥CD，取弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M,N，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m代拋物線，由韋達(dá)定理可得xM=k，yM=k2+m，xN=k，從而得P在直線MN【解答過(guò)程】解：由PC=λPA，PD=λPB0<λ<1設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M,N，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，代入x2=2y，得則xA+x所以xM=k，同理可得xN由拋物線的幾何意義可知點(diǎn)P在直線MN上，所以xP因?yàn)閤2=2y，所以y=1所以物線在A處的切線為l1:y?yy=xA同理可得物線在B處的切線為l2:y=x由y=xAx?綜上，xM=x所以M,N,P,Q四點(diǎn)共線，且所在直線平行于y軸，

由PC=λPA，得則xC=λx又xC所以有[λx又xA化簡(jiǎn)得2λx同理有2λx由兩式知直線AB的方程為：2λx因?yàn)閤P所以2λkx?2λy+(1?λ)k又直線AB過(guò)點(diǎn)M(k,k代入得yPS△ABP整理得?k即(3λ?1)(k由題可得yQ所以m>0，所以1?3λ=0，解得λ=1故選：D.【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C1：y2a2+x2b2=1a>b>0與拋物線C2(1)求橢圓C1與拋物線C(2)橢圓C1上一點(diǎn)P在x軸下方，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C2的切線，切點(diǎn)分別為A,B，求【解題思路】（1）根據(jù)焦點(diǎn)求出p可得拋物線方程，代入點(diǎn)1,?263（2）利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線的切線方程，將切線方程聯(lián)立可得點(diǎn)P坐標(biāo)，再求出AB，點(diǎn)P到AB的距離，表示出S△PAB【解答過(guò)程】（1）由F0,1，得p=2，故拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為由F0,1，得c=1，得a由橢圓C1過(guò)點(diǎn)1,?26得a2=4，故橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2故拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為y?y1=同理可得拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為y=1聯(lián)立得y=12x易得直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立得y=kx+mx2=4y，得x故x1+x2因此P2k,?m，由于點(diǎn)P2k,?m在橢圓C1又AB=點(diǎn)P到直線AB的距離d=2故S△PAB令t=k2+m故t=34?因此當(dāng)m=2時(shí)，t最大，則tmax所以S△PAB即△PAB的面積的最大值為82【變式4-3】（2024·貴州黔東南·二模）已知拋物線E:y2=2x的焦點(diǎn)為F，A，B，C(1)若FA+FB+(2)過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作E的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)D，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l1，l2的垂線l3，l（i）若AB=4，求△ABD（ii）若直線AB過(guò)點(diǎn)1,0，求點(diǎn)M的軌跡方程.【解題思路】（1）設(shè)Ax1,y1，B（2）（i）設(shè)直線AB的方程為x=my+n，Ax1,y1【解答過(guò)程】（1）依題意，F(xiàn)1設(shè)Ax1,y1由FA+FB+即x1由拋物線定義得，F(xiàn)A+（2）（i）顯然，直線AB的斜率不為0，可設(shè)直線AB的方程為x=my+n，Ax1,由y2=2x,x=my+nΔ=4m2+8n>0，∵y2=2x，則y=±∴切線l1的方程為y=同理，切線l2的方程為y=聯(lián)立兩直線方程y=1y1x+y則點(diǎn)D到直線AB的距離為d=m由AB=化簡(jiǎn)得：m2∴S△ABD=∴△ABD面積的最大值為8.（ii）若直線AB過(guò)點(diǎn)1,0，由（i），可以設(shè)直線AB的方程為x=my+1，∴y1+∴直線l3的方程為y=?同理，直線l4的方程為y=?聯(lián)立兩直線方程y=?y1x+整理后可得x=2m2+2,y=2m,消去∴點(diǎn)M的軌跡方程為y2【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問(wèn)題】【例5】（2024·河北·三模）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程．(2)設(shè)圓O：x2+y2=a2+b2，過(guò)圓O上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為【解題思路】（1）根據(jù)離心率和0,2得到方程，求出b,a（2）設(shè)Pm,n，先得到m2≠3，m2+n2=5，設(shè)過(guò)點(diǎn)P【解答過(guò)程】（1）由題意得b=2,c解得c=1,a=3，故橢圓方程為x（2）是，k1設(shè)Pm,n，當(dāng)m故m2≠3，設(shè)過(guò)點(diǎn)Pm,n與橢圓相切的直線為y?n=k與x23+由Δ=0得，6整理得m2過(guò)點(diǎn)Pm,n與橢圓相切的兩直線斜率分別為k1，所以k【變式5-1】（23-24高三上·浙江·期中）已知雙曲線E：y2a2?x2b2=1（a>0，b>0）過(guò)點(diǎn)Q3,2，且離心率為2，F(xiàn)2，F(xiàn)1為雙曲線E的上、下焦點(diǎn)，雙曲線E在點(diǎn)Q處的切線(1)求△F(2)點(diǎn)P為圓F2上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P能作雙曲線E的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，記直線MF1和NF1的斜率分別為k【解題思路】（1）先求切線方程，再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可求得△F（2）先求切線方程，找出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得.【解答過(guò)程】（1）

∵4a2?9設(shè)過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線的方程為：y=kx+t，由y2?x則Δ=6kt2又因?yàn)榍悬c(diǎn)為Q，所以2=3k+t，所以解得k=t=1則過(guò)點(diǎn)Q的切線l的方程為：2y?x=1.設(shè)Ax1,∴l(xiāng)交y軸于點(diǎn)H0,12，聯(lián)立直線l與圓消y得5x2?6x?31=0，∴x∴x1∴S△（2）

設(shè)Px0,y0，設(shè)過(guò)點(diǎn)Mx3,由（1）可知3k又因?yàn)閥3=kx3+t而y32?x3則（*）式可化為9y3可得k=x33y3整理可得過(guò)點(diǎn)M的雙曲線的切線方程為y3同理可得過(guò)點(diǎn)N的雙曲線的切線方程為y4又兩切線均過(guò)點(diǎn)Px0,因此，直線MN的方程為y聯(lián)立直線MN與雙曲線E的方程y0消y可得x02所以y=因?yàn)閤02+y所以k1【變式5-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E:x2=2py(p>1)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P1,?1作拋物線(1)求拋物線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線l1,l2，直線l1交拋物線E于A,B兩點(diǎn)，直線l2交拋物線E于C,D兩點(diǎn)，連接AD,BC,AC,BD，設(shè)【解題思路】（1）先設(shè)點(diǎn)Mx1,（2）設(shè)直線l1的方程y+1=kx?1,通過(guò)和拋物線聯(lián)立求出韋達(dá)定理，同理求出l2【解答過(guò)程】（1）設(shè)切點(diǎn)Mx1,x1所以以M為切點(diǎn)的切線方程為y?x因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P1,?1，所以x12所以x1，x2是方程又因?yàn)镕M+所以p2?3p+2=0，即又因?yàn)閜>1，所以p=2，所以拋物線E的方程為x2（2）由題意，l1,l2斜率都存在且不為0，設(shè)直線聯(lián)立直線l1和拋物線E的方程，得y=kx?k+1,設(shè)AxA,yA所以kAC+kBD=yC?所以kAC所以kAC【變式5-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2=r2有以下性質(zhì)：①過(guò)圓C上一點(diǎn)Mx0,y0的圓的切線方程是x0x+y0y=r2．②若Mx0,y0為圓C外一點(diǎn)，過(guò)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B(1)類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過(guò)橢圓C′:x(2)過(guò)橢圓C′:x2a2+(3)若過(guò)橢圓C′:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點(diǎn)【解題思路】（1）類比可得過(guò)橢圓上一點(diǎn)Mx0,（2）由兩切線都過(guò)M，過(guò)A,B兩點(diǎn)確定一條直線可得，過(guò)AB的直線方程為x0（3）由（2）所得過(guò)AB的直線方程，可得kAB=?b2x0a2y0,kOM=y0x0，則kAB【解答過(guò)程】（1）過(guò)橢圓C′:x2a（2）過(guò)橢圓C′:x與橢圓相切于A,B兩點(diǎn)，設(shè)Ax由（1）的結(jié)論可得A處的切線方程為x1xa2+又兩切線都過(guò)M，可得x1由過(guò)A,B兩點(diǎn)確定一條直線可得，過(guò)AB的直線方程為x0（3）由（2）可得過(guò)AB的直線方程為x0可得kAB=?b由A,B都在橢圓上，可得x1相減可得x1設(shè)AB的中點(diǎn)為Nm,n，可得x則kAB=y則得kON則OM過(guò)AB的中點(diǎn)，即OM平分線段AB．【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題】【例6】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）記橢圓C：x2+2y2=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線l交橢圓于A，B，A，B處的切線交于點(diǎn)P，設(shè)A．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】先根據(jù)題意，得到F1?22,0，F(xiàn)222,0，設(shè)直線l的方程為y=kx?22，Ax1,y1，Bx2,y【解答過(guò)程】橢圓x2+2y2=1由題意，易知直線l的斜率存在，（若斜率不存在，則F1,F2,P三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形），設(shè)直線l的方程為y=k對(duì)x2+2y2=1兩邊同時(shí)求關(guān)于x則橢圓在點(diǎn)Ax1,則橢圓在點(diǎn)Ax1,即x1x+2y同理，橢圓在點(diǎn)Bx2,由x1x+2y則x=y所以y=1?2x12又△F1F2P的垂心為H即PH⊥x軸，則H的橫坐標(biāo)也為2，記H的縱坐標(biāo)為yH由F1H⊥PF2得kF因此PH=因?yàn)閘過(guò)點(diǎn)F2，所以直線l與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，故k∈R且k≠0則PH=當(dāng)且僅當(dāng)322k故選：D.【變式6-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線Γ：y=14x2的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交Γ于點(diǎn)A,B，分別在點(diǎn)A,B處作Γ的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)PA．0,1 B．0,12 C．0,1【解題思路】設(shè)直線l的方程為y=kx+1，Ax1,y1,Bx2,【解答過(guò)程】顯然直線l的斜率存在，因此設(shè)直線的方程為y=kx+1，Ax1由y=kx+1x2=4y得x故x1因?yàn)閥′=x2，所以過(guò)A,B與Γ相切的直線方程分別為：因此由y=x1x2?所以1==x1=16因?yàn)閗∈R，所以4k2+1所以1PA2+故選:C.【變式6-2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線l與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l1，在B點(diǎn)處的切線為l2，直線l1與直線l2交于點(diǎn)M(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求|AB||MN|【解題思路】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解p=2，（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N(2k,2k2+2)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，即可聯(lián)立兩直線方程得M(2k,?2)【解答過(guò)程】（1）當(dāng)l的斜率為450時(shí)，則l:y=x+2，不妨設(shè)A由y=x+2x2=2py可得，x∴AB=即p2+4p?12=0，因?yàn)閜>0，解得：從而拋物線C的方程為x2（2）由題意可知直線l有斜率，設(shè)直線l:y=kx+2，Ax由y=kx+2x2=4y可得，所以x1于是xN=x而|AB|=1+由C:x2=4y于是拋物線C在點(diǎn)A處的切線l1的方程為即y=1同理可得，在點(diǎn)B處的切線l2的方程為y=聯(lián)立l1與l2的方程，解得y=x1從而|AB||MN|所以，|AB||MN|的取值范圍是[【變式6-3】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM與圓C1：x+12+y2=49和圓C2(1)求Γ的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則曲線上一點(diǎn)x0,y0處的切線方程為：Ax0x+Bx0y+y0x+Cy（?。┳C明：A1（ⅱ）點(diǎn)A1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′1，直線A′1A2交x軸于點(diǎn)N，直線PC2交曲線Γ于G，H兩點(diǎn).記△G【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的幾何定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）（i）根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)P坐標(biāo)后，得出直線A1（ii）聯(lián)立直線A1A2的方程與橢圓Γ的方程，由韋達(dá)定理得出y1+y2，y1y2，進(jìn)而求解出直線【解答過(guò)程】（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，由題意得圓C1和圓C因?yàn)镸與C1，C所以MC1=7?r所以MC又C1?1,0，C2所以點(diǎn)M的軌跡是以C1，C設(shè)Γ的方程為：x2則2a=6，2c=2，所以b2故Γ的方程為：x（2）（i）證明：設(shè)A1x1,y由題意中的性質(zhì)可得，切線PA1方程為切線PA2方程為因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P9,t，所以x1+故直線A1A2的方程為：x+ty而直線PC2的斜率為：因?yàn)閗PC2（ii）由直線A1A2的方程為：x+ty8聯(lián)立x=my+18x2由韋達(dá)定理得y1又A′1x1,?令y=0得，x=2m所以直線A′1A2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)再由A1A2⊥PC再聯(lián)立y=?mx?18x設(shè)Gx3,y3因?yàn)閥3y=64所以S1?S2max又因?yàn)閙≠0，所以S1一、單選題1．（23-24高二下·江西鷹潭·期末）拋物線y2=9x在點(diǎn)1,3處的切線的斜率為（A．－1 B．?32 C．3【解題思路】設(shè)切線方程為y?3=kx?1，聯(lián)立方程組，Δ【解答過(guò)程】根據(jù)題意，拋物線y2=9x在點(diǎn)設(shè)切線方程為y?3=kx?1聯(lián)立方程組y?3=kx?1y2則k≠0Δ=81?4k27?9k故選：C.2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過(guò)點(diǎn)4,33作直線，使它與雙曲線x24A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解題思路】根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，與漸近線平行以及該點(diǎn)處的切線均只與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)即可求解.【解答過(guò)程】當(dāng)x=4時(shí)，164?y29因此過(guò)點(diǎn)4,33設(shè)y=kx?4+33（k≠±將其代入雙曲線方程可得x24?令Δ=8k解得k=3故過(guò)點(diǎn)4,33或者由x24?當(dāng)y>0時(shí)，y=32x2?4，故y故過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,33的直線方程為y=3x?4聯(lián)立x24?y29=1因此在點(diǎn)4,33綜上可知：過(guò)點(diǎn)4,33故選：C.3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知直線l與橢圓Γ，點(diǎn)F1,F2分別為橢圓Γ:x22+y2=1的左右焦點(diǎn)，直線F1M⊥l，A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【解題思路】設(shè)直線方程為y=kx+t，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式和點(diǎn)到直線的距離公式求出t與k的關(guān)系，再根據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)題意可知直線l斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+t，聯(lián)立x22當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，Δ=4kt2由題意F1因?yàn)镕1M⊥l，F(xiàn)2所以當(dāng)F1M?解得t2=2k所以“直線l與橢圓Γ相切”是“F1故選：C.4．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知過(guò)圓錐曲線x2m+y2n=1上一點(diǎn)Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=0【解題思路】根據(jù)題中所給的結(jié)論，求出過(guò)A3,?1的切線方程，進(jìn)而可以求出切線的斜率，利用互相垂直的直線之間斜率的關(guān)系求出過(guò)A點(diǎn)且與直線l【解答過(guò)程】過(guò)橢圓x212+y24=1上的點(diǎn)A3,?1的切線l的方程為與直線l垂直的直線的斜率為?1，過(guò)A點(diǎn)且與直線l垂直的直線方程為y+1=?x?3，即x+y?2=0故選：B.5．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P3,?2作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且Q為C上一動(dòng)點(diǎn)，若QFA．75 B．1252 C．752 【解題思路】根據(jù)拋物線定義得到p=4，再利用導(dǎo)數(shù)得到切點(diǎn)弦所在直線方程，再求出直線AB的長(zhǎng)和點(diǎn)P到直線AB的距離，最后利用三角形面積公式即可.【解答過(guò)程】當(dāng)F，Q，P三點(diǎn)共線時(shí)，QF+PQ取得最小值，且所以|FP|=9+(p2+2)由y=18x設(shè)A(x1,y1)，B(x即y=14x1x?同理可得2=34x2?y2聯(lián)立方程組3x?4y+8=0,x2=8y,得2y2因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)F，所以AB=點(diǎn)P到直線3x?4y+8=0的距離d=|3×3?4×(?2)+8|所以S△P故選：D.6．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)橢圓C：x24+y23=1上的點(diǎn)Ax1,y1，A．?32 B．?94 【解題思路】利用橢圓的切點(diǎn)弦方程得直線AB的方程為x+ty【解答過(guò)程】先證橢圓的切線方程：對(duì)于x2a2+y2b證明：當(dāng)該切線存在斜率時(shí)，不妨設(shè)其方程為y=kx+t，與橢圓方程聯(lián)立可得：a2則Δ=2代入切線方程得n=b于是k=?tma2整理得：mxa由橢圓方程x24+y23=1設(shè)兩切線交點(diǎn)P4,t，易得切線PA的方程為x切線PB的方程為x2由于點(diǎn)P在切線PA、PB上，則x1=ty1聯(lián)立方程x24+y23=1由韋達(dá)定理得y1即y1?y故選：B．7．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4y，過(guò)直線l：x+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)P可作C的兩條切線，記切點(diǎn)為A,B，則直線AB（A．斜率為2 B．斜率為±2 C．恒過(guò)點(diǎn)0,?2 D．恒過(guò)點(diǎn)?1,?2【解題思路】設(shè)Ax1,y1,Bx2,【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,y1由于y′=12x即y?y1=同理可得過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y+y設(shè)P4?2n,n，過(guò)點(diǎn)Ax1故n+y1=同理n+y2=故直線AB的方程為y+n=2?n斜率不為定值，AB錯(cuò)誤，當(dāng)x=?1時(shí)，y=?2，恒過(guò)點(diǎn)?1,?2，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）拋物線E:y2=x的焦點(diǎn)為F，P為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A與PA．1 B．2 C．3 D．1【解題思路】根據(jù)過(guò)點(diǎn)P的直線與拋物線相切，得到PA⊥PB，利用拋物線對(duì)稱性設(shè)不妨設(shè)切點(diǎn)為A在第一象限，然后利用導(dǎo)函數(shù)求切線斜率，進(jìn)而求出直線方程，得P?14【解答過(guò)程】

由y2=x，可知拋物線焦點(diǎn)F1因?yàn)镻為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，設(shè)P?設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與拋物線相切的直線為：y?t=kx+由y?t=kx+14所以Δ=16?4×4kk+4t=0所以kPA，k所以kPA?k所以PA?利用拋物線對(duì)稱性，不妨設(shè)切點(diǎn)為A在第一象限，坐標(biāo)為Ax由y2=x得y=x所以直線PA的斜率kPA代入①可得切線PA的方程為：y?t=1又因?yàn)辄c(diǎn)Ax0,所以x0?t=1所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P?所以PA=x0所以PA=x當(dāng)且僅當(dāng)x04=164x0故選：D.二、多選題9．（23-24高二上·山西呂梁·期中）已知雙曲線E過(guò)點(diǎn)?2,32且與雙曲線x24?y29=1共漸近線，直線l與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是xB．若AB的中點(diǎn)為1,4，則直線l的方程為9x?16y+55=0C．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,y1D．若點(diǎn)P在直線3x?4y+6=0上運(yùn)動(dòng)，則直線l恒過(guò)點(diǎn)3,6【解題思路】A選項(xiàng)，根據(jù)兩雙曲線共漸近線設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)?2,32運(yùn)算得解判斷；B選項(xiàng)，運(yùn)用點(diǎn)差法求得直線l的斜率，即可得出直線方程可判斷；C選項(xiàng)，設(shè)PA:y=kx?x1+y1，將直線代入雙曲線E方程，由Δ=0，解得斜代回可得直線AP的方程；D選項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)Bx2,【解答過(guò)程】因?yàn)殡p曲線E與雙曲線x2所以可設(shè)雙曲線E的方程為x24?y2所以(?2)24?(32)2設(shè)Ax1,y1，Bx2,y得y12?又AB的中點(diǎn)為1,4，所以x1+x2=2直線l的方程為y?4=916x?1設(shè)直線PA:y=kx?x1+y1，代入曲線x12+4k2即直線AP的方程為9x設(shè)Bx2,y2，由選項(xiàng)C同理可得直線BP的方程為9x2因?yàn)辄c(diǎn)P在AP與BP上，所以9ax1?3a+6y即9x?3ya+36?6y=0，令9x?3y=0所以直線l恒過(guò)點(diǎn)2,6，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）已知拋物線x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，且AF=6，點(diǎn)M是拋物線上BA間不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)N，拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)A．拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,3B．過(guò)點(diǎn)N作拋物線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為±C．在△FMN中，若MN=tMF，t∈R，則tD．TF【解題思路】設(shè)點(diǎn)Dt,?p2，可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得p的值，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)切線方程為y=kx?32，將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，由判別式為零求出k【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F設(shè)點(diǎn)Dt,?p2，因?yàn)镕為線段AD由拋物線的定義可得AF=3p2+p對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，拋物線的方程為x2=6y，點(diǎn)若切線的斜率不存在，則該直線與拋物線x2所以，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為y=kx?3聯(lián)立y=kx?32x2=6y可得x所以，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為3k=±3，縱坐標(biāo)為3k26=對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)M作ME與直線y=?32垂直，垂足點(diǎn)為點(diǎn)由拋物線的定義可得FM=ME，由圖可知，當(dāng)直線MN與拋物線x2=6y相切時(shí)，銳角此時(shí)，t取最大值，

由B選項(xiàng)可知，銳角∠MNE的最大值為π4，故t的最大值為1對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)Ax1,若直線AB的斜率不存在，則直線AB與拋物線x2所以，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+3聯(lián)立x2=6yy=kx+32由韋達(dá)定理可得x1+x2=6k，x所以，直線AT的方程為y?y1=同理可知，直線BT的方程為y=x因?yàn)閗ATkBT聯(lián)立y=x1x3?則FT=3k,?3，而所以，F(xiàn)T?AB=3k所以，∠TBF=90由tan∠TBF=tan∠ATF可得TF故選：CD.11．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x22+y2=1,O為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)Px0,y0作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為AA．k3?k4為定值C．x0?y0的最大值為2【解題思路】設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由k1?k2=14得到方程，求出t2=4k2?1，證明橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)在Qx3,y3【解答過(guò)程】由于k1?k2=14所以直線AB方程斜率一定存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，聯(lián)立x21+2k設(shè)Ax1,故y=k其中k1故y1y2所以?8k2+4下面證明橢圓E:x2a2+當(dāng)y3≠0時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為代入橢圓方程得：a2由Δ=a2所以x3把x3=?a2于是n=?m則橢圓的切線斜率為?b2x整理得到a2其中b2x32+當(dāng)y3=0時(shí)，此時(shí)x3當(dāng)x3=a時(shí)，切線方程為x=a，滿足當(dāng)x3=?a時(shí)，切線方程為x=?a，滿足綜上：橢圓E:x2a2+故橢圓在點(diǎn)Ax1,同理可得，橢圓在點(diǎn)Bx2,由于點(diǎn)Px0,y0故x1x0所以直線AB為x0因?yàn)橹本€AB的方程為y=kx+t，對(duì)照系數(shù)可得k=?x又t2=4k2?1又Px故點(diǎn)Px0,A選項(xiàng)，k3=?b則k3B選項(xiàng)，k=1其中k==又t2故k1故k1C選項(xiàng)，由于x02?y02=1設(shè)x0?y0=sD選項(xiàng)，由于x02?y02=1設(shè)5x0?3則兩式聯(lián)立得?16y由Δ=36?2檢驗(yàn)，當(dāng)?=4時(shí)，5x0?3解得x0故5x故選：AD.三、填空題12．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B【解題思路】設(shè)PA的斜率為k，得到PA:y?y1=k(x?x1)，聯(lián)立方程組，根據(jù)Δ=0和雙曲線的方程，求得k=x1y1，得到PA【解答過(guò)程】設(shè)A(x1,y1則PA:y?y1=k(x?消去y得(1?k因?yàn)镻A與雙曲線相切，所以Δ=4即4(y1即(x因?yàn)閤12?代入可得y12k2?2所以PA:y?y1=同理可得PB的方程為y2因?yàn)镻(3,3)在切線PA,PB上，所以3y所以A,B滿足方程3y=3x?1，又由兩點(diǎn)確定一條直線，所以A,B滿足直線方程3y=3x?1，所以過(guò)A,B的直線方程為3x?3y?1=0.故答案為：3x?3y?1=0.13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)P為圓O：x2+y2=5上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓x23+y22=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)O，P到直線【解題思路】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,y1由題意，得橢圓x23+y22=1在點(diǎn)A兩條切線均過(guò)點(diǎn)P(x0,y0所以直線AB的方程為x0x3所以d1=64x因?yàn)閤02+y02=5，所以y故答案為：65