高等數(shù)學（慕課版）教案 教學設計-5.4 定積分的應用；5.5 反常積分

《高等數(shù)學（慕課版）》教學設計教學內(nèi)容：定積分的應用完成時間：2025年2月授課信息授課內(nèi)容授課時長定積分的應用2學時授課形式授課時間理論課授課對象授課地點內(nèi)容分析本節(jié)課是在學習了定積分的概念與計算的基礎上，介紹定積分（在幾何上）的應用，它是微積分解決初等數(shù)學問題的一個生動實例，是培養(yǎng)學生應用高等數(shù)學知識解決問題的意識的重要體現(xiàn)。學情分析1、學生已有的知識與能力：(1)已掌握了定積分概念、定積分的幾何意義及相關(guān)數(shù)學思想；(2)已學習了定積分的計算的各種方法。2、學生可能存在的問題及困難：(1)學生對復雜函數(shù)定積分的計算有些畏難；(2)邏輯思維能力不夠強,不夠嚴密；空間想象能力差一些。教學目標知識目標：1、理解定積分的微元法；2、了解定積分的在幾何中的應用；3、了解定積分在經(jīng)濟學中的應用。能力目標：會用定積分求平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積素質(zhì)目標：1、培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力；2、進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、空間想象能力以及應用定積分的基本思想解決問題的能力。教學重點重點1、微元法；2、定積分在幾何中的應用。確立依據(jù)“微元法”思想是積分學中重要的思想方法，在實際生活中有非常廣泛的應用；合理有效地利用微元法思想可以使原本復雜的問題變得簡單易行；而平面圖形的面積求解問題是微元法最常見的應用。突出重點的策略明確教學目標；針對學生的認知規(guī)律，采取適當?shù)慕虒W方法和手段，由淺入深、循序漸進的方式，突出重點內(nèi)容的教學環(huán)節(jié)、安排適當?shù)木毩暤?。教學難點難點平面圖形面積計算中積分變量的選擇問題確立依據(jù)對于平面圖形的面積計算，有時積分變量的選擇并不唯一，而選擇不同的積分變量將會導致積分算式的繁簡程度的不同。考慮到學生現(xiàn)階段對這類問題的訓練還不夠多，故確定該問題是本節(jié)課的難點。解決難點的策略基于學生的認真規(guī)律，分層次設計例題和練習，講練結(jié)合，通過例題和練習加以練習和總結(jié)，逐步突破難點。教學方法引導探究法、講授法、問答法、練習法、演示法教學設計課前任務→回顧復習+導入新課（7min）→講授新課（55min）→鞏固提高（25min）→歸納總結(jié)（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設計微元法的思想是通過無限細分來逼近真實值，強調(diào)了“化整為零”的思維方式。這種思維方式可以類比到人生中的許多方面，比如面對困難和挑戰(zhàn)時，需要化整為零，逐個突破，啟發(fā)學生樹立正確的方法觀和人生觀。教學過程課前環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)課前任務教師活動學生活動設計意圖課前導學熟記基本積分公式。2、復習定積分的概念和幾何意義，預習新課。1、發(fā)布任務：課前兩天學習通發(fā)布任務，并提醒學生接收任務；2、跟蹤提醒：通過學習通觀測任務完成情況，及時督促提醒，把握學生學習難點。按時完成課前任務，明確本節(jié)課個人學習難點。1、鍛煉自學能力：自主學習，掌握易點，發(fā)現(xiàn)難點；2、優(yōu)化教學策略：依據(jù)課前任務完成情況，掌握學情，調(diào)整優(yōu)化教學策略。課中環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容教師活動學生活動設計意圖導入新課【回顧復習】基本積分公式；定積分的概念。1、聽寫積分公式；2、帶領學生回顧定積分的概念，分析定積分的數(shù)學定義式的形成，然后嘗試定義的形成過程。從而引出微元法。1、認真復習、認真默寫公式。2、積極思考，再次體會定積分的核心思想。根據(jù)“建構(gòu)主義理論”，任務的目標性與教學情境的創(chuàng)建，使學生帶著任務學習，有利于激發(fā)學生的求知欲?！疽胄轮?、定積分的概念與幾何意義；2、牛頓-萊布尼茨公式。探究新知一、微元法1、定義2、核心思想基于定積分的定義和幾何意義，通過分析簡化定積分定義的形成步驟：（1）選變量；（2）求微元；（3）求積分。指出像這樣處理和解決問題的方法稱為微元法(元素法)。認真聆聽，思考換元積分法在不定積分與定積分中的不同。教師主導，學生主體，引導探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。平面圖形的面積1.直接坐標系下平面圖形的面積（1）X型（2）Y型*2.極坐標系下平面圖形的面積1、帶領學生直觀地分析X型區(qū)域下的圖形面積如何求解，再從微元法的角度來求解；Y型區(qū)域同理；(1)在平面直角坐標系中求由曲線,和直線,圍成圖形的面積，其中函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)，且，求得平面圖形面積為 .(2)由曲線,和直線，（）圍成圖形(如圖所示)的面積為： ．2、極坐標系下平面圖形的面積設曲線由表示，求由曲線及射線，所圍圖形的面積為3、通過例題引導學生學會用微元法求平面圖形的面積?！纠?.21】-【例5.24】認真聆聽，積極思考，在教師的引導下學會求解平面圖形的面積。三、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積（1）繞X軸旋轉(zhuǎn)（2）繞Y軸旋轉(zhuǎn)*2.平行截面面積為已知的立體的體積1、介紹旋轉(zhuǎn)體的定義由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.2、講解如何用微元法求解旋轉(zhuǎn)體的體積(1)由連續(xù)曲線,直,及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為.(2)由連續(xù)曲線,直線,及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為．3、講解如何用微元法求解平行截面面積為已知的立體的體積設該立體在過點,且垂直于軸的兩個平行平面之間，并設過任意一點的截面面積為，這里是連續(xù)函數(shù)，該立體體積為.4、通過例題引導學生練習求解體積【例5.25】-【例5.27】認真聆聽，調(diào)動空間想象能力，積極思考教師的問題和新知識的講授。四、經(jīng)濟問題1.已知變化率求總量問題可利用定積分計算.設總產(chǎn)量的變化率為,則由到時間內(nèi)生產(chǎn)的總產(chǎn)量為.2.講解例題【例5.28】認真聆聽，積極思考教師的問題和新知識的講授。鞏固提高1、平面圖形的面積計算2、旋轉(zhuǎn)體的體積求解【練習1】【練習2】1、引導學生對所學新知進行鞏固練習，已達到真正內(nèi)化的效果；2、留一定時間給學生做習題練習，并講評學生的做題情況。認真聆聽教師對例題的講解；獨立完成練習題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。分層次設置練習，循序漸進地使學生及時鞏固所學。課堂小結(jié)本節(jié)課重點、要點內(nèi)容總結(jié)：微元法，定積分在幾何中的應用（計算公式）。和學生一起回顧與強調(diào)本節(jié)課重點知識，強化學生學習效果。認真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強化課堂學習效果。課后環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學活動教師活動學生活動設計意圖拓展任務【書面作業(yè)】課后習題1、2、5題【預習】反常積分1、發(fā)布任務2、指導協(xié)助了解情況并給予指導。接受任務，查閱課本與資料，認真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學，又起到預習作用。教學評價（1）評價構(gòu)成課程堅持強化過程性評價、探索增值性評價的評價改革要求，著眼于學生長期發(fā)展需要的滿足，將終結(jié)性評價與過程性評價相結(jié)合，側(cè)重過程性評價。（2）評價要素過程性評價主要依托學習通平臺，完成課前、課中和課后全過程學習軌跡記錄和評價。主要包括：課前任務完成、課堂學習活動、課后任務完成情況等要素。（3）評價標準在評價學生時注重“三個結(jié)合”：學習過程與學習結(jié)果結(jié)合、理論知識與實踐能力結(jié)合、課程學習成績與學生日常行為素質(zhì)表現(xiàn)結(jié)合教學反思微元法是數(shù)學中的一種很重要的思想方法，與前面所學的定積分的概念和幾何意義有著密切的關(guān)系，一定要先讓學生們理解這種方法，然后再進入定積分的應用。可以再挖掘一些定積分在學生所學專業(yè)中的應用案例，加強數(shù)學與專業(yè)的聯(lián)系。板書設計5.4定積分的應用（主板）微元法1、選變量2、求微元3、算積分平面圖形的面積直角坐標系下平面圖面圖形的面積2、極坐標系下平面圖形的面積體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積2、截面面積已知的立體體積四、定積分在經(jīng)濟學中的應用（副板）例題+重點步驟《高等數(shù)學（慕課版）》教學設計教學內(nèi)容：反常積分完成時間：2025年2月授課信息授課內(nèi)容授課時長反常積分1學時授課形式授課時間理論課授課對象授課地點內(nèi)容分析反常積分是對定積分的推廣，是積分學中處理特殊積分情形的重要工具，能解決無限區(qū)間或無界函數(shù)的積分問題。反常積分的學習，可解決后續(xù)概率統(tǒng)計里連續(xù)型隨機變量在無限區(qū)間概率等問題。學情分析1、學生已有的知識與能力：(1)系統(tǒng)學習了定積分的概念、性質(zhì)及計算方法，對積分的基本思想有了一定的理解；(2)具備了一定的邏輯思維能力和運算能力，能夠進行一些基本的數(shù)學推導和計算。2、學生可能存在的問題及困難：(1)反常積分涉及到極限的概念和運算，對學生的極限運算能力和抽象思維能力提出了更高要求，部分學生在處理復雜極限問題時可能會遇到困難，需要在教學中強化訓練；(2)內(nèi)容有一定難度，部分基礎薄弱的學生可能會產(chǎn)生畏難情緒，需要關(guān)注并及時給予鼓勵和指導。教學目標知識目標：1、理解無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分的定義；2、明確反常積分的斂散性；能力目標：會計算反常積分素質(zhì)目標：培養(yǎng)學生善于洞察研究對象本質(zhì)的能力，掌握數(shù)學知識間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當?shù)耐评聿⒆鞒稣_的猜想；2、通過積分的運算，訓練學生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.教學重難點教學重點：無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分的定義，反常積分的斂散性教學難點：反常積分的計算教學方法引導探究法、講授法、問答法、練習法、演示法教學設計課前任務→回顧復習+導入新課（7min）→講授新課（25min）→鞏固提高（10min）→歸納總結(jié)（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設計反常積分將定積分從有限區(qū)間、有界函數(shù)拓展到無窮區(qū)間和無界函數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學概念從特殊到一般、從有限到無限的辯證發(fā)展過程。引導學生思考這一過程，培養(yǎng)學生的辯證思維能力，讓學生明白事物是不斷發(fā)展變化的，在學習和生活中要用發(fā)展的眼光看待問題。教學過程課前環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)課前任務教師活動學生活動設計意圖課前導學復習定積分概念。復習牛頓-萊布尼茲公式及定積分計算的換元積分法、分部積分法。3、預習反常積分。1、發(fā)布任務：課前兩天學習通發(fā)布任務，并提醒學生接收任務；2、跟蹤提醒：通過學習通觀測任務完成情況，及時督促提醒，把握學生學習難點。按時完成課前任務，明確本節(jié)課個人學習難點。1、鍛煉自學能力：自主學習，掌握易點，發(fā)現(xiàn)難點；2、優(yōu)化教學策略：依據(jù)課前任務完成情況，掌握學情，調(diào)整優(yōu)化教學策略。課中環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容教師活動學生活動設計意圖導入新課【回顧復習】定積分概念；牛頓-萊布尼茨公式。帶領學生回顧復習定積分概念、性質(zhì)及計算方法，指出定積分的積分區(qū)間是有限的，被積函數(shù)是有界的，從而引出反常積分。認真復習、認真思考。根據(jù)“建構(gòu)主義理論”，任務的目標性與教學情境的創(chuàng)建，使學生帶著任務學習，有利于激發(fā)學生的求知欲。【引入新知】問題思考：計算由曲線與軸、軸所圍成的“開口曲邊梯形”的面積.通過課前的思考題導入新課，讓學生意識到對于一些題目，利用定積分并不能解決時，思考新的解決方案。積極思考，體會前面所學過的計算工具的局限性，意識到引入反常積分的必要性。探究新知一、無窮限的反常積分1、定義2、計算1、無窮限的反常積分(三種情形)；定義5.2設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，任取，如果極限存在，則稱該極限值為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，此時,也稱反常積分收斂；若上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散．與此類似，定義另外兩種情況。2、通過例題引導學生學會用無窮限反常積分的定義計算反常積分。【例5.29】-【例5.30】積極思考，在教師的引導下學會計算無窮限反常積分。教師主導，學生主體，引導探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。無界函數(shù)的反常積分1、定義2、計算1、無界函數(shù)的反常積分(三種情形)；定義5.3設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的反常積分，記作，這此時稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，稱反常積分發(fā)散．與此類似，定義另外兩種情況。2、通過例題引導學生學會用無界函數(shù)反常積分的定義計算反常積分?！纠?.31】-【例5.32】認真聆聽，思考無窮限反常積分的計算過程。鞏固提高1、無窮限反常積分2、無界函數(shù)的反常積分【練習1】、【練習2】1、引導學生對所學的計算方法進行鞏固練習，已達到真正內(nèi)化的效果；2、留一定時間給學生做習題練習，并講評學生的做題情況。認真聆聽教師對例題的講解；獨立完成練習題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。分層次設置練習，循序漸進地使學生及時鞏固所學。課堂小結(jié)本節(jié)課重點、要點內(nèi)容總結(jié)：反常積分的定義與計算和學生一起回顧與強調(diào)本節(jié)課重點知識，強化學生學習效果。認真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強化課堂學習效果。課后環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學活動教師活動學生活動設計意圖拓展任務【書面作業(yè)】課后習題5.5：1題1、發(fā)布任務2、指導協(xié)助了解情況并給予指導。接受任務，查閱課本與資料，認真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學，又起到預習作用。教學評價（1）評價構(gòu)成課程堅持強化過程性評價、探索增值性評價的評價改革要求，著眼于學生長期發(fā)展需要的滿足，將終結(jié)性評價與過程性評價相結(jié)合，側(cè)重過程性評價。（2）評價要素過程性評價主要依托學習通平臺，完成課前、課中和課后全過程學習軌跡記錄和評價。主要包括：課前任務完成、課堂學習活動、課后任務完成情況等要素。（3）評價標準在評價學生時注重“三個結(jié)合”：學習過程與學習結(jié)果結(jié)合、理論知識與實踐能力結(jié)合、課程學習成績與學生日常行為素質(zhì)表現(xiàn)結(jié)合教學反思在內(nèi)容講解時，對反常積分概念從定積分的拓展闡釋較為清晰，通過對比有限區(qū)間定積