2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)48兩條直線的位置關(guān)系文北師大版

PAGE1-課后限時(shí)集訓(xùn)48兩條直線的位置關(guān)系建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1．直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不能確定C[∵eq\f(2,1)≠eq\f(1,2)，∴兩條直線相交，又2×1＋1×2≠0，故兩條直線不垂直．]2．過點(diǎn)(2,1)且與直線3x－2y＝0垂直的直線方程為()A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0B[設(shè)要求的直線方程為2x＋3y＋m＝0，把點(diǎn)(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.所以所求的直線方程為2x＋3y－7＝0.故選B.]3．已知直線l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0相互平行，則實(shí)數(shù)m等于()A．－1或3 B．－1C．－3 D．1或－3A[由題意知eq\f(1,m－2)＝eq\f(m,3)≠eq\f(7,2m)，解得m＝3或m＝－1.故選A.]4．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C[設(shè)P(x,5－3x)，則d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化簡(jiǎn)得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．]5．若直線l1：x－3y＋2＝0與直線l2：mx－y＋b＝0關(guān)于x軸對(duì)稱，則m＋b＝()A.eq\f(1,3) B．－1C．－eq\f(1,3) D．1B[直線l1：x－3y＋2＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為x＋3y＋2＝0.由題意知m≠0.因?yàn)閙x－y＋b＝0，即x－eq\f(y,m)＋eq\f(b,m)＝0，且直線l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)＝3，,\f(b,m)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,3)，,b＝－\f(2,3)，))則m＋b＝－eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－1.]二、填空題6．兩平行直線2x＋y＝0與4x＋2y－1＝0之間的距離為________．eq\f(\r(5),10)[由2x＋y＝0得4x＋2y＝0，則兩平行直線之間的距離為d＝eq\f(|－1－0|,\r(42＋22))＝eq\f(\r(5),10).]7．平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是________．y＝2x－3[在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)為M(2,1)，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)為N(1，－1)．由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線MN的方程為eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.]8．直線x－2y＋2＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是________．x＋2y－4＝0[法一：設(shè)P(x，y)為所求直線上的點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為(2－x，y)，且該對(duì)稱點(diǎn)在直線x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.法二：直線x－2y＋2＝0與直線x＝1的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，則所求直線過點(diǎn)P.因?yàn)橹本€x－2y＋2＝0的斜率為eq\f(1,2)，所以所求直線的斜率為－eq\f(1,2)，故所求直線的方程為y－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－4＝0.]三、解答題9．在△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0，∠A的平分線所在直線的方程為y＝0.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)，求：(1)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)△ABC的面積．[解](1)由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝0，))解得點(diǎn)A(－1,0)．又直線AB的斜率為kAB＝1，且x軸是∠A的平分線，故直線AC的斜率為－1，所以AC所在的直線方程為y＝－(x＋1)．已知BC邊上的高所在的直線方程為x－2y＋1＝0，故直線BC的斜率為－2，故BC所在的直線方程為y－2＝－2(x－1)．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,y－2＝－2x－1，))得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－6)．(2)因?yàn)锽(1,2)，C(5，－6)，所以|BC|＝eq\r(1－52＋2＋62)＝4eq\r(5)，點(diǎn)A(－1,0)到直線BC：y－2＝－2(x－1)的距離為d＝eq\f(|2×－1－4|,\r(5))＝eq\f(6,\r(5))，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×4eq\r(5)×eq\f(6,\r(5))＝12.10．l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，(1)當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，求直線l1的方程；(2)當(dāng)l1，l2間的距離為1時(shí)，求l2的方程．[解](1)當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大．又kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以兩條平行直線的斜率為－eq\f(1,2)，所以直線l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.(2)當(dāng)l1⊥x軸時(shí)，l1方程為x＝1，l2方程為x＝0，l1與l2間距離為1，滿意題意．當(dāng)l1不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l1斜率為k，則l1，l2方程分別為y－1＝k(x－1)，y＋1＝kx，所以l1與l2間距離為d＝eq\f(|2－k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以l2方程為y＝eq\f(3,4)x－1，綜上所述，l2方程為x＝0或3x－4y－4＝0.1．(2024·保定模擬)設(shè)點(diǎn)P為直線l：x＋y－4＝0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，則|PA|＋|PB|的最小值為()A．2eq\r(10)B.eq\r(26)C．2eq\r(5)D.eq\r(10)A[如圖所示，設(shè)點(diǎn)C(x，y)為點(diǎn)B關(guān)于直線x＋y－4＝0的對(duì)稱點(diǎn)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＋\f(0＋y,2)－4＝0，,\f(y－0,x－2)×－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))即C(4,2)．∴|PA|＋|PB|≥|AC|＝eq\r(4＋22＋2－02)＝2eq\r(10)，故選A.]2．已知入射光線在直線l1：2x－y＝3上，經(jīng)過x軸反射到直線l2上，再經(jīng)過y軸反射到直線l3上．若點(diǎn)P是直線l1上某一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l3的距離為()A．6 B．3C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(9\r(5),10)C[結(jié)合圖形可知，直線l1∥l3，則直線l1上一點(diǎn)P到直線l3的距離即為l1與l3之間的距離，由題意知，l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，故l2的方程為y＝－2x＋3，l2與l3關(guān)于y軸對(duì)稱，故l3的方程為y＝2x＋3，即2x－y＋3＝0，又直線l1的方程為：2x－y－3＝0，由兩平行線間的距離公式得l1與l3間的距離d＝eq\f(|－3－3|,\r(22＋12))＝eq\f(6,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5)，即點(diǎn)P到直線l3的距離為eq\f(6\r(5),5)，故選C.]3．已知三角形的一個(gè)頂點(diǎn)A(4，－1)，它的兩條角平分線所在直線的方程分別為l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，則BC邊所在直線的方程為________．2x－y＋3＝0[點(diǎn)A不在這兩條角平分線上，因此l1，l2是另兩個(gè)角的角平分線所在直線．點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A1，點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)A2均在邊BC所在直線l上．設(shè)A1(x1，y1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋1,x1－4)×1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0,3)．同理設(shè)A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．所以BC邊所在直線方程為2x－y＋3＝0.]4．已知點(diǎn)A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2.[解]設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－2)．又kAB＝eq\f(－3＋1,4－2)＝－1，∴線段AB的垂直平分線的斜率為1，∴線段AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵點(diǎn)P(a，b)在直線x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0. ①又點(diǎn)P(a，b)到直線l：4x＋3y－2＝0的距離為2，∴eq\f(|4a＋3b－2|,5)＝2，即4a＋3b－2＝±10， ②聯(lián)立①②求得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7)，,b＝－\f(8,7).))∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7))).1．如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最終經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是()A．3eq\r(3)B．6C．2eq\r(10)D．2eq\r(5)C[直線AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).]2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又與直線l重合．若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)(2,4)對(duì)稱，求直線l的方程．[解]由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1：y＝k(x－3)＋5＋b，將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的直線方程為y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝eq\f(3,4)，∴直線l的方程為y＝eq\f(3,4)x＋b，直線l1的方程為y＝eq\f(3,