山東省青島第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

山東省青島第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三（1）班一、選擇題（每題5分，共30分）要求：從每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出正確的一項(xiàng)。1.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，若f(x)在x=1處取得極值，則該極值為（）A.0B.1C.2D.32.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，則d的值為（）A.2B.3C.4D.53.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值為2，則x的取值范圍為（）A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.(-∞,2]∪[2,+∞)4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則sinA+sinB+sinC的值為（）A.3B.4C.5D.65.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）A.an=2^n-1B.an=2^n+1C.an=2^nD.an=2^n-26.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，若f(x)在x=1處取得極值，則該極值為（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（每題5分，共30分）要求：將答案填入空格內(nèi)。1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+1，若f(x)在x=a處取得極值，則a的值為__________。2.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，則d的值為__________。3.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值為2，則x的取值范圍為__________。4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則sinA+sinB+sinC的值為__________。5.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________。6.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，若f(x)在x=1處取得極值，則該極值為__________。三、解答題（每題10分，共20分）要求：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1.已知函數(shù)f(x)=x^3-9x，求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值。2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公差d=2，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S10。四、證明題（每題10分，共20分）要求：證明過程要完整、合理。1.證明：若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公差d=2，則數(shù)列{an^2}也是等差數(shù)列，并求出其公差。2.證明：若函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1在x=1處取得極值，證明該極值為極大值。五、計(jì)算題（每題10分，共20分）要求：精確計(jì)算，并寫出計(jì)算過程。1.計(jì)算定積分I=∫(2x^3-6x^2+3x)dx，在區(qū)間[0,2]上的值。2.計(jì)算復(fù)數(shù)z=(1+2i)/(3-4i)的值，并將結(jié)果表示為a+bi的形式。六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）要求：根據(jù)題意列出方程或方程組，并求解。1.某商品原價(jià)為x元，經(jīng)過兩次折扣后，最終售價(jià)為y元。第一次折扣為原價(jià)的8折，第二次折扣為第一次折扣后的9折。若最終售價(jià)為72元，求原價(jià)x。2.一輛汽車以60公里/小時(shí)的速度行駛，行駛了t小時(shí)后，汽車行駛的距離S（單位：公里）可以用公式S=60t+30t^2表示。若汽車行駛了3小時(shí)后，求汽車行駛的總距離。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=6x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。f''(x)=12x-6，f''(1)=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)，極小值為f(1)=0。2.B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，有a3=a1+2d，a5=a1+4d，a2=a1+d，a4=a1+3d，a6=a1+5d。根據(jù)題意，得a1+a1+2d+a1+4d=9，a1+d+a1+3d+a1+5d=15，解得d=3。3.A解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。f''(x)=2>0，故x=2為極小值點(diǎn)，f(2)=2^2-4*2+4=2。4.B解析：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=16/40=2/5，故sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(2/5)^2)=√(21)/5。同理，sinB=√(21)/5，sinC=√(21)/5。因此，sinA+sinB+sinC=3√(21)/5。5.A解析：由遞推關(guān)系an=2an-1+1，得an-1=2(an-1-1)，即an-1=2^n-2。因此，an=2^n-1。6.C解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。f''(x)=6x-6，f''(1)=0，故x=1為拐點(diǎn)。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。二、填空題1.a解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-2a，令f'(x)=0，解得x=a。f''(x)=2>0，故x=a為極小值點(diǎn)，極小值為f(a)=a^2-2a^2+1=1-a^2。2.3解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，有a3=a1+2d，a5=a1+4d，a2=a1+d，a4=a1+3d，a6=a1+5d。根據(jù)題意，得a1+a1+2d+a1+4d=9，a1+d+a1+3d+a1+5d=15，解得d=3。3.[2,3]解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。f''(x)=2>0，故x=2為極小值點(diǎn)，f(2)=2^2-4*2+4=2。4.5解析：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=16/40=2/5，故sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(2/5)^2)=√(21)/5。同理，sinB=√(21)/5，sinC=√(21)/5。因此，sinA+sinB+sinC=3√(21)/5。5.an=2^n-1解析：由遞推關(guān)系an=2an-1+1，得an-1=2(an-1-1)，即an-1=2^n-2。因此，an=2^n-1。6.1解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。f''(x)=6x-6，f''(1)=0，故x=1為拐點(diǎn)。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。三、解答題1.解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-9，令f'(x)=0，解得x=±√3。f''(x)=6x，f''(√3)=6√3>0，f''(-√3)=-6√3<0。故x=√3為極小值點(diǎn)，極小值為f(√3)=(√3)^3-9√3=-6√3；x=-√3為極大值點(diǎn)，極大值為f(-√3)=(-√3)^3-9(-√3)=6√3。2.解析：S10=n/2*(a1+an)，其中n=10，a1=1，an=a1+(n-1)d=1+9*2=19。S10=10/2*(1+19)=5*20=100。四、證明題1.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，有an^2-an-1^2=(an-an-1)(an+an-1)=d(an+an-1)。因?yàn)閍n+an-1=2a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n，所以an^2-an-1^2=2d(n-1)。因此，{an^2}也是等差數(shù)列，公差為2d。2.解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x+4，f''(x)=6x-6。f'(1)=0，f''(1)=0，f'''(x)=6>0，故x=1為拐點(diǎn)。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。因此，f(x)在x=1處取得極大值。本次試卷答案如下：四、證明題1.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，有an^2-an-1^2=(an-an-1)(an+an-1)=d(an+an-1)。因?yàn)閍n+an-1=2a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n，所以an^2-an-1^2=2d(n-1)。因此，{an^2}也是等差數(shù)列，公差為2d。2.解析：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x+4，f''(x)=6x-6。f'(1)=0，f''(1)=0，f'''(x)=6>0，故x=1為拐點(diǎn)。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。因此，f(x)在x=1處取得極大值。五、計(jì)算題1.解析：計(jì)算定積分I=∫(2x^3-6x^2+3x)dx，首先求出原函數(shù)F(x)=x^4-2x^3+3x^2+C。然后計(jì)算定積分的值：I=F(2)-F(0)=(2^4-2*2^3+3*2^2)-(0^4-2*0^3+3*0^2)=16-16+12=12。2.解析：復(fù)數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，即z=(1+2i)*(3+4i)/