八年級上冊數(shù)學(xué)冀教版-12-4-分式方程

八年級數(shù)學(xué)?上新課標(biāo)[冀教]12.4分式方程1.理解分式方程的概念及意義.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程時可能無解的原因,并掌握解分式方程的驗根方法.1.能將實際問題中的相等關(guān)系用分式方程表示,體會分式方程的模型.2.在學(xué)生掌握了分式方程的一般解法和分式方程驗根方法的基礎(chǔ)上,使學(xué)生進一步掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法,使學(xué)生熟練掌握解分式方程的技巧.通過學(xué)習(xí)分式方程的解法,使學(xué)生理解解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程,把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題,從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.【重點】可化為一元一次方程的分式方程的解法.【難點】理解解分式方程時可能無解的原因.【教師準(zhǔn)備】課件1~9.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)一元一次方程的有關(guān)知識.導(dǎo)入一:【課件1】小紅家到學(xué)校的路程為38km.小紅從家去學(xué)校總是先乘公共汽車,下車后再步行2km,才能到學(xué)校,路途所用時間是1h.已知公共汽車的速度是小紅步行速度的9倍,求小紅步行的速度.教師提出問題:(1)上述問題中有哪些等量關(guān)系?(2)根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系,設(shè)未知數(shù)并列出方程.(3)如果設(shè)小紅步行的時間為xh,又應(yīng)該怎么列方程?在活動中教師要關(guān)注:(1)學(xué)生是否能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;(2)大部分學(xué)生能否將這個問題很好地分析出來?能否列方程?(3)基礎(chǔ)較差的學(xué)生對于該題的理解是否有困難?如何適當(dāng)加以個別引導(dǎo)?[設(shè)計意圖]先通過一個行程問題,引導(dǎo)學(xué)生從分析入手,列出含有未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量,并進一步根據(jù)等量關(guān)系列出方程,為探索分式方程及分式方程的解法做準(zhǔn)備.另外以生活中的實際問題為背景,讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)貼近生活,激起了探究新知識的欲望.導(dǎo)入二:【課件2】西天取經(jīng)路上,唐僧給徒弟們出了一道天竺國的數(shù)學(xué)題目:某項工程要在規(guī)定的期限內(nèi)完成,甲隊單獨做正好能夠按期完成,乙隊單獨做則需要延期3天完成.現(xiàn)在這兩個隊合作2天后,再由乙隊單獨做,也正好按期完成.如果設(shè)規(guī)定的期限是x天,工程總量為1,如何列方程呢?三個徒弟都給出了自己的答案:孫悟空:2x+xx+3=1;豬八戒:2x+2x+3=1;沙和尚:21x+1x同學(xué)們分析這個問題列出的方程還是整式方程嗎?該如何解呢?[設(shè)計意圖]創(chuàng)設(shè)故事情境導(dǎo)入,將所出現(xiàn)的方程與整式方程比較,為探索分式方程及分式方程的解法做準(zhǔn)備.探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【課件3】一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時,它沿江以最大航速順流航行90千米所用的時間與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等,江水的流速為多少?教師提出問題.學(xué)生獨立思考,根據(jù)“兩次航行所用的時間相等”這一相等關(guān)系建立方程.〔解析〕設(shè)江水的流速為v千米/時,則輪船順流航行的速度為(30+v)千米/時,逆流航行的速度為(30-v)千米/時,順流航行90千米所用的時間為9030+v小時,逆流航行60千米所用的時間為6030-v教師提問:剛才我們所接觸的方程38-21-x=9×2x學(xué)生思考,議論后在全班交流.歸納:該類方程分母含有未知數(shù).教師講解并板書:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.[知識拓展](1)理解分式方程要明確兩點:①是方程;②分母中含有未知數(shù)(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程.2.分式方程的解法【課件4】如何解分式方程38-21-x=9×2在同學(xué)討論的基礎(chǔ)上分析:由于我們比較熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,其關(guān)鍵是去掉含有未知數(shù)的分母.引導(dǎo)學(xué)生進一步分析:把方程的兩邊乘最簡公分母可將分式方程化為整式方程,解這個整式方程可得方程的解.說明:教師提出問題后,鼓勵學(xué)生尋求解決問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,學(xué)生自然會想到“去分母”來實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變,求出方程的解,并要求驗根.在活動中教師要關(guān)注:(1)學(xué)生能否從所列方程中觀察到它與整式方程的區(qū)別在于“分母中含有未知數(shù)”;(2)學(xué)生能否有利用“轉(zhuǎn)化思想”解決問題的意識;(3)學(xué)生是否能夠認真傾聽別人的見解,從中獲取知識.[過渡語]通過解上面的分式方程,你明白該如何解分式方程了嗎?歸納:解分式方程的基本思路是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊乘最簡公分母,這是解分式方程的一般方法.[設(shè)計意圖]怎樣解分式方程?這是本節(jié)的核心問題.這里又一次讓學(xué)生運用“轉(zhuǎn)化”思想,把待解決或未解決的問題,通過轉(zhuǎn)化,劃歸到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去,最終使問題得到解決.思路二1.分式方程38-21-x=9×學(xué)生觀察,回答:(1)分母含有未知數(shù),(2)是方程.教師引導(dǎo)學(xué)生概括:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.使得分式方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提問:你還能舉出一個分式方程嗎?【課件5】判斷下列各式哪個是分式方程.(1)x+y=5;(2)x+25=2y-z3;(3)1x;(4)yx根據(jù)相關(guān)定義可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法[過渡語]如何解分式方程呢?我們一起回顧幾個問題:(1)解一元一次方程時是怎樣去分母的?從中能否得到一點啟發(fā)?(2)有沒有辦法可以去掉分式方程中的分母?把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢?學(xué)生自主探索,并嘗試選分式方程求解.【課件6】解方程1+x5+解:兩邊同乘最簡公分母2(x+5)得:2(x+1)=5+x, 2x+2=5+x, x=3.檢驗:把x=3代入原方程左邊=1+35+3=12,右邊=12,左邊=右邊.學(xué)生嘗試去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,再求整式方程的解.結(jié)合解一元一次方程時檢驗的方法,教師提醒學(xué)生解完分式方程后進行檢驗.【課件7】如何解課件3中所列出的分式方程?解:方程的兩邊同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.檢驗:將v=6代入分式方程中,左邊=52,右邊=52,左邊=右邊,因此v=6師生共同分析、求解,進一步歸納:解分式方程的基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母,這也是解分式方程的一般方法.【拓展延伸】分式方程與整式方程的定義區(qū)分:特點說明舉例整式方程方程里所有的未知數(shù)都出現(xiàn)在分子上,分母只是常數(shù)而沒有未知數(shù)有“元”和“次”的說法3x+12=-x是一元一次方程2x+y=3是二元一次方程分式方程方程里分母中含有未知數(shù)x-1x=2,1y探究二:分式方程的增根[過渡語]剛才我們學(xué)習(xí)了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程時要驗根.那么為什么一定要驗根呢?學(xué)習(xí)了下面的知識,同學(xué)們一定會迎刃而解.【課件8】解分式方程x+1x教師提出問題,讓學(xué)生解方程.解:方程兩邊同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1),解這個整式方程,得x=1.師:x=1是方程的解嗎?為什么?說明:學(xué)生先獨立解決,然后提出自己的看法,進行小組討論.在學(xué)生討論期間,教師應(yīng)到學(xué)生中,參與學(xué)生的數(shù)學(xué)活動,鼓勵學(xué)生勇于探索、實踐,解釋產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因,并懂得在解分式方程時一定要進行驗根.歸納:在解分式方程時,通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,并解這個整式方程,再將整式方程的根代入分式方程(或公分母)中檢驗.當(dāng)分母的值不等于0時,這個整式方程的根就是分式方程的根;當(dāng)公分母的值為0時,分式方程無解,我們把這樣的根叫做分式方程的增根.【課件9】解方程:2x+2-2-解:方程兩邊同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2),解這個整式方程,得x=-3,經(jīng)檢驗,x=-3是原分式方程的根.[知識拓展](1)檢驗的方法有兩種:①把未知數(shù)的值代入所乘最簡公分母中,最簡公分母為0是增根,舍去.最簡公分母不為0的未知數(shù)的值就是原分式方程的解.②把未知數(shù)的值代入原方程,若左右兩邊的值相等,則這個未知數(shù)的值就是原方程的根;若某個分式的分母為0,則這個未知數(shù)的值就是增根,舍去.(2)解分式方程時,必須注意以下幾點:①若分式方程中的分母是多項式,應(yīng)先對各分母因式分解,再尋求最簡公分母;②將一個分式方程的兩邊同時乘最簡公分母時,每一個式子都應(yīng)乘到,不要漏乘,特別是不要漏乘沒有分母的項;③解含字母系數(shù)的分式方程時,字母系數(shù)應(yīng)視為具體數(shù)處理;④解分式方程時,檢驗這一步必不可少,它是解分式方程的一個重要步驟.解分式方程的一般步驟:1.在方程的兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化為整式方程.2.解這個整式方程.3.把整式方程的根代入最簡公分母,看結(jié)果是不是零;使最簡公分母為零的根不是原方程的根,必須舍去.[設(shè)計意圖]學(xué)生通過回顧,自己總結(jié),實現(xiàn)了自我評價,讓對本節(jié)知識學(xué)得不是很好的學(xué)生有所收獲.1.下列方程:①2x+x-15=10;②x-1x=2;③12x+1-3=0;A.①② B.②③ C.③④ D.②④解析:①2x+x-15=10是整式方程;②x-1x=2是分式方程;③12x+1-3=0是分式方程;④2.分式方程xx-1-1=3(xA.x=1 B.x=-1C.x=2 D.無解解析:在方程的兩邊同乘最簡公分母(x-1)(x+2),變?yōu)檎椒匠虨閤(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,檢驗:當(dāng)x=1時,(x-1)(x+2)=0,所以原分式方程無解.故選D.3.方程4x-12x-2解析:去分母得4x-12=3x-6,解得x=6,經(jīng)檢驗x=6是分式方程的解.故填6.4.若代數(shù)式1x-2和32x+1的值相等解析:根據(jù)題意,得1x-2=32x+1,方程兩邊都乘最簡公分母(x-2)(2x+1),得2x+1=3x-6.解得x=7.經(jīng)檢驗5.解方程.(1)3x-2x(2)5x解析:把方程的左右兩邊同時乘最簡公分母,化成整式方程進行計算,注意檢驗.解:(1)去分母,得3x+6-2x=0,解得x=-6.經(jīng)檢驗,x=-6是原方程的解.(2)方程兩邊都乘最簡公分母x(x-2),得5x=3(x-2).解這個一元一次方程,得x=-3.檢驗:把x=-3分別代入原方程的左邊和右邊,得左邊=5-3-2=-1,右邊=3-3=-1,左邊=右邊,因此,6.當(dāng)m為何值時,去分母解方程4x+13x-解析:增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的公分母為0的根.有增根,那么最簡公分母3(x-2)=0,所以增根是x=2,把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值.解:方程兩邊都乘3(x-2),得4x+1=3x-6+3(5x-m),即3m=14x-7.分式方程若有增根,則公分母必為零,即x=2,把x=2代入整式方程3m=14x-7有:3m=14×2-7,解得m=7,所以當(dāng)m=7時,去分母解方程4x+13x-12.4分式方程探究一:分式方程及其解法例1例2探究二:分式方程的增根例3一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第20頁練習(xí)第1,2題.2.教材第20~21頁習(xí)題A組第1,2題.【選做題】教材第21頁習(xí)題B組.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.在下列各式中,是關(guān)于x的分式方程的是 ()A.2x-3y=0 B.x+12-C.3x-2=2.在下列方程中,是分式方程的有 ()①x5=4;②6x=4;③xA.2個 B.3個 C.4個 D.1個3.關(guān)于x的方程2x-1=1的解是 A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=14.分式方程5x+2=3xA.x=1 B.x=2C.x=3 D.x=4【能力提升】5.將分式方程1x=2x-2去分母后得到的整式方程A.x-2=2x B.x2-2x=2xC.x-2=x D.x=2x-46.關(guān)于x的分式方程mx+1=-1的解是負數(shù),則m的取值范圍是 (A.m>-1 B.m>-1且m≠0C.m≥-1 D.m≥-1且m≠07.分式方程32x-18.解方程2x【拓展探究】9.已知方程x+1x=2+12的解是x1=2,x2=12;x+1x=3+13的解是x1=3,x2=13;x+1x=4+14的解是x1=4(1)在橫線上寫出下面兩個方程的解:①x+1x=10+110,②x+1x=a+1a,(2)試寫出方程x+1x+1=a+1【答案與解析】1.C(解析:根據(jù)分式方程的定義對各選項進行逐一分析即可.2x-3y=0是整式方程,故A選項錯誤;x+12-3=2x7是整式方程,故B選項錯誤;3x-2=5x是關(guān)于x的分式方程,故C選項正確2.B(解析:根據(jù)分式方程的定義:分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進行判斷.①方程分母中不含未知數(shù),故①不是分式方程;②方程分母中含未知數(shù),故②是分式方程;③方程分母中含表示未知數(shù)的字母,故③是分式方程;④方程分母中含未知數(shù),故④是分式方程.)3.B(解析:將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.去分母得2=x-1,解得x=3,經(jīng)檢驗x=3是原分式方程的解.)4.C(解析:去分母得5x=3x+6,移項、合并同類項得2x=6,解得x=3,經(jīng)檢驗,x=3是原分式方程的解.)5.A(解析:分式方程兩邊乘最簡公分母x(x-2),得x-2=2x.)6.B(解析:方程兩邊同乘(x+1),得m=-x-1,解得x=-1-m,因為x<0,所以-1-m<0,解得m>-1,又x+1≠0,所以-1-m+1≠0,所以m≠0,即m>-1且m≠0.)7.x=2(解析:去分母得3=2x-1,解得x=2,經(jīng)檢驗,x=2是分式方程的解.)8.解:去分母得2x=3x-6,解得x=6,經(jīng)檢驗,x=6是原分式方程的解.9.解:(1)①x1=10,x2=110②x1=a,x2=1a(2)因為x+1x+1=a+1a+1,所以x+1+1x+1=a+1+1a+1,所以x+1=a+1或x+1=1a+1,正確地引導(dǎo)、點撥保證了學(xué)生掌握正確的知識.本節(jié)課的重點內(nèi)容:解分式方程的思路、步驟、如何檢驗等都用多媒體形式給學(xué)生展示出來.在解分式方程的過程中容易出現(xiàn)的問題都給學(xué)生做出強調(diào).給學(xué)生的鼓勵不是很多.鼓勵可以讓學(xué)生有充足的自信心.“信心是成功的一半”,在今后的課堂教學(xué)中,應(yīng)尊重其差異性,盡可能分層教學(xué),評價標(biāo)準(zhǔn)多樣化.注意說明分式方程有時無解的原因,講清分式方程檢驗的必要性和解分式方程與整式方程的區(qū)別,從而再強調(diào)解分式方程必須檢驗,不能省略這一步.練習(xí)(教材第20頁)1.解:(1)x=-1.(2)x=3是增根,原方程無解.2.解:由題意得BCEF=12.設(shè)BC=x,則EF=x+3,由題意得xx+3=12,方程兩邊同乘2(x+3)得2x=x+3,解得x=3.檢驗:當(dāng)x=3時,2(x+3)≠0,所以x=3是原方程的根.當(dāng)x=3時,x+3=6,所以BC習(xí)題(教材第20頁)A組1.解:(1)方程兩邊同乘(x+1)(x+2),得x+2=2(x+1).解這個整式方程,得x=0.檢驗:當(dāng)x=0時,(x+1)(x+2)≠0,所以x=0是原方程的根.(2)方程兩邊同乘2x,得2×15-25=x.解這個整式方程,得x=5.檢驗:當(dāng)x=5時,2x≠0,所以x=5是原方程的根.(3)方程兩邊同乘(x-7),得x-8-(-1)=8(x-7).解這個整式方程,得x=7.檢驗:當(dāng)x=7時,x-7=0,所以x=7是原方程的增根,原方程無解.(4)方程兩邊同乘(x+1)·(x-4),得x-4-2(x+1)=0.解這個整式方程,得x=-6.檢驗:當(dāng)x=-6時,(x+1)(x-4)≠0,所以x=-6是原方程的根.2.解:設(shè)一車間平均每天生產(chǎn)x件,則二車間平均每天生產(chǎn)(550-x)件.根據(jù)題意得2400x=2400-400550-x,解得x=300.經(jīng)檢驗,x=300是原方程的根且符合題意,所以550-x=250.B組解:(1)方程兩邊同乘x(x-1)(x-2)得x(x-2)+x(x-1)=2(x-1)(x-2),解這個整式方程得x=43.檢驗:當(dāng)x=43時,x(x-1)(x-2)≠0,所以x=43是原方程的根.(2)方程兩邊同乘x(x-1)(x+1)得5(x-1)-(x+1)=0,解這個整式方程得x=32.檢驗:當(dāng)x=32時,x(x-1)(x+1)≠0,所以本節(jié)課接觸到的是分式方程,是在學(xué)生掌握了一元一次方程的解法及分式四則混合運算的基礎(chǔ)上展開的,同時解決了解分式方程的問題,為以后的教學(xué)——“應(yīng)用”打下了良好的基礎(chǔ),因而在教材中具有不可忽略的地位與作用.解分式方程的基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程(轉(zhuǎn)化思想)