統(tǒng)計軟件SAS講義矩陣

高級生物統(tǒng)計學第一章預備知識第二章T平方測驗與多元方差分析第三章主成分分析第四章因子分析第五章典型相關分析第六章多元回歸分析第七章通徑分析第八章多元相關分析第九章聚類分析第十章判別分析本課程采用區(qū)靖祥、邱健德合編的《多元數據的統(tǒng)計分析方法》一書作為課本。全程為60學時，占2.5學分。一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes矩陣向量轉置陣零矩陣方陣對稱陣三角矩陣對角陣單位陣一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

矩陣(matrix):n行m列數據的矩形列陣稱為nm維矩陣。矩陣常用大寫粗體英文字母表示，下標i表示行號，j表示列號，小寫aij、bij表示矩陣Ａ,Ｂ第i行第j列的元素。例如：a11a12...a1m

aa...a235Ａ(a)21222m

Ａ

ijnm......an1an2...anm

nm

an1an2...anm

nm47623

兩矩陣維數相等并所有對應元素都相等記為Ａ＝Ｂ。一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

向量(vector):n1維矩陣稱為n維列向量；１m維矩陣稱為m維行向量。向量常用小寫粗體英文字母a,b表示。例如：a1

a

2

...

an

n1bbjb1b2...bm1ma(ai)n1

2a

b25113421

n維列向量

2維列向量

m維行向量

3維行向量一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

向量(vector):n1維矩陣稱為n維列向量；１m維矩陣稱為m維行向量。向量常用小寫黑體英文字母a,b表示。

通常把全部元素都是1的向量記為為１。

一個n維向量是在一個由n個相互垂直的坐標軸構成的n維歐氏空間中的一條有向線段。

向量又稱為矢量，它既有方向，也有長度。一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

向量的方向是從這個n維空間的坐標原點出發(fā)指向該點的坐標。例如下圖中,a、b分別表示兩個三維向量。其中a

，235b324。

向量的長度等于所有元素的平方之和的平方根值。向量的長度稱為模，記為a。例如：a2232526.1644b3222425.3852一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

向量的方向是從這個n維空間的坐標原點出發(fā)指向該點的坐標。例如下圖中,a、b分別表示兩個三維向量。其中a

，235b324。

向量的長度等于所有元素的平方之和的平方根值。向量的長度稱為模，記為a。例如：

長度為１的向量稱為單位向量。(1/14,3/14,2/14)是一個單位向量。因為：(1/14)2(3/14)2(2/14)21一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

可以將一個普通向量的各個元素除以這個向量的模求得與該向量對應的單位向量。例如，已知向量a=(1,3,－2)的模為a1232(2)214相應的單位向量為：(1/14,3/14,2/14)

長度為１的向量稱為單位向量。(1/14,3/14,2/14)是一個單位向量。因為：(1/14)2(3/14)2(2/14)21一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

常用兩個維數相同的向量之間的夾角()的余弦來衡量兩個變量的關系。夾角余弦的定義為：abcosab其中a為行向量，b為列向量。

圖中，a=[2,3,5]，b=[3,2,4]233254cos222222(235)(324)32320.96438291102一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

常用兩個維數相同的向量之間的夾角()的余弦來衡量兩個變量的關系。夾角余弦的定義為：abcosab其中a為行向量，b為列向量。

當兩個向量的夾角余弦為0時，稱兩向量正交(orthogonal)或垂直。這時夾角等于90度。

兩個向量正交的充分必要條件是它們的乘積為0。

向量乘法將在后面討論。一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

將一個矩陣的行與列的位置對調，所得到的矩陣稱為原矩陣的轉置陣。當A為B的轉置陣，記B＝A’。例如：235如果，A

4762324那么，它的轉置陣37

A’5632

所有元素的值都是０的矩陣稱為０矩陣，記為0。一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

如果矩陣的行數和列數相等，即n=m，則稱這個矩陣為方陣。

如果一個矩陣的行數和列數都等于n，即稱它為n階方陣。

方陣(例如A)主對角線(指從左上角到右下角的對角線)上所有元素之和稱為這個方陣的跡(trace)。記為tr(A）。n

對于n階方陣A，tr(A）＝

aii。i1一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

如果一個矩陣與它的轉置陣相等，即A＝A’，則稱這個矩陣為對稱陣(symmetricmatrix)。

如果在一個矩陣中主對角線以下所有元素都是０，稱這矩陣為上三角陣(uppertriangularmatrix)；

如果在一個矩陣中主對角線以上所有元素都是０，稱這矩陣為下三角陣(lowertriangularmatrix)；

上三角陣和下三角陣統(tǒng)稱三角矩陣(triangularmatrix)。一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

如果一個方陣中，除了主對角線上的元素外，其余所有元素都是０，則稱這個矩陣為對角陣(diagonalmatrix)。主對角線上的元素可以是０，也可以不是０。

對角陣必定是對稱陣。一些基本矩陣的定義SomeElementaryMatrixes

如果一個方陣中，主對角線上的元素都是１，其余所有元素都是０，則稱這個矩陣為單位陣(identitymatrix)。即100...0010...0

001...0.......

.......000...1

nnI=

單位矩陣在矩陣運算中的作用有點象初等數學中的1。即有關系：AI＝Ａ，IA＝A。

矩陣乘法將在后面討論。矩陣的運算MatrixOperations

如果兩個矩陣(例如A和B)的維數相等，可以將它們所有的對應元素相加，所得的新矩陣(C)稱為兩個原矩陣的和，記為C=A+B。按矩陣加法，如果A

aijmn，B

bijmn則C＝A＋B＝

cijmnaijbijmn1352462361443223

例如，如果A

，B

16315424436223749＝

則C＝A＋B＝

67823

維數不等的矩陣不能相加。矩陣的運算MatrixOperations

如果兩個矩陣(例如A和B)的維數相等，可以將它們所有的對應元素相減，所得的新矩陣(C)稱為兩個原矩陣的差，記為C=A－B。按矩陣減法，如果A

aijmn，B

bijmn則C＝A－B＝

cijmnaijbijmn1352462361443223

例如，如果A

，B

1631542443622352121423則C＝A－B＝

＝

21423

維數不等的矩陣不能相減。矩陣的運算MatrixOperations

如果用一個數字a乘一個矩陣中的所有元素，稱為矩陣與數字相乘。那么，有關系：aA＝aaijmnaaijmn13524623

例如，如果a=3，A＝

24623那么，13524623313335＝

aA＝3323436233915＝

6121823矩陣的運算MatrixOperations

當要用一個矩陣中的所有元素除以一個數字b,可記a=1/b，然后用矩陣與數字相乘的方法處理它。A1aij

aA＝

aijmn

bbbmn135246231/23/25/22/24/26/223

例如，如果b=2，A＝

246231/23/25/22/24/26/223那么，A1135＝

2246＝

b230.51.52.5＝

12323矩陣的運算MatrixOperations

如果一個矩陣(A)的列數等于另一個矩陣(B)的行數，可以將這兩個矩陣相乘得到一個新的矩陣(C)，記為C＝AB＝AB。新矩陣(C)的行數將等于第一個矩陣(A)的行數，新矩陣的列數將等于第二矩陣(B)的列數。其中各元素的值將由下面的公式算得，即，如果A

aijmn，B

bijnpn則C＝ABcijmp(

aikbkj)mpk1矩陣的運算MatrixOperations

例如，如果A＝23

22，B＝81576

22409

23那么，C＝AB＝AB283421302539＝

78647160756923282378078923＝

如果A

aijmn，B

bijnpn則C＝ABcijmp(

aikbkj)mpk1矩陣的運算MatrixOperations

如果前面矩陣的列數與后面矩陣的行數不相等，稱這兩個矩陣的維數不匹配，不能相乘。

如果矩陣A在前，B在后，稱矩陣A前乘矩陣B，或稱矩陣B后乘矩陣A，記為AB或AB。

如果A、B是維數相等的方陣，它們既可以前乘，也可以后稱，但通常，ABBA。(除非A、B都是對稱陣，并且A=B。)如果A

aijmn，B

bijnp則nC＝ABcijmp(

aikbkj)mpk1矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

交換率：矩陣加法有交換率：即A+B=B+A135

23614

23614＝

23432

43223749＝

67823矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

交換率：矩陣加法有交換率：即A+B=B+A矩陣與數字相乘有交換率：cA=Ac其中c是數字。1353

1352462339153＝

＝

24623246236121823矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

交換率：矩陣加法有交換率：即Ａ+Ｂ=Ｂ+Ａ矩陣與數字相乘有交換率：cA=Ac矩陣乘法沒有交換率：即ABBA27362281540923282378078923

3622

＝

40923

8078923815

40923273622與

3622不能相乘。矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

結合率：矩陣加法有結合率：即(A+B)+C=A+(B+C)13561425032123

24623

43223749＝

250

999＝

999678233212323135246

23614432

2325032123+

1352462386475323999

999＝

24623

＝23矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

結合率：矩陣加法有結合率：即(A+B)+C=A+(B+C)數字與矩陣相乘有結合率：即(ab)Ａ=a(bＡ)614(32)

614＝6

36624＝

43223614

23432232418122336624

231228＝386432432＝241812

23矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

結合率：矩陣加法有結合率：即(Ａ+Ｂ)+Ｃ=Ａ+(Ｂ+Ｃ)數字與矩陣相乘有結合率：即(ab)Ａ=a(bＡ)矩陣乘法有結合率：即(AB)C=A(BC)或(aＡ)Ｂ=a(ＡＢ)12012

10101＝12501＝119

2101212101

2112214

12109

21

211212432133

10901＝＝21

119

矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

結合率：矩陣加法有結合率：即(Ａ+Ｂ)+Ｃ=Ａ+(Ｂ+Ｃ)數字與矩陣相乘有結合率：即(ab)Ａ=(abＡ)矩陣乘法有結合率：即(ＡＢ)Ｃ=Ａ(ＢＣ)或(aＡ)Ｂ=(aＡＢ)12012

10121012121012112036

01＝

129993

01＝30321431293

0110121＝3

＝

3399矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

分配率：數乘有分配率：即(a+)bＡ=aＡ+bＡa(Ａ+Ｂ)=aＡ+aＢ或61461430520(32)

＝5

＝

4324322015106146141831212283

432＋2

432＝1296＋864

30520＝201510

矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

分配率：數乘有分配率：即(a+)bＡ=aＡ+bＡa(Ａ+Ｂ)=aＡ+aＢ或1221＋3524369183＝356＝1518

12

2436612321＋335＝63＋

915918＝1518

矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

分配率：矩陣乘法有分配率：即Ａ(Ｂ+Ｃ)=ＡＢ+ＡＣ或(Ａ+Ｂ)Ｃ=ＡＣ+ＢＣ

尤其要注意前乘與后乘的區(qū)別！單個矩陣前乘兩個矩陣之和時：131221＋352421＋35133624

182424

＝56＝2636

1312

＋

＝

＋

＝

242113242435751119182410816282636矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

分配率：矩陣乘法有分配率：即Ａ(Ｂ+Ｃ)=ＡＢ+ＡＣ或(Ａ+Ｂ)Ｃ=ＡＣ+ＢＣ

尤其要注意前乘與后乘的區(qū)別！單個矩陣后乘兩個矩陣之和時：1221＋352421＋351324＝5624＝17393613

1533

121324＋3524＝410＋1329＝17392413

5111022153321

矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

矩陣轉置規(guī)則：(Ａ’)’=Ａ250

’23’250＝’52＝

32132101矩陣的運算MatrixOperations

矩陣代數的運算法則：

矩陣轉置規(guī)則：(Ａ’(Ａ+Ｂ)’(ＡＢ)’)’=Ａ=Ａ’+Ｂ’=Ｂ’Ａ’(注意：前乘變后乘！)12135

’115’1114

0124620＝

＝

14858

12’135’0120

1021234＝

1114

246＝

21056

58矩陣的初等變換和秩MatrixTransformation&Rank

矩陣經過下述三種運算之一稱為經過一次初等變換。

交換矩陣中兩行（或兩列）的位置；

用一個非零常數乘矩陣的某行（或某列）；

把矩陣某行（或某列）乘以一個常數后加到另一行（或另一列）上。

矩陣Ａ經過一系列初等變換后變成Ｂ，就稱Ａ和Ｂ為等價矩陣，記為ＡＢ。

一個普通矩陣總可以經過一系列初等變換變成一個對角矩陣。線性代數已經證明，與一個矩陣等價的對角矩陣中非零元素的個數是固定不變的，其數目與所施加的初等變換的方式和順序無關。矩陣的初等變換和秩MatrixTransformation&Rank

與矩陣等價的對角矩陣非零元素的個數叫做矩陣的秩(rank)。矩陣Ａ的秩記為R(Ａ)。

一個普通矩陣總可以經過一系列初等變換變成一個對角矩陣。線性代數已經證明，與一個矩陣等價的對角矩陣中非零元素的個數是固定不變的，其數目與所施加的初等變換的方式和順序無關。矩陣的初等變換和秩MatrixTransformation&Rank

與矩陣等價的對角矩陣非零元素的個數叫做矩陣的秩(rank)。矩陣Ａ的秩記為R(Ａ)。

經一系列初等變換來求一個矩陣的秩的例子：0143

2486設有矩陣Ａ=254301432543

24862486交換第1，3行

25430143

使它為0第1行1加到第2行2486

01430143使它為0矩陣的初等變換和秩MatrixTransformation&Rank014324862543

2486交換第1，3行

25430143

第1行1加到第2行2486

01430143第2行(-1)加到第3行2486

01430000使它們?yōu)?第3列(-3/4)加到第4列2480

01400000使它們?yōu)?矩陣的初等變換和秩MatrixTransformation&Rank第3列(-3/4)加到第4列2480

01400000第1列2加到第2列2080

01400000使它為0第1列(-4)加到第3列2000

01400000使它為0第2列(-4)加到第3列2000

01000000使它為0矩陣的初等變換和秩MatrixTransformation&Rank

經過一系列初等變換矩陣Ａ變成了一個對角陣：01432000

25432486

01000000因此求得矩陣Ａ的秩為2，即R(Ａ)=2。

任何矩陣的秩必定小于或等于矩陣行數和列數中的較小值，即R(Ａ)Min(行數，列數)。

若一個方陣的秩等于它的階數，稱這個矩陣為滿秩矩陣(fullrank)。

不滿秩矩陣又稱為奇異矩陣(singularmatrix)。逆陣Inverse

若方陣Ａ與方陣Ｂ的乘積為單位矩陣,即ＡＢ＝Ｉ,則稱矩陣Ｂ為矩陣Ａ的逆陣，記為Ｂ＝Ａ-1，或稱Ａ為Ｂ的逆陣，記為Ａ＝Ｂ-1。

只有滿秩方陣才可以求逆。

逆陣在矩陣運算中的作用有點象初等數學中的倒數,即有關系：ＡＡ-1＝Ｉ，Ａ-1Ａ＝Ｉ。

有許多方法可以求一個可逆方陣的逆陣。這里介紹一種通過對可逆方陣的各行進行初等變換來求逆的方法。逆陣Inverse

通過初等變換求逆的例子：101

513714設有矩陣Ａ=

通過初等變換求逆的例子：

將Ａ與一個同階的單位陣并聯(lián)構成一個增廣矩陣：101100

513010714001

對增廣矩陣的行進行初等變換直到左半部為單位矩陣，這時右半部便是Ａ的逆陣Ａ-1：逆陣Inverse101100101100

513010714001第1行(-1)

513010714001使它為1101100第1行5后加到第2行012510

714001

101100使它為0第1行(-7)后加到第3行

012510013701

使它為0101100把第2行加到第3行012510

001211

使它為0逆陣Inverse100111第3行后加到第1行012510

001211

使它為0100111第3行(2)后加到第2行

010132001211

使它為0

現在增廣矩陣左半部已經是單位矩陣，于是已知方陣Ａ的逆陣為：101100把第2行加到第3行012510

001211逆陣Inverse100111第3行后加到第1行012510

001211100111第3行(2)后加到第2行

010132001211

現在增廣矩陣左半部已經是單位矩陣，于是已知方陣Ａ的逆陣為：

可以驗證ＡＡ-1＝Ｉ：101111

513132＝010714211

111100

132211

001

Ａ-1＝正交矩陣OrthogonalMatrix

如果方陣Ａ的轉置陣剛好等于它的逆陣，即Ａ’＝Ａ-1，則稱矩陣Ａ是個正交矩陣。

對于正交矩陣Ａ，具有性質：ＡＡ’

若把正交矩陣的各行(或列)看作向量，那么這些＝Ａ’Ａ＝Ｉ。向量的模必定為1，不同行(或列)向量的乘積必定為0。即它們都是彼此垂直的單位向量。具有這種性質的向量組稱為正規(guī)化單位向量集(orthonormalset)。正交矩陣OrthogonalMatrix

如果方陣Ａ的轉置陣剛好等于它的逆陣，即Ａ’＝Ａ-1，則稱矩陣Ａ是個正交矩陣。

對于正交矩陣Ａ，具有性質：ＡＡ’

若把正交矩陣的各行(或列)看作向量，那么這些＝Ａ’Ａ＝Ｉ。向量的模必定為1，不同行(或列)向量的乘積必定為0。即它們都是彼此垂直的單位向量。

正交矩陣的例子：1/21/2Ａ＝

1/21/2＝1/21/2Ａ’1/21/2

1/21/21/21/2

可以驗證ＡＡ’＝1/21/21/21/2＝Ｉ方陣的行列式Determinant

方陣中所有各種不同行、不同列元素乘積的代數和稱為該方陣的行列式，記為det(Ａ)或|Ａ|。n階方陣行列式的計算公式為：a11a12...a1na21a22...a2nkdet(A)......

(1)a1a2...an......an1an2...a..其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

二階方陣(n2)行列式的計算公式為：a11a12a11a22(a12a21)a11a22a12a21a21a22(1,2)有2個排列(12，21),順序為“+”,逆序為“-”。a11a12...a1n1,2a21a22...a2n2,1kdet(A)......

(1)a1a2...an......與主對角線平行為“+”an1an2...a..與主對角線交叉為“-”其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

三階方陣(n3)行列式的計算公式為：a11a12a13aaaaaaaaaa21a22a23aaa112233122331132132a13a22a31a12a21a33a11a23a32313233(1,2,3)有6個排列，第1個：(1,2,3)aa...a(1,2)為“+”11121n(1,3)為“+”a21a22...a2n(2,3)為“+”kdet(A)......

(1)a1a2a3...an......與主對角線平行為“+”an1an2...a..其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

三階方陣(n3)行列式的計算公式為：a11a12a13aaaaaaaaaa21a22a23aaa112233122331132132a13a22a31a12a21a33a11a23a32313233(1,2,3)有6個排列，第2個：(2,3,1)aa...a(2,3)為“+”11121n(2,1)為“-”a21a22...a2n(3,1)為“-”kdet(A)......

(1)a1a2a3...an......與主對角線平行為“+”an1an2...a..其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

三階方陣(n3)行列式的計算公式為：a11a12a13aaaaaaaaaa21a22a23aaa112233122331132132a13a22a31a12a21a33a11a23a32313233(1,2,3)有6個排列，第3個：(2,3,1)aa...a(3,1)為“-”11121n(3,2)為“-”a21a22...a2n(1,2)為“+”kdet(A)......

(1)a1a2a3...an......與主對角線平行為“+”an1an2...a..其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

三階方陣(n3)行列式的計算公式為：a11a12a13aaaaaaaaaa21a22a23aaa112233122331132132a13a22a31a12a21a33a11a23a32313233(1,2,3)有6個排列，第4個：(2,3,1)aa...a(3,2)為“-”11121n(3,1)為“-”a21a22...a2n(2,1)為“-”kdet(A)......

(1)a1a2a3...an......與主對角線交叉為“-”an1an2...a..其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

三階方陣(n3)行列式的計算公式為：a11a12a13aaaaaaaaaa21a22a23aaa112233122331132132a13a22a31a12a21a33a11a23a32313233(1,2,3)有6個排列，第5個：(2,3,1)aa...a(2,1)為“-”11121n(2,3)為“+”a21a22...a2n(1,3)為“+”kdet(A)......

(1)a1a2a3...an......與主對角線交叉為“-”an1an2...a..其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

三階方陣(n3)行列式的計算公式為：a11a12a13aaaaaaaaaa21a22a23aaa112233122331132132a13a22a31a12a21a33a11a23a32313233(1,2,3)有6個排列，第6個：(2,3,1)aa...a(1,3)為“+”11121n(1,2)為“+”a21a22...a2n(3,2)為“-”kdet(A)......

(1)a1a2a3...an......與主對角線交叉為“-”an1an2...a..其中,,...,為1，2,…,n的一個排列，k為排列,,...,里的逆序的個數。方陣的行列式Determinant

矩陣行列式的性質；

滿秩矩陣的行列式不為0；奇異矩陣的行列式值為0；

矩陣行列式值等于它的轉置陣的行列式值；

交換兩行(或兩列)的位置，行列式值不改變；

若有一行(或列)的全部元素為0，行列式值為0；

若有兩行(或兩列)的對應元素相同，行列式值為0；

若兩行(或兩列)的對應元素成比例，行列式值為0；

用一個非零常數k乘上某一行(或一列)后再加到另

用非零常數k乘某行(或列)，行列式值增成k倍；

三角矩陣和對角矩陣的行列式值等于主對角線元素

兩矩陣乘積的行列式值的乘積等于行列式值的乘積。一行(或一列)，行列式值不變。的乘積。方陣的行列式Determinant

常利用這些性質將矩陣化為三角陣或對角陣，再將主對角線上的元素相乘來求得行列式值。

兩個求行列式值的例子：101101

513734

513734

Ａ＝Ｂ＝101513第1行(-5)734后加到第2行101101012

734第1行7后

734后加到第2行101加到第3行101

于是：

|Ａ|＝-111＝-1

012013

將第2行012

|Ａ|＝-111＝-1加到第3行001方陣的行列式Determinant

常利用這些性質將矩陣化為三角陣或對角陣，再將主對角線上的元素相乘來求得行列式值。

兩個求行列式值的例子：101101

513734

513735

Ａ＝Ｂ＝101513第1行(-5)735后加到第2行101101012

735第1行7后

735后加到第2行101加到第3行101

于是：

|Ｂ|＝-11０＝０

012012

將第2行012

|Ｂ|＝-11０＝０加到第3行000線性方程的解LinearEquations

n條關于m個未知數xi的方程聯(lián)立為一組，并且所有xi都只有一次方時，稱這組方程為線性方程組。a11x1a12x2...a1mxmb1……………axax...axban1x1an2x2...anmxmbn用矩陣2112222mm2an1x1an2x2...anmxmbn表示為a11a12...a1mx1

21222m

2

＝

2

b1

b簡記為aa...a

21222m

2

＝

2

x:xＡｘ＝ｂ......aa...a

n1n2nm

nm

m

m1:b

n

n1

下面討論判別線性方程組Ａｘ＝ｂ的解的規(guī)則。線性方程的解LinearEquations

將矩陣Ａ和向量ｂ并聯(lián)為增廣矩陣(Ａｂ)，求出

若R(Ａｂ)R(Ａ)，方程無解；

若R(Ａｂ)=(RＡ)，方程有解；

若R(Ａｂ)=(RＡ)=m，方程有唯一解；

若R(Ａｂ)=(RＡ)m，方程有無窮組解。

特別地，當mn且矩陣Ａ可逆時，可用Ａ-1前乘R(Ａ)和R(Ａｂ)，比較它們的大小：方程的兩邊來求得方程的解。即Ａｘ＝ｂＡ-1Ａｘ＝Ａ-1ｂｘ＝Ａ-1ｂ

下面討論判別線性方程組Ａｘ＝ｂ的解的規(guī)則。線性方程的解LinearEquations

將矩陣Ａ和向量ｂ并聯(lián)為增廣矩陣(Ａｂ)，求出

若R(Ａｂ)R(Ａ)，方程無解；

若R(Ａｂ)=(RＡ)，方程有解；

若R(Ａｂ)=(RＡ)=m，方程有唯一解；

若R(Ａｂ)=(RＡ)m，方程有無窮組解。

特別地，當mn且矩陣Ａ可逆時，可用Ａ-1前乘R(Ａ)和R(Ａｂ)，比較它們的大?。悍匠痰膬蛇厑砬蟮梅匠痰慕?。即Ａｘ＝ｂＡ-1Ａｘ＝Ａ-1ｂｘ＝Ａ-1ｂx1x2311x1

11x2

＝13xx112

線性方程的解LinearEquations因為矩陣Ａ的逆陣為：Ａ-11/21/2＝

1/21/211

＝

1/21/211101/21/201-11/21/23

2ｘ＝Ａｂ＝1/21/21＝1

特別地，當mn且矩陣Ａ可逆時，可用Ａ-1前乘方程的兩邊來求得方程的解。即Ａｘ＝ｂＡ-1Ａｘ＝Ａ-1ｂｘ＝Ａ-1ｂx1x2311x1

11x＝1

2

3x1

x＝12x＝1xx112

2

線性方程的解LinearEquations

特別地，當向量ｂ為０時，稱為齊次線性方程組。x1x20xy0例如2x3y0等。x1x20

齊次線性方程組起碼有一組零解，即ｘ＝０。

但當方程組Ａｘ＝０中的Ａ的行列式值為０時，方程會有無窮組非零解。

特別地，當mn且矩陣Ａ可逆時，可用Ａ-1前乘方程的兩邊來求得方程的解。即Ａｘ＝ｂＡ-1Ａｘ＝Ａ-1ｂｘ＝Ａ-1ｂx1x2311x1

11x＝1

2

3x1

x＝12x＝1xx112

2

線性方程的解LinearEquations

特別地，當向量ｂ為０時，稱為齊次線性方程組。x1x20xy0例如2x3y0等。x1x20

齊次線性方程組起碼有一組零解，即ｘ＝０。

但當方程組Ａｘ＝０中的Ａ的行列式值為０時，方程會有無窮組非零解。x1x2011x1

＝

22x2

02x12x20011Ａ＝

|Ａ|＝12-12＝022特征根和特征向量Eigenvalue&Eigenvectors

對于n階方陣Ａ，若存在一個常數值

和一個n維向量ｕ，能使得Ａｕ=

ｕ，則稱det(Ａ-

Ｉ)為

的特征多項式，det(Ａ-

Ｉ)=0為Ａ的特征方程，方程的解

稱為矩陣Ａ的一個特征根，ｕ為矩陣Ａ對應于

的特征向量。Ａ＝

，若特征根為

，對應的特征向量為ｕ。則特征方程為：det(Ａ-

Ｉ)=0，即12211210120det(

-

)=０det(

-

)=０21012101222det21=０(1)20(12)(12)0

特征根和特征向量Eigenvalue&Eigenvectors

對于n階方陣Ａ，若存在一個常數值

和一個n維向量ｕ，能使得Ａｕ=

ｕ，則稱det(Ａ-

Ｉ)為

的特征多項式，det(Ａ-

Ｉ)=0為Ａ的特征方程，方程的解

稱為矩陣Ａ的一個特征根，ｕ為矩陣Ａ對應于

的特征向量。Ａ＝

，于是求得Ａ的兩個特征根為123

211211210120det(

-

)=０det(

-

)=０21012101222det21=０(1)20(12)(12)0

特征根和特征向量Eigenvalue&Eigenvectors

對于n階方陣Ａ，若存在一個常數值

和一個n維向量ｕ，能使得Ａｕ=

ｕ，則稱det(Ａ-

Ｉ)為

的特征多項式，det(Ａ-

Ｉ)=0為Ａ的特征方程，方程的解

稱為矩陣Ａ的一個特征根，ｕ為矩陣Ａ對應于

的特征向量。Ａ＝

，于是求得Ａ的兩個特征根為求對應于

13的特征向量：因為Ａｕ=

ｕ，記ｕ=

，

＝3

123

21121x1

12x1

21x2

x1

x12x23x12x1x23x2x2

x2

特征根和特征向量Eigenvalue&Eigenvectors2x12x20是個|Ａ|=０的齊次線性方程組。2x12x20x1從無窮組非零解中隨意找一個解規(guī)化。1,再將它正x21因為u12122，所以3所對應的正規(guī)化向量為：(1/2,1/2)1123

21Ａ＝

，于是求得Ａ的兩個特征根為求對應于

13的特征向量：因為Ａｕ=

ｕ，記ｕ=

，

＝3

121x1

12x1

21x2

x1

x12x23x12x1x23x2x2

x2

特征根和特征向量Eigenvalue&Eigenvectors2x12x20是個|Ａ|=０的齊次線性方程組。2x12x20x1從無窮組非零解中隨意找一個解規(guī)化。1,再將它正x21因為u(1)2122,所以1所對應的正規(guī)化向量為：(1/2,1/2)1123

21Ａ＝

，于是求得Ａ的兩個特征根為121再求對應于11的特征向量：因為Ａｕ=

ｕ，x1

12x1

21x2

x1

x12x2x12x1x2x2記ｕ=

，

＝-1

x2

x2

特征根和特征向量Eigenvalue&Eigenvectors

可以驗證有關特征根和特征向量的三點性質：

特征根之和等于原矩陣的跡：nn

i

aii

tr(Ａ)i1i1123

21Ａ＝

，于是求得Ａ的兩個特征根為對應于

13的正規(guī)化特征向量為：(1/2,1/2)對應于21的正規(guī)化特征向量為：(1/2,1/2)121特征根和特征向量Eigenvalue&Eigenvectors

可以驗證有關特征根和特征向量的三點性質：

特征向量構成的矩陣是正交矩陣Ｌ：1/21/21/21/210

1/21/21/21/201

123

21Ａ＝

，于是求得Ａ的兩個特征根為對應于

13的正規(guī)化特征向量為：(1/2,1/2)對應于21的正規(guī)化特征向量為：(1/2,