2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教B版必修第四冊(cè)教學(xué)課件 第十章 -10.3 復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算

10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算第十章1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系.3.了解輻角、輻角主值等概念.4.了解復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角表示.難點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.學(xué)習(xí)目標(biāo)一、復(fù)數(shù)的三角形式

新知學(xué)習(xí)

從而z＝a+bi＝（rcosθ）+（rsinθ）i＝r（cosθ+isinθ），上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z＝a+bi的三角形式（對(duì)應(yīng)地，a+bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式），其中的θ稱為z的輻角.顯然，任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個(gè)，而且任意兩個(gè)輻角之間都相差2π的整數(shù)倍.特別地，在［0，2π）內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.【名師點(diǎn)撥】

為了求出一個(gè)非零復(fù)數(shù)的三角形式，只要求出這個(gè)復(fù)數(shù)的模，然后再找出復(fù)數(shù)的一個(gè)輻角（比如輻角主值）即可.因?yàn)?/p>

0＝0（cosθ+isinθ），其中θ可以為任意值，所以我們也稱上式為復(fù)數(shù)0的三角形式.這樣一來，任意復(fù)數(shù)都可以寫成三角形式了.【特別提示】（1）復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式一樣，也是表示復(fù)數(shù)的一種方法，它們可以相互轉(zhuǎn)化.（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是唯一的，但三角形式不唯一.（3）任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，但輻角主值只有一個(gè)；復(fù)數(shù)0的輻角是任意的，不討論它的輻角主值.二、復(fù)數(shù)三角形式的乘除法1.復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則【嘗試與發(fā)現(xiàn)】設(shè)z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），試求出z1z2.提示：z1z2＝r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2）］＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.由此，我們可得到復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則：r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（簡(jiǎn)記：模相乘）z1的輻角與z2的輻角之和是z1z2的輻角（簡(jiǎn)記：輻角相加）2.復(fù)數(shù)三角形式乘法的幾何意義

從而z＝a+bi＝（rcosθ）+（rsinθ）i＝r（cosθ+isinθ），上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z＝a+bi的三角形式（對(duì)應(yīng)地，a+bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式），其中的θ稱為z的輻角.顯然，任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個(gè)，而且任意兩個(gè)輻角之間都相差2π的整數(shù)倍.特別地，在［0，2π）內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.3.復(fù)數(shù)三角形式的除法法則

模相除輻角相減4.復(fù)數(shù)三角形式除法的幾何意義

◆將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式的一般方法1.計(jì)算出cosθ，sinθ的值；2.整理為a+bi（a，b∈R）的形式，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.

一一

二、復(fù)數(shù)的輻角的定義、求法，輻角主值的定義、記法1.求復(fù)數(shù)的輻角主值例2復(fù)數(shù)z＝-sin100°+icos100°的輻角主值是

（）A.80° B.100° C.190° D.260°【解析】

z＝-sin100°+icos100°＝-cos10°-isin10°＝cos190°+isin190°，∴

argz＝190°.【答案】

C例3求復(fù)數(shù)2+2i，2的輻角主值.

【解】設(shè)這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模分別為r1，r2，輻角主值分別為θ1，θ2.

【注意】非零復(fù)數(shù)z＝r（cosθ+isinθ）中，輻角θ可以取輻角主值，也可以取其他輻角，它們相差2π的整數(shù)倍.

三、利用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

◆復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算1.若復(fù)數(shù)為三角形式，則用復(fù)數(shù)三角形式的乘法公式進(jìn)行計(jì)算，即r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].2.若復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，可以先化為三角形式再進(jìn)行計(jì)算，也可利用代數(shù)形式計(jì)算.

四、復(fù)數(shù)乘法和除法的幾何意義及其應(yīng)用

1.復(fù)數(shù)的三角形式z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ）的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z＝a+bi的三角形式，其中的θ稱為z的輻角.在［0，2π）內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.

為了求出一個(gè)非零復(fù)數(shù)的三角形式，只要求出這個(gè)復(fù)數(shù)的模，然后再找出復(fù)數(shù)的一個(gè)輻角（比如輻角主值）即可.課堂小結(jié)2.復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則r1（cosθ1