1.4-全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式與定義1

設(shè)S為試驗E的樣本空間,B1,B2,….Bn為E的一組事件,若則稱B1,B2,….Bn為樣本空間的一個劃分或稱它為一個完備事件組.定理1

設(shè)Ａ1

，Ａ2

，...，Ａn

構(gòu)成一個完備事件組，且Ｐ(Ａi)＞0 ，i＝1，2，...，n，則對任一隨機事件Ｂ，有全概率公式全概率公式幫助我們將復(fù)雜問題適當(dāng)?shù)胤纸鉃槿舾蓚€簡單問題之和而逐一解決.解＝0.6一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝?，連?。泊?，求第二次取到白球的概率例A={第一次取到白球}B={第二次取到白球}例商店銷售一批收音機10臺,其中3臺次品,但是已經(jīng)售出2臺,問從剩下的收音機中,任取一臺為正品的概率是多少?解:設(shè)A1表示售出的兩臺均為正品,A2表示售出的兩臺為一件正品和一件次品,A3表示售出的兩臺均為次品,則A1,A2,A3是完備事件組.設(shè)B表示從剩下的收音機中任取一臺為正品,例

設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)Ｂ表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825

設(shè)A1，A2，…,An構(gòu)成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（B）>0,則有(k=1,2,…,n)證明貝葉斯公式Bayes’Theorem

例

設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，而且各車間的次品率依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率．解

設(shè)Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，Ｂ表示產(chǎn)品為次品．顯然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

構(gòu)成完備事件組．依題意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝

例已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少