河北省張家口市萬全區(qū)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版Z）2025.1注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分120分（另加附加題10分），考試時(shí)長(zhǎng)130分鐘．2．試卷第25題為附加題，分值為10分，本題分值不計(jì)入總分，單獨(dú)計(jì)分．3．答卷前將密封線左側(cè)的項(xiàng)目填寫清楚．4．答案須用黑色字跡的簽字筆書寫．一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，理解并掌握軸對(duì)稱圖形的定義，找出對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，直線兩邊的圖形能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，由此即可求解．【詳解】解：A、沒有對(duì)稱軸，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、有對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C、沒有對(duì)稱軸，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、沒有對(duì)稱軸，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：B

．2.如圖，的邊上的高是（）A.線段 B.線段 C.線段 D.線段【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角形的高，熟練掌握三角形的高是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，作該頂點(diǎn)對(duì)邊的垂線，這個(gè)垂線就叫做三角形的高”進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可知：的邊上的高是線段；故選A．3.如果把分式中的x和y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）A.擴(kuò)大3倍 B.縮小 C.縮小 D.不變【答案】D【解析】【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)．將x，y用，代入化簡(jiǎn)，與原式比較即可．【詳解】解：將x，y用，代入得，故分式的值不變．故選：D．4.如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就另外畫出了一個(gè)與原來完全一樣的三角形，這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)圖形結(jié)合全等三角形的判定方法求解即可．【詳解】解：根據(jù)圖形，小明所畫的三角形與原來三角形全等，∴這兩個(gè)三角形全等依據(jù)，故選：B．5.若，則（）．A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意利用同底數(shù)冪乘法法則運(yùn)算即可得解，熟練掌握同底數(shù)冪乘法法則是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】由題意知：，∴，∴，∴，∴，故選：D．6.如圖，直線表示一條河．表示兩個(gè)村莊，欲在上的某處修建一個(gè)給水站，向兩個(gè)村莊供水，現(xiàn)有如下圖四種鋪設(shè)管道的方案．圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的方案是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了對(duì)稱性，最短路徑的計(jì)算，掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．根據(jù)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，由兩點(diǎn)直線線段最短得到點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置，∴所需管道最短的方案是D，故選：D

．7.如與的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為（）A. B.3 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】此題考查了多項(xiàng)式的乘法，利用多項(xiàng)式的乘法展開后合并同類項(xiàng)，根據(jù)與的乘積中不含x的一次項(xiàng)得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，與的乘積中不含x的一次項(xiàng)，∴，∴．故選：A．8.如圖，的三邊，，的長(zhǎng)分別是，，，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用角平分線添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，然后利用三角形面積的計(jì)算公式表示出、、，結(jié)合已知，即可得到所求的三個(gè)面積的比．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．又∵，，是的三條角平分線，∴，∵，，的長(zhǎng)分別是，，，∴，，，∴，故選：C．9.若k為任意整數(shù)，則的值總能（）A.被5整除 B.被6整除 C.被7整除 D.被8整除【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式把原式分解因式得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：，∴的值總能被8整除，故選：D．10.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，則∠1﹣∠2的值是（）A.108° B.36° C.72° D.144°【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)B作l1的平行線BF，利用平行線的性質(zhì)推出∠CBF+∠1=180°，∠CBF+∠2=108°，兩個(gè)式子相減即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作l1的平行線BF，則l1∥l2∥BF，∵l1∥l2∥BF，∴∠ABF=∠2，∠CBF+∠1=180°①，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴，∴∠ABF+∠CBF=∠CBF+∠2=108°②，∴①-②得∠1-∠2=72°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及正多邊形的內(nèi)角問題，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線，搭建角之間的關(guān)系橋梁．11.對(duì)于問題：如圖1，已知∠AOB，只用直尺和圓規(guī)判斷∠AOB是否為直角？小意同學(xué)的方法如圖2：在OA、OB上分別取C、D，以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若測(cè)量得OE=OD，則∠AOB=90o.則小意同學(xué)判斷的依據(jù)是（）A.等角對(duì)等邊 B.線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩段距離相等C.垂線段最短 D.等腰三角形“三線合一”【答案】B【解析】【分析】由垂直平分線的判定定理，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵CD=CE，OE=OD，∴AO是線段DE的垂直平分線，∴∠AOB=90°；則小意同學(xué)判斷的依據(jù)是：線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩段距離相等；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的判定定理進(jìn)行判斷．12.已知，關(guān)于甲、乙、丙的說法，下列判斷正確的是（）甲：的計(jì)算結(jié)果為；乙：當(dāng)時(shí)，；丙：當(dāng)時(shí)，的值為正數(shù)A.乙錯(cuò)，丙對(duì) B.甲和乙都對(duì) C.甲對(duì)，丙錯(cuò) D.甲錯(cuò)，丙對(duì)【答案】C【解析】【分析】此題考查了分式的乘除運(yùn)算，分式的求值，首先將分式化簡(jiǎn)即可判定甲，然后將代入求解即可判斷乙，然后根據(jù)x的范圍即可判定A的正負(fù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則．【詳解】，故甲對(duì)；當(dāng)時(shí)，，故分式無意義，故乙錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，∴，故丙錯(cuò)．故選：C．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是7和5，則第三邊長(zhǎng)可以是______．（只填一個(gè)即可）【答案】10（答案不唯一，大于2且小于12之間的數(shù)均可）【解析】【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，由題意得：，則，故答案為：10（答案不唯一，大于2且小于12之間的數(shù)均可）．14.石墨烯是現(xiàn)在世界上最薄的納米材料，其理論厚度僅是，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示是_________．【答案】【解析】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定是解題的關(guān)鍵．左起第一個(gè)不為零的數(shù)為，前面有個(gè)零，故，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．15.如圖，已知，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件（一個(gè)即可）：__________，使．【答案】(合理即可）【解析】【分析】本題是開放性題目，考查了全等三角形的判定，由已知條件：，，再添加一組角相等或即可證明全等．【詳解】添加條件：；證明：∵，，∴，故答案為：(合理即可）．16.如圖，在中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)得，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得，…，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，以及角平分線找到規(guī)律：后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半，然后表示出即可．【詳解】解；∵平分，平分，

∴，，∵由三角形外角的性質(zhì)可得，，∴，以此類推，，……∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）計(jì)算：．（2）分解因式：．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】本題考查平方差公式的應(yīng)用和因式分解；（1）利用平方差公式計(jì)算即可；（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．18.某校為迎接市中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)需準(zhǔn)備240面彩旗．計(jì)劃由八年級(jí)一班的3個(gè)小組完成此任務(wù)，3個(gè)小組的人數(shù)相等．后因1個(gè)小組另有任務(wù)，剩余2個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做4面彩旗才能完成任務(wù)，那么每個(gè)小組有多少名學(xué)生？原計(jì)劃每名學(xué)生做多少面彩旗？冰冰：；慶慶：．根據(jù)以上信息，解答下列問題（1）冰冰同學(xué)所列方程中表示______．慶慶同學(xué)所列方程中的表示______；（2）請(qǐng)你選擇其中一個(gè)方程解決提出的問題．【答案】（1）每個(gè)小組學(xué)生的人數(shù)，原計(jì)劃每名學(xué)生做的彩旗數(shù)（2）每個(gè)小組有名學(xué)生，原計(jì)劃每名學(xué)生做面彩旗【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所列方程中的未知數(shù)表示的實(shí)際意義即可得到答案；（2）解方程即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：由題意得：冰冰同學(xué)所列方程中的表示每個(gè)小組學(xué)生的人數(shù)；慶慶同學(xué)所列方程中的表示原計(jì)劃每名學(xué)生做的彩旗數(shù)；故答案為：每個(gè)小組學(xué)生的人數(shù)，原計(jì)劃每名學(xué)生做的彩旗數(shù)；【小問2詳解】解：解方程，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，且符合題意，（面），每個(gè)小組有名學(xué)生，原計(jì)劃每名學(xué)生做面彩旗．19.下面是小明同學(xué)在作業(yè)中計(jì)算的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀后解答下列問題：小明的作業(yè)………………第一步…………第二步…第三步…………第四步（1）小明的作業(yè)是從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是______；（2）已知，求的值．【答案】（1）二；漏掉了分母（2）【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)算是關(guān)鍵；（1）仔細(xì)觀察解答過程，即可發(fā)現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤所在；（2）由已知得，把分式化簡(jiǎn)，把直接代入即可．【小問1詳解】解：由解答過程知，小明從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因是漏掉了分母；故答案為：二；漏掉了分母；【小問2詳解】解：∵，∴；∴．20.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，在網(wǎng)格中的位置如圖所示，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．將點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘，分別得到點(diǎn)，，．（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出；（2）若與關(guān)于y軸對(duì)稱，在平面直角坐標(biāo)系中畫出；（3）點(diǎn)P是第三象限內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，C，P為頂點(diǎn)的三角形與全等，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）見（1）圖；（3）或．【解析】【分析】本題主要考查作圖——對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱、中心對(duì)稱變換的定義和性質(zhì)及全等三角形的判定．（1）橫、縱坐標(biāo)乘以變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，再根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可；（2）先作出關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，分和兩種情況討論求解．【小問1詳解】解：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘以，分別得到點(diǎn)，則、、；如圖，為所求；【小問2詳解】解：如圖：先作三點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則、、；連接，則為所求；【小問3詳解】解：點(diǎn)P是第三象限內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，C，P為頂點(diǎn)的三角形與全等，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．21.如圖，已知，．（1）用尺規(guī)作邊的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若邊的垂直平分線交于、交于；①連接，求的周長(zhǎng)；②若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）①11；②26°【解析】【分析】（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作DE垂直平分BC；（2）①運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=DC，利用△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+AC即可求解；②根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠DBC=∠C，再利用三角形外角的性質(zhì)得到結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖，DE即為所求；（2）①∵DE是BC邊的垂直平分線，∴BD=DC，∵AB=4，AC=7，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+AC=4+7=11；②∵BD=CD，∴∠DBC=∠C，∴∠ADB=∠DBC+∠C=52°，∴∠DBC=26°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-復(fù)雜作圖及垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記作垂直平分線的方法．22.如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m，寬為n的全等小長(zhǎng)方形，且m>n.(以上長(zhǎng)度單位：cm)(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解為；(2)若每塊小長(zhǎng)方形的面積為10cm2，四個(gè)正方形的面積和為58cm2，試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長(zhǎng)之和.【答案】(1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象由長(zhǎng)方形面積公式將代數(shù)式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）求出m+n的值，然后根據(jù)圖象由正方形的性質(zhì)和長(zhǎng)方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；【詳解】（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解為（m+2n）（2m+n）；故答案為（m+2n）（2m+n）；（2）依題意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29．∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，∴m+n＝7，∴圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)度之和為6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、列代數(shù)式以及完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)已知圖形得出是解題的關(guān)鍵．23.【推理】（1）如圖1，已知在中，，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，求證：．【拓展】（2）如圖2，將【推理】中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且，為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【應(yīng)用】（3）如圖3，D，E是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），且和均為等邊三角形，連接，，，，若，的周長(zhǎng)為60，直接寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，證明見解析；（3）20．【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，等邊三角形的盤點(diǎn)過以及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法，性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，可得，，，由此即可求解；（2）證明，可知，，由此即可求證；（3）和都是等邊三角形，，再證明為等邊三角形，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴，∴，，∴．（2）解：結(jié)論成立．證明如下：∵，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴．（3）解：20．提示：與（2）同理，可得，∴，．∵和均為等邊三角形，∴，，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴，∴為等邊三角形．∵的周長(zhǎng)為60，∴D．由（2）可知，．24.如圖1，點(diǎn)分別是邊長(zhǎng)為的等邊的邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為．（1）連接交于點(diǎn)，則在運(yùn)動(dòng)的過程中，變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；（2）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線上運(yùn)動(dòng)，直線交點(diǎn)為，在運(yùn)動(dòng)的過程中，的大小變化嗎？若變化請(qǐng)說明理由：若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．【答案】（1）在、運(yùn)動(dòng)的過程中，不變，；（2）當(dāng)為或時(shí)，為直角三角形；（3）在、運(yùn)動(dòng)的過程中，的大小不變，．【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明，則