17.2 運用勾股定理巧妙計算 講義 2024-2025學年人教版八年級數學下冊

速算與妙算線段——談勾股定理在計算中的靈活運用瀘州高中附屬學校易建洪關鍵詞：數學教學是由慢到快到準的藝術，直角三角形中的勾股定理，是三角形、多邊形、圓中線段計算證明的基礎，在教學中教會學生如何運用勾股定理快速準確進行計算、如何設元運用勾股定理建方程計算線段。在教學中點燃學生學習的熱情，激發(fā)歸納總結規(guī)律的欲望是關鍵，引導學生畫圖計算，實際動手操動是手段。一、快速口算邊長抓住直角三角形中的線段長度特征，有時可以運用縮放法、平方差因式分解法、勾股數、比例法等快速口算直角三角形的邊長。教學完勾股定理后，給學生出了五道填空題如下：例題1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據下列條件填空：（1）若a＝4，b＝8，則c＝___________.（2）若c＝41，b＝40，則a＝_____________.（3）若a＝5，b＝12，則c＝____________.（4）若∠A＝30°，a＝2，則c＝__________，b＝__________.（5）若∠A＝45，a＝3，則c＝__________，b＝__________.絕大多數學生用了很久的時間才計算完，此時，我讓學生停筆下來，看老師口算出答案。學生驚訝地望著老師。然后老師再逐一引導學生提煉歸納規(guī)律，學生通過與實際計算的結果對比，從而驗證規(guī)律是正確的?？偨Y完規(guī)律，老師再隨意舉一些例子，分別請學生來口算第三邊的邊長。班上平時學習成績較差的學生也會在短短的一兩秒時間內正確算出答案，這大大增加了他們學習數學的興趣和信心。通過上面的習題，我們總結的規(guī)律如下：1.縮放法： 直角三角形已知的兩邊成倍數a，或有公因數a，將這兩邊同時縮小a倍，用勾股定理計算出第三邊，再將結果乘以a倍得實際第三邊的長度.（圖1）例題1中的（1）小題，將4、8同時縮小4倍后為1、2，由1和2計算斜邊為，這一過程是絕大多數學生都能口算的，再將放4倍回去（如圖1），實際c的長為4.（圖1）2.平方差因式分解法： 當計算直角邊長的時候，將被開方數的平方差分解因式，往往會使計算化簡更簡便。例題1中的（2）小題，如果不用平方差公式，先算平方，再算差，會是這樣：C＝.如果用平方差公式，則會是這樣：C＝。前一個算式中412都會讓學生計算費時，而后一種計算全是在口算中進行比較省時.3.勾股數 記住勾股數及其倍分數，可以快速得到答案。例如3，4，5的倍數6，8，10；9，12，15；12，15，20…；此外常見的勾股數可以用聯系法引導學生記憶：首位數是奇數3，5，7，9，11，后兩位數分別是相鄰整數；首位數是獨立偶數時為8.3，4，5（勾三股四弦五口訣）；5，12，13（2＋3＝5，后兩位個位數相加為首位數）；7，24，25（2＋5－7，后一位十位與個位數相加為首位數）；9，40，41（4＋0＋4＋1＝9，后兩位所有數字相加為首位數）；11，60，61（6＋6－1＝11，后兩位十位數字減個位數字為首位數）；8，15，17（7＋8＝15，最后一個個位數字加首位數字為第二個數）.此外常見勾股數與它們的倍分數也會滿足勾股定理的計算.例題1中的（3）小題因為記住了勾股數5，12，13，因此口算出斜邊c等于13.4.比例法 直角三角形中，當有一銳角為30°時，則三邊的比例關系為1：：2；直角三角形中，當有一銳角為45°時，則三邊的比例關系為1：1：.規(guī)納這種比例關系時，先讓學生通過幾個簡單的例子計算出三邊數據，再引導將它們相比，得出此規(guī)律；其此引導學生在具體計算中，找出一份的邊長，再利用比例口算未知邊長。（圖2）例如在直角三角形中，知60°所對的邊長為3求斜邊長.如圖2因為60°所對的邊的比例是份，因此將3÷＝得到一份的數值，即30°所對邊的長，再乘以2為斜邊的長2.（圖2）同樣的道理，在等腰直角三角形中，將斜邊的長除以，可以得到直角邊的長. 但是，在解答題中，有比例法計算三邊的情況時，要求學生應該完整規(guī)范書寫解題過程。例如在直角三角形中，知60°所對的邊長為3求斜邊長.先設30°所對的邊長為x，則斜邊長為2x，由勾股定理得：x2＋32＝(2x)2，所以x＝，斜邊c＝2x＝2.在填空選擇題中，則可以快算口算結果，例題1中的（4）小題c＝4，b＝2.例題1中的（5）小題c＝3，b＝3.二、設元妙算邊長 在三角形中，只知一邊的長，求另外兩邊，往往需要根據其它條件，設未知的一邊為x，用含x的代數式表示其它未知邊，巧妙借助勾股定理建方程求解x.其中由等量關系建方程的類型不同可以分為“和差邊”和“邊為橋”兩種.1.和差邊 在同一個直角三角形中，未知的兩邊存在和差關系，設未知的一邊為x，利用和差關系表示出另一邊，再利用勾股定理建立方程.此類習題的難點往往分析出未知兩邊的和差關系.例如樹竹斷裂問題中，斷裂的兩斷和為樹或竹的高；水池蘆葦中露出水面的高度加水深等于蘆葦的長；旗桿的繩長比旗桿高度多1米；紙片折疊問題，由折疊重合的邊等角等，或利用角等加平行找等腰三角形，在完整直角三角形中找到兩邊之和等于已知條件等。例2.如圖3，矩形OABC的頂點B的坐標是(8，4)，沿對角線AC將長方形對折，使點B落在點D處，CB′與x軸交于E，求點E和B′的坐標.分析：由題意得到∠BCA＝∠B′CA＝∠CAO，所以AE＝CE，OE＋CE＝OE＋AE＝OA＝8，設OE為a，則由勾股定理列方程求解OE，得點E的坐標；過點B′作OA的垂線，由面積法及勾股定理可得ED與B′D的長，進而求出OD，得點B′的坐標.解：矩形OABC中，頂點B的坐標是（8，4），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝4，OA∥BC，∴∠BCA＝∠OAC，由折疊重合可知：（圖3）∠BCA＝∠B′CA，B′C＝BC＝（圖3）∴∠OAC＝∠B′CA，∴CE＝AE，設OE＝a，則AE＝OA－OE＝8－a，從而CE＝8－a，在Rt△OCE中，由勾股定理，得:OC2＋OE2＝CE2，即42＋a2＝(8－a)2，解得a＝3，∴點E的坐標為（3，0），CE＝AE＝8－a＝5,B′E＝OE＝3，AB＝AB′＝4，過點B′作B′D⊥x軸于點D，如圖4，則S△AB′E＝AEB′D＝EB′AB′.×5B′D＝×3×4，∴B′D＝2.4，（圖4）在Rt△EB′D中，由勾股定理，得ED＝＝1.8（圖4）∴OD＝OED＋ED＝3＋1.8＝4.8，又點B′在第四象限，∴點B′的坐標為（4.8，－2.4）.2.邊為橋 在兩個直角三角形中，有一條邊相等，則以等邊的平方作為橋梁，借助勾股定理，在兩個直角三角形中建立等量關系，列出方程求線段長的辦法叫邊為橋。邊為橋又可以分為高為橋和斜邊為橋。（1）高為橋 已知三角形一邊上的高分這邊所成的兩條線段與已知線段有和差關系，則設一條線段為x，用含x的代數式表示其它線段，以高的平方作為橋梁，借勾股定理，建立等量關系求線段。例3.如圖5，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面積.分析：作BC邊上的高AD，設BD為x，則CD為（14－x），由AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2列方程求出BD,再由勾股定理得到AD，從而求出△ABC的面積.解：過點A作AD⊥BC于點D，如圖6（圖5）則∠ADB＝∠ADC＝90（圖5）由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2設BD＝x，則CD＝BC－BD＝14－x.∴132－x2＝152－(14－x)2，∴x＝5，即BD＝5在Rt△ABD中，由勾股定理，得（圖9）AD＝＝12（圖9）（圖6）∴S△ABC＝BCAD＝×14×12＝84.（圖6）（2）斜邊為橋 已知兩直角三角形的斜邊相等，另外的直角邊已知或存在和差關系，則設一直角邊為長為x，用含x的代數式表示其它直角邊，以斜邊的平方作為橋梁，借勾股定理，建立等量關系求線段。例4.如圖7，在一個寬為7m的房間，一只梯子放在房間中靠向左邊的墻，梯頂離地面4m，梯底不動再靠向右邊的墻，梯頂離地面3m，問此梯子有多長？分析：設BC為xm，則CE為(7－x)m，因為梯子的長度沒有變化，將梯子長度放在兩個直角三角形中，由勾股定理建立等量關系求出x，再由勾股定理求出梯子的長.解：設BC＝xm，由題意知∠B＝∠E＝90°，BE＝7m， （圖7）AC＝CD，AB＝4m，DE＝3（圖7）在△ABC中，∠B＝90°，AC2＝AB2＋BC2＝42＋x2，在△CDE中，∠E＝90°，CD2＝DE2＋CE2＝32＋（7－x）2.∵AC＝CD，∴AC2＝CD2∴42＋x2＝32＋（7－x）2，解得x＝3∴AC＝m.答：梯子長5m.練習： 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據下列條件填空：①若a＝15，c＝25，則b＝___________；②若c＝61，b＝60，則a＝__________；（圖8）③若∠B＝45°，

c＝4，則a（圖8）2.如圖8，在等腰△ABC中，AB＝BC，AD是BC邊上的高線，且DC＝AB＝1，求AC的長.3.如圖9，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？（圖9（圖9）1.①20；②11；③2.2.解：設AC＝x，則BD＝BC－CD＝x－1，∵AD是BC邊上的高線，所以∠ADC＝∠ADB＝90°由勾股定理得