2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 3 3.3 空間兩點(diǎn)間的距離公式（教師用書）教學(xué)實(shí)錄 北師大版必修2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解析幾何初步33.3空間兩點(diǎn)間的距離公式（教師用書）教學(xué)實(shí)錄北師大版必修2授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教材分析2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解析幾何初步3.3節(jié)，北師大版必修2《空間兩點(diǎn)間的距離公式》教學(xué)實(shí)錄。本節(jié)內(nèi)容與課本緊密關(guān)聯(lián)，通過推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間距離公式，幫助學(xué)生理解空間幾何知識，提高空間想象力和計(jì)算能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，通過空間兩點(diǎn)間距離公式的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生的幾何直觀，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在此前已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何中的距離公式和點(diǎn)的坐標(biāo)表示，具備了一定的坐標(biāo)計(jì)算和幾何推理基礎(chǔ)。然而，空間幾何的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說是新挑戰(zhàn)，他們需要從二維思維過渡到三維空間思維。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高中學(xué)生對幾何學(xué)通常抱有較高的興趣，特別是當(dāng)幾何知識與實(shí)際問題相結(jié)合時(shí)。學(xué)生在數(shù)學(xué)能力上存在個(gè)體差異，部分學(xué)生可能在空間想象和抽象思維方面表現(xiàn)較好，而另一些學(xué)生可能在理解和記憶幾何公式時(shí)遇到困難。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過視覺和圖形來學(xué)習(xí)，而有的學(xué)生則更依賴于公式和邏輯推理。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)空間兩點(diǎn)間的距離公式時(shí)可能遇到的困難包括：

-空間想象力的不足，難以在腦海中形成空間幾何圖形；

-對坐標(biāo)系和空間點(diǎn)表示的理解不夠深入，導(dǎo)致坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤；

-推理過程中邏輯混亂，難以正確應(yīng)用公式解決問題；

-對公式推導(dǎo)過程理解不透，難以靈活運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，包括北師大版必修2《空間兩點(diǎn)間的距離公式》相關(guān)章節(jié)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如空間幾何圖形的動畫演示，以幫助學(xué)生直觀理解。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備直尺、圓規(guī)等基本繪圖工具，用于課堂練習(xí)和演示。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，并確保實(shí)驗(yàn)操作臺或白板等教學(xué)設(shè)施齊全。教學(xué)過程一、導(dǎo)入（約5分鐘）

1.激發(fā)興趣：以實(shí)際生活中的空間距離問題為例，如建筑設(shè)計(jì)中的空間布局，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)他們對空間距離公式的興趣。

2.回顧舊知：引導(dǎo)學(xué)生回顧平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程，為新知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

二、新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

1.講解新知：詳細(xì)講解空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程，包括向量表示和數(shù)量積的應(yīng)用。

2.舉例說明：通過具體的空間點(diǎn)坐標(biāo)，演示如何運(yùn)用公式計(jì)算兩點(diǎn)間的距離，讓學(xué)生理解公式的實(shí)際應(yīng)用。

3.互動探究：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓他們嘗試自己推導(dǎo)公式，并在課堂上展示自己的推導(dǎo)過程。

三、鞏固練習(xí)（約20分鐘）

1.學(xué)生活動：學(xué)生獨(dú)立完成教材上的練習(xí)題，計(jì)算給定空間點(diǎn)的距離，加深對公式應(yīng)用的理解。

2.教師指導(dǎo)：對學(xué)生的練習(xí)情況進(jìn)行巡視，對普遍存在的問題進(jìn)行講解和指導(dǎo)，確保每位學(xué)生都能正確應(yīng)用公式。

四、深化理解（約15分鐘）

1.提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考公式推導(dǎo)過程中涉及的幾何意義和數(shù)學(xué)原理。

2.學(xué)生討論：學(xué)生分組討論，分享對公式的理解和在計(jì)算過程中的經(jīng)驗(yàn)。

3.教師總結(jié)：對學(xué)生的討論進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)公式推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵步驟和數(shù)學(xué)思想。

五、應(yīng)用拓展（約10分鐘）

1.課堂延伸：提供一些實(shí)際問題，如計(jì)算地球表面上兩點(diǎn)間的直線距離，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)公式解決。

2.學(xué)生展示：選取幾名學(xué)生進(jìn)行展示，講解他們是如何應(yīng)用公式解決實(shí)際問題的。

六、課堂小結(jié)（約5分鐘）

1.教師總結(jié)：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用和重要性。

2.學(xué)生反饋：請學(xué)生分享對本節(jié)課內(nèi)容的理解和學(xué)習(xí)心得。

七、作業(yè)布置（約5分鐘）

1.作業(yè)內(nèi)容：布置教材課后習(xí)題，包括計(jì)算題和應(yīng)用題，以鞏固學(xué)生對空間兩點(diǎn)間距離公式的理解和應(yīng)用。

2.作業(yè)要求：要求學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，并按時(shí)上交，以便教師檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-空間幾何圖形的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）軟件介紹：通過CAD軟件，學(xué)生可以直觀地繪制和操作空間幾何圖形，加深對空間兩點(diǎn)間距離公式的理解。

-空間幾何問題在實(shí)際工程中的應(yīng)用案例：收集并整理一些空間幾何問題在建筑、工程、地理信息等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，如建筑設(shè)計(jì)中的空間距離計(jì)算、地理信息系統(tǒng)中的距離測量等。

-空間幾何的歷史發(fā)展簡介：介紹空間幾何的發(fā)展歷程，包括歐幾里得幾何、非歐幾何等，以及這些幾何體系在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位和影響。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以通過在線資源或圖書館查閱關(guān)于空間幾何的歷史資料，了解空間幾何的發(fā)展背景。

-利用CAD軟件，學(xué)生可以自行設(shè)計(jì)一些空間幾何問題，如計(jì)算兩個(gè)空間點(diǎn)的最短距離，通過實(shí)際操作加深對距離公式的理解。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組合作，針對實(shí)際案例，如城市規(guī)劃中的空間布局問題，應(yīng)用空間兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計(jì)算和分析。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或科學(xué)展覽，通過解決實(shí)際問題展示他們在空間幾何學(xué)習(xí)中的成果。

-引導(dǎo)學(xué)生閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)期刊或論文，了解空間幾何在當(dāng)代數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用和最新進(jìn)展。

-設(shè)計(jì)一些開放性的問題，如探討空間兩點(diǎn)間距離公式的適用范圍和局限性，激發(fā)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新思維。

-通過制作幾何模型或動畫，幫助學(xué)生直觀地理解空間幾何圖形和距離公式的幾何意義。

-結(jié)合地理信息系統(tǒng)（GIS）的知識，探討空間距離在地理信息處理中的應(yīng)用，如地圖縮放、距離測量等。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

1.回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程和幾何意義。

2.總結(jié)公式在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、地理信息系統(tǒng)等。

3.強(qiáng)調(diào)空間幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要地位，以及其在現(xiàn)代科技中的應(yīng)用價(jià)值。

4.鼓勵(lì)學(xué)生在日常生活中關(guān)注空間幾何現(xiàn)象，提高空間思維能力。

當(dāng)堂檢測：

1.單項(xiàng)選擇題（每題5分，共20分）

-在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(4,5,6)之間的距離是（）

A.2B.3C.4D.5

-下列哪個(gè)選項(xiàng)不是空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用？（）

A.計(jì)算地球表面上兩點(diǎn)間的直線距離

B.建筑設(shè)計(jì)中的空間布局

C.化學(xué)反應(yīng)中的分子間距離

D.地理信息系統(tǒng)中的距離測量

2.判斷題（每題5分，共20分）

-空間兩點(diǎn)間距離公式只適用于空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)。（）

-空間兩點(diǎn)間距離公式可以推導(dǎo)出平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式。（）

-空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程中，向量數(shù)量積的計(jì)算非常重要。（）

-空間兩點(diǎn)間距離公式在解決實(shí)際問題時(shí)具有廣泛的應(yīng)用。（）

3.計(jì)算題（每題10分，共30分）

-在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3,4)和點(diǎn)B(-1,2,3)之間的距離是多少？

-已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C(1,2,3)和點(diǎn)D(4,5,6)之間的距離為5，求點(diǎn)C關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)。

4.應(yīng)用題（每題15分，共30分）

-在建筑設(shè)計(jì)中，需要計(jì)算兩個(gè)相鄰建筑物之間的距離，已知建筑物A的坐標(biāo)為(1,2,3)，建筑物B的坐標(biāo)為(4,5,6)，求兩建筑物之間的距離。

-在地理信息系統(tǒng)中，需要測量兩點(diǎn)之間的直線距離，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(100,200,300)和(150,250,350)，求兩點(diǎn)之間的直線距離。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識點(diǎn)：

-空間直角坐標(biāo)系

-向量表示

-向量數(shù)量積

-空間兩點(diǎn)間距離公式

②關(guān)鍵詞：

-坐標(biāo)

-向