山西省運(yùn)城市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)山西省運(yùn)城市2025屆高三上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，即可得虛部.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則虛部為.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域化簡(jiǎn)集合M，然后求解【詳解】由，解得，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.3.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)在方向上的投影向量為即可求解.【詳解】，，所以在方向上的投影向量為故選：B.4.已知角的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化弦為切，代入即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，所以.故選：C.5.在對(duì)某校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的調(diào)查中，采用分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生30人，其每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為80分鐘，方差為抽取了女生20人，其每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為60分鐘，方差為結(jié)合數(shù)據(jù)，估計(jì)全校學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方差為（）A.78 B.112 C.110 D.96【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合樣本均值和方差的公式，即可求解.【詳解】由題意，按樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式抽取樣本，則所有樣本平值，所以方差為.故選：C.6.若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷x>0時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)列出不等式求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；依題意，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，又，則，因此，解得，所以正數(shù)的取值范圍是.故選：B7.一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形的圓錐型封閉容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為2的小球后，再放入一個(gè)球，則球的表面積與容器表面積之比的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求得球的半徑，結(jié)合球與球、圓錐都相切時(shí)滿足題意，進(jìn)而求得球的半徑，即可求解.【詳解】由邊長(zhǎng)為的正三角形的內(nèi)切圓半徑為，即軸截面是邊長(zhǎng)為正三角形的圓錐內(nèi)切球半徑為2，所以放入一個(gè)半徑為2的小球后，再放一個(gè)球，如下圖，要使球的表面積與容器表面積之比的最大，即球的半徑最大，所以只需球與球、圓錐都相切，其軸截面如上圖，此時(shí)，所以球的表面積為，圓錐表面積為，所以球的表面積與容器表面積之比的最大值為故選：A8.若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出兩個(gè)函數(shù)的某點(diǎn)上的切線方程，再根據(jù)公切線列方程得到，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)值域，即可得答案．【詳解】設(shè)公切線與曲線與的交點(diǎn)分別為，，其中，對(duì)于，得，則與相切的切線方程為，即，對(duì)于，得，則與相切的切線方程為，即，由公切線，得，，有，，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，故，即.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列正確的有（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.曲線的對(duì)稱中心為，C.在區(qū)間單調(diào)遞減D.在區(qū)間的最大值為1【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，逐一求解即可.【詳解】由，對(duì)于A，為偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)于函數(shù)，令，，解得，，所以的對(duì)稱中心為，，故B正確；對(duì)于C，由，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以，所以，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，即在區(qū)間的最大值為1，故D正確.故選：BD10.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，逐一求解即可.【詳解】對(duì)于A：由，，得，，所以，故A正確;對(duì)于B：，故B正確;對(duì)于C：結(jié)合選項(xiàng)A可得等比數(shù)列公比為，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以T的最小值為，故C不正確;對(duì)于D：，故D正確;故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則（）A. B.是奇函數(shù)C.函數(shù)是上的增函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法代入計(jì)算可得A正確，由函數(shù)奇偶性定義可判斷B正確，若為一次函數(shù)，不一定是上的增函數(shù)，即C錯(cuò)誤；可證明是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可得D正確.【詳解】對(duì)于A，令，則，所以，即A正確；對(duì)于B，由得，令，則有，令，則有即，所以是奇函數(shù)，即B正確；對(duì)于C，根據(jù)選項(xiàng)B可知，令為一次函數(shù)，可得，函數(shù)不一定是R上的增函數(shù)，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，令，則有，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，即D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案：13.若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】【分析】由題意，根據(jù)百分位數(shù)的定義可得，再寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，可得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】因?yàn)闉橐唤M從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第六十百分位數(shù)，又，所以，所以的展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：14.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)若，則雙曲線C離心率為__________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，由雙曲線的定義和題意解得，故，即得解.【詳解】解：如圖，取AB中點(diǎn)M，連接，

，，設(shè)，，，又，

，，，，由勾股定理，知，即，解得，，，結(jié)合，可得，即離心率故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在中，O是BC的中點(diǎn)，，將沿AO折起，使B點(diǎn)移至圖中點(diǎn)位置.（1）求證：平面（2）當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求二面角的余弦值;【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）在平面內(nèi)，作于點(diǎn)D，判斷當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐的體積最大，過O點(diǎn)作于點(diǎn)H，連AH，說(shuō)明即為二面角的平面角，然后解三角形即可得到結(jié)果.【小問1詳解】且O是BC中點(diǎn)，即，又，平面，平面，平面；【小問2詳解】如圖：在平面內(nèi)，作于點(diǎn)D，則由（1）可知，又，OA，平面OAC，平面OAC，即是三棱錐的高.又，所以當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐的體積最大，過O點(diǎn)作于點(diǎn)H，連由（1）知平面，又平面，，，AO，平面AOH，平面AOH，且平面AOH，，即為二面角的平面角.中，，，故二面角的余弦值為16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為銳角，的面積為，.（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖，若，，為內(nèi)一點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng).【答案】（1）直角三角形或鈍角三角形（2）【解析】【分析】（1）利用面積公式及余弦定理代入化簡(jiǎn)，然后利用正弦定理邊化角可得答案；（2）由（1）的結(jié)果得到為等腰直角三角形，然后解，可得，進(jìn)而可得，再解即可求出的長(zhǎng).【小問1詳解】，，即，再由正弦定理邊化角得，，，又為銳角，，或，或，為直角三角形或鈍角三角形；【小問2詳解】由（1）的結(jié)果以及，可得，為等腰直角三角形，又，，在中，則，解得，負(fù)值舍去，又，，，在中，，.17.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題，每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，由于正確選項(xiàng)有4個(gè)的概率極低，可視作0，因此我們可以認(rèn)為多項(xiàng)選擇題至少有2個(gè)正確選項(xiàng)，至多有3個(gè)正確選項(xiàng).多項(xiàng)選擇題題目要求：“在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.”其中“部分選對(duì)的得部分分”是指：若正確答案有2個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分;若正確答案有3個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分，只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分.（1）已知某道多選題的正確答案是BD，一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少1個(gè)選項(xiàng)，至多3個(gè)選項(xiàng)，且每種選擇是等可能的.請(qǐng)根據(jù)已知材料，分析該生可能的得分情況與所得分值的相應(yīng)概率，并求該生得分的期望（2）已知某道多選題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率相等，一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的，其他選項(xiàng)均不能判斷正誤，試列舉出該生所有可能的符合實(shí)際的答題方案，并以各方案得分的期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出最優(yōu)方案.【答案】（1）答案見解析，期望；（2）選擇方案①，只選擇A選項(xiàng).【解析】【分析】（1）寫出樣本空間，確定該生所有可能的得分情況為0分、3分、6分，設(shè)出對(duì)應(yīng)事件并求出對(duì)應(yīng)概率，即可求期望;（2）通過已知信息，從合理性角度看該生必選A，有三種方案，求出每種方案的期望，比較大小即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意，該考生的所有選擇結(jié)果，共14個(gè)樣本點(diǎn).該生所有可能的得分情況為0分、3分、6分.設(shè)事件“該考生得0分”，含11個(gè)樣本點(diǎn)，事件“該考生得3分”，含2個(gè)樣本點(diǎn)，事件“該考生得6分”，含1個(gè)樣本點(diǎn)，則，，，從而得分期望【小問2詳解】通過已知信息，從合理性角度看，該生必選A，根據(jù)其他選項(xiàng)的選取情況分析，有下三種答題方案：①選擇A選項(xiàng)，且不再選其他選項(xiàng)；②選擇A選項(xiàng)的同時(shí)隨機(jī)選擇一個(gè)其他選項(xiàng)；③擇A選項(xiàng)的同時(shí)隨機(jī)選擇兩個(gè)其他選項(xiàng)；設(shè)三個(gè)不同方案的得分分別為X，Y，對(duì)于①，X的所有可能取值為2、3，且，，則；對(duì)于②，Y的所有可能取值為0、4、6，，，，則對(duì)于③，Z的所有可能取值為0、6，，，則綜上，，所以該考生選擇方案①，只選擇A選項(xiàng)

.18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)在C上.（1）求C的方程;（2）設(shè)C的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn).①求面積S的取值范圍;②若，求l的斜率.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)得到，再將代入可得橢圓方程.（2）①先設(shè)出直線方程，再和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入求取范圍即可.②表示出向量坐標(biāo)后，利用得到，再利用韋達(dá)定理解出直線斜率即可.【小問1詳解】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知，將代入可得，解得，，所以橢圓C的方程為：【小問2詳解】由（1）可知，右焦點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不合題意，設(shè)直線l的斜率為k，，，則直線l的方程為y=kx?1，聯(lián)立，整理得，所以，，①

，令，②又，即，可得，因?yàn)?/p>

所以，即，

解得，所以直線l的斜率為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程，橢圓中的面積問題，屬于中檔題.根據(jù)長(zhǎng)軸與點(diǎn)P在橢圓上，即可求解；①設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，則

，即可求解；②結(jié)合韋達(dá)定理，則，即可求解.19.在數(shù)列中，，，且（1）證明：是等差數(shù)列;（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和（3）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；（2）先利用累加法和等差數(shù)列的前項(xiàng)和