1.3 二次根式學(xué)案-2024-2025學(xué)年初高中教材銜接

第三講二次根式初中知識點回顧：二次根式的概念：一般的，形如()的代數(shù)式叫做二次根式．1.二次根式的運算：（1）二次根式中是一個整體，表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.在實數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運算，所以是必不可少的條件．（2）()，或．注：①的運算順序是先求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，然后再平方.并且必須滿足的條件．②的運算順序是先平方再開方，取算術(shù)平方根.此式對任何實數(shù)都有意義，而且式子應(yīng)用十分廣泛．（3）二次根式具有非負(fù)性，即．2.最簡二次根式若二次根式滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式，這樣的二次根式叫最簡二次根式．例如：,,是最簡二次根式，而,,,不是最簡二次根式．3.同類根式幾個二次根式化簡成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫同類二次根式．合并同類二次根式就是把幾個同類二次根式合并成一個二次根式，合并同類二次根式的方法與合并同類項類似．4.分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根號．遇到實際問題，靈活選用分母（或分子）有理化解決問題．高中知識點銜接：高中階段，我們在學(xué)習(xí)函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、圓錐曲線方程等內(nèi)容時，涉及到大量的與二次根式有關(guān)的計算．因此，進(jìn)一步學(xué)習(xí)、掌握次根式、同類根式、分子（母）有理化等內(nèi)容很有必要．次根式一般地，若，則叫做的次方根．叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．例如27的3次方根表示為，-32的5次方根表示為，16的4次方根表示為，即16的4次方根有兩個，一個是，另一個是，它們絕對值相等而符號相反．類比二次根式，次根式的性質(zhì)如下：，特別地，，．當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)時正偶數(shù)時，．特別地，．負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根為0,(且)．根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式（1），．（2）；．（3），均為正整數(shù)）．典型例題解析例1.將下列式子化為最簡二次根式．(1)(2)(3)例2.已知，計算．例3.有理化下列式子.（分子有理化）.（分子有理化）.（分母有理化）.例4.化簡:已知,則的值．回顧初中：二次根式的運算、化簡與分子（母）有理化．例5.化簡．鏈接高中：根式與指數(shù)的轉(zhuǎn)化例6.化簡（其中字母為正數(shù)）．例7.設(shè)，，為非零實數(shù)，且滿足,求的最大值和最小值．銜接練習(xí)1.填空:（1）______．（2）________．（3）比較大?。篲______（填）．（4）已知,則的值為________．2.分子有理化:（1）；