高中數(shù)學(xué)北師大版必修五提綱

高中數(shù)學(xué)北師大版必修五提綱

數(shù)學(xué)是全部同學(xué)的噩夢，不僅是女生，就是男生也感覺學(xué)好太難

了?？赡苤皇侨鄙倭艘粋€(gè)復(fù)習(xí)提綱，下面我給大家共享一些高中數(shù)學(xué)

北師大版必修五提綱，吩望能夠關(guān)心大家，歡迎閱讀！

高中數(shù)學(xué)北師大版必修五提綱

(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)

1、對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)分，映射是一種

特別的對(duì)應(yīng)，而函數(shù)又是?種特別的映射.

2、對(duì)于函數(shù)的概念，應(yīng)留意如下幾點(diǎn)：

(1)把握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會(huì)推斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).

⑵把握三種表示法一一列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問題

尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特殊是會(huì)求分段函數(shù)的解析式.

⑶假如y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其

中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).

3、求函數(shù)y二f(x)的反函數(shù)的一般步驟：

(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；

⑵由y=f(x)的解析式求出x=f-l(y);

(3)將x,y對(duì)換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式丫=51僅)，并注明定義域.

留意①：對(duì)于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函

數(shù)，然后再合并到一起.

②熟識(shí)的應(yīng)用，求f-l(xO)的值，合理利用這個(gè)結(jié)論，可以避開

1

求反函數(shù)的過程，從而簡化運(yùn)算.

(二卜函數(shù)的解析式與定義域

1、函數(shù)及其定義域是不行分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不

存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必需是在求出變量間的

對(duì)應(yīng)法則的同時(shí)，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類

型：

⑴有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題，這時(shí)自變量X有實(shí)際意義,

求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮；

(2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.

如：

①分式的分母不得為零；

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

③對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必需大于零；

④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必需大于零且不等于1；

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(xl?]R,且電Z),余切函數(shù)

y=cotx(x0R,xHkn,k團(tuán)Z)等.

應(yīng)留意，一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域?yàn)楦鞑糠钟?/p>

意義的自變量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域，求另一個(gè)函數(shù)的定義域，主要考慮定

義域的深刻含義即可.

已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿意a?g(x)4b

的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域⑶b]指的是x團(tuán)[a,b],此時(shí)

2

f(x)的定義域，即g(x)的值域.

2、求函數(shù)的解析式一般有四種狀況

⑴依據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí)，必需引入合適的變量,

依據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)學(xué)問尋求函數(shù)的解析式.

⑵有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采納待定系數(shù)法.

比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(arO),其中a,b為待定系數(shù)，

依據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a,b即可.

(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)他(x)］的表達(dá)式時(shí)，可用換元法求函數(shù)f(x)

的表達(dá)式，這時(shí)必需求出g(x)的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.

(4)若已知f(x)滿意某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還消

失其他未知量(如f(-x),等)，必需依據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組

成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式.

(三人函數(shù)的值域與最值

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采納何種(方法)

求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀看法，對(duì)于結(jié)構(gòu)較為簡潔的函數(shù)，可由函數(shù)的

解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀看得出函數(shù)的值域.

⑵換元法：運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的簡單函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一

種簡潔函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時(shí)

用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元.

⑶反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-l(x)的定義域和值域間的

關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a=0)的函數(shù)

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值域可采納此法求得.

⑷配方法:對(duì)于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考

慮用配方法.

⑸不等式法求值域：利用基本不等式a+b2［a,b團(tuán)(0,+00)］可以求

某些函數(shù)的值域，小過應(yīng)留意條件〃一正二定三相等〃有時(shí)需用到平方

等技巧.

(6)判別式法：把y二f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用〃能0〃

求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

⑺利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某

個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性，可采納單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助

于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)分和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事

實(shí)上，假如在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的

最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的

角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數(shù)的值域是(0,16］,值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是

卜8,-2］團(tuán)［2,+8),但此函數(shù)無值和最小值，只有在轉(zhuǎn)變函數(shù)定義域

后，如X0時(shí)，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的

影響.

3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

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函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)學(xué)問求解實(shí)際問題上，從文

字表述上經(jīng)常表現(xiàn)為〃工程造價(jià)最低〃，〃利潤〃或〃面積(體積)(最小)〃等

諸多現(xiàn)實(shí)問題上，求解時(shí)要特殊關(guān)注實(shí)際意義對(duì)自變量的制約，以便

能正確求得最值.

網(wǎng)、函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對(duì)于函數(shù)f(x),假如對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)

的任意一個(gè)X,都有f(?x)=?f(x)(或f(?x);f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函

數(shù)(或偶函數(shù)).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要留意兩點(diǎn)：(1)定義域在數(shù)軸

上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條

件;(2)f(x)=.f(x)或f(?x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域

上的整體性質(zhì)).

2、奇偶函數(shù)的定義是推斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于推

斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：

留意如下結(jié)論的運(yùn)用：

⑴不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù)；

⑵f(x)、g(x)分別是定義域DI、D2上的奇函數(shù)，那么在D1AD2

上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)0x)是偶函數(shù)，類似地有〃奇士奇=奇〃“奇x

奇=偶〃，〃偶士偶二偶〃〃偶x偶二偶〃〃奇x偶二奇〃;

(3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù)；

⑷奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾共性質(zhì)及結(jié)論

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⑴一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;一個(gè)

函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是

奇函數(shù)乂是偶函數(shù).

⑶若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對(duì)

稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

⑸若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，

G(x)=f(x)?f(?x)是奇函數(shù).

⑹奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x),WJy=f(x)的圖

象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù),函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的

任?x都有f(a+x)=f(a.x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱圖形,

即y=f(a+x)為奇函數(shù)。

數(shù)學(xué)怎么才能學(xué)好

找技巧。我的方法是預(yù)備一專用本，登記你平常所見到的全部公

式，規(guī)律，甭管課內(nèi)的還是課外的。熟記它，勤翻點(diǎn)就是了，考試前

再看一遍可加強(qiáng)記憶(很管用)，這會(huì)讓你有意外的收獲，讓你有令被

人驚艷的機(jī)會(huì)，此外還要學(xué)會(huì)耍賴，比如證明題，考試時(shí)，5分鐘之

內(nèi)沒有一點(diǎn)思路，立馬下筆寫許多步驟，最終寫上〃由以上可知，得

證〃屢試不爽??！

用得多了，你就會(huì)找到更完善的耍賴方法.還有改錯(cuò)本很重要，

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不要認(rèn)為這道題老師剛講過我會(huì)了，（閱歷）告知我這種狀態(tài)下幾天

后你十有一會(huì)忘了它，還有草稿紙的用法，驗(yàn)算也要有條理，我用驗(yàn)

算紙，會(huì)先寫下題號(hào)，再演算，從上到下，算得有條理，思路清，重

要的是精確率高，檢查時(shí)超省時(shí)間！

選擇，填空主要是要對(duì)自己有信念，快，狠，小題小做，動(dòng)筆前

的審題也很重要（平?？荚嚊]審題時(shí)間）不要細(xì)想某一道題，5分鐘足

以把選擇題思路想一遍，很增加自信念的！

高中數(shù)學(xué)怎么學(xué)

1.每一道數(shù)學(xué)題都值得做三遍

對(duì)于每一道數(shù)學(xué)題（特殊特殊簡潔的除外），都要做三遍。

第1遍就是正常做，然后對(duì)比參考答案與解題思路，更正答案。

第2遍做一般是隔天效果最好，重新再快速地把之前全部的題目

全部都重新做一遍，這個(gè)〃做〃不是和第1遍一樣1字不差，從頭到尾

地演算。

第3遍做，最好是7天以后。時(shí)隔七天，這個(gè)時(shí)候再做一遍，你

就會(huì)有豁然開朗的感覺。對(duì)于90%以上的題目，你基本上就是看到題

目就知道思路是什么，解題步驟是什么，甚至你都能記得每一步之前

計(jì)算的結(jié)果是什么，錯(cuò)在了哪里。

2.要有一個(gè)自己的錯(cuò)題記錄本

錯(cuò)題本的意義，不是把每一道你做錯(cuò)的題目都抄寫一遍，而是要

把那些反復(fù)做不對(duì),反復(fù)做都有差錯(cuò)的題目保存下來。錯(cuò)題本的本質(zhì)，

是對(duì)我們（思維方式），思索習(xí)慣的一個(gè)訂正。在這個(gè)錯(cuò)題本上的題

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目都應(yīng)當(dāng)是做了3遍還會(huì)出錯(cuò)的題目o

3.做好預(yù)習(xí)

有的同學(xué)說預(yù)習(xí)不好的話，聽課就沒什么愛好了，或者看也看不

明白，怎么學(xué)啊?其實(shí)預(yù)習(xí)只需要10?15分鐘就可以了，由于書上說

的很簡潔。預(yù)習(xí)完試著做做課后題，假如有課后題不會(huì)，那就是還有

前面的學(xué)問點(diǎn)沒有看懂的,其次天上課的時(shí)候就要仔細(xì)聽了。其次天

上完課后理解了老師所說，放學(xué)后必需仔細(xì)完成當(dāng)天的作業(yè)。然后連

續(xù)預(yù)習(xí)下一章節(jié)，這樣循環(huán)下來，應(yīng)當(dāng)有所收獲。