2025年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)歸納第55講、立體幾何中的壓軸小題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

第55講立體幾何中的壓軸小題必考題型全歸納題型一：球與截面面積問(wèn)題例1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，截面面積最小值為（

）A． B． C． D．例2．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2；②四面體ABCD的體積為；③過(guò)作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4.則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例3．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知球是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．變式1．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）2022年第三十二屆足球世界杯在卡塔爾舉行，第一屆世界杯是1930年舉辦的，而早在戰(zhàn)國(guó)中期，中國(guó)就有過(guò)類似的體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知半徑為的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，，，，，則該鞠（球）被平面所截的截面圓面積為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍?，則平面截球得到的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．變式3．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知球O內(nèi)切于正方體，P，Q，M，N分別是的中點(diǎn)，則該正方體及其內(nèi)切球被平面所截得的截面面積之比為（

）A． B． C． D．變式4．（2024·河南洛陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)均為6，且四個(gè)頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，點(diǎn)E在AB上，，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．題型二：體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問(wèn)題例4．（2024·福建三明·高一校考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)例5．（2024·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，底面，，?分別是棱?上的動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線可能異面B．三棱錐的體積保持不變C．直線與直線所成角的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)D．直線與直線所成角的最大值為例6．（多選題）（2024·福建三明·統(tǒng)考三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（

）

A．當(dāng)在上時(shí)，三棱錐的體積為定值B．與所成角正弦的最小值為C．過(guò)作垂直于的平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，面積的最小值為變式5．（多選題）（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為四邊形的中心，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若三棱錐的體積為定值，則（

）A． B．C． D．變式6．（多選題）（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，以下結(jié)論正確的有（

）

A．B．C．正方體的體積是三棱錐的體積的12倍D．異面直線所成的角為定值變式7．（多選題）（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎庵鵄BC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1，AA1=1，點(diǎn)P滿足，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BPD．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P變式8．（多選題）（2024·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值變式9．（多選題）（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為正方體.任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l.則（

）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值變式10．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐，，為棱上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作平行于直線和的平面，分別交棱于．下列說(shuō)法正確的是（

）

A．四邊形為矩形B．四邊形的周長(zhǎng)為定值C．四邊形的面積為定值D．當(dāng)時(shí)，平面分三棱錐所得的兩部分體積相等變式11．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，△PBD的面積為定值D．當(dāng)時(shí)，直線與所成角的取值范圍為題型三：體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問(wèn)題例7．（2024·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架的邊長(zhǎng)均為2，活動(dòng)彈子在線段上移動(dòng)（包含端點(diǎn)），彈子分別固定在線段的中點(diǎn)處，且平面，則當(dāng)取最大值時(shí)，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．例8．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（

）A．18 B． C． D．27例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為是正方形（含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于，則兩點(diǎn)間距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．變式12．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是圓柱上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形，已知在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，三棱錐的體積最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式13．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是半球的直徑，為球心，為此半球大圓弧上的任意一點(diǎn)（異于在水平大圓面內(nèi)的射影為，過(guò)作于，連接，若二面角的大小為，則三棱錐的體積的最大值為（

）

A． B． C． D．變式14．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，是圓錐的軸截面，是的中點(diǎn)，為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于、兩點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐體積最大值為 D．三棱錐體積最大值為變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為1，P?Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)．有以下三個(gè)結(jié)論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為；③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為．以上所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式16．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正四面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動(dòng)，，且恒有，已知三棱錐的體積的最大值為，則正四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．變式17．（2024·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使得B．存在點(diǎn)P，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為4π變式18．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為1、2，高，點(diǎn)S、A分別為其上、下底面圓周上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）

A．該圓臺(tái)的體積為B．直線SA與直線所成角最大值為C．該圓臺(tái)有內(nèi)切球，且半徑為D．直線與平面所成角正切值的最大值為變式19．（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┱睦庵校?，為底面的中心，是棱的中點(diǎn)，正四棱柱的高，點(diǎn)到平面的距離的最大值為（

）A． B． C． D．變式20．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C． D．變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．變式22．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖1，將一塊邊長(zhǎng)為20的正方形紙片剪去四個(gè)全等的等腰三角形，，再將剩下的部分沿虛線折成一個(gè)正四棱錐，使與重合，與重合，與重合，與重合，點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2.則正四棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓形紙片的圓心為，半徑為5，該紙片上的正方形的中心為．，，，為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以，，，為折痕折起，使得，，，重合于一點(diǎn)，記為，得到四棱錐．當(dāng)?shù)酌娴倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．題型四：立體幾何中的交線問(wèn)題例10．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體是半徑為的球的內(nèi)接正方體（八個(gè)頂點(diǎn)全部在球面上），則正方體六個(gè)面所在的平面與球面的交線總長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．例11．（2024·上海·高三專題練習(xí)）直三棱柱中，，，，，設(shè)平面與平面的交線為，則與的距離為（

）．A．1 B． C．17 D．2.6例12．（2024·浙江·校聯(lián)考三模）正四面體，為棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面的平行平面，該平面與平面、平面的交線分別為，則所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱，的中點(diǎn)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面與平面的交線為，則與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)過(guò)，，的截面與面，以及面的交線分別為，，則，所成的角為（

）A． B． C． D．變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，為中點(diǎn)，過(guò)的截面與平面的交線為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在圓臺(tái)OO1中，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（

）

A． B． C． D．變式28．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正三棱錐P-ABC中，，BC＝6，M，N，Q，D分別是AP，BC，AC，PC的中點(diǎn)，平面MQN與平面PBC的交線為l，則直線QD與直線l所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．變式29．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考期末）在正方體中，為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)?分別為棱?的中點(diǎn)，則平面與直四棱柱各側(cè)面矩形的交線所圍成的圖形的面積為（

）A． B．C． D．題型五：空間線段以及線段之和最值問(wèn)題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，如圖正三棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，D為AC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是PD上的動(dòng)點(diǎn)，N是平面PCE上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值是（

）A． B． C． D．例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．變式31．（2024·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（

）

A． B． C． D．變式32．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，在底面上的投影為的中點(diǎn)，.有下列結(jié)論：①三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均相等；②的取值范圍是；③若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的體積為；④若，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④變式33．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，底面為正方形，．點(diǎn)分別為平面，平面和平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．1變式34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，且分別為和的中點(diǎn)，為線段（包括端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．題型六：空間角問(wèn)題例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．例17．（2024·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．例18．（2024·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．變式35．（2024·浙江溫州·高二溫州中學(xué)校考期末）斜三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，變式36．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）斜三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，且，是的中點(diǎn)，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，變式37．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．變式38．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）正四面體中，是側(cè)棱上（端點(diǎn)除外）的一點(diǎn)，若異面直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B．C． D．變式39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過(guò)AM作平行于BC的截面，過(guò)BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當(dāng)取值最大時(shí)，變式40．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．變式41．（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四面體中，棱，所在直線所成角為，且，，，面和面所成的銳二面角為，面和面所成的銳二面角為，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)（

）.A． B． C． D．不能確定變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考二模）已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，側(cè)棱平面，過(guò)作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為A． B．C． D．題型七：立體幾何裝液體問(wèn)題例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現(xiàn)將該棱柱繞旋轉(zhuǎn)至圖2.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①液面剛好同時(shí)經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)；②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí)，液面與水平桌面的距離為；③當(dāng)液面與水平桌面的距離為時(shí)，與液面所成角的正弦值為.A．0 B．1 C．2 D．3例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長(zhǎng)為1，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長(zhǎng)為2，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式43．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某圓柱形容器的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，容器中裝滿液體，現(xiàn)向此容器中放入一個(gè)實(shí)心小球，使得小球完全被液體淹沒(méi)，則此時(shí)容器中所余液體的最小容量為（

）A． B． C． D．變式44．（多選題）（2024·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）如圖，玻璃制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)部灌進(jìn)一多半水后封閉，僅讓底面棱BC位于水平地面上，將容器以BC為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，水面形成四邊形EFGH，忽略容器壁厚，則（

）A．始終與水面EFGH平行B．四邊形EFGH面積不變C．有水部分組成的幾何體不可能是三棱柱D．AE+BF為定值變式45．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）透明塑料制成的正方體密閉容器的體積為64，注入體積為的液體．如圖，將容器下底面的頂點(diǎn)置于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜度的不同，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．液面始終與地面平行B．時(shí)，液面始終呈平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，有液體的部分可呈正三棱錐D．當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積最大值為變式46．（多選題）（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)校考階段練習(xí)）透明塑料制成的正方體密閉容器的體積為注入體積為的液體.如圖，將容器下底面的頂點(diǎn)置于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，則下列說(shuō)法正確的是（）A．液面始終與地面平行B．時(shí)，液面始終是平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，有液體的部分可呈正三棱錐D．當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積最大值為變式47．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為x（）的液體，旋轉(zhuǎn)容器，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，容器被液面分割而成的兩個(gè)幾何體完全相同B．不管注入多少液體，液面都可以成正三角形形狀C．液面可以是正六邊形，其面積為D．當(dāng)液面恰好經(jīng)過(guò)正方體的某條體對(duì)角線時(shí)，液面邊界周長(zhǎng)的最小值為變式48．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一個(gè)密閉的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是．變式49．（2024·四川瀘州·四川省瀘州高級(jí)中學(xué)校?？家荒＃┮粋€(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、3密封且透明的長(zhǎng)方體容器中裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該長(zhǎng)方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)99%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！高一資料群內(nèi)容：1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國(guó)名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高二資料群內(nèi)容：1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國(guó)名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高三資料群內(nèi)容：1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）3、高三三輪押題（純word解析版）4、高考真題分類匯編（純word解析版）5、專題分類匯編（純word解析版）6、圓錐曲線專題（word+PDF）7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）8、全國(guó)名校期中期末一模二模（純word解析版）…………更多內(nèi)容不斷完善第55講立體幾何中的壓軸小題必考題型全歸納題型一：球與截面面積問(wèn)題例1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，截面面積最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴為正三棱錐，取的中點(diǎn)，連接，則，，平面，所以平面，平面，所以，又，，∴，∴，又，，平面PAC，∴平面PAC，平面PAC，∴，∴，∴為正方體的一部分，可得外接球的半徑為，取的中點(diǎn)，連接，可得，，所以，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，設(shè)截面與棱的交點(diǎn)分別為，當(dāng)OE垂直時(shí)截面面積最小，此時(shí)即為截面圓的圓心，截面圓半徑為，截面面積為.故選：A．例2．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2；②四面體ABCD的體積為；③過(guò)作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4.則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】選項(xiàng)①中，如圖（1）所示，找的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面即為面，則,，所以四邊形為平行四邊形，找的中點(diǎn),連接，因?yàn)?，所以平面，所以平面，平面，所以，所以，所以四邊形為矩形，，，所以截面的面積，故①正確；選項(xiàng)②中，中，由勾股定理得：，同理，過(guò)點(diǎn)作,則，所以由勾股定理得：，所以，由選項(xiàng)①可得：平面,所以，，故②錯(cuò)誤；選項(xiàng)③中，可以將四面體放入如圖（2）所示的長(zhǎng)方體中，由題可求得，，所以外接球的半徑，截面面積的最大值為；平面截得的面積為最小面積，半徑，截面積最小為，所以截面面積的最大值與最小值的比為5：4，故③正確.圖（1）圖（2）例3．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知球是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑，由勾股定理得棱錐的高，設(shè)球O的半徑為R，則即，解得，所以，即點(diǎn)O與重合，在中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，所以，當(dāng)截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小，此時(shí)半徑為，截面面積為.故選：A變式1．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）2022年第三十二屆足球世界杯在卡塔爾舉行，第一屆世界杯是1930年舉辦的，而早在戰(zhàn)國(guó)中期，中國(guó)就有過(guò)類似的體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知半徑為的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，，，，，則該鞠（球）被平面所截的截面圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槿忮F的外接球的半徑，而，所以為外接球的直徑，如圖，將三棱錐放入如圖所示的長(zhǎng)方體，則，設(shè)長(zhǎng)方體的另一棱長(zhǎng)為，所以，解得，即，設(shè)外接球的球心為，所以，，設(shè)的外接圓的半徑為，則，則，所以，則，所以該鞠（球）被平面所截的截面圓面積．故選：D變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍?，則平面截球得到的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接，由題意易知，，故四邊形為平行四邊形.設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，在Rt中，，故點(diǎn)到的距離為，故點(diǎn)到的距離為，因此圓心到平面的距離為.由題易知球的半徑，故平面截球得到的截面圓的半徑，故截面圓的面積.故選：D變式3．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知球O內(nèi)切于正方體，P，Q，M，N分別是的中點(diǎn)，則該正方體及其內(nèi)切球被平面所截得的截面面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，易知正方體的內(nèi)切球的球心O為的中點(diǎn)，設(shè)球O切上下底面中心于點(diǎn)E，F(xiàn)，則球O的半徑，又易知球心O到平面的距離等于E到平面的距離，設(shè)交于點(diǎn)G，則易證平面，∴球心O到平面的距離，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，∴球O被平面所截的小圓半徑，∴球O被平面所截的小圓面積為，又易知，，∴該正方體被平面所截得的截面面積為，∴該正方體及其內(nèi)切球被平面所截得的截面面積之比為，故選：A變式4．（2024·河南洛陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)均為6，且四個(gè)頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，點(diǎn)E在AB上，，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，因?yàn)槿忮F的棱長(zhǎng)均為6，所以點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影H是的中心，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則點(diǎn)H在AD上，且，所以，，，則．設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為R，則OP＝OA＝R，在中，，解得．因?yàn)?，所以AE＝2，取AB的中點(diǎn)F，則EF＝1，且，所以．當(dāng)過(guò)點(diǎn)E的球O的截面與OE垂直時(shí)，截面面積最小，設(shè)截面圓的半徑為r，則，所以截面面積為．故選：A．題型二：體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問(wèn)題例4．（2024·福建三明·高一校考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)【答案】C【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值.平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，.故選：C.例5．（2024·四川成都·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，底面，，?分別是棱?上的動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線可能異面B．三棱錐的體積保持不變C．直線與直線所成角的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)D．直線與直線所成角的最大值為【答案】B【解析】連接NC，MC，因?yàn)樗睦庵?，，底面為正方形，底面顯然四邊形為平行四邊形，所以直線與直線一定相交，A錯(cuò)誤；連接，取的中點(diǎn)O，連接NO，MO，因?yàn)?，，由三線合一可知：，，因?yàn)?，所以平面MON，，設(shè)四邊形的面積為S，則為定值，故為定值，三棱錐的體積保持不變，B正確；連接BD，，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AC⊥BD，又底面ABCD，平面ABCD，所以，因?yàn)?，所以AC⊥，因?yàn)镸N平面，所以AC⊥MN，直線與直線所成角的大小與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)N作NH∥AD交于點(diǎn)H，連接HM，則為直線與直線的夾角，且，其中，其中為定值，故要想直線與直線所成角的最大，只需HM最大，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則HN=a，顯然當(dāng)N與點(diǎn)重合，M與B重合時(shí)，HM最大，最大值為，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：B例6．（多選題）（2024·福建三明·統(tǒng)考三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（

）

A．當(dāng)在上時(shí)，三棱錐的體積為定值B．與所成角正弦的最小值為C．過(guò)作垂直于的平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，面積的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，連接、，如下圖所示：在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，?dāng)在上時(shí)，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接，因?yàn)槠矫?，所以，與所成的最小角為直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，與平面所成角為，因?yàn)槠矫妫?，，因?yàn)?，，所以，，所以，，故與所成角正弦的最小值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取線段、的中點(diǎn)、，連接、、、、、、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，在和中，，，，所以，，則，所以，，則，即，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，所以，，則、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，過(guò)作垂直于的平面截正方體所得截面，則截面為梯形，由勾股定理可得，同理可得，，，所以，截面周長(zhǎng)為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)槠矫?，平面，則，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，此時(shí)，，所以，，D對(duì).故選：ABD.變式5．（多選題）（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為四邊形的中心，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若三棱錐的體積為定值，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉樗倪呅蔚闹行模?，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積，且為定值，所以平面，所以平面與平面為同一平面，所以為與的交點(diǎn)，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以．故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．變式6．（多選題）（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，以下結(jié)論正確的有（

）

A．B．C．正方體的體積是三棱錐的體積的12倍D．異面直線所成的角為定值【答案】ABC【解析】A：易知，，所以，正確；B：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，所以，，即，，因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以，正確;C：連接，交于，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，、平面，所以平面，所以，又，所以正方體的體積是三棱錐的體積的12倍，正確;D：當(dāng)點(diǎn)在處，為的中點(diǎn)時(shí)，由正方體性質(zhì)易知，異面直線所成的角是，由面，面，則，正方形中顯然，，且、面，故面，面，所以，故，當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，在的位置，由正方體性質(zhì)易知，異面直線所成的角是，由面，面，則，故，綜上，，，即，即兩個(gè)角不相等，錯(cuò)誤.故選：ABC.變式7．（多選題）（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎庵鵄BC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1，AA1=1，點(diǎn)P滿足，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BPD．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P【答案】BCD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P滿足，其中，所以點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，．即此時(shí)線段，因?yàn)闉樽冎担实闹荛L(zhǎng)不是定值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)的軌跡為線段，而，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，取，的中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)的軌跡為線段，不妨建系解決，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，所以或，故H，Q均滿足，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，取，的中點(diǎn)為M，N，，所以點(diǎn)的軌跡為線段，設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)點(diǎn)與重合，故D項(xiàng)正確．故選：BCD變式8．（多選題）（2024·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，，所以所以，?duì)于選項(xiàng)A，則，所以，因?yàn)?，所以，故A答案正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，,設(shè)面的法向量為，則，令，所以，若平面，則，無(wú)解，所以不存在點(diǎn)，使得平面,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，,若，則，，無(wú)解，所以不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以,點(diǎn)P到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離為定值，則三棱錐的體積為定值，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.變式9．（多選題）（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為正方體.任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l.則（

）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值【答案】BC【解析】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體V，在上取一點(diǎn)，作，，再作，，，則六邊形即為平面，V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開(kāi)，展平在一張平面上，得到一個(gè)平行四邊形，而多邊形W的周界展開(kāi)后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值.當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)移至處時(shí)，W為正三角形，易知周長(zhǎng)為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值.故選：BC變式10．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐，，為棱上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作平行于直線和的平面，分別交棱于．下列說(shuō)法正確的是（

）

A．四邊形為矩形B．四邊形的周長(zhǎng)為定值C．四邊形的面積為定值D．當(dāng)時(shí)，平面分三棱錐所得的兩部分體積相等【答案】ABD【解析】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以，同理可得，，，又因?yàn)?，所以，，，，所以四邊形為矩形，故A正確；因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，同理可得，所以四邊形的周長(zhǎng)為為定值，故B正確；四邊形的面積為不是定值，故C不正確；當(dāng)時(shí)，分別為棱的中點(diǎn)，多面體的體積為，多面體的體積為，因?yàn)椋?，多面體的體積等于多面體的體積，即平面分三棱錐所得的兩部分體積相等，故D正確.故選：ABD變式11．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，△PBD的面積為定值D．當(dāng)時(shí)，直線與所成角的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，又平面，所以平面，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作于點(diǎn)，則，其大小隨著的變化而變化，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，在正中，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.題型三：體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問(wèn)題例7．（2024·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架的邊長(zhǎng)均為2，活動(dòng)彈子在線段上移動(dòng)（包含端點(diǎn)），彈子分別固定在線段的中點(diǎn)處，且平面，則當(dāng)取最大值時(shí)，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以為直角三角形，所以?dāng)最短時(shí)，取最大值，即時(shí)，取最大值，因?yàn)榉謩e固定在線段的中點(diǎn)處，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以多面體的體積為，故選：A例8．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（

）A．18 B． C． D．27【答案】B【解析】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，高，外接球的球心為，則，因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑為，在中，，即，所以正四棱錐的體積為整理得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故選：B例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為是正方形（含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于，則兩點(diǎn)間距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】由題意可知：，設(shè)三棱錐的高為，因?yàn)?，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離等于，又因?yàn)椤?，且，則四邊形為平行四邊形，則∥，平面，平面，所以∥平面，即點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，在中，兩點(diǎn)間距離的最大值為.故選：D.變式12．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是圓柱上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形，已知在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，三棱錐的體積最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，由余弦定理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，設(shè)圓柱的高為，則，因?yàn)槿忮F的體積的最大值為，則，所以，，圓柱底面圓半徑，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則該三棱錐的外接球和圓柱的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，則，因此，三棱錐外接球的表面積為.故選：B.變式13．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是半球的直徑，為球心，為此半球大圓弧上的任意一點(diǎn)（異于在水平大圓面內(nèi)的射影為，過(guò)作于，連接，若二面角的大小為，則三棱錐的體積的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面，平面，得，又，,平面，于是平面，平面，有，因此為二面角的平面角，即，設(shè)，則，在中，，，在中，，則，顯然，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積取得最大值.故選：A變式14．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，是圓錐的軸截面，是的中點(diǎn)，為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于、兩點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐體積最大值為 D．三棱錐體積最大值為【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，如下圖所示：對(duì)于A，因?yàn)閳A是直徑，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，又因?yàn)椋?、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椤⒍际菆A錐的母線，即，所以不成立，所以不存在點(diǎn)，使得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，若存在點(diǎn)，使得，所以，這與矛盾，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知三棱錐的高為，所以當(dāng)?shù)酌娣e最大時(shí)，其體積最大，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即三棱錐的體積，即三棱錐的體積的最大值為，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，即三棱錐體積最大值為，所以，D錯(cuò)誤.故選：C.變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為1，P?Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)．有以下三個(gè)結(jié)論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為；③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為．以上所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①如圖，由條件可知，，點(diǎn)是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，，所以是鈍角，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值是，故①錯(cuò)誤；②，，當(dāng)時(shí)，的最大值是，所有三棱錐的最大值是，故②正確；③設(shè)外接圓的半徑為，四面體SOPQ外接球的半徑，中，根據(jù)正弦定理可得，，得，，所以，則外接球的半徑也無(wú)最小值，所以四面體SOPQ外接球表面積無(wú)最小值，故③錯(cuò)誤.故選：B變式16．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正四面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動(dòng)，，且恒有，已知三棱錐的體積的最大值為，則正四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動(dòng)，，所以都在以為球心的球上，又因，則在的中垂面上，如圖，連接，都為正三角形，且為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，平面是的中垂面，即在平面上，所以點(diǎn)在平面與以為球心，為半徑的球的交線上，即在以為圓心，為半徑的平面內(nèi)的圓上，取中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，作在平面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓，則圓上的點(diǎn)到平面的距離最遠(yuǎn)，故在處，設(shè)，則，，平面，平面，,,,在中，，點(diǎn)到平面的距離，所以，解得，如圖則其外接正方體的邊長(zhǎng)為，所以正四面體外接球即為邊長(zhǎng)為正方體的外接球，故外接球半徑，所以外接球體積.故選：A變式17．（2024·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使得B．存在點(diǎn)P，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為4π【答案】A【解析】如圖所示：連接，為中點(diǎn)，連接，，連接，，，，，故，故，對(duì)選項(xiàng)A：，若，又，則，重合，不成立，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)平面時(shí)，平面，則，又，，平面，故平面，平面，故，正確；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為，正確；對(duì)選項(xiàng)D：平面，平面，故，，故，故是三棱錐外接球球心，半徑為，故外接球表面積為，正確.故選：A.變式18．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為1、2，高，點(diǎn)S、A分別為其上、下底面圓周上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）

A．該圓臺(tái)的體積為B．直線SA與直線所成角最大值為C．該圓臺(tái)有內(nèi)切球，且半徑為D．直線與平面所成角正切值的最大值為【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，則A選項(xiàng)正確．對(duì)于B選項(xiàng)，如圖（1），過(guò)作垂直于下底面于點(diǎn)，則，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即為所求，而，由圓的性質(zhì)得，，所以，因?yàn)?，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于C選，設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，若圓臺(tái)存在內(nèi)切球，則必有軸截面的等腰梯形存在內(nèi)切圓，如圖（2）所示，梯形的上底和下底分別為2，4，高為，易得等腰梯形的腰為，假設(shè)等腰梯形有內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理，可得腰長(zhǎng)為，所以圓臺(tái)存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球的半徑為，則C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖（3），平面即平面，過(guò)點(diǎn)做交于點(diǎn)，因?yàn)榇怪庇谙碌酌妫谙碌酌?，所以，又，且平面，所以平面，所以直線與平面所成角即為，且．設(shè)，則，所以，其中，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，所以D選項(xiàng)正確．故選：B.變式19．（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┱睦庵校?，為底面的中心，是棱的中點(diǎn)，正四棱柱的高，點(diǎn)到平面的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)底面四邊形的中心為，連接，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，則中，邊上的高為，則，由，得，所以，由，得，則，則，所以，即點(diǎn)到平面的距離的取值范圍是，所以點(diǎn)到平面的距離的最大值為.故選：C.變式20．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榍虻捏w積為，故球的半徑R滿足，故，而，，，故，故，故，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，則，故，點(diǎn)D在球的截面圓上，設(shè)截面圓所在的平面為α，因?yàn)?，所以平面α與平面ABC在球心的異側(cè)，設(shè)球心到平面ABC的距離為d，而△ACB外接圓的半徑為，則，故球心到平面α的距離為，故截面圓的半徑為，設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點(diǎn)，當(dāng)CE最長(zhǎng)時(shí)CD最長(zhǎng)，此時(shí)，故CD長(zhǎng)度的最大值為.故選：B．變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，棱錐的高為其體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即體積的最大值為，故選：B.變式22．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖1，將一塊邊長(zhǎng)為20的正方形紙片剪去四個(gè)全等的等腰三角形，，再將剩下的部分沿虛線折成一個(gè)正四棱錐，使與重合，與重合，與重合，與重合，點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2.則正四棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，PG是側(cè)棱，底面EFGH的對(duì)角線的一半是GC，設(shè)，則有，，四棱錐的高，底正方形的面積，四棱錐P-EFGH的體積，令，則，，則，當(dāng)時(shí)，，V單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，V單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，V取最大值，.故選：D.變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓形紙片的圓心為，半徑為5，該紙片上的正方形的中心為．，，，為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以，，，為折痕折起，使得，，，重合于一點(diǎn)，記為，得到四棱錐．當(dāng)?shù)酌娴倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（），則，，所以，所以四棱錐的體積．設(shè)，得．令，得，令，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即體積取得最大值，為．故選：D．題型四：立體幾何中的交線問(wèn)題例10．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體是半徑為的球的內(nèi)接正方體（八個(gè)頂點(diǎn)全部在球面上），則正方體六個(gè)面所在的平面與球面的交線總長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖可知，正方體的每一個(gè)面與球面相交，所得的交線是一個(gè)圓，共有6個(gè)圓，故六個(gè)面所在的平面與球面的交線總長(zhǎng)度為6個(gè)圓的周長(zhǎng)之和，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，在直角三角形中，，，，所以有：，解得，所以，所以每個(gè)圓的周長(zhǎng)為，6個(gè)圓的周長(zhǎng)之和為.故選：D.例11．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）直三棱柱中，，，，，設(shè)平面與平面的交線為，則與的距離為（

）．A．1 B． C．17 D．2.6【答案】D【解析】如圖，將直三棱柱補(bǔ)成直四棱柱，且四邊形為平行四邊形，則平面即為平面，所以直線為，則與的距離即為則與的距離，設(shè)為，由已知可得：在三角形中，，，，，則，，，得.故選：D.例12．（2024·浙江·校聯(lián)考三模）正四面體，為棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面的平行平面，該平面與平面、平面的交線分別為，則所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)所作的平面為，則由平面，平面，平面平面，得，同理可得，所以所成的角等于與所成的角，即（或補(bǔ)角）．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，在中由余弦定理，得，則.故選：A變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱，的中點(diǎn)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面與平面的交線為，則與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由線面平行的性質(zhì)及面面平行的性質(zhì)定理，可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)的的截面為邊長(zhǎng)為的正六邊形,連接,,如圖所示，則易知若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面與平面的交線為,即為直線，又,所以即為與直線所成角，在中，可得，,由余弦定理可得：,故選：B.變式25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)過(guò)，，的截面與面，以及面的交線分別為，，則，所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先取，，的中點(diǎn)分別為，，，連接，，，，，，根據(jù)題意，證明，，，，，六點(diǎn)共面，即為過(guò)，，的截面；得到即為直線，即為直線；連接，，，根據(jù)異面直線所成角的概念，得到即為異面直線與所成的角，根據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果.因?yàn)椋谡襟w中，，，分別是，，的中點(diǎn)，取，，的中點(diǎn)分別為，，，連接，，，，，，根據(jù)正方體的特征，易知，若連接，，，則這三條線必相交于正方體的中心，又，所以，，，，，六點(diǎn)必共面，即為過(guò)，，的截面；所以即為直線，即為直線；連接，，，因?yàn)椋?，所以即為異面直線與所成的角，又因?yàn)檎襟w的各面對(duì)角線都相等，所以為等邊三角形，因此.故選：D.變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體中，為中點(diǎn)，過(guò)的截面與平面的交線為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，如下圖，連接，因?yàn)椋运狞c(diǎn)共面，所以過(guò)的截面即為平面，截面與平面的交線為即為，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，所以，所以.則異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.變式27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在圓臺(tái)OO1中，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，因?yàn)椋珼分別是，BC的中點(diǎn)，所以，所以平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，，所以，所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，因?yàn)闉橹睆剑?，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，所以平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫?，，，平面，所以平面，所以為交線l與平面所成角，因?yàn)?，?所以，結(jié)合圖知.故選：B.變式28．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正三棱錐P-ABC中，，BC＝6，M，N，Q，D分別是AP，BC，AC，PC的中點(diǎn)，平面MQN與平面PBC的交線為l，則直線QD與直線l所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接，由題意可得，又因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以四點(diǎn)共面，所以平面MQN與平面PBC的交線為l即為，直線QD與直線l所成角即為直線QD與直線所成角即為，因?yàn)檎忮FP-ABC中，，BC＝6，所以，所以，，所以.故選：C.變式29．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考期末）在正方體中，為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、所在直線分別為x、y、z軸建系，如圖所示：則、、、、．設(shè)平面的法向量為，，，由，取可得；設(shè)平面的法向量為，，，由，取可得，設(shè)直線的方向向量為，∵直線平面，直線平面，，，∴，取可得，已知，設(shè)直線與所成角為，，即直線與所成角的余弦值為，故選：B．變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)?分別為棱?的中點(diǎn)，則平面與直四棱柱各側(cè)面矩形的交線所圍成的圖形的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，因?yàn)樵谥彼睦庵?，，所以平面平面，設(shè)平面線段，連接，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，連接，，則平面平面，易知四邊形為直角梯形，且.如圖，再將直四棱柱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，由圖及題中數(shù)據(jù)可得，，，所以，所以，故交線圍成的圖形的面積為.故選:.題型五：空間線段以及線段之和最值問(wèn)題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，解得，由是正三角形可知：其外接圓半徑為，設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，解得或，則或（舍去），故，則,而，故為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形，,則,又,故平面SCM，取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則,則平面SCM,故平面SCM，則，要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長(zhǎng)，由為等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故選：B.例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，如圖正三棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，D為AC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是PD上的動(dòng)點(diǎn)，N是平面PCE上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中點(diǎn),連接交于點(diǎn),易證得面,要求最小,即求MN最小,可得，又可證明,再把平面POD繞PD旋轉(zhuǎn),與面PDA共面,又可證得.，，，即，，可得，.故選:B.例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，如左圖所示，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征以及對(duì)稱性，可知，，故，要使長(zhǎng)度最小，則三點(diǎn)共線，如右圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，時(shí)，三點(diǎn)共線，此時(shí)，在中，由余弦定理可得，.所以則，故長(zhǎng)度的最小值為．故選:C變式31．（2024·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，所以在中?,由余弦定理得：.故選：B.變式32．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，在底面上的投影為的中點(diǎn)，.有下列結(jié)論：①三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均相等；②的取值范圍是；③若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的體積為；④若，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】如圖1，，是的中點(diǎn)，，又平面，，，故①正確；，，又，，過(guò)作，為垂足，如圖2，則，又，，，故②正確；，為平面截三棱錐外接球的截面圓心，設(shè)外接球球心為，則在直線上，如圖3，設(shè)，則，解得，故為外接球的球心．外接球的體積為，故③錯(cuò)誤．若，則，又，故是等邊三角形，將平面沿翻折到平面上，如圖4，圖5.則的最短距離為線段的長(zhǎng)．，，，，故④正確．故選：．變式33．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，底面為正方形，．點(diǎn)分別為平面，平面和平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意得均最小時(shí)，平方和最小，過(guò)點(diǎn)分別作平面，平面，平面的垂線，垂足分別為，連接，因?yàn)槊妫矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，又因?yàn)椋矫?，所以面，因?yàn)槠矫?，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，則點(diǎn)應(yīng)在上，同理可證分別位于上，從而補(bǔ)出長(zhǎng)方體，則是以為共點(diǎn)的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，則，則題目轉(zhuǎn)化為求的最小值，顯然當(dāng)時(shí)，的最小值，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，則，因?yàn)槊?，面，所以，所以，則直角三角形斜邊的高，此時(shí)，則的最小值為，故選：B.變式34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，且分別為和的中點(diǎn)，為線段（包括端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)為某確定點(diǎn)時(shí)，要使取得最小值，則必須為最小值，此時(shí)，為點(diǎn)在側(cè)面的投影.取的中點(diǎn).因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以.因?yàn)樗裕?在直三棱柱中，面，所以.因?yàn)槊?，面?所以側(cè)面，故在側(cè)面的投影為.作于點(diǎn)，此時(shí)滿足題意..在中，，.在中，因?yàn)?所以，所以為直角三角形.所以，.將平面與平面展開(kāi)到同一平面，如圖所示，所以.作于點(diǎn)，交于點(diǎn),此時(shí)達(dá)到最小值，則故選：B題型六：空間角問(wèn)題例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖：延長(zhǎng)EF，AB交于M，延長(zhǎng)EG，AC交于N，延長(zhǎng)FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點(diǎn)共線，由外角定理可得.過(guò)A作面EFG，垂足為P，過(guò)A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，又，則，同理可得，則，又由，，則，故，A，C錯(cuò)誤；故，由可知，所以，即，整理可得，即，即，故，又，故，B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.例17．（2024·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．【答案】B【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過(guò)明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.方法1：如圖為中點(diǎn)，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過(guò)作垂直，易得，過(guò)作交于，過(guò)作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點(diǎn)，易得，故選B.例18．（2024·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．變式35．（2024·浙江溫州·高二溫州中學(xué)校考期末）斜三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】根據(jù)直線和平面的最小角定理，結(jié)合線面角和二面角的定義，即可得解.根據(jù)最小角定理，可得，當(dāng)在線段上的移動(dòng)時(shí)，和重合時(shí)，與平面所成角最大，(因?yàn)锳BB1A1為矩形）作平面于，作的延長(zhǎng)線于，連接和，則，，由于為直角，所以，可得，故選：B.變式36．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）斜三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，且，是的中點(diǎn)，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)作面交面于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，則，，表示出這些角然后比較大小即可.如圖：過(guò)點(diǎn)作面交面于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，則，，因?yàn)橹本€與平面所成的角為直線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的，故，又因?yàn)椋?，故選：B.變式37．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在等邊中，取BC邊中點(diǎn)D，連接AD，交EF于O，連接PO，則，，平面，平面故平面，又平面，則平面平面在中，過(guò)P做PM垂直于OD于M，則平面，連接MF，在等邊中，過(guò)M做MN垂直于AC于N，連接PN.由，則為二面角的平面角即，由平面，，則為二面角的平面角即由平面，則直線與平面所成角，即，設(shè)，則，，，，，則有，由可得，則有，則又故，又故故選：A變式38．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）正四面體中，是側(cè)棱上（端點(diǎn)除外）的一點(diǎn)，若異面直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】正四面體中，取中點(diǎn)，連接，，過(guò)作于，連接，，過(guò)作的平行線交于，則，由，，，平面，平面可得平面，則，則由平面，可得平面平面，又平面平面，平面，，則平面，則，因?yàn)椋?，所?設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為1，，有.，因?yàn)樗?，又，則綜上：故選：C變式39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過(guò)AM作平行于BC的截面，過(guò)BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當(dāng)取值最大時(shí)，【答案】C【解析】如圖所示，連接延長(zhǎng)交與，連接延長(zhǎng)交與，設(shè)平面平面頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心，平面，平面平面則有：直線與平行又，則平面，則又則平面從而故為與平面的二面角，即同理可得：對(duì)選項(xiàng)A，，又，則有：可得：與全等，則又根據(jù)是的垂心，則，綜上可得：直線垂直并平分線段可得：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，易知有如下角關(guān)系：又，則有：可得：解得：則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若，則有：則有：化簡(jiǎn)后可得：令，則有：則有：，此時(shí)方程無(wú)解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)（），則有：可化簡(jiǎn)為：令，則有：則有：解得：故取得最大值時(shí)，，此時(shí)同理可得：故，且則有：，故選項(xiàng)D正確；故選：C變式40．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】為解析方便，將正方體上下底面對(duì)調(diào)，如圖，取正方體的下底面的各邊中點(diǎn)E,F,G,H,上底面的中心為Q,下底面的中心為O,面ADP，面BCP所成的角為α，面ABP，面CDP所成的角為β，α>β，等價(jià)于P到HF的距離比到EG的距離大，所以P在如圖所示的陰影范圍內(nèi)；在△APC和△BPD中，AC=BD，PQ公用，Q為共同的中點(diǎn)，∠APC,∠BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所決定，所成角越小，則對(duì)應(yīng)角越大，顯然PQ與AC和BD所成的角的大小關(guān)系不確定，當(dāng)P在靠近A'時(shí)PQ與直線AC所成的角較小，與直線BD所成的角則接近于90°，此時(shí)∠BPD>∠APC，同樣當(dāng)P接近于D'時(shí)∠APC>∠BPD，故A、B錯(cuò)誤；∠APD與∠BPC的大小關(guān)系實(shí)際上是看P在EG的左側(cè)還是右側(cè)。若P在EG左側(cè)，則∠APD>∠BPC，若P在EG右側(cè)，則∠APD<∠BPC，若是在EG上，則∠APD=∠BPC；同樣，P在HF的前面，則∠APB>∠CPD，P在HF上，則∠APB=∠CPD，P在HF的后面，則∠APB<∠CPD；所以當(dāng)P在A'OE內(nèi)時(shí)，max{∠APD,∠BPC}=∠APD，min{∠APD，∠BPC}=∠BPC，max{∠APB,∠CPD}=∠APB，min{∠APB,∠CPD}=∠CPD，因?yàn)镻H>PE，所以∠APD<∠APB，因?yàn)镻G>PF，所以∠BPC>∠CPD，因此max{∠APD,∠BPC}<max{∠APB,∠CPD}，min{∠APD，∠BPC}>min{∠APB,∠CPD}，根據(jù)對(duì)稱性，在其余區(qū)域內(nèi)，具有相同的結(jié)論.故D正確，C錯(cuò)誤，故選：D.變式41．（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四面體中，棱，所在直線所成角為，且，，，面和面所成的銳二面角為，面和面所成的銳二面角為，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)（

）.A． B． C． D．不能確定【答案】A【解析】，即，整理得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，所以，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，的面積取到最大值.過(guò)作∥，且，連接，，則四邊形為菱形，因?yàn)?，所在直線所成角為，所以，當(dāng)面面時(shí)，四面體的高取得最大值，，即，解得，因?yàn)?，即，所以，即，又因?yàn)槊婷?，所以面，過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，，則，，所以為面和面所成的二面角，為面和面所成的銳二面角，即，，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，即，所?故選：A.變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考二模）已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，側(cè)棱平面，過(guò)作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由圖可知過(guò)且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補(bǔ)角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，在中，，；在中，，；在中，，，.故選：B題型七：立體幾何裝液體問(wèn)題例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現(xiàn)將該棱柱繞旋轉(zhuǎn)至圖2.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①液面剛好同時(shí)經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)；②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí)，液面與水平桌面的距離為；③當(dāng)液面與水平桌面的距離為時(shí)，與液面所成角的正弦值為.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】①若液面剛好同時(shí)經(jīng)過(guò),,三點(diǎn),則液體的體積為四棱錐,因?yàn)?所以①正確；②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí),即為圖2的位置,設(shè)液面與直三棱柱的交點(diǎn)為,如圖所示,因?yàn)橹比庵捏w積為,所以直棱柱的體積為,所以,即,則在中邊上的高為,因?yàn)樵谥羞吷系母邽?所以液面與水平桌面的距離為,所以②正確；③當(dāng)液面剛好同時(shí)經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)時(shí),如圖所示,此時(shí),則,易得,則中邊上的高為,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,即,即液面與水平桌面的距離為,由棱