專(zhuān)題17 以求和為主導(dǎo)的數(shù)列綜合【一題一專(zhuān)題 技巧全突破】熱點(diǎn)題型專(zhuān)項(xiàng)突破（解析版）

以求和為主導(dǎo)的數(shù)列綜合高考定位數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn),其涉及的基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想與方法,在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起著重要作用,因而成為歷年高考久考不衰的熱點(diǎn)題型,在歷年的高考中都占有重要地位.數(shù)列求和的常用方法是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的基本方法，是高考的必考熱點(diǎn)之一.此類(lèi)問(wèn)題中除了利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就近幾年高考數(shù)學(xué)中的幾個(gè)例子來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.專(zhuān)題解析（1）能夠通過(guò)通項(xiàng)或遞推公式辨析求和方法（2）分組求和、錯(cuò)位相減法，學(xué)生錯(cuò)因在運(yùn)算能力（3）裂項(xiàng)、并項(xiàng)兼具運(yùn)算與思想方法、模型多樣（4）探索發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與和的新規(guī)律，辨析求和方法（5）通項(xiàng)與和之間的相互轉(zhuǎn)換數(shù)列數(shù)列求通項(xiàng)求和公式法疊加法疊乘法構(gòu)造法分組法裂項(xiàng)法錯(cuò)位法并項(xiàng)法專(zhuān)項(xiàng)突破基礎(chǔ)類(lèi)型一、錯(cuò)位相減例1．已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足的，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）將遞推公式兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得到，即可得證；（2）由（1）可得，從而得到，再利用錯(cuò)位相減法求和即可得到，即可得到，對(duì)一切恒成立，再對(duì)分奇偶討論，即可求出的取值范圍；（1）解：由，得∴，所以數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，即.所以.兩式相減得:，∴因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立，所以，對(duì)一切恒成立，因?yàn)閱握{(diào)遞增若為偶數(shù)，則，對(duì)一切恒成立，∴；若為奇數(shù)，則，對(duì)一切恒成立，∴，∴綜上：.練.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè).所以基礎(chǔ)類(lèi)型二、分組求和法例2．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項(xiàng)，故可求.【詳解】因?yàn)?，故，而，故，故為等比?shù)列且為等比數(shù)列，公比均為.而，故，.所以，故選：B.練．已知數(shù)列滿足，，（），則數(shù)列的前2017項(xiàng)的和為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出與的通項(xiàng)，進(jìn)而求得即可求出數(shù)列的前2017項(xiàng)的和.【詳解】在數(shù)列中，，，，，則有，即，而，于是得，因此，，則，數(shù)列的前2017項(xiàng)的和為.故選：D練．已知數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列的前9項(xiàng)之和為（）A．32 B．43 C．34 D．35【答案】C【分析】討論為奇數(shù)、偶數(shù)的情況數(shù)列的性質(zhì)，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式，進(jìn)而應(yīng)用分組求和的方法求數(shù)列的前9項(xiàng)之和.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則數(shù)列是常數(shù)列，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，.故選：C提高類(lèi)型三、列項(xiàng)相消求和法例3-1．在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.【答案】【分析】將已知數(shù)列的遞推關(guān)系式化簡(jiǎn)可得，通過(guò)累加法和等差數(shù)列的求和公式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可．【詳解】，，即，，，…，將以上各式累加，可得，將代入，可得，，則，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：.練．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)已知條件求得，然后求得，利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.所以，兩式相減得：，且，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，故，所以，則.故選：B練．設(shè)數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式，代入的表達(dá)式中，求出的通項(xiàng)，即可求解的前項(xiàng)和【詳解】由可得,∵,∴,則可得數(shù)列為常數(shù)列，即,∴∴,∴.故選:D例3-2．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由，利用疊加，裂項(xiàng)相消法即可證明.（1）∵，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有，∴，∴，∵，∴∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，∴.（2），所以得，從而，從而可得練．?dāng)?shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用遞推關(guān)系，確定數(shù)列是遞增數(shù)列，把遞推關(guān)系變形得出，便于用裂項(xiàng)相消法求得和，再由計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，最終得出，從而估計(jì)出的范圍．【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，是遞增數(shù)列，，，，所以，，，，，所以，，．故選：B．例3-3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用與的關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）問(wèn)結(jié)論求出，然后利用裂項(xiàng)相消求和法，求出的和即可證明原不等式.（1）解：由，得，所以又由，得，滿足，所以，而，所以，所以；（2）證明：因?yàn)?，所?練．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)都成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】先將因式分解，結(jié)合數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，推導(dǎo)出是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，求出數(shù)列的前項(xiàng)和為；然后判斷的單調(diào)性，求出的取值范圍，確定的取值范圍，最后求出的取值范圍.【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)(舍去)數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)和為,單調(diào)遞增，單調(diào)遞減單調(diào)遞增，又的取值范圍是故答案為：例3-4．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用時(shí)，得出的遞推關(guān)系式，確定是等差數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)相消法求得和后根據(jù)的單調(diào)性證明不等式．（1）解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得或，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，整理得，因?yàn)?，所以，，，故?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）證明：因?yàn)?，所以則，因?yàn)?，所以，又，所以單調(diào)遞增，所以，所以.練．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為_(kāi)_____________【答案】2019【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得數(shù)列的公差，且，，，，，，求得，計(jì)算可得，分析比較，即可得到所求最大值時(shí)的值．【詳解】解：等差數(shù)列的公差設(shè)為，若，則，，所以公差，，即，，即，可得，即數(shù)列遞減，且，，，，，，，則，由，要使取最大值，可得取得最小值，顯然，而，可得時(shí)，取得最小值，故答案為：．例3-5．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)__________．【答案】【分析】由已知表達(dá)式因式分解得到數(shù)列的遞推式，再運(yùn)用累乘的方法求得通項(xiàng)公式，再將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和得解.【詳解】由已知得所以又因?yàn)樗运运?；累乘得所以所?所以累加求和得故答案為練．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．【答案】（1），（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)條件求出首項(xiàng)及可得，由代入可得為等差數(shù)列即可求解；（2）由（1）可知，利用裂項(xiàng)相消法求和后根據(jù)單調(diào)性及有界性即可得證.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，，化為：，，解得．又滿足，，即，解得．，數(shù)列的前項(xiàng)之積為，，，即，是以2為公差的等差數(shù)列.又，即，所以（2）所以數(shù)列的前項(xiàng)和，又，是單調(diào)遞增，所以.練．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，且（1）求；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得，從而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)?為公差的等差數(shù)列，即可得到答案；（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和，結(jié)合不等式的放縮法，即可得到答案；（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，所以由可得又因?yàn)?，所以，因此，?shù)列是以為首項(xiàng)?為公差的等差數(shù)列，所以.（2）因?yàn)槎?，所以所以?shù)列的前項(xiàng)和為故，命題得證.例3-6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)其前項(xiàng)和為，則使成立的最小的自然為_(kāi)_________.【答案】14【分析】先利用其通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算公式求出．再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可求出對(duì)應(yīng)的自然數(shù)．【詳解】解：因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?4．練．已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，，且.數(shù)列滿足，數(shù)列前項(xiàng)和記為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，試比較與的大小.【答案】（1）（2），過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）將分母有理化，然后利用求和公式求出，再結(jié)合即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果求出，再由裂項(xiàng)相消法求出，然后利用作差法即可比較大小.（1）解：設(shè)數(shù)列的公差為，，，，可得又，.（2）解：由（1）可得，不妨記，則，.例3-7．正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，再根據(jù)等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式、求和公式得，代入化簡(jiǎn)，最后利用分組求和法求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，所以，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.故選：C練．已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用與關(guān)系可證得為等差數(shù)列，由此可求得，將進(jìn)行裂項(xiàng)后，前后相消可求得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為；令，可證得為遞增數(shù)列，由此得到.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：或，又，；當(dāng)時(shí)，由得：，，整理可得：，，，即，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；綜上所述：，，，由得：，令，則，為遞增數(shù)列，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.類(lèi)型四、并項(xiàng)求和法例4．已知數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和________．【答案】95【分析】利用分組求和法以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以所以，故答案為：95.練．設(shè)數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和是________．【答案】1300【分析】利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再并項(xiàng)求和求解前50項(xiàng)和即可.【詳解】因?yàn)椋?，且，故時(shí)，，，…，，累加可得，，滿足上式，即，故的前5