高三新高考二輪復(fù)習(xí)切線問(wèn)題研究講義

25屆二輪備考下的切線問(wèn)題研究一．基本原理1.用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：①求出切點(diǎn)的坐標(biāo)；②求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)③得切線方程求過(guò)點(diǎn)A處切線方程方法如下：設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，∵過(guò)點(diǎn)，∴然后解出的值，有幾個(gè)值，就有幾條切線.3.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線相同（公切線），則等價(jià)于的圖象在點(diǎn)處的切線：與的圖象在點(diǎn)處的切線：重合.進(jìn)一步等價(jià)于下列方程組有解：.4.若動(dòng)點(diǎn)為函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，直線與圖象相離，則到距離的最小值為函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線與平行時(shí)產(chǎn)生，故此時(shí)最小距離即為切點(diǎn)到直線的距離.5.與切線有關(guān)的新定義問(wèn)題（1）隔離曲線：一般來(lái)說(shuō)，“隔離函數(shù)”通常有兩類：一類是函數(shù)與的圖像在集合上有一個(gè)公共點(diǎn)，稱之為“接觸隔離”；另一類是函數(shù)與的圖像在集合上沒(méi)有公共點(diǎn)，稱之為“非接觸隔離”.（2）自公切線...二．典例分析★1.與切線有關(guān)的新定義問(wèn)題例1.（浙江省杭州市25屆高三一模）若函數(shù)y=f(x)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)y=f(x)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)y=f(x)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.(1)判斷函數(shù)f1(x)=sinx(2)若a∈R，求證：函數(shù)g(x)=tanx?x+a在區(qū)間(?(3)設(shè)n∈N?，函數(shù)?(x)=tanx?x+nπ在(?π2,π2)內(nèi)的零點(diǎn)為xn，t∈(?π2,解析：(1)顯然直線y=1切y=sinx的圖象于點(diǎn)(π2,1)，(5π2,1)，直線y=1是y=sinx的圖像的一條“自公切線”，故函數(shù)f1(x)的圖象存在“自公切線”;對(duì)于f2(x)=lnx，f′2(x)=1x(x>0)是減函數(shù)，故f2(x)在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，所以函數(shù)f2(x)的圖象不存在“自公切線”.

(2)①g′(x)=1cos2x?1=sin2xcos2x=tan2x≥0恒成立，故y=g(x)在(?π2,π2)上單調(diào)遞增，可得y=g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，令g1(x)=sinx?(x?a)cosx(x∈[?π2,π2])，由y=g1(x)的圖像是連續(xù)的曲線，且g1(?π2)g1(π2)=?1<0，所以g1(x)在(?π2,π2)上存在零點(diǎn)，故在(?π2,π2)上g(x)=g1(x)cosx存在零點(diǎn)，所以g(x)在區(qū)間(?π2,π2)上有唯一零點(diǎn).

②假設(shè)g(x)的圖象存在“自公切線”，即存在x1，x2∈(?π2,π2)且x1≠x2，使得g(x)的圖象在x=x1與x=x2處的切線重合，函數(shù)g(x)在x=x1處的切線方程為y?tanx1+x1?a=tan2x1x?x1，函數(shù)g(x)在x=x2處的切線方程為y?tanx2+x2?a=tan2x2x?x2，

故tan2x1=tan2x2(?)，且?x1tan2x1+tanx1?x1+a=?x2tan2x2+tanx2?x2+a(??)，

由(?)可得x2例2．若函數(shù)與在區(qū)間上恒有，則稱函數(shù)為和在區(qū)間上的隔離函數(shù).(1)若，判斷是否為和在區(qū)間上的隔離函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若，且在上恒成立，求的值；(3)若，證明：是為和在上的隔離函數(shù)的必要條件.解析：（1）?x是和在區(qū)間上的隔離函數(shù).因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，在上取到最小值0，故.又，所以.綜上，?x是和在區(qū)間上的隔離函數(shù).（2）設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t是φx的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，所以，即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，φ′x>0；當(dāng)時(shí)，φ′x<0，所以，即恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故.（3）證明：設(shè)，由（2）得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，設(shè)，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以存在使得，即，則，又，則，由隔離函數(shù)定義可得，所以，設(shè)，則，又，則是的極小值點(diǎn)，所以，即，結(jié)合，得，故，所以是?x為和在0,+∞上的隔離函數(shù)的必要條件.★2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線例3．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．解析：，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.★3.過(guò)點(diǎn)求切線例4．（2022年全國(guó)新高考2卷）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為________，___________.解析：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；例5.（2022新高考1卷）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是____________．解析：易得曲線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為：．可得切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，可得，化簡(jiǎn)得，又切線有兩條，即方程有兩不等實(shí)根，由判別式，得，或．★4.求公切線例6．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則_________..解析：由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：例7.（2019全國(guó)2卷理20）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以函?shù)在必有一零點(diǎn)，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；（2）因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，過(guò)切點(diǎn)為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，當(dāng)切線的斜率等于直線的斜率時(shí)，即，切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.★5.切線問(wèn)題的綜合應(yīng)用例8．（2021年新高考2卷）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是__________.解析：由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：例9．已知函數(shù).(1)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：若，則.解析：（1）易知，令，則，顯然時(shí)，，時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即；（2）①設(shè)切點(diǎn)，易知，，則有，即，令，則有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)即分別為，易知，顯然時(shí)，，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)有，時(shí)也有，，則要滿足題意需，即；②由上可知：，作差可得，即，由①知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則始終單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，不難發(fā)現(xiàn)，，所以由弦長(zhǎng)公式可知，所以，設(shè)所以由，即，證畢.三．習(xí)題演練1.（25屆泉州市高三開學(xué)考試）若曲線在處的切線與直線垂直，則__________.解析：由題意得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故在處切線的斜率為，直線的斜率存在為，根據(jù)題意得，，解得.故答案為:.2.（浙江省A9協(xié)作體25屆高三返?？荚嚕┣€在處的切線恰好是曲線的切線，則實(shí)數(shù)______．解析：曲線在處的切線為，設(shè)切點(diǎn)，由，得．3.（25屆廣東省八校高三聯(lián)考）．若曲線在處的切線恰好與曲線也相切，則_________.解析：對(duì)于：，可得，當(dāng)，則，可知曲線在處的切線是；對(duì)于：，可得，令得，由切點(diǎn)在曲線上得.故答案為：.4.（25屆湖北省高三圓創(chuàng)聯(lián)考卷）已知函數(shù)其中，當(dāng)兩函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)曲線存在2條公切線時(shí)則的取值范圍是________．解析：令則，令，則，由于函數(shù)互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于對(duì)稱，因此只需要考慮兩曲線相切時(shí)的臨界情況，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由故，即，所以，設(shè)，則，，故有，兩邊取對(duì)并移項(xiàng)，記函數(shù)，易知在1,+∞上單調(diào)遞增,因?yàn)?，所以，此時(shí)，所以的取值范圍是.5．（浙江名校協(xié)作體高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）求曲線與的所有公切線方程.解析：（1），在單調(diào)遞增又，存在唯零點(diǎn)，在之間．（2），以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為令，則，代入（2），得，即．設(shè)，函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，的解為，又．和存在唯一一條公切線為．6．（2021年全國(guó)甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_________.解析：由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．7．（2021新高考1卷）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．解析：在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.8.（2015年新課標(biāo)卷）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則_______解析：，所以，切線方程為，聯(lián)立方程，從而由相切可得：9．若函數(shù)y=fx的圖象上的若干個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)y=fx的圖象的“自公切線”，稱這若干個(gè)點(diǎn)為函數(shù)y=fx的圖象的一組“同切點(diǎn)”例如，如圖，直線為函數(shù)y=fx的圖象的“自公切線”，，為函數(shù)y=f(1)已知函數(shù)在處的切線為它的一條“自公切線”，求該自公切線方程；(2)若，求證：函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；(3)設(shè)，函數(shù)，的零點(diǎn)為，求證：為函數(shù)的一組同切點(diǎn).解析：（1）由，則，，則，所以函數(shù)在處的切線方程為，即該自公切線方程為.（2）由恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，則是上單調(diào)遞減，可得它至多有一