高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)4.4.3　不同函數(shù)增長的差異含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)4.4.3不同函數(shù)增長的差異含答案4.4.3不同函數(shù)增長的差異【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.比較一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)增長方式的差異.2.理解“直線上升”“對(duì)數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.3.能根據(jù)具體問題選擇合適的函數(shù)模型.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模三種常見函數(shù)模型的增長差異項(xiàng)目y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長速度不變形象描述指數(shù)爆炸對(duì)數(shù)增長直線上升增長結(jié)果存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有ax>kx>logax教材挖掘(P138探究(3))討論交流“直線上升”“對(duì)數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.提示:直線上升:勻速上升;對(duì)數(shù)增長:緩慢增長;指數(shù)爆炸:增長越來越快.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型. (√)提示:增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型,故正確.(2)對(duì)任意的x>0,kx>logax. (×)提示:對(duì)任意的x>0,當(dāng)k<0,a>1時(shí),kx>logax不恒成立,故錯(cuò)誤.(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)m,使得x>m時(shí),1.01x>x10. (√)提示:指數(shù)函數(shù)的增長速度比冪函數(shù)的增長速度快,所以當(dāng)實(shí)數(shù)x足夠大時(shí),1.01x>x10.(4)在指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型、一次函數(shù)模型中增長速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)函數(shù)模型. (√)提示:在指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型、一次函數(shù)模型中增長速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)函數(shù)模型,故正確.類型一不同函數(shù)增長的差異(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(1)(2024·深圳高一檢測(cè))當(dāng)x越來越大時(shí),下列函數(shù)中增長速度最快的是 ()A.y=5x B.y=log5xC.y=x5 D.y=5x【解析】選D.結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知,幾種函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)模型的增長速度最快.(2)(2024·杭州高一檢測(cè))有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示:t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是 ()A.v=0.5t B.v=0.5(t2-1)C.v=log0.5t D.v=log2t【解析】選D.由題表格中的數(shù)據(jù),作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如圖所示,數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和對(duì)數(shù)函數(shù)v=log2t的圖象類似,所以選項(xiàng)D最能反映t,v之間的函數(shù)關(guān)系.【總結(jié)升華】常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升,其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型:指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,形象地稱為“指數(shù)爆炸”.(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.(4)冪函數(shù)模型:冪函數(shù)y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對(duì)數(shù)增長之間.【即學(xué)即練】1.設(shè)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較,下列結(jié)論中,正確的是 ()A.f(x)的增長速度最快,h(x)的增長速度最慢B.g(x)的增長速度最快,h(x)的增長速度最慢C.g(x)的增長速度最快,f(x)的增長速度最慢D.f(x)的增長速度最快,g(x)的增長速度最慢【解析】選B.畫出函數(shù)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的圖象,如圖所示,結(jié)合圖象,可得三個(gè)函數(shù)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中,當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),函數(shù)g(x)=2x的增長速度最快,h(x)=log2x的增長速度最慢.所以選項(xiàng)B正確,選項(xiàng)A,C,D不正確.2.今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93用下列函數(shù)近似地表示數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是 ()A.s-1=2t-3 B.s=log2tC.2s=t2-1 D.s=-2t-2【解析】選C.根據(jù)已知的數(shù)據(jù)可以知道,隨著t的逐漸增大,函數(shù)值也是增大的,因此排除選項(xiàng)D.對(duì)于A,是指數(shù)型函數(shù),底數(shù)大于1,因此是遞增的,但是是爆炸性的增長,不滿足.對(duì)于B,由于對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長是蝸牛式增長,所以比較慢,并且當(dāng)t=4時(shí),函數(shù)值為2,與數(shù)據(jù)差距大,不滿足.故排除法選C.類型二不同函數(shù)增長差異的應(yīng)用(邏輯推理)角度1求范圍【典例2】若x∈(0,+∞),則使log2x<2x<x2成立的x的取值范圍是,使log2x<x2<2x成立的x的取值范圍是.

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=2x,y=x2,y=log2x在(0,+∞)上的圖象如圖所示,由圖得,若log2x<2x<x2,則2<x<4,若log2x<x2<2x,則0<x<2或x>4.答案:(2,4)(0,2)∪(4,+∞)【總結(jié)升華】利用不同函數(shù)增長的差異求范圍(1)根據(jù)題意,作出不同增長函數(shù)的圖象,確定交點(diǎn)的坐標(biāo);(2)結(jié)合圖象,根據(jù)不同函數(shù)的相對(duì)位置,求出變量的取值范圍.【即學(xué)即練】(2024·西安高一檢測(cè))對(duì)于任意x∈(m,+∞),不等式log2x<x2<2x都成立,則m的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.x>0時(shí),令2x=x2得x=2或x=4,由于指數(shù)函數(shù)增長速度比二次函數(shù)快,所以當(dāng)x>4時(shí),2x>x2恒成立,且當(dāng)x>4時(shí),x2>log2x也成立,對(duì)數(shù)函數(shù)增長速度小于二次函數(shù),所以m的最小值為4.角度2比較大小【典例3】函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù);【解析】(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2023),g(2023)的大小.【解析】(2)因?yàn)閒(1)=2>g(1)=1,f(2)=4<g(2)=8,f(9)=512<g(9)=729,f(10)=1024>g(10)=1000,所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2023>x2,從題圖上可以看出:當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2023)>g(2023).所以f(2023)>g(2023)>g(6)>f(6).【總結(jié)升華】利用不同函數(shù)增長的差異比較大小(1)根據(jù)題意,作出不同增長函數(shù)的圖象,函數(shù)值的大小對(duì)應(yīng)圖象的高低;(2)通過對(duì)部分自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的計(jì)算,結(jié)合不同函數(shù)增長的差異性,確定所求函數(shù)值之間的大小關(guān)系.【即學(xué)即練】(2024·河池高一檢測(cè))對(duì)于任意正整數(shù)n,2n+2(n+1)2.(填“>”“<”或“=”)

【解析】當(dāng)n=1時(shí),2n+2=8>(n+1)2=4,當(dāng)n=2時(shí),2n+2=16>(n+1)2=9,當(dāng)n=3時(shí),2n+2=32>(n+1)2=16,當(dāng)n=4時(shí),2n+2=64>(n+1)2=25,……在(0,+∞)上隨著自變量的增大,y=ax(a>1)的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度.答案:>【補(bǔ)償訓(xùn)練】滿足x+5>2x的正實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【解析】如圖,結(jié)合函數(shù)y=x+5與y=2x的圖象增長差異得,當(dāng)0<x<3時(shí),x+5>2x.答案:(0,3)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解與圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系.2.能根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)大致所在區(qū)間.3.會(huì)借助函數(shù)圖象與單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象、邏輯推理邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、函數(shù)的零點(diǎn)1.定義:對(duì)于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).2.函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解、函數(shù)的圖象之間的關(guān)系函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).二、函數(shù)零點(diǎn)存在定理1.前提:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0;2.結(jié)論:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.教材挖掘(P143)為什么由f(a)·f(b)<0不能說明y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn),舉例說明.提示:版本交融(北師大版P130抽象概括)如何理解f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有解的充分不必要條件.提示:在區(qū)間(a,b)內(nèi),方程f(x)=0至少有一個(gè)解,只說明了方程f(x)=0解的存在,并不能判斷具體有多少個(gè)解.當(dāng)f(a)·f(b)>0時(shí),方程f(x)=0也可能有解,如圖所示.所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有解的充分不必要條件.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y=2x-1的零點(diǎn)是(12,0). 提示:函數(shù)y=2x-1的零點(diǎn)是12,故錯(cuò)誤(2)函數(shù)f(x)=x2+x+1有零點(diǎn). (×)提示:因?yàn)榉匠蘹2+x+1=0的Δ=1-4=-3<0,方程無根,所以函數(shù)沒有零點(diǎn),故錯(cuò)誤.(3)若f(x)在[a,b]上為單調(diào)函數(shù),且f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(√)提示:由f(a)f(b)<0可知在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a,b]上為單調(diào)函數(shù),所以只有一個(gè)零點(diǎn).(4)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)f(b)>0,則在區(qū)間(a,b)上一定沒有零點(diǎn). (×)提示:如f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上有f(-1)f(1)=1×1=1>0,但是在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn)0,故錯(cuò)誤.類型一求函數(shù)的零點(diǎn)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)=x2+x-2,x【解析】當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)=x2+x-2=0,即(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1(舍去),當(dāng)x>0時(shí),由f(x)=-1+lnx=0,解得x=e,綜上可得,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為-2,e.答案:-2,e(2)如果函數(shù)f(x)=ax-b有一個(gè)零點(diǎn)是3,那么函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點(diǎn)是.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax-b有一個(gè)零點(diǎn)是3,所以f(3)=3a-b=0,即b=3a,令g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=0,可得x=0或x=-1.答案:-1,0【總結(jié)升華】函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)轉(zhuǎn)化為求方程f(x)=0的解,對(duì)于分段函數(shù)的零點(diǎn)要注意自變量的取值范圍;(2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).【即學(xué)即練】1.函數(shù)f(x)=(3x-27)ln(x-1)的零點(diǎn)為 ()A.2,3 B.2C.(2,0) D.(2,0),(3,0)【解析】選A.由f(x)=0,得(3x-27)ln(x-1)=0,即3x-27=0或ln(x-1)=0,解得x=3或x=2,所以函數(shù)f(x)=(3x-27)ln(x-1)的零點(diǎn)為2,3.2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b,其中a>0,a≠1,b∈R.若f(x)無零點(diǎn),則b的取值范圍是.

【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的值域?yàn)?0,+∞),故函數(shù)f(x)=ax+b的值域?yàn)?b,+∞),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)無零點(diǎn),則0?(b,+∞),所以b≥0.答案:[0,+∞)類型二零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)(2024·北京高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=x2+2xA.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.當(dāng)x≤0時(shí),令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去);當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lnx-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(1)=-2<0,f(e3)=1>0,所以f(1)·f(e3)<0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有1個(gè)零點(diǎn);綜上,f(x)在R上有2個(gè)零點(diǎn).(2)方程log2(x+4)=3x的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.在同一平面直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)y=log2(x+4)與y=3x的大致圖象,由圖象可觀察出兩個(gè)函數(shù)圖象共有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故方程log2(x+4)=3x有兩個(gè)實(shí)根.【總結(jié)升華】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)通過求方程f(x)=0的解,即可判斷函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)將y=f(x)拆分為兩個(gè)簡單函數(shù)差的形式,如f(x)=g(x)-h(x),函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)與h(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【即學(xué)即練】函數(shù)f(x)=x2+12x-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=12x與y=3-x2【解析】函數(shù)f(x)=x2+12x-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程12x=3-x2的解的個(gè)數(shù),即函數(shù)y=12x作出函數(shù)y=12x與y=3-x由圖象可知:函數(shù)y=12x與y=3-x2有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)=x2+1答案:2【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=x2,x≤0x2+14x,x>0,則關(guān)于x的方程3A.4 B.5 C.3 D.2【分析】由3f2(x)-7f(x)+2=0解得f(x)=13或2,再畫出f(x),y=2,y=13【解析】選A.因?yàn)?f2(x)-7f(x)+2=0,解得f(x)=13當(dāng)x≤0時(shí),f(x)≥0;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+14x=14(x+1x)≥14所以f(x),y=2,y=13的圖象如圖:由圖可知,使得f(x)=13或f(x)=2的點(diǎn)有4個(gè).故關(guān)于x的方程3f2(x)-7f(x)+2=0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為42.方程x+lnx=3解的個(gè)數(shù)為.

【解析】令f(x)=x-3+lnx=0,則lnx=3-x;在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=lnx與y=-x+3的圖象,如圖所示.由圖可知函數(shù)y=lnx與y=-x+3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)=x-3+lnx只有一個(gè)零點(diǎn).故原方程只有1個(gè)解.答案:1類型三零點(diǎn)的綜合應(yīng)用(邏輯推理)角度1判斷零點(diǎn)所在區(qū)間【典例3】已知函數(shù)f(x)=lnx+x-2x,則f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (A.(-1,1) B.(1,2)C.(2,e) D.(e,3)【解析】選B.因?yàn)閒(1)=ln1+1-2=-1<0,f(2)=ln2+2-1=1+ln2>0,所以由零點(diǎn)存在定理知,f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).【總結(jié)升華】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷(1)原理:零點(diǎn)存在定理,即判斷f(a)·f(b)<0;(2)方法:將端點(diǎn)值代入函數(shù)解析式,判斷函數(shù)值的正負(fù).【即學(xué)即練】(2024·唐山高一檢測(cè))方程2x-2+2x=0的根所在的區(qū)間是 ()A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)【分析】設(shè)f(x)=2x-2+2x,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,判斷區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào),即可求出結(jié)果.【解析】選B.設(shè)f(x)=2x-2+2x,f(0)=-1,f(1)=2,所以函數(shù)的零點(diǎn)在(0,1)上,即方程2x-2+2x=0的根在區(qū)間(0,1)上.角度2求參數(shù)的取值范圍【典例4】(1)(2024·連云港高一檢測(cè))已知函數(shù)y=x2+mx+m2-7的兩個(gè)零點(diǎn)中,一個(gè)零點(diǎn)大于2,另外一個(gè)零點(diǎn)小于2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-3,1)C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,3)【分析】由題意畫出函數(shù)y=f(x)=x2+mx+m2-7的草圖可知,f(2)<0,由此即可得解.【解析】選B.如圖所示:不妨設(shè)函數(shù)y=x2+mx+m2-7的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2(x1<x2),由于拋物線開口向上,所以由題意有f(2)=4+2m+m2-7<0,整理得m2+2m-3<0,解得-3<m<1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-3,1).(2)設(shè)f(x)=2x+1,x≤0|log2x|,【分析】求出f(x)在x≤0時(shí)的取值范圍,再畫出函數(shù)圖象,則問題轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)的取值范圍.【解析】因?yàn)閒(x)=2x畫出函數(shù)圖象如圖所示:因?yàn)榉匠蘤(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即y=f(x)與y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn),由圖可知1<a≤2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2].答案:(1,2]【備選例題】(2024·連云港高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,x≤2-x+5,x>2,若關(guān)于xA.(0,3) B.[1,3) C.(2,3) D.[1,3)∪{0}【解析】選D.因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)-m=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),作出函數(shù)圖象,如圖所示,所以當(dāng)m∈[1,3)∪{0}時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,3)∪{0}.【總結(jié)升華】利用零點(diǎn)存在定理求參數(shù)的取值范圍(1)直接法:適用于已知二次函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍,可以轉(zhuǎn)化為含參一元二次方程有幾個(gè)解,通過研究一元二次方程根的分布得到參數(shù)的取值范圍;(2)間接法:通常針對(duì)較為復(fù)雜的函數(shù),可以拆分為兩個(gè)簡單函數(shù)的差,從而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡單函數(shù)有幾個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象得到滿足條件的參數(shù)的取值范圍.【即學(xué)即練】1.(2024·鎮(zhèn)江高一檢測(cè))若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(1,+∞)