綿陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試卷（含答案詳解）

保密★啟用前【考試時間：2025年1月14日9：45—11：45】高中2024級第一學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級?0.52B鉛筆將考號準(zhǔn)確填涂在“準(zhǔn)考證號”欄目內(nèi).2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.考試結(jié)束后將答題卡收回.第I卷（選擇題，共58分） AIB AIBA∣x0,B∣x2已知集合 ，則 （ ）A.1,1

B.,1

C.,0,1

D.0,1下列命題為真命題的是（ ）abac2bc2

a2b2ab若ab0，則a2b2 .若ab0，cc1x設(shè)p: 有意義，q:x3，則p是1x充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.1,2,12，都有12f1f20”的是（ ）yC ylog2x

ycosx1D.yex函數(shù)fxx2lnx的大致圖象為（ ）A B.C. D.xx4,x1,fx

2 π設(shè)函數(shù)

1 則ff3（ ）2cosx,x 2

9A1

B.1

D.54將甲桶中的10L溶液緩慢注入空桶乙中，經(jīng)過tmin后甲桶中剩余的溶液量符合指數(shù)衰減曲線ht10ekt.假設(shè)經(jīng)過10min甲桶和乙桶中的溶液量一樣，則乙桶中的溶液達到8L共需要注入的時間為（ （參考數(shù)據(jù)：g20.3）3.3min B.13.2min C.23.3min D.32minx已知函數(shù)fx2x12m1m1有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）x2 1A.,1

B.1,1

C.1,

D.1, 2 2 二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.若xR，函數(shù)fxax22xb的值域是0,，且mn，則下列結(jié)論中正確的是（ ）4A.a0 B.ab4C.若fm

fnmn1a

1 1D.a2b2 8fx是定義在Rfxf2x，當(dāng)0x1fxx2x，則（ ）A.f20B.fxx2對稱C.fx圖象關(guān)于點20中心對稱D.當(dāng)1x0fxx2x已知函數(shù)fxsinxlneex（e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）1x函數(shù)fx的定義域為1,1 B.函數(shù)fx是增函數(shù)C.函數(shù)fx是奇函數(shù) .若f4x2x11，則x1第II卷（非選擇題，共92分）ln1三?填空題：本大題共3小題，每小題5ln1函數(shù)fx 的定義域為 .x某扇形圓心角為2弧度，半徑為4cm，則該扇形的面積為 cm2fxlog2x，當(dāng)0abfab2

fbfxa2,b上的最大值與最小值之差為2，則a

的值為 .四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.xP34.求f2cosπcosπtanπ的值. 2 xx2ax28的解集為{3x}.ab的值；fxx2ax2xmmmRfx的最小值（用m表示）.BA產(chǎn)品利潤ux（單位：萬元）x（單位：萬元）的關(guān)系式為uxmxlog2 x1x0;B產(chǎn)品的利潤vx（單位：萬元）與投入金額x（單位：萬元）的關(guān)系式為vx2xlog264xn(0x64).3萬元生產(chǎn)A732B65萬元.mn的值；47B潤？并求出最大利潤.fxsinx,π0的最小正周期為π，且cossinj1. 2 2 fx的解析式；fxxππ上的單調(diào)遞減區(qū)間；22yfx]2m2fxxππ有三個不同的零點從小到大依次為23x2，求實數(shù)m的取值范圍及tan的值.fx固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茲等得出了“懸鏈線”gx.ffx切函數(shù)Fx .已知函數(shù)fx和gx具有如下性質(zhì)：①定義域都為R，且fxgxfxgxfxgxex.（ee2.71828L）（1）fxgx的解析式；（2）求證：g(2x)[g(x)]2[f(x)]2；（3）Fx在區(qū)間mn(mn上的值域是k,kkRk的取值范圍.e2me2n保密★啟用前【考試時間：2025年1月14日9：45—11：45】高中2024級第一學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級?0.52B鉛筆將考號準(zhǔn)確填涂在“準(zhǔn)考證號”欄目內(nèi).2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.考試結(jié)束后將答題卡收回.第I卷（選擇題，共58分） 一?選擇題：本大題共8小題，每小題5 則AIB（ ）A.1,1B.,1C.,則AIB（ ）A.1,1B.,1C.,0,1 D.0,1【答案】D【解析】已知集合 ，【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合交集的定義進行求解即可.B∣x2,，AIB0,1，故選：D下列命題為真命題的是（ ）abac2bc2

a2b2ab若ab0，則a2b2 .若ab0，cc【答案】C【解析】【分析】通過舉反例可判斷A、B、D是假命題；利用作差法比較大小可判斷C正確.【詳解】對于A，當(dāng)c0時，ac2bc2不成立，故A是假命題；對于B，當(dāng)a2,b1時，ab不成立，故B是假命題；Cab0，則ab0ab0a2b2abab0C是真命題；D，當(dāng)c0acbcD故選：D3.設(shè)p:1x有意義，q:x3，則p是q的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件【答案】A【解析】D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.1x【詳解】由p: 有意義，可得1x0x1，此時顯然q:x1x1xx2，顯然qx31x

沒有意義，故選：A4.1,2,12，都有12f1f20”的是（ ）A.ytanxC.ylog2x

B.ycosx1D.yex【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，即函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，逐個選項判斷即可.1,2,12，都有12f1f20fx在0,1上單調(diào)遞減.對于A，Q0,10,π，而函數(shù)ytanx在0,π上單調(diào)遞增，故A錯誤； 2 2 Bycosx在0πycosx1在0,1B正確； 2 Cylog2x在0C錯誤；DyexRD錯誤.故選：B.函數(shù)fxx2lnx的大致圖象為（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，排除BD，再判斷奇偶性，排除C，最后得出答案.fxx2lnxx0，fxx2lnx的定義域xxB,D,fxx)2lnxx2lnxfxC，fxx2lnxA.

f(x)，故選：A

xx4,x1,fx

2 π設(shè)函數(shù)

1 則ff3（ ）2cosx,x 2

1

1

9D.54【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特殊角的余弦值和誘導(dǎo)公式，結(jié)合代入法進行求解即可. π π

π 1ff3f2cos3

f2cos3f22

f11145，

故選：D將甲桶中的10L溶液緩慢注入空桶乙中，經(jīng)過tmin后甲桶中剩余的溶液量符合指數(shù)衰減曲線ht10ekt.假設(shè)經(jīng)過10min甲桶和乙桶中的溶液量一樣，則乙桶中的溶液達到8L共需要注入的時間為（ （參考數(shù)據(jù)：g20.3）3.3min B.13.2min C.23.3min D.32min【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用代入法求出k的值，再根據(jù)所求問題列出方程，通過對數(shù)的運算法則和換底公式進行求解即可.【詳解】因為經(jīng)過10min甲桶和乙桶中的溶液量一樣，10k

10k 1

tln2所以1010e

10e

k10ln2，即ht10e10設(shè)乙桶中的溶液達到8L共需要注入的時間為a，則有 則有 ln1010e10

a81010eln2

a810102108a a

lg10 a 1102102

10101 1 10 lg2 10

a23.3，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式.x已知函數(shù)fx2x12m1m1有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）x2 1A.,1

B.1,1

C.1,

D.1, 2 2 【答案】B【解析】【分析】令t2x1gtt2m1m1fx2x12m1m1有三個不t 2x1同的零點，轉(zhuǎn)化為t2m1t2m10有兩個根，一個根在0,1另一根在，根據(jù)二次方程根的分布即可求解.【詳解】令t2x1gtt2m1m1fx2x12m1m1有三個不同t 2x1的零點，轉(zhuǎn)化為gt有兩個零點，一個零點t11或另一個零點0t21，則gt0t2m1t2m10，12則一元二次方程t2m1t2m10兩根為tt，即t2m1t2m10的一個根在0,1另12一根在1,￥，htt2mt2m1，則有h002m101m1，h0 m10 2即實數(shù)m的取值范圍為1,1，2 故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.若xR，函數(shù)fxax22xb的值域是0,，且mn，則下列結(jié)論中正確的是（ ）4A.a0 B.ab4C.若fm【答案】【解析】

fnmn1a

1 1D.a2b2 8【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域性質(zhì)，結(jié)合基本不等式逐一判斷即可.a0fx2xb，顯然此時函數(shù)的值域不是0，不符合題意；4b 12 1 b 1當(dāng)a0時，fxax22x ax

，對稱軸為x ，4 a a 4 a因為二次函數(shù)fxax22xb的值域是0,，且xR，4a0

a0所以有 1 b

，因此選項AB正確， 0 ab4a 4mnfm

fnmn2，aC不正確；a0a由ab4

b

2b2

2ab8，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時取等號， ab4所以選項D正確，故選：ABDfx是定義在Rfx

f2x，當(dāng)0x1fxx2x，則（ ）A.f20B.fxx2對稱C.fx圖象關(guān)于點20中心對稱D.當(dāng)1x0fxx2x【答案】AC【解析】f00fxfxAfx

f2xfx的對稱軸，即可判斷B，再推導(dǎo)出f2xfx20C，最后根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在1≤x≤0時的解析式，即可判斷D.fx是定義在Rf00fxfx，fx

f2xf2

f00，故A正確；fxf2xfxx1B錯誤；fxfxfxf2x，所以fx

f2x，即fx

f2xfx4f2x

fx，fx2fx2f2xf2xfx20，fx的圖象關(guān)于點20C因為當(dāng)0x1fxx2x， 設(shè)1x0，則0x1fxfxx2xx2x x0fxx2x也成立，所以當(dāng)1x0fxx2xD錯誤故選：AC.已知函數(shù)fxsinxlneex（e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）1x函數(shù)fx的定義域為1,1 B.函數(shù)fx是增函數(shù)C.函數(shù)fx是奇函數(shù) .若f4x2x11，則x1【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的定義，結(jié)合奇函數(shù)的定義、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.fxsinxlneexeex01x1x01x1A正確；1x 1xfxsinxlneexsinxlneln1xsinx1ln2

1，1x

1x

1x x1,1ysinxy

21x

1單調(diào)遞增，所以ysinx1ln2 1也單調(diào)遞增，因此選項B正確；1x f0sin0lne10fxC不正確；f4x2x11

f0fx是1,1增函數(shù)，4x2x10所以有14x2x1故選：AB

14x2x10x1且x0，因此選項D不正確，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解.第II卷（非選擇題，共92分）ln1三?填空題：本大題共3小題，每小題5ln1函數(shù)fx 的定義域為 .x【答案】,00,1【解析】【分析】由函數(shù)定義域的概念列出不等式求解即可；1x0【詳解】由題意可得：x0 ，解得：x1且x0，所以函數(shù)的定義域為00,100,1某扇形的圓心角為2弧度，半徑為4cm，則該扇形的面積為 cm2【答案】16【解析】【分析】S1lr1r2，即可求得結(jié)論．2 2【詳解】∵扇形的半徑為4cm，圓心角為2弧度，S1lr1r216c2，2 2故答案為：16.fxlog2x，當(dāng)0abfab2

fbfxa2,b上的最大值與最小值之差為2，則a

的值為 .【答案】8【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.fx

xlog2x,x1

的圖象如下圖所示：22 logx,0x12當(dāng)0abfafb，因此有0a1b，由fafblog2alog2blog2alog2b0log2ab0ab1，xa2,bxa2,1時，因為0a1，a所以0a211fa

min

f10，fa2log

a22

a，f12 a2 a

1loga，2a 2a2fa2f1a2

a0，fa2

f1fxaa

max

fa22loga，2fxa2,b2，2所以2log2

a02a1b2，2b24因此a 1 8，2故答案為：8

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想得到0a1b，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解.四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.xP34.求f2cosπcosπtanπ的值. 2 （1）4345 5 34（2）3【解析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)定義分別法求解即可；（2）先應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡，再代入三角函數(shù)值計算求解.【15題詳解】Q角q的終邊經(jīng)過點P3,4，(3)242OP(3)242sinq4,cosq33,tanq44.5 5 5【16題詳解】

3 3fq2cosπqcosπqtanπq 2 siot8344 5 3 5 3 xx2ax28的解集為{3x}.ab的值；fxx2ax2xmmmRfx的最小值（用m表示）.（1）ab2m2m2,m1 27 1 3（2）fx

, mmin

4 2 2m23m4,m32【解析】（1）x2ax28的解集為{3x}，得,bx2ax60根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得解；（2）fxx2ax2x1，根據(jù)對稱軸分布的情況分類討論，即可求出函數(shù)2fx的最小值.1詳解】Qxx2ax28的解集為{3x}，3bx2ax60的兩根.3b6

a1由根與系數(shù)的關(guān)系，得3b

，解得 ，b2a1,b2.2詳解】

12 7 1由（1）fxx2x2x

，所以函數(shù)fx圖象的對稱軸為x ，24 224當(dāng)m1fx在m2m上遞減，2fx

min

fmm

122

7m2m2422當(dāng)1m3fx在m21上遞減，在1m上遞增，222 2

f(x)

f17；min 2 4 m3fx在m2m上遞增，2fx

min

fm2m

322

7m23m4.4m2m2,m1 27 1 3fx

, m .min

4 2 2m23m4,m32BA產(chǎn)品的利潤ux（單位：萬元）x（單位：萬元）的關(guān)系式為uxmxlog2 x1x0;B產(chǎn)品的利潤vx（單位：萬元）與投入金額x（單位：萬元）的關(guān)系式為vx2xlog264xn(0x64).3萬元生產(chǎn)A732B65萬元.mn的值；47B潤？并求出最大利潤.（1）m2n6（2）A生產(chǎn)線投資15萬元，B生產(chǎn)線投資32萬元時，企業(yè)獲得利潤最大，利潤的最大值為97萬元.【解析】【分析】（1）運用代入法，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】Quxmxlog2

x1,u37，3131m2

3m7，Qvx2xlog264xn(0x64),v3265，64log26432nn6.【小問2詳解】AxB47x萬元，企業(yè)獲得利潤為tx.x1由（1，得ux2xogx1vx2xlog264x6，x1txuxv47x2xlog2 247xlog217xx1x整理，得txxxtxx17x

log2x100，100，tx即

1x1xx1x

100.x1x116Q x1x116

8，當(dāng)且僅當(dāng)x15時等號成立.log2

1x1xx1x1

log28.tx

1x1x1 16x1

100100log2897，當(dāng)且僅當(dāng)x15時等號成立.當(dāng)A生產(chǎn)線投資15萬元，B生產(chǎn)線投資32萬元時，企業(yè)獲得利潤最大，利潤的最大值為97萬元.fxsinx,π0的最小正周期為π，且cossinj1. 2 2 fx的解析式；fxxππ上的單調(diào)遞減區(qū)間；22yfx]2m2fxxππ有三個不同的零點從小到大依次為23x2，求實數(shù)m的取值范圍及tan的值.（1）fx2sin2xπ 6 （2）π,π,π,π2 6323（3）2m1，tanx22x33【解析】（1）fx的最小正周期為π即可求出，由cos4jsin12xππ求出2xπ7π5πz2xπy2sinz的單調(diào)遞減區(qū)間即可求解；2

6

6 66（3）yfx]2m2fx的零點得fx2fxm0，得sin2xπ1或 6 π m6sin2x 6

，分類討論即可得解.2【小問1詳解】Qfx的最小正周期為π,w0，2ππ,w2.w2Qcossinjcossincossincossinj1，2cos2jsin2j1，cos2j3.又πj0，4 23π.2 6fx2sin2xπ. 6 【小問2詳解】令z2xπ,xπ,π，則z7π,5π.6

22

6 6Qz7π,5π,函數(shù)y2sinz的單調(diào)遞減區(qū)間是7π,π,π,5π，6 6

6 2

2 67π2xππ,π2xπ5π，6 6 22 6 6解得πxπ,πxπ.2 63 2fxxππ上的單調(diào)遞減區(qū)間是ππππ.22

2 6

32【小問3詳解】Q[fx]2m2x2mfx2fxm0，fx2fxm π

π msin2x61或sin2x62， Qxπ,π,2xπ7π,π，2

6

6 2 π

π π π由sin2x61,2x62,x33， π m m 1sin2x 有兩個不同的解，1 ，6 6 2m1，此時2xπ2xπ2ππxx

π， 1 6 2 6 2

1 2 3 xx2xπ，1 2 3 3tanx22x3 3.fx固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茲等得出了“懸鏈線”gx.ffx切函數(shù)Fx .已知函數(shù)fx和gx具有如下性質(zhì)：①定義域都為R，且fxgxfxgxfxgxex.（e