湖南省株洲市2025屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含答案

株洲市2025屆高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)（本試卷共4頁(yè)，19題，考試用時(shí)120分鐘，全卷滿分150分）注意事項(xiàng)：1，答題前，先將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3，非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將答題卡上交.第I卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上）1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.若虛數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.3.已知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.34.已知向量，則在方向上投影向量為（）A. B. C. D.5.若展開(kāi)式中的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)相等，則的值為（）A.6 B.7 C.8 D.96.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A1 B.2 C.4 D.87.已知三個(gè)電流瞬時(shí)值的函數(shù)表達(dá)式為，，它們合成后的電流瞬時(shí)值的函數(shù)為的部分圖象如圖所示，則的最大值為（）A.1 B. C. D.28.已知點(diǎn)為三棱柱棱上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)及點(diǎn)的平面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則的值為（）A.1 B. C. D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.比較兩組測(cè)量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，常使用離散系數(shù)，其定義為：離散系數(shù).某地區(qū)進(jìn)行調(diào)研考試，共40000名學(xué)生參考，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，且平均分為57.4，離散系數(shù)為0.36，則下列說(shuō)法正確是（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.）A.學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為B.學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布C.約有20000名學(xué)生的成績(jī)低于58分D.全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為7810.若，則（）A. B.C. D.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)和定直線，若到點(diǎn)與直線的距離之和等于10的點(diǎn)的軌跡記為曲線.給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.若點(diǎn)在曲線上，則C.若點(diǎn)在曲線上，則D.若點(diǎn)在曲線上，則第II卷三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知是第二象限內(nèi)的角，，則__________.13.已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)，寬，高分別為，連接其各面的中心，得到一個(gè)八面體.已知該八面體的體積為8，則該長(zhǎng)方體的表面積的最小值為_(kāi)_________.14.在箱子里有六張印有6名同學(xué)名字（名字都不相同）卡片，6名同學(xué)隨機(jī)在箱子中抽取一張卡片.為了使6名同學(xué)都能拿到自己的卡片，每次只有2名同學(xué)可以互換手中的卡片，則這6名同學(xué)至少進(jìn)行5次互換才能都拿到自己名字的卡片的概率為_(kāi)_________.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.16.如圖，在等邊三角形中，為邊上一點(diǎn)，，點(diǎn)，分別是邊上動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，且設(shè)（1）求證：不論為何值，恒成立.（2）當(dāng)和的面積相等時(shí)，求的值.17.已知拋物線的焦點(diǎn)為.過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).拋物線在點(diǎn)處的切線為直線，過(guò)點(diǎn)作平行于直線的直線交拋物線于點(diǎn).設(shè)點(diǎn).（1）求證：成等差數(shù)列；（2）求的面積的最小值.18.已知函數(shù)（1）若曲線y=fx在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求的值；（2）若函數(shù)y=fx存在唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)y=fx存在極大值，記作，求證：.（參考結(jié)論：當(dāng)時(shí)，.這里表示從0的右邊逼近表示從0的左邊逼近0.）19.已知集合是由（為大于1的整數(shù)）個(gè)連續(xù)的正整數(shù)組成的集合.現(xiàn)將集合拆分成個(gè)子集，且集合滿足：①兩兩沒(méi)有公共元素；②元素的個(gè)數(shù)均為個(gè)，則稱對(duì)集合進(jìn)行了“個(gè)均分拆”.進(jìn)一步，若集合又滿足條件，則稱對(duì)集合進(jìn)行了“條件下個(gè)均分拆”.（1）若集合，請(qǐng)寫(xiě)出對(duì)集合進(jìn)行“2個(gè)均分拆”的所有拆法.（2）若集合，試判斷是否可以對(duì)集合進(jìn)行“條件下2個(gè)均分拆”（條件為“，其中”），并說(shuō)明理由.（3）若集合，是否可以對(duì)集合進(jìn)行“條件下16個(gè)均分拆”（條件為“集合中的最大數(shù)等于另外的兩數(shù)之和”）？若能，求出整數(shù)的最大值，并給出一種拆法；若不能，說(shuō)明理由.

株洲市2025屆高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)答案一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上）1.C解析：，.故選：C.2.A解析：因?yàn)?，所以，則.故選：A.3.B解析：雙曲線的漸近線為，依題意，即，所以雙曲線的離心率.故選：B4.B解析：.故選：B.5.B解析：二項(xiàng)式的展開(kāi)式第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為，依題意，，即，整理得，而，所以.故選：B6.C解析：顯然，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式為，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以所以.故選：C7.D解析：由題意知，，根據(jù)圖象知，，所以直線是的一條對(duì)稱軸，且是最大值，所以，解得，又因?yàn)?，所以，所以，所以的最大值?，故選：D.8.B解：過(guò)作∥，交于點(diǎn)，則∥，連接，則平面即為過(guò)頂點(diǎn)及點(diǎn)的平面，如圖所示：設(shè)三棱柱的底面面積為，高為；設(shè)，則，又因?yàn)?，所以兩三角形的相似比為，由相似三角形的性質(zhì)可知，易知，側(cè)棱交于延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，所以幾何體為三棱臺(tái)，設(shè)三棱臺(tái)體積為，三棱柱的體積為，則有，又因?yàn)椋忠驗(yàn)椋?，所以，，令，則有，解得，所以，所以，解得.故選：B.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.ACD解析：對(duì)于A，根據(jù)離散系數(shù)，平均分為57.4，離散系數(shù)為0.36，可得標(biāo)準(zhǔn)差為，故A正確；對(duì)于B，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，則學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平均分為57.4，所以成績(jī)低于58分得概率約為，所以約有名學(xué)生的成績(jī)低于58分，故C正確；對(duì)于D，又因?yàn)?，且，所以全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為，故D正確；故選：ACD.10.BCD解析：，.設(shè)，則.，在0,+∞上單調(diào)遞增，.，，故選項(xiàng)C，D正確；又，，，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)，則.令得；令得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，，故選項(xiàng)B正確.故選：BCD.11.CD解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)Px,y，根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)與直線的距離之和等于10，所以，即，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖象如下，選項(xiàng)A,根據(jù)圖象得，曲線不關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,若點(diǎn)在曲線上,則，所以，由，得，所以,故B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,若點(diǎn)在曲線上，則，C正確；選項(xiàng)D,若點(diǎn)在曲線上，當(dāng)時(shí)，，得，故當(dāng)時(shí)，，得，故所以，D正確，故CD正確.故選：CD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.解析：因?yàn)槭堑诙笙迌?nèi)的角，，所以，則，則故答案為：13.解析：如上圖所示，八面體分成兩個(gè)同底等高的四棱錐和四棱錐，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面面積是長(zhǎng)方體底面面積的一半，高是長(zhǎng)方體高的一半，所以，化簡(jiǎn)得：，所以長(zhǎng)方體的表面積為：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以長(zhǎng)方體的表面積的最小值為80.故答案為：80.14.解析：因?yàn)橥瑢W(xué)們至少經(jīng)過(guò)5次操作才能才能都拿到自己的名牌，這里研究排序混亂到什么程度才需要“至少經(jīng)過(guò)5次互換”六位同學(xué)才能都拿到自己的名牌，這里不妨記甲?乙?丙?丁?戊?己六位同學(xué)對(duì)應(yīng)的位次分別為1，2，3，4，5，6，首先，考慮一種情況：假設(shè)字母“甲”已經(jīng)拿到自己的名牌，即排在1號(hào)位，其他名牌皆不在對(duì)應(yīng)同學(xué)的手里，易知把其他五個(gè)名牌換到對(duì)應(yīng)同學(xué)的手里至少需要經(jīng)過(guò)4次操作，即第一次讓“乙”歸位，第二次讓“丙”歸位，第三次讓“丁”歸位，第四次將“戊”與“己”同時(shí)歸位，這樣僅需進(jìn)行4次操作，不滿足題意；若甲?乙?丙?丁?戊?己六位同學(xué)的名牌均不在自己手里，但經(jīng)過(guò)一次交換后，可使得兩個(gè)字母同時(shí)歸位，此時(shí)也不能滿足“至少進(jìn)行5次操作”的情況，所以，要滿足“至少進(jìn)行5次操作”的情況，則自己的名牌均不在自己手里，且交換過(guò)程中只存在最后一次互換兩位同學(xué)都能拿到自己的名牌，綜上，總的排序方法有種，所有的隨機(jī)情況有種，所以概率為.故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，則為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，同理可得，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以?（2）由（1）可知，，同理可得，因?yàn)?，所以，，所以，，又因?yàn)椋?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，則，取，可得m=3,3,1因?yàn)椤t，因此，直線與平面所成角的正弦值為.16.（1）在中，，又，所以，在中，所以，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，所以，即不論為何值，恒成立；（2）因?yàn)椋?，又，，由?）可得，所以，即，整理得，所以.17.（1）如圖所示，由題意得F0,1，準(zhǔn)線方程為，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，即，則，直線的斜率為，設(shè)過(guò)點(diǎn)作平行于直線的直線為，則直線的方程為，即，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與拋物線交于，根據(jù)韋達(dá)定理可得，故成等差數(shù)列.（2）不妨設(shè)，過(guò)向直線作平行于軸的直線交直線于，由可得，故,根據(jù)直線的方程，當(dāng)時(shí)，，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的面積最小值為16.18.（1）且，則，所以切線方程為，令，則，由題意得，解得；（2）存在唯一極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有唯一解.設(shè)，則，由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，故只需，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)的存在性定理知，存在使得，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以存在極大值為，極小值為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由（2）知，存在唯一的零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在極小值為.故若存在極大值，則，且，有，得，即，即，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，即.19.（1），∴由題可知：對(duì)集合進(jìn)行“2個(gè)均分拆”的所有拆法為：和，和，和.（2）不可以對(duì)集合進(jìn)行“條件下2個(gè)均分拆”，理由如下：假設(shè)可以對(duì)集合進(jìn)行“條件下2個(gè)均分拆”，不妨設(shè)，，其中.則由條件為“，其中”可知：，，，中有1個(gè)或者3個(gè)為奇數(shù).，中有且只有1個(gè)是奇數(shù)，不妨設(shè)為