2024-2025學年北京市房山區(qū)高三年級上冊學業(yè)水平調研數學試題+答案解析

2024-2025學年北京市房山區(qū)高三上學期學業(yè)水平調研數學試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知全集U=｛]|i+l〉0｝,集合4=｛可則）

A.(1,2]B.(―1,1)U[2,+oo)

C.[1,2)D.(—1,1]U(2,+oo)

2.已知復數z滿足。z=2+K則2的共輾復數是

A.-l-2iB.—1+2zC.l-2iD.l+2i

3.已知q,b,cWR，且0<b,0<c<L則()

ab

A.CL—c<b—1B.ac<bCb-a<b-aD.a+b>2A/O6

4.在（旅—3）5的展開式中，步的系數為（

A.15B.-15C.5D.-5

5.下列函數的圖象中，不是中心對稱圖形的是（）

卜+1

A.沙=cosgB.y=x+—C.y=\x\D.y=x3—x+1

x

6.在平面直角坐標系xQy中，已知點尸（cos0,sin。），。eR，則尸到直線U=X-的距離的最大值為（）

A.1B.2C.2\/2D.3

7.已知非零平面向量a力，則”|a+6|=間+|“”是“存在非零實數入，使6=乂”的

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7T

8.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2,側面與底面所成角是工，則三棱錐P-46。的體積等于（）

21

A.-B.-C.2D.1

OO

9.已知實數a,6滿足2°=Zog鏟，/og2b=給出下列三個結論：

①就〉1;②2。=6;③外+1〈贏.

其中所有正確結論的序號是（）

A.①B.②C.①③D.②③

10.已知由正整數組成的集合4=｛的,。2,。3,…，。5。｝，S（4）表示集合/中所有元素的和，磯4）表示集合

A中偶數的個數.若S（A）=2025.則E（2）的最小值為（）

第1頁，共18頁

A.5B.7C.9D.10

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數“4=MO：/)的定義域為.

12.在△ABC中，AB=1>BC=4,04=，^，則/口=；若。為8C邊上一點，且/4DB=45°，

則AD=.

22

13.已知雙曲線2+外=1(加九<0)的漸近線方程為y=±2*貝卜*，〃的一組值依次為.

mn

14.《九章算術》是我國古代的優(yōu)秀數學著作，內容涉及方程、幾何、數列、面積、體積的計算等多方面.

《九章算術》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善

于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”由以上條

件，該女子第5天織布尺；若要織布50尺，該女子所需的天數至少為.

15.已知函數/(c)=-2m)(a:+m+1),g(x)=ex—1,給出下列四個結論：

①當機=1時，方程/(2)=9(乃有且只有一個實數根；

②當機e(—1,0)時，對任意areR,/⑸<0或g?)<0；

③當me(0,1)時,對任意cC(一oo,—2),f(x)g[x)<0；

④存在meH，對任意a?eR,/(①)一g(①)<0.

其中正確結論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

7?\7f

(>0),f(Xi)=f(X2)=0,且M-徵|的最小值為了

(1)求3的值；

⑵設gQ)=/(2)+2COS2/-1,求函數g(功在區(qū)間0,-上的最大值及相應自變量x的值.

17.(本小題12分)

近年中國新能源汽車進入高速發(fā)展時期，2024年中國新能源汽車銷售量已超過1100萬輛，繼續(xù)領跑全球.

某市場部為了解廣大消費者購買新能源汽車和燃油汽車的情況，從某市眾多4s店中任意抽取8個作為樣本,

對其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量(單位：輛)進行調查.統(tǒng)計結果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽車銷售量108162320182211

燃油汽車銷售量1411131921252326

第2頁，共18頁

(1)若從該市眾多門店中隨機抽取1個，估計該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率;

(2)若從樣本門店中隨機抽取3個，其中12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數記為X,求X的

分布列和數學期望；

⑶新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別記為S河口SQ式比較S浮口5之的大小.(結論不要求

證明)

18.(本小題12分)

已知三棱柱4BQ1中，側面4413B為菱形，側面441GC為正方形，AA1=2,AABBX=60°,

(1)求證：BQ〃平面

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.

(i)求證：平面

(ii)求44與平面AiBE所成角的正弦值.

條件①：EB=EAi；

條件②：BAilBiC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

19.(本小題12分)

已知橢圓E:'+9l(a〉b>0)過點"0),離心率為彳，一條直線與橢圓￡交于/、8兩點，線

段AB的垂直平分線為/,M{x0,y0)為直線AB與直線/的交點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若3=1,直線/是否過定點？如果是，求出該定點的坐標；如果不是，說明理由.

20.(本小題12分)

已知函數f(x)=eax-X-l(a>0).

(1)當a=2時，求曲線沙=/(c)在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵若對任意；re[0,+oo),都有/(/)》0,求實數a的取值范圍；

第3頁，共18頁

(3)求證：存在實數°,使方程〃乃+；=0有正實根.

21.(本小題12分)

已知｛aj和｛吼｝都是無窮數列.若存在正數/,對任意的neN*,均有*-bn\WA,則稱數列｛aj與｛4｝

具有關系P(4).

(1)分別判斷下列題目中的兩個數列是否具有關系P⑴,直接寫出結論；

①廝=2?,bn=n+2,neN*；

,dn=2x+1，neN*.

⑵設時=,bn=an+1+1,neN*,試判斷數列｛廝｝與｛6/是否具有關系P(A).如果是，求出

N的最小值，如果不是，說明理由;

(3)已知｛廝｝是公差為d的等差數列，若存在數列｛5｝滿足：｛4｝與｛廝｝具有關系P⑴，且與―瓦,

歷―匕2，…，與01—近00中至少有100個正數，求d的取值范圍.

第4頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】根據補集定義計算即可.

【詳解】因為U={c|x+l〉O},集合4={/門</<2},則=(―1,1］U⑵+00).

故選：D.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復數的運算和共軌復數，考查計算能力，屬于基礎題.

先化簡z,再利用共軌復數的定義即可求解.

【解答】

解：由題意，得2=2="少二=1—2人

所以5=1+21,

故選D

3.【答案】C

【解析】【分析】通過舉反例即可判斷4助，對于。根據不等式的性質即可判斷.

1211

【詳解】對于/：令Q=5,b=a,c=5，Q—c=0,b—1=——>所以a—c〉b—1,故4錯誤；

ZDZO

對于B：令Q=—2,b=—l,c=］今QC=—l=b,故5錯誤；

對于C：因為a<b,所以b—a>0今/^>0,所以Qx/—<bx=J—</一，故C正確;

對于。：當a<b<0時，顯然不成立，令a=—2,b=—14a+6=—3<2，iK=2\/^，故。錯誤

故選：C.

4.【答案】B

【解析】【分析】寫出二項展開式通項，令x的指數為2,求出參數的值，代入通項即可得解.

［詳解］(旅-3『的展開式通項為乳+1=%(，月-(-3)fc=..(一3)4=0,1,2,???,5),

由=2可得卜=1，故展開式中/的系數為Cl-(-3)=-15.

故選：B.

5.【答案】C

第5頁，共18頁

【解析】【分析】利用函數的圖像求解，選項出利用V=cos/的對稱性和函數的圖像變換得到

y=cos（力+g選項2：?/=7+1利用對號函數的對稱性求解即可，選項C：利用絕對值函數的圖像求

X

解即可，選項。：利用三次函數的對稱性求解即可.

7T

【詳解】選項4y=cos（力+；是由函數？/=COS6向左平移司個單位得到，因為V=COS/是中心對稱圖

O

形，所以沙=cos卜+1)也是中心對稱圖形，

選項8：/(—c)=—(c+!)=—/(2)故對號函數沙=z+1關于原點中心對稱,

\X/X

選項C：易知沙=1引是偶函數，且在(-8,0)單調遞減，在(0,+oo)單調遞增，不是中心對稱圖形,

選項。：三次函數“=/—立+1關于(0,1)中心對稱，因為/3)+/(_為=2.

故選：C.

6.【答案】D

【解析】【分析】分析可知，點P在圓/+/=1上，求出圓心到直線工一4一2四=0的距離，結合圓的

幾何性質可得出產到直線沙=c-2班的距離的最大值.

【詳解】設點PQ』)，則/+/=1,所以，點尸在圓/+/=1上，

該圓的圓心為原點，半徑為1,

原點到直線x-y-2V2=0的距離為d=4^=2，

v/TTT

因此，P到直線y=x-2四的距離的最大值為2+1=3.

故選：D.

7.【答案】A

【解析】【詳解】“|a+“=同+也說明a,b共線同向，能推得“存在非零實數*使b=_Xa”的，所

以充分性具備，但反過來，“存在非零實數入，使6=入屋’a,b可能共線同向，也可能共線反向，所以必要

性不具備.

故選/

8.【答案】B

【解析】【分析】根據正三棱錐的定義和側面與底面所成二面角的定義求出三棱錐的高，代入體積公式即

可.

【詳解】如下圖所示：

第6頁，共18頁

p

由正三棱錐的定義，底面△ABC為正三角形，且邊長為2,作正三棱錐的高PO,垂足。為△A3。的中心,

連接40并延長，交BC于M點；

由正三棱錐的幾何的性質可知：AMLBC,PMLBC,/PMO就是側面P8C與底面所成二面角的平面

-7T

角，APM0=~,可得△POM是等腰直角三角形，PO=OM.

根據正三角形的性質，OM=—^即正三棱錐的高為

33

三棱錐的體積為：-x-x22xsin-x^=-.

32333

故選：B

9.【答案】D

【解析】【分析】根據函數圖象及反函數的概念確定a力的關系，即可得到2。=6;結合函數圖象分析a力的

范圍即可得到就<1；利用a=把不等式等價轉化，通過構造函數求導即可證明不等式成立.

X

J=logiX

如圖，設函數沙=2"與y=/。9/的圖象交于點/,函數4=/0。22與9=(])的圖象交于點3,

則點/的橫坐標為a,即4(a,2B(a>0),點3的橫坐標為6,即3(b>l).

?.,函數沙=2,與沙=/。比2互為反函數，y=log/與期=互為反函數,

.?.點/與點8關于直線沙=/對稱,

,2。=6,②正確.

2]=>logi—=1,log心=1>

27一屋

第7頁，共18頁

/.0<a<I，1<^<2,/.<L①錯誤.

由y得2一2b+1<最等價于:+1<e°,

令2=工，則立〉2,不等式等價于工+1</,

a

設f⑺=e"—（2+1）（/〉2）,則f'（x）—ex—l>e2-l>0,

/（乃在（2,+oo）上為增函數，

/（z）>/⑵=e2-3>0,即2+1<e"，

6

...2+1<e?>③正確.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是把a力轉化為函數圖象交點的橫坐標，利用反函數的概念得到a,b

的等量關系，逐個判斷即可確定選項.

10.【答案】B

【解析】【分析】先排除有5個偶數不可能，再找一個有7個偶數的實例后可得正確的選項.

【詳解】45個正奇數的和不小于1+3+5+???+（2x45-1）=2025,

因為N中有50個不同的正整數，故/中不可能有不超過5個不同的偶數.

={1,3,5,???,2x43-1,18,20,22,24,26,28,38},

則A中共有元素個數為43+7=50,

6x5

這50個數的和為432+18x6+Q—x2+38=1849+108+68=2025,

故E（⑷的最小值為7.

故選：B.

【點睛】思路點睛：對于組合最值問題，我們一般先找到一個范圍，再驗證臨界值存在即可.

11.【答案】（—l,0）U（0,+oo）

【解析】【分析】根據對數的真數大于零、分母不為零可得出關于x的不等式組，由此可解得函數/（，）的

定義域.

【詳解】對于函數八為=皿/，有{>0,解得/〉一1且

因此，函數/（乃的定義域為（—1,0）U（0,+oo）.

故答案為：（―l,0）U（0,+oo）.

第8頁，共18頁

7T

12.【答案】—；；；；；

O

.\/6

【解析】【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.

22222

【詳解】在△/口。中，由余弦定理得Ra+c-b4+I-(A/13)1又Be(0,7r)則

2QC2X4X12

ZB=-.

3

..AD_1^6

在△46。中，由正弦定理得：斗二.所以

smBsmAADB___—

22

13.【答案】1；—4（答案不唯一，滿足n=—4m即可）

【解析】【分析】根據漸近線可得打=-4皿，即可得結果.

22

【詳解】因為雙曲線上+外=l（mn<0）的漸近線方程為沙=±22,

mn

n

則一=一4,即八二一46，

m

例如m=l,n=—4.

故答案為：1；—4（答案不唯一，滿足八=—4機即可）.

14.【答案】於21|；；；；

;9

【解析】【分析】由題意可得該女子每天織布的尺數構成一個等比數列，且數列的公比為2,由題意求出數

列的首項后可得第5天織布的尺數；再令與五（1—2“）’50,求出〃，即可得出答案.

1—2

【詳解】由題意可得該女子每天織布的尺數構成一個等比數列，且數列的公比為2,前5項的和為5,

設首項為勤，前〃項和為Sn，

則由題意得S5=電?—：）=31al=5,.9=1

1—2ol

第9頁，共18頁

ronon

.?95=1x24=、，即該女子第5天所織布的尺數為

O.LoJ.J_L

5

令乳(12"),50，解得：2"^311,所以？2》9.

所以若要織布50尺，該女子所需的天數至少為9.

故答案為：|^;9.

OJ.

15.【答案】①②③

【解析】【分析】畫出二次函數圖象和指數函數圖象，根據加的不同取值范圍，分析二次函數圖象的分布,

即可求解.

【詳解】對于①，當m=l時，/(,)=(c—2)(立+2),由/(乃與g(c)圖象可知，方程/(M=g(c)有且只

有一個實數根，①正確；

對于②，當/C(—oo,0)時，g[x)<0,當ze(0,+oo)時，g(/)〉0.當加C(―1,0)時函數/(乃為開口向

下的二次函數，令函數的兩個零點分別為3=2me(—2,0),?=-機一Ie(—1,0),所以當

ce(0,+oo)時，/(乃<0,所以②正確.

對于③，當機C(0,1)時，/(乃為開口向上的二次函數，2；i=2mG(0,2),?=—m—2,—1),所

以對任意xe(-00,-2),f[x)<0,g(x)<0,所以(工)<0,③正確.

對于④，當m>0時，當立一>一oo時，/(x)—>+oo,此時/(2)—。(2)>0；

當m=0時，/(①)=0,當力e(-oo,0)時,f[x)-g(x)>0；

當wi<0時，/(—1)=m2(-l-2m)》m)(—m)(2m+1)>—(―^——2m+11-i

——>e

27

—1=g(-l),即/(-I)—g(-l)〉0,

所以不存在加eH,對任意a；eR，f(x)-g(x)<0,④錯誤.

故答案為：①②③.

16.【答案】⑴因為函數/⑵=sin(3z—小(3〉0),f(xi)=f(x2)=0,且血一期|的最小值為看

第10頁，共18頁

所以，函數的最小正周期為T=2x；=7T,則3=彳=2.

⑵由⑴知,f⑺=sin\2x-,

貝Ug(i)=/(6)+2cos之力一1=sin2x--cos2x+cos2x=sin2x+-cos2x

=sin(2c+1),

、r,c//穴?t.TT_、7T77r

當°<力(萬時,—2x,

2666

TP-7FTVTV

故當2c+w=］時，即當C=d時，函數g(2)取最大值，即g(c)max=sin5=1.

【解析】【分析】(1)根據題意可得出函數/Q)的最小正周期，即可求得“的值；

(2)由0《cwJ可求出2c+1的取值范圍，結合正弦型函數的基本性質可求出函數/(為在區(qū)間［o,：上的

最大值及其對應的X值.

17.【答案】(1)由題可知：8家門店中新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的有2家，分別是：門店3,

門店4,

所以若從該市眾多門店中隨機抽取1個，估計該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率

c21

P=-=-

84

(2)12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數為3,分別是：門店4,門店5,門店7,

從樣本門店中隨機抽取3個，12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數記為X,X的所有可能取值

為：0,1,2,3

所以P(X=0)=舄515

P(X=1)c^cl

2828

15P(X=3)=^=1

P(X=2)clcl

~cT5656

所以X的分布列為

X0123

515151

P

28285656

求X的分布列和數學期望

5x至+2X竺639

E(X)=0x—+1+3XL

ZO285656568

(3)新能源汽車銷售量的樣本平均數

第11頁，共18頁

10+8+16+23+20+18+22+11”

--------8--------=16

新能源汽車銷售量的樣本方差

=g[(10-16)2+(8-16)2+(16-16)2+(23-16)2+(20-16)2+(18-16)2+(22-16)2+(11-16)2]=號

燃油汽車銷售量的樣本平均數

14+11+13+19+21+25+23+26”

----------------8----------------5

燃油汽車銷售量的樣本方差

^=|[(14-19)2+(11-19)2+(13-19)2+(19-19)2+(21-19)2+(25-19)2+(23-19)2+(26-19)2]=?

所以S：=S?

【解析】【分析】(1)根據新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即

可.

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出隨機變量對應的概率即可得到分布列，然后利用數學期望公

式求解即可；

(3)根據表格中數據，計算樣本數據的平均數，再利用方差公式求出樣本方差，然后直接判斷即可.

18.【答案】⑴連接481交4B于點連接EN,

在三棱柱ABC-43G中，四邊形44113為平行四邊形，

因為4場門小8=四，則M為481的中點，

又因為E為/C的中點，則

因為EATCZ平面BACAiBE,故場?！ㄆ矫?/p>

(2)若選①：EB=EAi.

⑴因為四邊形441GC為正方形，則N4ZE=90°,

'EAi=EB

在和△ABE中，AAi=AB,所以，△AAEgZSABE,

、AE=AE

所以，ABAE=AA^AE=90°,

所以，AC±AB,ACLAAx,

因為43nA4i=4,AB、AAi因此，AABxB；

(行)因為四邊形4415B為菱形，貝!且AC,平面441由，

以點M為坐標原點，而抽、而瓦、就的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

第12頁，共18頁

因為441=2,ZABBi=60°,則4（0,-1,0）、4（—乃,0,0）、6（通0,0）、E（0,—1,1）,

設平面AiBE的法向量為元=（,,y,z）,41g=（2代,0,0）,%而=（石,-1,1）,

m?AiB=2v3rc=0陽qr'曰一/n,

l，取?Z=l,可得加=OJJ）,

{m-A^E=V3x-y-\-z=O

因為而=（一伍l,。），所以，cos：區(qū)）=苛株=七=彳，

因此，441與平面小BE所成角的正弦值為VI；

4

若選②：BAilBiC.

⑶因為四邊形441百口為菱形，則

因為AiBrBi。，ABiCBiC=Bi，AB^61。。平面4右1。，所以，413,平面ABi。，

因為47U平面481。，所以，ACVA^B,

因為四邊形441GC為正方形，則40,441,

因為43aA4=4，AiB.AA1C^AArBiB,所以，4C_L平面44場3；

（蒞）因為四邊形441田為菱形，貝且AC,平面441歸，

以點M為坐標原點，誦、而、前的方向分別為X、產z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標

因為44=2,ZABBj=60°,則4（0,—1,0）、4（一遍,0,0）、3（血,0,0）、E（0,-l,l）,

設平面4歸后的法向量為記=Q,g,z）,9=（2代,0,0）,而=（石,一1,1）,

m?Aij^=2V^x=0g1-—小ri\

，L，取V=1,可得沅=（0」i）,

{m-AyE=\—y+z=0

因為而=（一乃，1，°），所以，cos時屈=*^；='=G，

第13頁，共18頁

因此，44i與平面小8E所成角的正弦值為V2

4

【解析】【分析】⑴連接4場交48于點跖連接￡〃，利用中位線的性質推導出后河〃81。，結合線面

平行的判定定理可證得結論成立；

⑵選條件①：1）推導出4441石出山18石，可得出/艮4后=/44&=900,可得4018,AClAAi，

再利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；

儂）以點M為坐標原點，M6、MB；、力方的方向分別為x、＞、z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用

空間向量法可求得441與平面小88所成角的正弦值；

選條件②：⑴由菱形的幾何性質得出結合已知條件以及線面垂直的判定定理可證得出3,平

面A3。，進而可得出再由正方形的幾何性質得出4。，441，利用線面垂直的判定定理可證

得結論成立；

儂）以點M為坐標原點，調、而用、彳方的方向分別為x、八z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用

空間向量法可求得441與平面由88所成角的正弦值.

19.【答案】⑴因為橢圓婚+,=1仙＞6〉0）過點（，6,0）,離心率為j

a=A/6

b=\/a2—c2

＜

22

因此，橢圓片的方程為4+＜=i.

63

7/2）＞1+C2=0,

⑵設點4（處明）、B（X2,則，2必

當直線AB的斜率存在且不為零時，設直線AB的方程為y=kx+m,

聯(lián)立二二：6可得RM+1W+4km+2/-6=0,

則△=16Mm2-4(2k2+1)(2m2-6)=8(6fc2+3-m2)>0,可得/<6k2+3,

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4r?*7D

當g=l時，由韋達定理可得g+/2=—整理可得2k2+1=—2km，

2kz+1

可得m=—k-3，

2k

此時，譏+92=卜⑶+?)+2m=2A;+2m,則y。=陰/范=卜+m=-J-,

22K

所以，直線/的方程為4+￡=—%/—1),即沙二—;(2—3),

此時，直線/恒過定點(Jo)；

當直線ABLc軸時，則線段的方程為2=1，此時點/、8關于X軸對稱，

則直線/為x軸，此時，直線/過點(，0)；

當直線軸時，此時點/、3關于/軸對稱，則3=0,不合乎題意.

綜上所述，直線/恒過定點(和).

【解析】【分析】(1)根據已知條件可得出關于°、6、c的等式組，求出這三個量的值，即可得出橢圓￡的

方程；

(2)對直線/的位置進行分類討論，設出直線/的方程，將直線/的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，根據線段N3

的中點橫坐標為1可得出參數的關系，化簡直線/的方程，即可得出直線/所過定點的坐標.

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，

再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；

(3)求證直線過定點(3/0)，常利用直線的點斜式方程4—yo=k(x-皿)或截距式“=kx+b來證明.

20.【答案】1)當a=2時，函數/@)=€2工—2―1,求導得尸(力=2e2,—1,則〃0)=1,而/(0)=0,

所以曲線沙=/(2)在點(0,/(0))處的切線方程為4=

(2)對任意XGa+00),不等式/(/)20=60'-7-120060'》出+1,

當出》0時，令2/=6'一/一1,求導得“=e'—l20,函數g=e，—力—1在[0,+oo)上遞增，

%iin=。，因此e'2N+l,當時,V/C[0,+00),6尤》》力+1,即/(/)20恒成立,則Q2l;

當0<a<l時，=aeax-1,由/Q)=0,得/二工上工，

aa

當0<①<Ln4時，/3)<0,函數/(立)在(0」hJ)上單調遞減，/儂)</(0)=0,不符合題意，

aaaa

所以實數。的取值范圍是1.

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產（工+》,

(3)由1〉0,/(力)+]=0,得6如_力_1_o今e。，一力+!今Q

Z,C"2-U5-7O-?Xy|2"

X

1X1/

令()3+1)求導得[皿+2

g@)=x〉°，⑺=——

*乙

①11

1

令岫)=1-MR+]),立>0,求導得?(x)=2——<(),

x+2(2+下"(2+孑

9329167

函數以2)在(0,+00)上單調遞減，而入⑴=--ln->--ln^=--->0,從3)=--ln-<0,

OZiOZa(乙

則存在力oG（1,3）,使得無（四））=0,當0</〈/0時,h（x）>0,即，（力）〉0,

函數g（優(yōu)）在（。,3）上單調遞增，g（?））〉g（；）=0,取正數aWgQo）,

則直線9=a與函數g=gR）在（0,費）上的圖象有交點，此交點橫坐標在區(qū)間（；,藥,

所以存在實數。，使方程/（2）+；=0有正實根.

【解析】【分析】（1）把a=2代入，求出導數，利用導數的幾何意義求出切線方程.

（2）證明+1恒成立，再按a2l,0<a<1分類，結合不等式的性質及導數探討單調性得解.

（3）由方程有正實根分離參數并構造函數（_ln^+,利用導數探討函數能取到正數即可推理

得證.

【點睛】關鍵點點睛：借助恒成立的不等式立+1,再借助不等式的性質及導數分類求解是關鍵.

21.【答案】⑴①因為斯=2律，K=n+2（7zeN*）,若數