2024-2025學年高二年級上冊數(shù)學期末模擬卷B卷（含解析）

高二上學期數(shù)學人教A版期末模擬測試卷B卷

【滿分：150分】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

L已知圓C：x2+y2-2x-4y-4=0,P為直線/：尤+y+2=0上一點，過點P作圓C的兩條

切線，切點分別為A和3,當四邊形必底的面積最小時，直線A3的方程為（）

A.5x+5y+3=0B.5x-5y+3=0C.5x+5y—3=0D.5x-5y—3=0

2.如圖，已知點P在正方體ABC?！狝B'CD'的對角線上，/尸。。=60。.設。尸=2。必，

則2的值為（）

A.1C.V2-1D.3-2V2

22

3.已知橢圓E：二+多=1（a〉b>0）的左焦點為F過焦點R作圓/+丁=。2的一條切線

ab

/交橢圓片的一個交點為A,切點為Q,且Q4+。尸=2。。（。為坐標原點），則橢圓石的離

心率為（）

R8

D.---------D.B

A與32

4.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.設廠是

/（X）=f+%—1=0（%〉0）的根，選取%0=1作為廠的初始近似值，過點（%,/（%））做曲線

》=/（%）的切線/,/與x軸的交點的橫坐標為西，稱再是廠的一次近似值；過點（4〃菁））做

曲線》=/（%）的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標為％2,稱乙是廠的二次近似值.則

21117

A.-B.—D.—

32027

22

5.以雙曲線土-乙=1的右頂點為圓心,焦點到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線/=2Px

49

(p>0)于A,3兩點.已知|鉆|=4亞，則拋物線的焦點到準線的距離為()

455

A.一或4B.-C.—或4D.4

333

6.數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，ax=-\,“a“=S〃+愉-l)(“eN*),設2=(-1)"%,則數(shù)列

｛〃｝的前51項之和為()

A.-149B.-49C.49D.149

7.已知函數(shù)八％)的定義域為R,其導函數(shù)為/'(%),且滿足((%)+〃％)=葭，"0)=0,

則不等式色，-l)/(x)<e-1的解集為().

A；*]B.ge]C.(—1,1)D.(—l,e)

8.設曲線C：x=J7W，過點(加，°)的直線/與。交于A,3兩點，線段A5的垂直平分線

分別交直線x=-孝和/于點M,N,若|AB|=pW|,則/的斜率可以為()

A.73-2B，V3C.2D.2+73

二、選擇題：本題共3小題.每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求

全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知實數(shù)x,y滿足圓C的方程f+產―2x=0,則下列說法正確的是()

A.圓心(—1,0),半徑為1

B.過點(2,0)作圓C的切線，則切線方程為x=2

C.』的最大值是也

D.f+V的最大值是4

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，%=4,4=42,則下列說法正確的是()

A.%=4B.S=—1—

n22

C.I為遞減數(shù)列D.」一的前5項和為士

I〃J〔4%J21

11.已知函數(shù)/(%)=0工-x,對于任意實數(shù)a,b,下列結論成立的有()

A./(X)min=1

B.函數(shù)/(x)=F-x在定義域上單調遞增

C.曲線/(x)=e*-x在點(0,1)處的切線方程是y=1

D.若a=-6>0,則

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知等比數(shù)列｛%｝中，a4-a7=-512,a3+a&=124,公比qeZ,則q。=.

13.在正方體ABC?！狝gGR中，點P、Q分別在4耳、G2上，且4尸=2尸4，

GQ=2。。，則異面直線BP與DQ所成角的余弦值為.

14.已知定點M(4,0),N(l,0),動點P滿足MN.MP=6|PN].設點尸的軌跡為E,則軌跡E的

方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.

15.已知圓心為M(—2,-1)的圓經過點(1,3),直線/:%+⑵+加=0.

(1)求圓"的方程；

(2)寫出直線/恒過定點。的坐標，并求直線/被圓航所截得的弦長最短時機的值及最短

弦長.

16.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為正方形，上4,平面ABCD,E為尸D的中點.

p

⑴證明：PB〃平面AEC；

(2)若AB=AZ)=2,AP=4,求平面ADE與平面ACE夾角的余弦值.

17.已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實常數(shù)).

(1)若。=-2,求證：/(%)在(1,一)上是增函數(shù);

(2)當a=T時，求函數(shù)/(九)在[Le]上的最大值與最小值及相應的x值；

⑶若存在xe[l,e],使得/(x)<(a+2)x成立，求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾“，且S“=24-4.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛〃S“｝的前”項和乙.

19.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為「2百,0),離心率喬

(1)求雙曲線C的方程：

(2)記雙曲線C的右頂點為A,過點A作直線〃A,N4與C的左支分別交于M,N兩點,

且AD±MN,。為垂足.

(i)證明：直線恒過定點P,并求出點尸坐標

(ii)判斷是否存在定點。，使得也。|為定值，若存在說明理由并求出。點坐標.

答案以及解析

1.答案：A

解析：由尤2+/—2%—4y—4=0n（x—l）?+（y—2『=9,得圓C的圓心C（l,2）,半徑r=3.因

為|AP|=J|PC|2—Wq2=jpq2—9,所以四邊形必CB的面積

s=2x；|APHAC|=3j|PC「-9.所以當|尸。|最小時,S也最小，止匕時，尸0故PC的方程

x—y+1=031（31、

為y—2=%—1,即x—y+l=O.聯(lián)立，,解得x=—%,y=--,即尸一彳，一片.

[x+y+2=022I22J

所以直線A3的方程為1：-l}x-l）+[；-2}y-2）=9,化簡，得5x+5y+3=0.

2.答案：C

解析：以。為原點，以OA，DC，0。的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

標系.不妨設AD=L則。（0,0,0）,B（1,1,0）,0（0,0,1）,C（0,l,0）,所以麗=（0,0,1）,

D'B=（1,1,-1）,DC=（0,1,0）,所以麗=DD'+D'P=DD'+WB=（0,0,1）+A（1,1,-1）=

/、DCDP2。。1

（441一力因為mc=6。。，所以岡網:廣不^"6。二，整理得

%+24—1=0,解得；1=一1—垃或7=在一1，由題可知0W2W1,所以4=及_1.故選：C

解析：由題意可知：圓/+/:/的圓心為點0,半徑為乩c>b,設橢圓E的右焦點為

尸2，連接人工，因為Q4+。尸=2。。，可知點Q為AF的中點，且點。為廠工的中點，則

OQUAF.,\AF2\=2\O^=2b,由橢圓定義可知：|”|=2"-|”|=20-2"因為Q為切

點，可知。則AAb,可得|A閭2&同2,即

u2

4Z?2+（2?-2Z?）2=4C2=4（a2-b2）,解得2a=38,即一=7,所以橢圓E的離心率

7a3

.故選：A.

解析：由題意可得"/"I,f（x）=2x+l,由導數(shù)的幾何意義得過點（1,1）做曲線y=/（x）

的切線/的斜率勺=尸（1）=3,所以/:y-1=3卜-1）,整理得/:y=3x-2,所以石=§,

所以過點||,g）故曲線y=/1）的切線的斜率&=設

?。?電+1-14

17/2、71313

該切線為心則/2：丁-3=3七W,整理得丁=a工—石，所以％=而，故選：c.

/DDJ乙JL

5.答案：A

22,_、Q

解析：雙曲線三=1的右頂點坐標為（2,0）,焦點為（土匠,0）,漸近線方程為y=±1x,

|3A/13+O|

即3x±2y=0,焦點（厲,0）到漸近線3x+2y=0的距離為I,1=3,所以題中圓的方程

-9+4

為（x—2『+/=9,因為圓（x—2了+丁2=9和拋物線尸=2點（0〉0）的圖象都關于x軸對稱,

所以A,3兩點關于x軸對稱，不妨設點4在第一象限，設人（%％）（X〉0,?〉0）,貝IJ

則|AB|=2y=4及，所以％=2啦，因為點A在圓（%—2『+丁=9上，所以（%—2丫+8=9,

解得%=1或3,所以A（l,2逝）或A（3,2&）,當A（l,20）,則8=22，解得p=4,當

A（3,2形），則8=6。，解得p=g,綜上所述，拋物線的焦點到準線的距離為g或4.

故選：A.

6.答案：B

解析：因為咻=S〃+>5—l)(“eN*),當"22時,nan=n(Sn-)=Sn+n(n-l),

cccfV

即5—1電—1),可得、—義q=i,又g=q=—i,所以J是以一i為首項，i

nn-11In

q

為公差的等差數(shù)列，所以j=-l+“-1=〃-2,貝”“=〃(〃-2),當〃22時

n

SnA=(n-l)(n-3),所以為=S“_S,i="(〃—2)_(?_1)5_3)=2"_3,當〃=1時a”=2〃—3

也成立，所以2=(-1)%=(-1)"(2〃-3),可得數(shù)列｛4｝的前51項之和為

(1+1)+(-3+5)+...+(-95+97)-99=2x25—99=T9.故選：B.

7.答案：C

解析：由/'(%)+/(%)=尸得e了(%)+e"(x)=l,即［e"(x)］'=l,可設e"(x)=x+加，當

尤=0時，因"0)=0得加=0,所以〃％)=在-、，(e2'—l)〃x)<e二可化為

e

xe-“(e?x-1)<e-1，即xe"-矍―”<e二，設g(x)=;ve'-%尸，因為

g(—X)=-貯’+/e，=g(x),故g(%)為偶函數(shù)，/(%)=6"+痣+%尸一尸，當九20時，因

xe*+xe-工>0,eT-e-A>0,故g'(%)=e*+xeA+%尸-e。*>0,所以g(%)在區(qū)間［。,收)上單

調遞增，因為g(l)=e-「，所以當鉆0時g(x)=xe「xe—ye—的解集為［0,1),又因為

g（%）為偶函數(shù)，故g（%）＜e-1的解集為故選：C

e

8.答案：D

解析：因為曲線。:％=后工21,x2-/=l（x＞l）,所以C是雙曲線f—丁=1的右支，

其焦點為p（也,0）,漸近線為y=±x.由題意，設=血），且岡＞1（故A選項可排

除），

丁=攵（％_亞），

72

聯(lián)立彳p____得（左2—1）12—2尤上2%+2/+1=0,A=4（Z:+l）＞0,所以

X=6+1,

2022^+12

\AB\=\Jl+k|xA-XB|=J1+42XJ(xA+4)2_4X/B

2k~+12k~+2幺三:g修，MN的斜率為一J_,

-4x

k2-l42—1242_ik

|w|=%』=ji+(4)昌

C72?c

因為|A5|=|MM，所以?？冀獾米?土（2+石）.故選：D.

K—1

9.答案：BD

解析：對選項A：x2+y2-2x=0,BP(x-l)2+/=l,圓心為(1,0),半徑為r=l,A錯誤;

對選項B：（2,0）在圓上，則（2,0）和圓心均在工軸上，故切線與x軸垂直，為x=2,B正

確;

對選項C：之表示圓上的點皿）到點2。）的斜率，如圖所示:

當AB與圓相切時，斜率最大，止匕時|AC|=2,|BC|=1,故

故此時斜率最大為tan30。=電，C錯誤；

3

對選項D：f+y2表示圓上的點(x,y)到原點距離的平方，故最大值為(1+「)2=4,D正確.

故選：BD.

10.答案：BC

解析：等差數(shù)列｛4｝中，S7=7"%)=7%=42,解得%=6,而%=4,因此公差

通項4=%+(〃—2)d=〃+2,

對于A,%=7,A錯誤;

-c〃(3+〃+2)15-十*

對于B,S=-------------=—n2+—n,B正確;

n222

%=1+2,1%］為遞減數(shù)列，C正確;

對于C,

nn［九J

11111

對于D,-------=/介/—一所以-----的前5項和為

anan+i(“+2)("+3)n+2n+3anan+1

111111115“口工…

-------1--------H-------=------=—，D錯陜，故選：BC.

3445783824

11.答案：ACD

解析：對A,對/(x)=e-x求導，r(x)=e-1,令八x)=0,即d一1=0,解得％=0.

當光<0時，八九)<0,函數(shù)/(x)單調遞減；當％>0時，/'(尤)>0,函數(shù)/(%)單調遞增.

所以函數(shù)/⑴在x=0處取得最小值，即/(0)=1,所以/(XLT,A選項正確.

對B,由上述分析可知，(-嗎。)上函數(shù)/(x)單調遞減，(0,+S)上函數(shù)/(x)單調遞增，B選項

錯誤.

對C,由于/0=1,/'(0)=e°—1=0.切線斜率為0,在點(0,1),切線方程為y=l,C

選項正確.

對D,因為。=一匕>04=一。<0,則/(a)=e"—a,/(Z?)=/(-。)=尸+a.則/(。)一/(。)=

ea-a-(&~a+a)=ea-e~a-2a.令g(x)=ex-e-x-2x,則

g'(x)=+葭—222ylexxe-x—2=0，則g(x)在(0,+%)單調遞增.故g(%)>g(。)=。.即

f(a)-f(b)>0,即/(a)>/3).D選項正確.

故選：ACD

12.答案：512

解析：&,%=—512,a3+Og=124,a3-a8=a^-aJ=-512,%+4=124,則得%=T，

5

%=128或者為=128,a4=-4,公比q為整數(shù)，，4=-4,a8=128,-4^=128,解得

q=12,

即。10=%/=128x(—2)2=128x4=512,故答案為：512.

4

13.答案:y

解析：設正方體ABC。-A4GR中棱長為3,以。為原點，D4為X軸，DC為y軸，

為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則。(0,0,0),2(0,1,3),3(3,3,0),P(3,2,3),BP=(0,-1,3),加=(0,1,3),設異面直線

\BPDd84

「向扁;而而下即異面直線步與網所成角的余

8P與。。所成角為。，則cos6=

44

弦值為二.故答案為:—?

22

14.答案：立+匕=1

43

解析：設動點P(%,y),則MP=(x—4,y),肱V=(—3,O),PN=(1—-y).又MN-MP=6\PN\,

22

—3(X—4)=6J(1—尤)2+(—yT.化簡得3/+4/=12,即土+匕=1,動點P的軌跡E的方

43

2222

程為L+2L=i.故答案為:—%J?—=1.

4343

15.答案：(1)(x+2『+(y+l)2=25

(2)最小值為2立'，m=0.

解析：(1)圓M的半徑.=J(l+2y+(3+l)2=5,

二圓M的方程為(x+2『+(y+l)2=25.

[x=0[x=0

(2)直線/的方程為％+切+7%=0,.,.x+7〃(y+l)=0,令《八解得：\一:?定點

〔y+l=O[y=-i

Q的坐標為(0,-1).

(0+2)2+(-1+1)2=4<25,二點。在圓〃的內部，故直線/恒與圓〃相交.

一l-2-m+ml2

又圓心M到直線/的距離d=-I=-r==<2

S+m"\ll+rrr

-I被圓M截得的弦長為2J戶―a=2,25-心,

當d取得最大值2時，弦長有最小值，最小值為2&1，此時機=0.

16.答案：(1)證明見解析；

解析：（1）證明：如圖所示，連接加，設ACBD=O,連接

因為四邊形ABCD為正方形，則。為的中點，

因為E是尸。的中點，所以ECWPB.

又因為￡0u平面AEC,尸8?平面AEC,所以PB〃平面AEC.

（2）因為24,平面ABCD,四邊形A5CD為正方形，

以A為坐標原點，分別以A5、AD.A尸所在直線為X、＞、z軸建立如圖所示空間直角坐標

則A（0,0,0）、8（2,0,0）、尸（0,0,4）、￡）（0,2,0）,￡（0,1,2）、C（2,2,0）,

設平面AEC的法向量為加=（%,y,z）,AE=（O,l,2）,AC=（2,2,0）,

則,取z=l,可得加=（2,—2,1）,

又”=（1,0,0）為平面ADE的一個法向量，

m?n22

則cos（戊，為）=

H.同3^1-3,

2

所以，平面AD石與平面ACE夾角的余弦值為］.

17.答案：(1)答案見解析

⑵當％=&時，函數(shù)/(%)有最小值為/(a)=2-21n2,

當x=e時，函數(shù)/(%)有最大值為/(e)=e2-4

⑶[-1,3)

解析：(1)由題可知函數(shù)的定義域(。,+8),

2

7Y—1

因為a=—2,所以/Xx)=—21nx+x2,所以/。)=—±+2工=2匚^,

xx

令/'(%)>0解得尤>1,所以/(%)在(1,y)上是增函數(shù)

(2)因為a=Y,所以/(x)=—4111%+必，

4r2-2

所以/，(%)=——+2x=2-----,

XX

令/'(x)>。解得x〉&,令/'(%)<。解得0<x<&,

所以在(0,0)上單調遞減，在(血+8)上單調遞增，

所以/(%)在[1,上單調遞減，在[后,e]上單調遞增，

所以當x=夜時，函數(shù)/(%)有最小值為"0)=2-21n2,

因為/⑴=1，/(e)=e2-4>1

所以當x=e時，函數(shù)/(x)有最大值為/(e)=e?-4.

2

(3)由/(x)?(a+2)x得。lnx+必<(a+2)x,即o(ln.x-x)<2x-x,

因為xe[l,e],所以x?l,lnxWlne=l,所以尤Nine21n%,且當無=1時lnx=0,

所以龍>lnx在xe[l,e]恒成立，所以《凸

x-lnx

r2-2x

即存在xe[l,e]時，

x-lnx

人，、X2-2Xw_（xT）（x+2-21nx）

令g（x）=5'以）一（I"）?

2x-2

令/z(x)=x+2—21nx,h\x)=l--=^^

XX

X—2x—2

令"(x)=------>0,解得2cxVe,令h'(x)=-------<0,解得l<x<2,

XX

所以3)在［1,2)單調遞減，(2,e］單調遞增，

所以h｛x｝>h⑵=2(2—In2)>0,

(x-l)(x+2-21nx)

所以xe［l,e］時,g'(x)=?°恒成立,

(x-lnx)2

所以g（x：U=g⑴=-1,所以實數(shù)a的取值范圍是［-1,也）.

18.答案：（l）2"+i

⑵答案見解析

解析：(I)--Slt=2an-4,

二當〃22時，S"_j=2a“T-4,兩式相減，

得Sn一S“_i=%-4-(2%-4),整理得an=2%，

即"22時,an=2an_x,

又當〃=1時，H=q=2q-4,解得q=4,

二數(shù)列｛%｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，

4=4x2,=2。

(2)由(1)知S"=2X2"+I_4=2"+2—4,

/!+2

nSn=n-2"+2_4〃，令么=".2,cn=一4〃，

易矢口，q+j++%=—4x---=—+

設數(shù)列出｝的前〃項和為K“，

則K“=1x23+2x24+3x25++n-T+2@,

2/^,,=1X24+2X25+3X26++n-2n+3@,

由①一②,=1X23+24+25+26++2n+2-n-T+3,

即耳+出口

_〃-2"+3=2"+3_〃,2"+3_8

1-2

K=23-------n-2,!+3=(n-l)-2n+3+8

1-2

u=&-2〃(〃+1)=(〃-1).*—2〃(〃+l)+8.

22

19.答案：(1)--^=1

416

（2）見解析

解析：（1）由題意，雙曲線C的中心為坐標原點,

左焦點為卜2石,0）,離心率為

c=2百

可得e=-=4