2024-2025學(xué)年湖南七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破：乘法公式的應(yīng)用（原卷版）

專題突破：乘法公式的應(yīng)用

01?？碱}型

題型一運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)便運(yùn)算

題型二平方差公式的應(yīng)用

乘法公式的應(yīng)用

題型三平方差公式與幾何圖形

題型四配方法的應(yīng)用

02技巧解密

技巧點(diǎn)撥：

平方差公式：伍

完全平方公式：（"±'）2=/±2帥+〃

對(duì)于平方差公式、完全平方公式的應(yīng)用要注意靈活轉(zhuǎn)化，要抓住公式的典型特征；常見的變化

類型有：位置變化、系數(shù)變化、指數(shù)變化、符號(hào)變化、增項(xiàng)變化、增因式變化。

03題型突破

題型一運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)便運(yùn)算

[例1]（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）利用平方差公式計(jì)算：

(1)31x29；(2)9.9x10.1；

(3)98x102；(4)1003x997.

【變式1-1】(湖北武漢?期中)計(jì)算100F_1004x996=()

A.-2017B.2019C.-2019D.2017

【變式1-2](24-25八年級(jí)上,吉林長(zhǎng)春,期末)計(jì)算：20242-2023x2025=.

【變式1-3］（24-25八年級(jí)上?江西宜春?階段練習(xí)）計(jì)算：85?-15?的結(jié)果是.

【變式1-4】（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）計(jì)算：心一2024^^7=?

120242-2025x2023---------

72

【變式1-5］（24-25七年級(jí)上?上海?期中）簡(jiǎn)便計(jì)算：-193、207

【變式1-6］（24-25七年級(jí)上?上海虹口?期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：42x5062-20241x20231.

題型二平方差公式的應(yīng)用

【例2】（24-25七年級(jí)上?上海崇明?期中）計(jì)算：（2+1乂22+1乂24+1乂28+42|6+1）（結(jié)果保留幕的形

式）.

【變式2-1】（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）計(jì)算：（2+1）X（22+1）X（24+1）X...X（216+1）+1=

【變式2-2】（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）計(jì)算：

I2-22+32-42+52-62+...+20012-20022+20032-20042

【變式2-3］（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）計(jì)算：一擊）

題型三平方差公式與幾何圖形

【例3】（24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）如圖1的兩個(gè)長(zhǎng)方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩

（1）在圖2中的陰影部分的面積工可表示為；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）在圖3中的陰影部分的面

積其可表示為；（寫成兩數(shù)平方差的形式）

（2）比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；

A.（a+=a2+2ab+b2B.（a+/＞）（?-fe）=a2-b2C.（a-Z））2=a2-2ab+b2

（3）請(qǐng)利用所得等式解決下面的問(wèn)題：計(jì)算（2+D（22+l）Q4+D（28+l卜…xQ32+l）+l的值,并直接寫出該值

的個(gè)位數(shù)字是多少.

【變式3-1］（24-25八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為6

的小正方形>6）,將余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，此過(guò)程可以驗(yàn)證（）

A.(a=(a+6)--4a6B.a2+b2+lab=(tz+

C.(a-b^-a2-2ab+b2D./=(〃+6)(Q_6)

【變式3-2］（2024七年級(jí)上?上海?專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方形正中間剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正

方形（?！堤?，把剩下的部分按照?qǐng)D中的線段分割成四個(gè)等腰梯形，將四個(gè)等腰梯形拼成一個(gè)大平行四邊

形.剪拼前后的兩個(gè)圖形可以驗(yàn)證的乘法公式是()

ba

f/一/

/、,

/\/

圖1

A.(6/+b)2=Q?+2ab+Z?2B.(a-Z?)2—a?—2ab+Z?2

C.(Q+b)(a—b)=〃—/D.a?+b?=(a+b￥-2ab

【變式3-3】（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形中央剪去一邊長(zhǎng)為+2）的小正方

形（a>2）,將剩余部分剪開密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（）

A.a?+2B.2a2+4aC.3a2-4a-4D.4a2-a-2

【變式3-4］（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）如圖，在邊長(zhǎng)為°的正方形上裁去邊長(zhǎng)為6的正方形.

（1）圖1,陰影面積是

（2）圖2是將圖1中的陰影部分裁開，重新拼成梯形，根據(jù)圖形可以得到乘法公式:

（3）運(yùn)用得到的公式，計(jì)算：-

【變式3-5］（24-25七年級(jí)上?江西贛州?期中）數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過(guò)數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通

過(guò)圖形的面積發(fā)現(xiàn)

（1）如圖①，在邊長(zhǎng)為。的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為6傳＜。）的小正方形.小明和小紅分別用了兩種不

同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積.小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影

部分的面積用代數(shù)式表示為；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成

新的長(zhǎng)方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為；

①②

（2）【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】

猜想：a+b,a-b,a2-b2這三個(gè)代數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系是

（3）【運(yùn)用規(guī)律】

運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502-492+482-472+462-452+...+22-1.

【變式3-6］（24-25七年級(jí)上?江蘇南通?期中）如圖1所示，邊長(zhǎng)為。的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正

方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形.設(shè)圖1中陰影部分的面積為百，圖2中陰影部分面積

(1)用含有字母a和6的式子分別表示邑與邑的面積：§=_,$2=_.

(2)根據(jù)圖1與圖2的面積關(guān)系，得到等式：_=_；運(yùn)用這個(gè)等式可以簡(jiǎn)化一些乘法計(jì)算.例如，計(jì)算

51x49,可作如下變形：51x49=(50+1)x(50-1)=502-F=2500-1=2499.

(3)運(yùn)用上述方法計(jì)算199x201.

題型四配方法的應(yīng)用

【例|4-1](2023?四川達(dá)州?模擬預(yù)測(cè))已知x+：=5,求下列各式的值：

21

⑴尤+/

【例4-2](2024八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))已知正數(shù)a,b滿足^6+_2a26+2“〃=7仍-8,貝!Ja2-b2=

()

A.1B.3C.5D.不能確定

【變式4-1】(22-23七年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))已知。一6二5,且。一6=10,貝!!/+〃+/—。臺(tái)一隊(duì)一農(nóng)

等于()

A.105B.100C.75D.50

【變式4-2】(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?假期作業(yè))^x2+y2+10=6x-2y,貝口->=()

A.-1B.3C.1D.4

JQ—V

【變式4-3】（24-25八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期末）已知x2+/+4x-6.y+13=0,貝I.

【變式4-4］（七年級(jí)下?福建漳州?期中）請(qǐng)同學(xué)運(yùn)用計(jì)算（。+6+。）2=/+62+。2+2。/）+2碇+2兒，解決

問(wèn)題：已知X、>、z滿足V+V+zZ=4,求（x-y『+（y-z『+（z-x『的最大值是.

【變式4-5］（七年級(jí)下?四川達(dá)州?階段練習(xí)）已知"_4加+1=0,則代數(shù)式值/+:=.

【變式4-6］（24-25八年級(jí)上?天津?期末）若x+y=l,中=-6,則苫?f/的值為.

【變式4-7】（24-25八年級(jí)上?山西晉城?期中）已知。+6=6,2ab=3,則一°b=.

【變式4-8］（24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）已知X4+±=14，則/+：=.

【變式4-9］（24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）已知/-3x-l=0,那么/_3/+5=.

【變式4-10］（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知"2024x+2023,6=2024x+2024,c=2024x+2025,

貝!la2+b2+c2-ab-bc-ac的值為.

【變式4-11】（七年級(jí)下?江蘇南京?期末）將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方

式或幾個(gè)完全平方式的和，這種方法稱之為配方法.這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目

中的隱含條件，是解題的有力手段之一.

例如，求代數(shù)式/+2x+3的最小值.

解:原式=/+2X+1+2=（X+1『+2.

???（x+1）2>0,

.-.（X+1）2+2>2.

二當(dāng)x=-1時(shí)，/+2x+3的最小值是2

(1)請(qǐng)仿照上面的方法求代數(shù)式/+6x-l的最小值.

(2)已知A48C的三邊a,b,c滿足/-66=-14,8c=_23,c2-4a=8.求A48C的周長(zhǎng).

【變式4-12】(七年級(jí)下?重慶?期中)把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的

非負(fù)性這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法通常被稱為配方法。配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值

問(wèn)題等問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用.例如：若代數(shù)式"=02一2湖+262-2/)+2,利用配方法求M的最小值;

M=a2-2.ab+2b2—2b+2=a1—2ab+b2+b2—2b+\+\=(a-b)~+(b-1)~+1,

???(a-Zj)2>0,(6-1)2>0,

.?.M=(a-Z?)2+(^-l)2+l>l

.?.當(dāng)a=6=1時(shí)，代數(shù)式〃有最小值1.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：

(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：/+6a+;

⑵若代數(shù)式N=/+2a+l,求N的最大值；

⑶已知力2+8耐=36金+4”36,求以0,6為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng).

【變式4-13】(七年級(jí)下?浙江杭州?期中)閱讀理解并填空：

(1)為了求代數(shù)式Y(jié)+2X+3的值，我們必須知道x的值.若尤=1,則這個(gè)代數(shù)式的值為6；若x=2,則

這個(gè)代數(shù)式的值為；可見，這個(gè)代數(shù)式的值因x的取值不同而(填“變化”或“不變”)，

盡管如此，我們還是有辦法來(lái)考慮這個(gè)代數(shù)式的值的范圍.

22

(2)數(shù)學(xué)書課本里“我們把多項(xiàng)式a+2ab+6?及/一2ab+b叫做完全平方式”，在運(yùn)用完全平方式進(jìn)行因

式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式，同樣的，把一個(gè)完全平方式進(jìn)行部分因式分解

可以來(lái)解決代數(shù)式值得最大（或最?。┲档膯?wèn)題.

例如：X2+2X+3=（X2+2X+1）+2=（X+1）2+2,因?yàn)椋▁+l＞是非負(fù)數(shù)，所以，這個(gè)代數(shù)式/+2》+3,當(dāng)x

的值是時(shí)；有最小值為：嘗試并探究解答（要求寫出解答過(guò)程）

（3）求下列兩個(gè)代數(shù)式有最大值還是最小值，最大值或最小值為多少？并寫出相應(yīng)的x的值？

①V-4x-2；

（2）-x2+14x+10;

（4）求代數(shù)式1+尸-4a+6b+18有最大值還是最小值，最大值或最小值為多少？并寫出相應(yīng)的a,6的

值？

（5）求代數(shù)式2x2-12x+l有最大值還是最小值，最大值或最小值為多少？并寫出相應(yīng)x的值？

【變式4-14】（七年級(jí)下?浙江杭州?期中）利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以導(dǎo)出下面這個(gè)形式優(yōu)美的等式：

/+/+-必一6c-ac=；-bp+僅一+（。-cP],該等式從左至I]右的變形，不僅保持了結(jié)構(gòu)的對(duì)稱

性，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧、簡(jiǎn)潔美；

（1）請(qǐng)你檢驗(yàn)說(shuō)明這個(gè)等式的正確性.

（2）若。=2011,6=2012,c=2013,你能很快求出/+/+,?一“方一兒一%的值嗎？

33

（3）a-b=—,b-c=—,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ac的值.

題型五求完全平方公式中的字母系數(shù)

【例5】（24-25八年級(jí)上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）若/+加工+36是一個(gè)完全平方式，則加的值是.

【變式5-1】（24-25八年級(jí)上?海南?？?期末）如果二次三項(xiàng)式x2-8x+〃J是一個(gè)完全平方式，那么別的

值是（）

A.±4B.16C.4D.-16

【變式5-2】（24-25八年級(jí)上?云南昆明?期末）如果/+2"+1是一個(gè)完全平方式，則。的值是（）

A.1B.-1C.1或—1D.2或—2

【變式5-3】（24?25八年級(jí)上?山東淄博?期中）若——辦+25是完全平方式，則。的值為（）

A.±5B.5C.±10D.10

【變式5-4】（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）若多項(xiàng)式4/—（左—1）仍+25〃是關(guān)于。、b的完全平方式,

則左的值為（)

A.21B.19C.21或-19D.一21或19

【變式5-5］（24-25八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）若4/一12中+陽(yáng)2是完全平方式；4/一〃9+9y?是完

全平方式，則加和〃的值分別是（）

A.m=9,H=12B.m=9,n=-12

C.m=-9,n=±12D.m=9,n=±12

題型六完全平方公式與幾何圖形

【例6】（24-25八年級(jí)上?重慶長(zhǎng)壽?階段練習(xí)）現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為0、6的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的

小長(zhǎng)方形拼成如圖1的圖形，用四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題:

圖1圖2

（1）分別兩種不同的方式表示圖1和圖2陰影部分的面積（直接用含a,b的代數(shù)式表示）,

圖1可以得出的等式是

圖2可以得出的等式是

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+》=5,孫二2,

①求/+/的值

②求的值

【變式6-1](24-25八年級(jí)上?天津河西?期末)將完全相同的四張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的位置擺放，利

用外圍正方形、中間正方形和四個(gè)長(zhǎng)方形面積之間的關(guān)系可以得到的等式是()

A.(a+b)"=a2+lab+b2B.^a-b)~=a2-lab+b2

C.(a+6)(q-6)=q--D.(a-b)2=(a+Z))2-4ab

【變式6-2](24-25八年級(jí)上?安徽蕪湖?期末)通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得

到一個(gè)恒等式.

如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為26的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線對(duì)折后用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2的

形狀拼成一個(gè)正方形，請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

b

b

圖1

(1)圖2中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是「

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積:

方法1：

方法2：

(3)觀察圖2,請(qǐng)你寫出(a+6)1,(a-6)~,之間的等量關(guān)系是_；

(4)如圖3,點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以/C,8C為邊向兩邊作正方形，面積分別是W和$2,若43=9,

兩正方形的面積S[+$2=51,求的面積.

【變式6-3］（24-25八年級(jí)上?北京大興?期末）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)

難入微”，數(shù)和形之間有著十分密切的聯(lián)系，可見在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

如：在對(duì)乘法公式的探究學(xué)習(xí)中，我們根據(jù)圖1中圖形的面積說(shuō)明了完全平方公式：（a+6）2=a~+2ab+b~.

（1）如圖2,已知正方形4BCD和正方形加Z,請(qǐng)用兩種不同的方式表示正方形52的面積.

方式一：;

方式二：;

由正方形〃電的面積的兩種不同表示方式可寫出一個(gè)等式是.

（2）連接斯，F(xiàn)G,GH,HE,用含c,d的代數(shù)式表示四邊形E