高中數(shù)學(xué)知識點全總結(jié)+二級結(jié)論歸納 高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) （新高考）

高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)目錄TOC\o"1-4"\h\u知識01集合與常用邏輯用語 ②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．十、空間角與距離公式（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．（4）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（5）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．故知識05平面解析幾何一、直線的方程1．直線的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線與軸相交時，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．（2）規(guī)定：當(dāng)直線與軸平行或重合時，它的傾斜角為0．（3）范圍：直線傾斜角的取值范圍是．2．斜率公式（1）定義式：直線的傾斜角為，則斜率．（2）坐標(biāo)式：（在直線上，且，則的斜率．3．直線方程的5種形式名稱方程適用條件點斜式 不含垂直于軸的直線斜截式 不含垂直于軸的直線兩點式 不含直線和直線截距式 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式 平面內(nèi)所有直線二、兩直線的位置關(guān)系1．兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行：①對于兩條不重合的直線，若其斜率分別為，則有．②當(dāng)直線不重合且斜率都不存在時，．兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況．（2）兩條直線垂直：①如果兩條直線的斜率存在，設(shè)為，則有．②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，．2．兩條直線的交點的求法直線，則與的交點坐標(biāo)就是方程組的解．3．三種距離公式（1）兩點之間的距離：．（2）點到直線的距離：．應(yīng)用點到直線的距離公式時，直線方程必須是一般式（3）平行線與間距離：．兩平行線的距離公式中，兩直線方程的一般式中的系數(shù)要對應(yīng)相等常用結(jié)論1．過定點的直線系方程：，還可以表示為和．2．平行于直線的直線系方程：．3．垂直于直線的直線系方程：．4．過兩條已知直線交點的直線系方程：（不包括直線）和．5．點關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為．6．點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．7．點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．8．點關(guān)于點的對稱點為．9．點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．三、圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）標(biāo)準(zhǔn)方程 圓心：（a，b），半徑：兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．一般方程圓心：，半徑：2．點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系：（1）若在圓外，則．（2）若在圓上，則．（3）若在圓內(nèi)，則．常用結(jié)論（1）二元二次方程表示圓的充要條件是（2）以為直徑端點的圓的方程為．四、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系（半徑為，圓心到直線的距離為）相離相切相交圖形量化方程觀點 幾何觀點 2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心距為，兩圓的半徑分別為，則位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含公共點個數(shù)01210的關(guān)系 公切線條數(shù)43210判斷圓與圓位置關(guān)系的注意點對于圓與圓的位置關(guān)系，從交點的個數(shù)，也就是方程組的解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論．如當(dāng)時，需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離，還是內(nèi)含；當(dāng)時，還需要判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切．常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過圓上一點的圓的切線方程為．（3）過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為．2．圓系方程（1）同心圓系方程：，其中是定值，是參數(shù)；（2）過直線與圓交點的圓系方程：；（3）過圓和圓交點的圓系方程：（該圓系不含圓，解題時，注意檢驗圓是否滿足題意，以防漏解）．五、橢圓的幾何性質(zhì)1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．兩定點叫做橢圓的焦點．集合，其中，且為常數(shù)．（1）當(dāng)時，點的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)時，點的軌跡是線段；（3）當(dāng)時，點不存在．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)范圍 對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點 離心率，且的關(guān)系離心率表示橢圓的扁平程度．當(dāng)越接近于1時，越接近于，從而越小，因此橢圓越扁；當(dāng)越接近于0時，越接近于0，從而越大，因此橢圓越接近圓；當(dāng)時，，兩焦點重合，圖形就是圓．常用結(jié)論1．焦半徑：橢圓上的點與左（下）焦點與右（上）焦點之間的線段的長度叫做橢圓的焦半徑，分別記作．（1）；（2）；（3）焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最?。ń拯c與遠日點）．2．焦點三角形：橢圓上的點與兩焦點構(gòu)成的叫做焦點三角形，的面積為，則在橢圓中（1）當(dāng)為短軸端點時，最大．（2），當(dāng)時，即點為短軸端點時，取最大值，最大值為．（3）焦點三角形的周長為．3．焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦中以通徑（垂直于長軸的焦點弦）最短，弦長．4．為橢圓的弦，，弦中點，則（1）弦長；（2）直線的斜率．六、直線與橢圓的位置關(guān)系1．點與橢圓的位置關(guān)系點與橢圓的位置關(guān)系：點在橢圓上；點在橢圓內(nèi)部；點在橢圓外部．2．直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系：聯(lián)立消去得一個關(guān)于的一元二次方程．位置關(guān)系解的個數(shù)的取值相交兩解 相切一解 相離無解 七、雙曲線1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零0常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合，其中為常數(shù)且．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點頂點坐標(biāo)：，頂點坐標(biāo)：，漸近線 離心率的關(guān)系實虛軸線段叫做雙曲線的實軸，它的長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長；叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長（1）若將雙曲線的定義中的“差的絕對值等于常數(shù)”中的“絕對值”去掉，則點的集合是雙曲線的一支，具體是左支還是右支視情況而定．（2）設(shè)雙曲線上的點到兩焦點的距離之差的絕對值為，則，這一條件不能忽略．①若，則點的軌跡是分別以為端點的兩條射線；②若，則點的軌跡不存在；③若，則點的軌跡是線段的垂直平分線．常用結(jié)論1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為．2．若是雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則．3．同支的焦點弦中最短的為通徑（過焦點且垂直于長軸的弦），其長為；異支的弦中最短的為實軸，其長為．4．若是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中為．5．若是雙曲線右支上不同于實軸端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，為內(nèi)切圓的圓心，則圓心的橫坐標(biāo)為定值．6．等軸雙曲線（1）定義：中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．（2）性質(zhì)：；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．7．共軛雙曲線（1）定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．（2）性質(zhì)：①它們有共同的漸近線；②它們的四個焦點共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1．八、拋物線1．拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：（1）在平面內(nèi)；（2）動點到定點的距離與到定直線的距離相等；（3）定點不在定直線上．（C）其中點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 的幾何意義：焦點到準(zhǔn)線的距離圖形頂點 對稱軸軸軸焦點 離心率 準(zhǔn)線方程 范圍 開口方向向右向左向上向下焦半徑（其中 （1）若定點在定直線上，則動點的軌跡為過點且垂直于的一條直線．（2）四種不同拋物線方程的異同點共同點（1）原點都在拋物線上；（2）焦點都在坐標(biāo)軸上；（3）準(zhǔn)線與焦點所在坐標(biāo)軸垂直，垂足與焦點關(guān)于原點對稱，它們與原點的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的，即不同點（1）焦點在軸上時，方程的右端為，左端為；焦點在軸上時，方程的右端為，左端為；（2）開口方向與軸（或軸）的正半軸相同，即焦點在軸（或軸）的正半軸上，方程的右端取正號；開口方向與軸（或軸）的負半軸相同，即焦點在軸（或軸）的負半軸上，方程的右端取負號．常用結(jié)論設(shè)是過拋物線焦點的弦，若，則（1）；（2），，弦長（為弦的傾斜角）；（3）；（4）以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（5）以或為直徑的圓與軸相切；（6）過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準(zhǔn)線上．九、曲線與方程1．曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1）曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解．（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．2．求動點軌跡方程的一般步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示曲線上任意一點的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件的點的集合．（3）用坐標(biāo)表示條件，列出方程；（4）化方程為最簡形式；（5）說明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上．①如果曲線的方程是，那么點在曲線上的充要條件是．“曲線是方程的曲線”是“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”的充分不必要條件．②坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線在不同坐標(biāo)系中的方程也不同，但它們始終表示同一曲線．有時此過程可根據(jù)實際情況省略，直接列出曲線方程．知識06三角函數(shù)及解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念的推廣（1）定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角．按終邊位置不同分為象限角和軸線角．（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合．2．弧度制的定義和公式（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad．（2）公式角的弧度數(shù)公式（弧長用表示）角度與弧度的換算 弧長公式弧長扇形面積公式 3．任意角的三角函數(shù)（1）定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么．（2）幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．如圖中有向線段分別叫做角的正弦線，余弦線和正切線．二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式-二三四五六角 正弦 sincoscos余弦 cos sin 正切 tanα 口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限3．常用結(jié)論（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形．（2）誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號．三、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（1）正．弦函數(shù)的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．（2）余弦函數(shù)的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）函數(shù) 圖象定義域 值域[-1，1][-1，1] 周期性 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間 遞減區(qū)間 無對稱中心對稱軸方程無四、正弦定理余弦定理1．正弦定理：，其中是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：2．余弦定理：．余弦定理可以變形：，3．，并可由此計算．4．在中，已知和時，解的情況如下：為銳角為鈍角或直角圖形關(guān)系式 解的個數(shù)一解兩解一解一解5．實際問題中的常用角（1）仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖①）．（2）方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東，北偏西等．（3）方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點的方位角為（如圖②）．（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值．知識07概率與統(tǒng)計一、隨機抽樣1．簡單隨機抽樣（1）定義：設(shè)一個總體含有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．（2）最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法．2．分層抽樣（1）定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．（2）應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．二、用樣本估計總體1．頻率分布直方圖（1）頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．（2）頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖（如圖）橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．2．樣本的數(shù)字特征（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．（2）中位數(shù)：把個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（3）平均數(shù)：把稱為這個數(shù)的平均數(shù)．（4）標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是 常用結(jié)論1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．2．平均數(shù)、方差的公式推廣（1）若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)是．（2）數(shù)據(jù)的方差為．①數(shù)據(jù)的方差也為；②數(shù)據(jù)的方差為．三、變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例1．變量間的相關(guān)關(guān)系（1）常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．（2）從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)．2．兩個變量的線性相關(guān)（1）從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．（2）回歸方程為，其中．（3）通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．（4）相關(guān)系數(shù)：當(dāng)時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)時，表明兩個變量負相關(guān)．的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常大于0．75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．3．獨立性檢驗（1）分類變量和列聯(lián)表分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．列聯(lián)表：①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：總計總計從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系．（2）等高條形圖①等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．②觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系．（3）獨立性檢驗計算隨機變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828四、兩個計數(shù)原理1.兩個計數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計數(shù)原理有兩類不同方案1，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法種不同的方法分步乘法計數(shù)原理需要兩個步驟2，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法種不同的方法（1）每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事．（2）各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的．①每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事．②各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏．常用結(jié)論1．完成一件事可以有類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法……在第類方案中有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．2．完成一件事需要經(jīng)過個步驟，缺一不可，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法．．．．．．做第步有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．五、排列、組合問題1．排列、組合的定義排列的定義從個不同元素中取出個元素按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列組合的定義合成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)公式 性質(zhì) 六、二項式定理1．二項式定理（1）二項式定理：；（2）通項公式：，它表示第項；（3）二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為，，，，．2．二項式系數(shù)的性質(zhì)七、隨機事件的頻率與概率1．頻數(shù)、頻率和概率（1）頻數(shù)、頻率：在相同的條件下重復(fù)次試驗，觀察某一事件是否出現(xiàn)，稱次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率．（2）概率：對于給定的隨機事件，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作，稱為事件的概率．2．事件的關(guān)系與運算名稱條件結(jié)論符號表示包含關(guān)系發(fā)生發(fā)生事件包含事件（事件包含于事件） 相等關(guān)系若且事件與事件相等 并（和）事件發(fā)生或發(fā)生事件與事件的并事件（或和事件） 交（積）事件發(fā)生且發(fā)生事件與事件的交事件（或積事件） 互斥事件為不可能事件事件與事件互斥 對立事件為不可能事件．為必然事件事件與事件互為對立事件，3．概率的幾個基本性質(zhì)（1）概率的取值范圍：．（2）必然事件的概率：．（3）不可能事件的概率：．（4）概率的加法公式：如果事件與事件互斥，則．（5）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則為必然事件，．常用結(jié)論探究概率加法公式的推廣（1）當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果時，要用到概率加法公式的推廣，即．（2）．注意涉及的各事件要彼此互斥．八、古典概型1．古典概型（1）古典概型的特征：①有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個不同的基本事件；，②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的．一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性．（2）古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為；②分別計算基本事件的總數(shù)和所求的事件所包含的基本事件個數(shù)；③利用古典概型的概率公式，求出事件的概率．（3）頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值古典概型的概率計算公式二是一個定值，對同一個隨機事件而言，都不會變化九、離散型隨機變量及其分布列1．隨機變量的有關(guān)概念（1）隨機變量：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量，常用字母表示（2）離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量．2．離散型隨機變量分布列的概念及性質(zhì)（1）概念：若離散型隨機變量可能取的不同值為取每一個值的概率，以表格的形式表示如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 此表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時也用等式，表示的分布列．（2）分布列的性質(zhì)：①②．3．常見的離散型隨機變量的分布列（1）兩點分布列 01 若隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱服從兩點分布，并稱為成功概率在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則，，其中，且． 01．．．m ．．． 若隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱服從超幾何分布，十、二項分布及正態(tài)分布1．條件概率及其性質(zhì)（1）條件概率的定義：對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號來表示，其公式為．（2）條件概率的性質(zhì)①非負性：；②可加性：如果和是兩個互斥事件，則．2．全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計算一個復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．3．貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．4．相互獨立事件（1）對于事件，若事件的發(fā)生與事件的發(fā)生互不影響，則稱事件是相互獨立事件（2）若，則與相互獨立．（3）若與相互獨立，則與與與也都相互獨立．（4）若與相互獨立，則，（5）一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即．5．獨立重復(fù)試驗與二項分布（1）獨立重復(fù)試驗：一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗稱為次獨立重復(fù)試驗．獨立重復(fù)試驗的條件：①每次試驗在相同條件下可重復(fù)進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．（2）二項分布：一般地，在次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗中事件發(fā)生的概率為，則事件恰好發(fā)生次的概率為，則稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：，（1）是否為次獨立重復(fù)試驗；，（2）隨機變量是否為某事件在這次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)．6．正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線的特點①曲線位于軸上方，與軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；③曲線在處達到峰值；④曲線與軸之間的面積為1；⑤當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移；⑥當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．（2）正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①；②；③．十一、離散型隨機變量的均值與方差1．均值一般地，若離散型隨機變量的分布列為：．．．．．．．．．．．． 則稱為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．（1）期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．，（2）是一個實數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機變量，是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài)．（3）直接給出了的求法，即隨機變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加．2．方差設(shè)離散型隨機變量的分布列為： ．．．．．． ．．．．．．則描述了相對于均值的偏離程度．而pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差．（1）隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散．反之，越小，的取值越集中在附近．，（2）方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機性，方差的值一定是非負．3．兩個特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點分布 二項分布 常用結(jié)論若，其中是常數(shù)，是隨機變量，則（1），其中為常數(shù)；（2）；（3）；（4）；（5）若相互獨立，則．知識08數(shù)列一、數(shù)列的概念及簡單表示1．?dāng)?shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列的表示法：列表法、圖象法和通項公式法．?dāng)?shù)列的圖象是一系列孤立的點，而不是連續(xù)的曲線．2．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列 其中遞減數(shù)列 常數(shù)列 3．?dāng)?shù)列的通項公式（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．?dāng)?shù)列通項公式的注意點①并不是所有的數(shù)列都有通項公式；②同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一；③對于一個數(shù)列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規(guī)律，是不能確定這個數(shù)列的．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．通項公式和遞推公式的異同點不同點相同點通項公式可根據(jù)某項的序號的值，直接代入求出都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項遞推公式可根據(jù)第一項（或前幾項）的值，通過一次（或多次）賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出二、等差數(shù)列及前項和1、等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數(shù)）．2、等差中項若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有．3、等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．4、等差數(shù)列的前項和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和．5、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．（1）通項公式的推廣：．（2）在等差數(shù)列中，當(dāng)時，．特別地，若，則．（3），…仍是等差數(shù)列，公差為．（4），…也成等差數(shù)列，公差為．（5）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．（6）若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項與首項相同，公差是公差的．（7）若項數(shù)為偶數(shù)，則；；．（8）若項數(shù)為奇數(shù)，則；；．（9）在等差數(shù)列中，若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．（10）．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．（11）等差數(shù)列的前n項和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項或非負項之和）；若，則有最小值（所有負項或非正項之和）．（12）若已知等差數(shù)列，公差為，前項和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．三、等比數(shù)列及前項和1、定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．2、等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．3、等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式：4、等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為注①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．5、等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項的推廣．若時，則，特別地，當(dāng)時，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．當(dāng)或時，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．（4）其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時，不為偶數(shù)）．四、數(shù)列求和（1）公式法①等差數(shù)列的前項和公式．推導(dǎo)方法：倒序相加法；②等比數(shù)列的前項和公式推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．（2）分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．（3）裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．（4）倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．（5）錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．（6）并項求和法一個數(shù)列的前項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如類型，可采用兩項合并求解．

知識09復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．二、復(fù)數(shù)的四則運算1、復(fù)數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復(fù)數(shù)．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量．對應(yīng)的向量是．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離．3、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．（2）輻角的主值任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算①兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即．②復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是積．（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運算兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．知識10平面向量一、向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．二、向量的線性運算（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，【注意】（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更