2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面解析幾何 單元提升卷 （新高考）

單元提升卷10平面解析幾何

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（0』），且與直線(xiàn)V=2x-1垂直的直線(xiàn)方程是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，得到所求直線(xiàn)的斜率左=-;，結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，即可求解.

【詳解】由題意知，直線(xiàn)y=2x-l的斜率為匕=2,

因?yàn)樗笾本€(xiàn)與直線(xiàn)y=2x-l垂直，所以所求直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足人左=-1,即左=-；，

又因?yàn)樗笾本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸（0,1）,所以方程為廣l=-g（x-0）,即尸-gx+1.

故選：C.

22

2.橢圓+J=1（機(jī)＞0）的焦點(diǎn)為片、F2,上頂點(diǎn)為A,若/4則實(shí)數(shù)加的值為（）

m+4m3

A.2B.272C.2A/3D.4

【答案】C

【分析】由4；/耳=/，得△與4工為等邊三角形，則可得|/可|=閨閶，所以。=2c,再由橢圓方程求得

%c,代入可求出加的值

22

【詳解】由T一+\=1（加〉0）,得=加？+4,/=加2,則。2=4,

m+4m

因?yàn)闄E圓—^+4=1（加＞0）的焦點(diǎn)為耳、石，上頂點(diǎn)為A,4典==，

m+4m3

所以記/工為等邊三角形，所以M周=內(nèi)閶，

所以M周=山01+磔『=后+C?=a，以a~2c,

所以/=4c2,所以/+4=16,解得m=2,

故選：C

3.已知直線(xiàn)x-gy+8=0和圓x?+/=/&>0）相交于48兩點(diǎn).若|/同=6,貝！J廠的值為（）

【答案】C

【分析】應(yīng)用點(diǎn)線(xiàn)距離公式及幾何法求圓的弦長(zhǎng)公式列方程求半徑即可.

O

【詳解】由圓心為原點(diǎn)，則圓心到直線(xiàn)距離"=7『=4,又|/兇=6,

X-遮y+8=0

>

X

所以|陰=2M-r=6=>r*2*5=25=>r=5.

故選：C

22

4.已知雙曲線(xiàn)C：點(diǎn)-%=l（a>0]>0）的左、右焦點(diǎn)分別是片，F(xiàn)2,尸是雙曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)，且

|P用=5,|尸閭=3,2片尸8=120。，則雙曲線(xiàn)C的離心率是（）

7777

A.-B.—C.-D.一

5432

【答案】D

【分析】根據(jù)且「匐=5,戶(hù)周=3,/4/”=120。，利用余弦定理求得c,再利用雙曲線(xiàn)的定義求得。即

可.

【詳解】解：設(shè)雙曲線(xiàn)C的半焦距為c（c>0）.

由題意，點(diǎn)尸在雙曲線(xiàn)C的右支上，戶(hù)用=5,|尸馬=3,

由余弦定理得cos尸凡=5?+3?-閨時(shí)=_1,

122x5x32

7

解得閨用=7,即2c=7,c=：

根據(jù)雙曲線(xiàn)定義得|冏|-|尸刈=2a=2,

解得4=1,

c7

故雙曲線(xiàn)。的離心率e=￡=：.

故選：D

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線(xiàn)C:/=8x,P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線(xiàn)段0尸的垂直平分線(xiàn)/交C于4夕

兩點(diǎn)，若NO”=120°,則四邊形04P3的周長(zhǎng)為（）

A.64MB.64C.80>/3D.80

【答案】A

【分析】線(xiàn)段”的垂直平分線(xiàn)/交C于43兩點(diǎn)，結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得43與OP互相平分，則四邊形

。4尸8為菱形，可設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)幾何關(guān)系求出A點(diǎn)坐標(biāo)，在代入拋物線(xiàn)方程即可求解.

【詳解】因?yàn)榫€(xiàn)段。尸的垂直平分線(xiàn)/交C于48兩點(diǎn)，

所以結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得42與OP互相平分，則四邊形。/尸8為菱形.

設(shè)點(diǎn)P（2t,0）且f>0則線(xiàn)段。尸的垂直平分線(xiàn)I方程為x=t,

令/與x軸交于點(diǎn)H,又/O4P=120。，

則在直角三角形■中NCU"=工NO4P=60。

2

繼而可得|/印=塔=嚴(yán)，

733

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為

/?/

代入拋物線(xiàn)C：/=8x,可得L=8〃解得"24,

3

直角三角形。4"中|CM|=2|/H|=2X，X24=16G,

所以四邊形。4PB的周長(zhǎng)為可。4|=64百.

故選：A.

6.己知離心率為手的橢圓5+/=1（以>1）的左、右頂點(diǎn)分別為A、3,點(diǎn)尸為該橢圓上位于x軸上方一

Q

點(diǎn)，直線(xiàn)/尸與直線(xiàn)x=4交于點(diǎn)C,直線(xiàn)AP與直線(xiàn)x=4交于點(diǎn)。，^\CD\=~,則直線(xiàn)/P的斜率為（）

A.一或一B.或二

620216

1-11

C.W或五D.癡丐

【答案】C

【分析】由離心率可求出機(jī)，可得出左“％=-!，設(shè)kpA=k（k>0）,則勉=一上，可得出羽、2尸的方

99K

O

程，即可得到C、。的坐標(biāo)，再根據(jù)|CD|=］求出h

【詳解】由6=、八二=迪，得m=9,則/（一3,0）、5（3,0）,

直線(xiàn)3P的方程為了=-二（》-3）,則。的坐標(biāo)為（4,-上

1Q11

所以|。q=7左+解得左=工或五.

yK3J/1

故選：c.

7.已知/,3是圓C：（》-3）2+（夕-1）2=9上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|/同=2括，若P（0,—3）,則點(diǎn)尸到直線(xiàn)

距離的最大值為（）

A.2B.3C.4D.7

【答案】D

【分析】設(shè)P、c到直線(xiàn)的距離分別為4,%，根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理可得&=2,再根據(jù)4=|PD|+|DN|

結(jié)合幾何關(guān)系分析求解.

【詳解】由題意可知：圓C（工一3）2+（歹一1）2=9的圓心。（3,1）,半徑廠=3,

貝1附|=J（3-Op+（1+3『=5,

設(shè)尸、C到直線(xiàn)AB的距離分別為4，4,

因?yàn)橐詀=2d/_d；=259-4；=2A/5,解得d2=2,

分別過(guò)P、C作CMl.48,PN_L/8,垂足分別為再過(guò)C作CdW,垂足為。，

顯然當(dāng)P、C位于直線(xiàn)"8的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)尸到直線(xiàn)N5的距離較大，

貝Ud2=\PD\+QM=T何+d2="5-+2V7,

當(dāng)且僅當(dāng)|CD|=0,即直線(xiàn)與直線(xiàn)PC垂直時(shí)，等號(hào)成立,

所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為7.

故選：D.

8.2022年12月4日20點(diǎn)10分，神舟十四號(hào)返回艙順利著陸，人們清楚全面地看到了神舟十四號(hào)返回艙

成功著陸的直播盛況.根據(jù)搜救和直播的需要，在預(yù)設(shè)著陸場(chǎng)的某個(gè)平面內(nèi)設(shè)置了兩個(gè)固定拍攝機(jī)位42和

1c

一個(gè)移動(dòng)拍攝機(jī)位c.根據(jù)當(dāng)時(shí)氣候與地理特征，點(diǎn)。在拋物線(xiàn)r：歹=白/(直線(xiàn)y=o與地平線(xiàn)重合，》軸

垂直于水平面.單位：十米，下同.C的橫坐標(biāo)6B)上，A的坐標(biāo)為(-36,2).設(shè)0(0,-2),線(xiàn)段/C,DC

分別交「于點(diǎn)M,N,3在線(xiàn)段上.則兩固定機(jī)位A,3的距離為()

A.360mB.340mC.320mD.270m

【答案】B

【分析】設(shè)旦馬,%)，C(Xc，Pc)，根據(jù)條件就〃育，DC//DN，得出坐標(biāo)間的關(guān)系，表

示直線(xiàn)的方程，求出九W恒過(guò)的定點(diǎn)即為點(diǎn)3,計(jì)算|/目即可.

【詳解】設(shè)C(Xcjj,，(一36,2),Z>(0,-2),

根據(jù)條件有灰〃而，DC//DN^AC=(xc+36,yc-2),AM=(^+36,^-2),

DC=(xe,yc+2),DN=(x2,y2+2).

(xc+36)(%-2)-(再+36)(a-2)=0,xc(j；2+2)-x2(jc+2)=0.

222

由題意生,再,超互不相等，把外=紅，7i=—>%=恐分別代入上兩式化簡(jiǎn)得％網(wǎng)+36(%+再)+72=0,

363636

72-2x?-72

x0=—,消去％得再=—=7^.

x2x2+2

?V的方程是V一%二21二^^一超),即》—￥_=三土強(qiáng)(XT?)，

項(xiàng)一馬3636127

MN的方程為廣得=1_2+得］y---

x-x236-x+x2

則2

36I36)2+X22-玉"2+%2

36

.?.〃N經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,2).

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,2).網(wǎng)=34,

即兩固定機(jī)位42的距離為340m.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之

比為定值”2x1)的點(diǎn)的軌跡是圓.”后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏

PA

圓.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，4L0),5(3,0),點(diǎn)尸滿(mǎn)足再■=Jr2,點(diǎn)尸的軌跡為曲線(xiàn)C,下列結(jié)論正確

的是()

A.曲線(xiàn)。的方程為x2+/_10》+17=0

B.直線(xiàn)3x+4y=0與曲線(xiàn)。有公共點(diǎn)

C.曲線(xiàn)C被無(wú)軸截得的弦長(zhǎng)為4及

D.尸面積的最大值為2亞

【答案】ACD

【分析】通過(guò)阿氏圓的定義結(jié)合隹=及，設(shè)尸(尤/),從而可以得到曲線(xiàn)C的方程；

rD

通過(guò)計(jì)算圓心到直線(xiàn)3x+4y=0的距離是否小于等于半徑，從而判斷B的正確性；

計(jì)算圓心到X軸的距離d,結(jié)合"2+g1=/，得到曲線(xiàn)C被X軸截得的弦長(zhǎng)/,從而判斷C的正確性；

48的長(zhǎng)度確定，所以A/3尸面積的最大值即為點(diǎn)尸到距離的最大值，從而判斷C的正確性.

【詳解】設(shè)P(x,y),

2

PAr(x-lf+y,,

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)榭?J2,所以^—1T=2,化簡(jiǎn)得X2+/-10X+17=0,故A正確；

PB(x-3)+y

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)榍€(xiàn)C為/+/_10工+17=0,所以圓心為(5,0),半徑為2夜，計(jì)算圓心(5,0)到直線(xiàn)

3x+4y=0的距離為］=3>2收，

所以直線(xiàn)3x+4y=0與曲線(xiàn)C沒(méi)有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,曲線(xiàn)C的圓心在無(wú)軸上，所以被x軸截得的弦即為直徑，所以曲線(xiàn)C被x軸截得的弦長(zhǎng)為

40，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?1,0),3(3,0),所以|明=2,故又萩=：|明,|人|=必|，

而曲線(xiàn)C為/+/一10》+17=0,所以為e［-2近,2亞］,即的最大值為，故D正確.

故選：ACD

10.拋物線(xiàn)「"2=2加(0>0)焦點(diǎn)為尸，且過(guò)點(diǎn)2(4,4),直線(xiàn)/C,分別交？于另一點(diǎn)C和。，

kAC=~kAD,則下列說(shuō)法正確的是()

A.kCD=2B.直線(xiàn)CO過(guò)定點(diǎn)

C.「上任意一點(diǎn)至（J（O,1）和>=T的距離相等D.p=2

【答案】CD

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)/（4,4）得到。=2,即可判斷選項(xiàng)C和D；

根據(jù)已知條件直接求出C,。點(diǎn)的橫坐標(biāo)從而計(jì)算直線(xiàn)CD的斜率和方程，進(jìn)而判斷A和B選項(xiàng).

【詳解】拋物線(xiàn)「/=2抄（0>0）過(guò)點(diǎn)4（4,4）,所以16=2px4,p=2,故D正確；

所以?huà)佄锞€(xiàn)r：x2=4y,「上任意一點(diǎn)到和準(zhǔn)線(xiàn)>=-1的距離相等，故C正確；

設(shè)C（X"J,D（x2,y2）,設(shè)3c=左，則的￡>=一左，

所以/C的方程為了-4=左（％-4）,即歹=6-4左+4,

[y=kx-4k+A

聯(lián)立｛A，得/一4b+16左-16=0,

[x2=4y

當(dāng)A>0時(shí)，貓演=16左一16,得％=4左一4,

—左代換左，得至lj%=-4左一4,

2

x；x2

所以“_必一>2_44_石+%2_4，—4-44一4_故A錯(cuò)誤；

—x2xx-x244

直線(xiàn)C￡）：y—必=-2（x-xJ,I3|Jy=-2x+2x[+^~=-2x+2（4/一4）+（、'彳=-2x+4'，一4，不過(guò)定點(diǎn),

故B錯(cuò)誤.

故選：CD

22

11.已知橢圓C：^-+^=1（b>0）,片，此分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為e,點(diǎn)M在橢圓上，

點(diǎn)N（2,收）在橢圓內(nèi)部，則以下說(shuō)法正確的是（）

A.離心率e的取值范圍為

B.不存在點(diǎn)M,使得詼+娟=0

C.當(dāng)e=；時(shí)，W/I+WM的最大值為與

11

D-畫(huà)十兩的最小值為1

【答案】ABC

【分析】A：根據(jù)點(diǎn)N(2,⑵在橢圓內(nèi)部可得1+搟<1,從而可得/的取值范圍，從而可求離心率的取值

范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和耳，利用橢圓定義將|九陰|化為|九里數(shù)形結(jié)合即

可得到答案；D：利用|兩|+|班|=2”可得

111(111\MF.\)

-jr+?-----r=;------r+;------r(+A/7^)=+?-----r+2,利用基本不等式即可求解.

V1217。(|町|

\MF\\MF2\2a\\MF]\MF2\)"2\MF2\J

A71Q

【詳解】對(duì)于A,由己知可得，§+記<1，所以〃

則e=9=E=「?<R=?’故人正確；

對(duì)于B,由麗+近=0可知，點(diǎn)〃為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；

對(duì)于C,由已知a=3,所以cnj,B(：，。].

a227

又N(2,也)，則|然|=/1_2]+(0-V2)2=|.

根據(jù)橢圓的定義可得|九有|+1崢|=2。=6,

所以|g|+|M?V|=6-+

由圖可知，-\NF2\<\MN\-\MF2\<\NF2\,

所以|町|+|ACV|=6-|咋J+|跖V|W6+|”卜葭

當(dāng)且僅當(dāng)M,N,工三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得等號(hào).

故|九陰I+WM的最大值為故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閨九用|+|岫|=6,

11111..MFAME

所以]r+ir=-Ir+irZl+M^h)=\-[\\^\+2

」肛111217

\MF\\MF2\6\MF2\"6[\MF.\\MF2\

MF

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)赲2\=\威ME\，即.|孫.|.=|叫,|=3時(shí)，等號(hào)成立.

11

所以‘師i|+pi珂的最小值為2故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問(wèn)題里面的應(yīng)用.

12.雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)

雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn).平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線(xiàn)的夾角.已知耳此分別

為雙曲線(xiàn)C:土-V=i的左，右焦點(diǎn)，過(guò)C右支上一點(diǎn)/（%,為乂/>@作直線(xiàn)/交》軸于點(diǎn)舷-,0,

3J

交》軸于點(diǎn)N.則（）

A.C的漸近線(xiàn)方程為y=土立尤B.點(diǎn)N的坐標(biāo)為［。，工］

3Iy0J

C.過(guò)點(diǎn)E作耳垂足為〃，則|。叫=若D.四邊形/耳A5面積的最小值為4

【答案】ACD

【分析】根據(jù)方程，可直接求出漸近線(xiàn)方程，即可判斷A項(xiàng)；由已知可得-君了、+3%,=3%,進(jìn)而結(jié)合雙曲

線(xiàn)方程，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可推得，點(diǎn)H為4E的中點(diǎn).進(jìn)而得

出工同，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，即可判斷C項(xiàng)；由$網(wǎng)阻=S△陽(yáng)西+以孫的，代入利用基本不等式即可

求出面積的最小值，判斷D項(xiàng).

*±旦,

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得a=Gb=\所以C的漸近線(xiàn)方程為y=±故A項(xiàng)正確;

V33

-00-％

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)N（0,%）,則丫一』一』，整理可得-焉%+3%=3%.

40

%%

2］

又迎-",所以■=3+3/，所以有一（3+3只）％+3%=3%,解得人=一7，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為

3%

對(duì)于C項(xiàng)，如上圖，顯然,為雙曲線(xiàn)的切線(xiàn).

由雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，■平分/44月，延長(zhǎng)耳〃與/耳的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.

則/"垂直平分片E,即點(diǎn)”為大E的中點(diǎn).

又。是耳己的中點(diǎn)，所以，|。印=三匕閡=；(恒閡一|/閭)=；伍周一|/閶)=。=百，故C項(xiàng)正確:

、

1

=;中內(nèi)印X4X2=4,

對(duì)于D項(xiàng)，S阻阻=SNAF、FZ+SRNF\FZ十口4

當(dāng)且僅當(dāng)尻|=亡，即％=±1時(shí)，等號(hào)成立.

所以，四邊形/耳川居面積的最小值為4,故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：C項(xiàng)中，結(jié)合已知中，給出的雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，即可推出|。印="與同.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知橢圓C：)+/=1(〃>6>0)的離心率為g,耳，星分別為C的上下頂點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn),

若麗瓦=1,則C的方程為.

【答案】—+^=1

32

【分析】根據(jù)題意求出即可得解.

【詳解】氏（0,6）,生（0,—6）,/（%0）,

Q

貝ljABX-AB2==2=]①,

又e，=、［5=@，所以〃②,

a\a233

由①②解得/=3斤=2,

所以C的方程為巨+q=1.

32

22

故答案為：土+匕=1.

14.過(guò)P(x,y)作圓G：/+/—2x=0與圓。2:r+F—6x-6y+14=0的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,若

\PA\=\PB\,則￡+/的最小值為.

…4910

【答案】斐/3O石

【分析】利用圓切線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】圓￡:尤2+/-2%=0=(無(wú)一顯然。(1,0),半徑為1,

圓G：x?+/-6x-6y+14=0=(x-3『+(>-3)2=4,顯然。2(3,3),半徑為2,

因?yàn)槭?總是分別是圓G，圓G的切線(xiàn),

所以4GLp4尸8,8G，

因?yàn)閨上4|=尸面,

所以有7lPC,I2-1=1|股］_4,

即%2+y2—2x=+歹？—6x—6y+14,

7_7r

化簡(jiǎn)，得2x+3y=7n廣個(gè)上代入d+y中,

49

得尤2++一，

13

所以當(dāng)X，時(shí)，*+3/的最小值廿

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用圓的切線(xiàn)性質(zhì)得到等式2X+3J=7.

22

15.已知雙曲線(xiàn)C：二-烏=1（。＞0力＞0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)。，與雙

ab

曲線(xiàn)的右支交于點(diǎn)尸，若|尸。|=2|0m，則雙曲線(xiàn)C的離心率為.

【答案】叵

2

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出草圖，由。為W中點(diǎn)，|尸。|=2］。耳，故過(guò)片做片”〃。。構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相

切找到|。。|,|。尸I長(zhǎng)度，根據(jù)相似找到⑶陽(yáng)1，|尸劃的長(zhǎng)度，進(jìn)而找到1PM的長(zhǎng)度，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義找到|s|

長(zhǎng)度，在直角三角形中，用勾股定理即可找到a/,c之間的關(guān)系，再根據(jù)c2=/+b2,即可得到離心

率.

【詳解】由題知，記右焦點(diǎn)為月，過(guò)耳做片"7/。。如圖所示，

:.OQ±PF,\OQ\^a,

■：\OF\=c,：.\FQ\^sic2-a2=b,

???O為";中點(diǎn)，F(xiàn)\MIIOQ,

故AFQOSAFMR,且相似比為1:2,

即閨M|=2a,10M=6,

■.-\PQ\=2\QF\=2b,

:.\PM\=b,\PF\=3b,

22

在雙曲線(xiàn)1-2=1中，有歸尸|T尸周=2a,

ab

:.\PFt\=3b-2a,

■：FXMHOQ,OQ1PF,

.4片尸”為直角三角形，

:.\FXM^+\PM^=\PF^,

即(2af+62=(36-2a)2,

化簡(jiǎn)可得助=3a,上式兩邊同時(shí)平方，將〃=c2一/代入可得4c2=131,

貝！12c=,即圖心率e=￡=.

a2

故答案為：叵

2

16.已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C：V=8x上的一點(diǎn)，T7是C的焦點(diǎn)，M是P尸的中點(diǎn)，N(-l,0),貝Ijcos/MNF的

最小值為.

【答案】逅《后

33

cosNMNF=―[

【分析】設(shè)點(diǎn)〃(XJ)，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可得114(1),利用基本不等式求其最小值即可.

【詳解】依題意，尸(2,0),設(shè)M(x,y),則尸(2x-2,2y),

因?yàn)槭趻佄锞€(xiàn)C:/=8x上，所以得4/=8(2尤-2),

即必=4(x-l),由/=4(x—l)20,得x21,

NM=(x+l,y),NF=(3,0),

NM,NFx+1

cosZMNF=

所以I畫(huà)畫(huà)J(x+1)2+/

cosZMNF=—

m

當(dāng)，=0即x=l時(shí)，m=l,cos/MNF=1；

當(dāng)f>。即x>l時(shí)，加力+君廠J#三Y,

4

當(dāng)且僅當(dāng)％=—,即，=2,x=3時(shí)取等號(hào)，

t

^cosNMNF3=漁~

此時(shí)m713?

綜上所述，COS/M7VF的最小值為好.

3

故答案為：逅

3

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.已知三角形N2C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為/(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC邊上的中點(diǎn).

(1)求邊所在的直線(xiàn)方程；

⑵求中線(xiàn)NM的長(zhǎng)

(3)求邊的高所在直線(xiàn)方程.

【答案】(l)6x-y+ll=0；

⑵2氐

(3)x+6y—22=0.

【分析】(1)由兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，整理為一般式即可，也可求出斜率，再由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)方程;

(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)"坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得；

(3)先求直線(xiàn)N8的斜率，由垂直關(guān)系可得N3邊高線(xiàn)的斜率，可得高線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.

【詳解】(1)法一：由兩點(diǎn)式寫(xiě)方程得？三=「，即6x-y+n=0；

法二：直線(xiàn)4B的斜率為左=_21(I)=6，

直線(xiàn)的方程為V-5=6(x+l),即6x-y+n=0；

(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(x。,%),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得％=吾a=1,%=二號(hào)=1,故

所以=^(1+1)2+(1-5)2=275；

(3)直線(xiàn)AB的斜率為k=_；：；］)=6,

所以由垂直關(guān)系可得AB邊高線(xiàn)的斜率為,

0

故N8邊的高所在直線(xiàn)方程為y-3=-J(x-4),化為一般式可得：x+6了-22=0.

6

18.已知點(diǎn)”(TO),NQ,0),動(dòng)點(diǎn)心滿(mǎn)足

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡E的方程；

(2)過(guò)拋物線(xiàn)/=2尤上一點(diǎn)42,2)作曲線(xiàn)￡的兩條切線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于8,C兩點(diǎn)，求直線(xiàn)3C的斜率.

【答案】(1)(X-2)2+/=3；(2)-1.

【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式，即可得動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡E的方程；

(2)由題意可設(shè)切線(xiàn)方程為y-2=E(x-2),聯(lián)立軌跡E的方程，根據(jù)A=0求左值，再將所得兩切線(xiàn)方程

與拋物線(xiàn)聯(lián)立求B,C縱坐標(biāo)，結(jié)合勾。二匕為求斜率.

xc-xB

【詳解】(1)設(shè)尸(x,y),由"(TO),\PM\=y/3\PN\,

22

可得：J(無(wú)+1)2+/=A/3^/(X-1)+y,

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡E為(X-2)2+J?=3；

(2)由題意知，切線(xiàn)斜率存在且不為0,設(shè)切線(xiàn)方程為＞-2=MX-2),

聯(lián)立「二1得生三+^=3,化簡(jiǎn)得(1+町/_4y_3左2+4=0,

—+y=3k

A=16-4(l+^2)(4-3A2)=0,解得左=土,，

/?/?

***切線(xiàn)方程為y-2=-^-(x-2)和y-2=--—(x-2),

O0/O、y-2=一#0-2),解得力=26-2,y=-2V3-2,

y-2=—(x-2)c

聯(lián)立

y2=2xy2=2x

=凡一%=人一力=

221

一…2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求軌跡；

(2)設(shè)切線(xiàn)方程(注意斜率是否存在)，根據(jù)與軌跡E相切有A=0求斜率，再求兩切線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)縱坐

標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率

I"2/1

19.已知橢圓+的左、右焦點(diǎn)為耳，B，離心率為十.點(diǎn)尸是橢圓C上不同于頂點(diǎn)

的任意一點(diǎn)，射線(xiàn)尸耳、尸旦分別與橢圓C交于點(diǎn)8,△W8的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若兩=4不，PF\=^F\B,求證：4+4為定值.

22

【答案】⑴立+乙=1

43

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用橢圓的定義及性質(zhì)計(jì)算即可;

(2)設(shè)直線(xiàn)P/的方程為丫=叼-1,設(shè)尸(%,%),N(X］，M),B(x2,y2),聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理可得

乂)，入，外的關(guān)系，再由易知向量線(xiàn)性關(guān)系轉(zhuǎn)化4=,計(jì)算即可.

【詳解】⑴呻=|尸娟+|尸閭+忸娟+忸閶=2。+2a=4%

4。=8,。=2

由離心率為3得C=l，從而6=6，

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

F2

(2)x

22

設(shè)尸(%oJo)，Z(x2l)，3(%2，%)，貝心+左=1,

43

行4%+1

可設(shè)直線(xiàn)p/的方程為工二町一1，其中加=----.

y0

x=my-1

聯(lián)立公必，化簡(jiǎn)得（3/+4）廿一6〃沙-9=0,

一十--二1

143

-9-9-9

,比必=2,=一2—yy=-2

則3Qm+4A§，同理可得，02

%+1I+43I+4-

%歹。

=44，

因?yàn)槭琍F2=A2F2B.

所以"「菱+胃=?友F111

——+——

.必yi)

y：+4+3（^^]+4

I%JI%J」3國(guó)+1『+3伉-1『+8第

-9-9

_6x；+8y；+624+610

——-----------------——--------———，

993

所以4+4是定值岑.

20.（2023?河南開(kāi)封?統(tǒng)考三模）已知拋物線(xiàn)E：一=2處（0>0）的焦點(diǎn)為凡拋物線(xiàn)￡上一點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)

2

為5,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，cosZOFH=--.

（1）求拋物線(xiàn)￡的方程；

（2）拋物線(xiàn)上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦長(zhǎng)為6的動(dòng)弦N3,當(dāng)N2的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)距離最短時(shí)，求弦所

在直線(xiàn)方程.

【答案】（1）/=4>

(2)y=^-x+1或,=-^-x+\

【分析】(1)根據(jù)拋物線(xiàn)的定義結(jié)合條件求解即可；

(2)根據(jù)拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)?..〃縱坐標(biāo)為5,不妨設(shè)在第一象限內(nèi)，

A|HF|=5+1,過(guò)〃做軸于

,/cosZOFH=--,

3

/.cosZHFM=~,\FM\=5-^-

3112

_P_

cosZHFM=^=-5=解得P=2.

FH3

\\5+P-

2

所以?huà)佄锞€(xiàn)E的方程為X2=4J.

(2)根據(jù)題意直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為了=h+6,

設(shè)力（國(guó),必），B（x2,y2）,4B中點(diǎn)。（x（）,乂））,

Iy=kx+b>,

由1,=>x2-4kx-4b=0,

[x=4y

k2+b>0,+x2=4k,再馬二一46,

|項(xiàng)_%2I=j（%l+%2）2_4%X2=J16左2+166，

：.\AB\=J1+左2卜-止+左2）（16左2+166）=6,

則什砥看一/

X；+X；

4=（-+X2）-2再％=16^+86=2r+6

為

2288

?：AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于％+片%+1,

當(dāng)為最小時(shí)，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離最短.

92T》2《T=2,

=(A：+1)+—~?

4儼+1)I)4H?+1)

當(dāng)且僅當(dāng)仔+1）=4（j+i）時(shí)，解得左=土孝，則6=1.

所以直線(xiàn)N8的方程為y=*x+l或y=-1x+l.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)公式、基本不等式是解題的關(guān)鍵.

21.已知拋物線(xiàn)M:/=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)M交于43兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，。

為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴設(shè)P為拋物線(xiàn)"上的動(dòng)點(diǎn),

（2）記^AOB的面積為SqBOF的面積為邑，求4+S2的最小值.

【答案】⑴[0,孚]:

⑵46

\OP

【分析】（1）求出拋物線(xiàn)M的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)點(diǎn)尸（凡乃），求出島關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系，再利用二

\FP

次函數(shù)性質(zhì)求解作答.

（2）設(shè)出直線(xiàn)N3的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式求解作答.

【詳解】（1）依題意,拋物線(xiàn)"：/=4尤的焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線(xiàn)方程尤=-1,設(shè)尸（產(chǎn)2）,

則|OP|=’（行+面=+4』,|尸尸上尸+1,

222

|。尸|=1,+務(wù)2=1(Z+I)+2(?+1)-3=I1—124

歷"t2+l(FTlp-V~313)

而八3,即有。＜士＜1，則當(dāng)士=1，即:。時(shí)，(5肛

'I尸7—1PII'min'

當(dāng)士=;，即/=±拒時(shí)，

、

所以\O胃P\的取值范圍是［0,2年6］.

(2)顯然直線(xiàn)42不垂直于>軸，設(shè)直線(xiàn)的方程為x=〃沙+2,

x=mv+2、

2：消去X并整理得/-4:肛-8=0,顯然A>0,

設(shè)/（無(wú)］，弘）,8（X2，%）,yt>0,y2<0,則％%=-8,即％=-3

VEr

令(2,0)為點(diǎn)瓦于是的面積為H=51OE-％)=%-%，△5O77的面積為S2=；|。尸l1巴卜-：％,

1o1,I［,12

因此E+邑=(必-%)+(-彳%)=%-7%=M+—22%一=46，當(dāng)且僅當(dāng)必=一,即必=時(shí)取等

22乃，必必^

號(hào)，

所以5+名的最小值為4右.

2

22.已知雙曲線(xiàn)耳，鳥(niǎo)是其左、右兩個(gè)焦點(diǎn).尸是位于雙曲線(xiàn)「右支上一點(diǎn)，平面內(nèi)