2024年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)講義：圓的方程 直線與圓的位置關(guān)系

第三講圓的方程直線與圓的位置關(guān)系

制iR疏理?雙星自測

知識梳理

知識點一圓的定義及方程

定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫做圓

標準圓心C：(。，b)

(x-a)2~\~(y—1)2=~(》0)

方程半徑：_2_

圓心:V，-f|

一般^+y1+Dx+Ey+F=Q(D1+

方程￡2-4F>0)半徑：『魚『￡_

知識點二點與圓的位置關(guān)系

1.圓的標準方程(X—'ay+G—》)2=/，點Mxo,yo),

(l)(xo—a)2+(jo—6)2=r2臺點在圓上；

(2)(xo—a)2+(州—b)2^>/臺點在圓外；

(3)(xo—<7)2+(加一。)2fr2臺點在圓內(nèi).

2.圓的一般方程f+V+Dx+Ey+RuO,點M(XO,yo).

(1)高+弱+。迎+/0+歹=0臺點在圓上；

(2)x8++Dxo+Eyo+F>0<4點在圓外；

(3)x8+y8+Dxo+Eyo+E^O臺點在圓內(nèi).

知識點三直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)直線/：Ax+By+C=0(A2+BV0),

圓:(x-a)2-\-(y—b)2=r(r>0),

|4z+劭+C|

d—為圓心(a,3到直線I的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元

-X/A2+B2

后得到的一元二次方程的判別式為/.

方法

幾何法代數(shù)法

位置關(guān)

相交d<r/>0

相切d_=_rA=.0

相離d>rJ<0

歸納拓展

1.圓心在過切點且垂直于切線的直線上.

2.圓心在任一弦的垂直平分線上.

3.以A(xi，州)，BQ?，?)為直徑的兩端點的圓的方程是(x—沏)(%—X2)+(y

一%)(廠”)=0.

4.二元二次方程+Bxy+Cy1+Dx+Ey+F=Q表示圓的條件：

A=CWO,

3=0,

D2+E2-4F>0.

5.(1)過圓/十丁二”上一點P(X0,3)的圓的切線方程為xox+yoyu”.

過圓(X—a)2+(y—>)2=/上一點p(xo,州)的圓的切線方程為(煩一a)(x-'a)+

(yo—b^—b)—12.

(2)過圓封十^二戶外一點Ma。，加)作圓的兩條切線，則兩切點所在的直線

方程為xox+yoy=r2.

(3)過圓外一點P(xo,州)引圓+的

切線，則點P到切點的切線長為d=A(xo—不十酬―4—/(d=

\jx^-\-yi-\-Dxo~\-Eyo-\-F).

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)

(2)圓心為(1,—1)且過原點的圓的方程為(x+l)2+(y—1)2=2.(X)

(3)若A(2,0),8(0,-4),則以A3為直徑的圓的方程為(x—iy+(y+2)2=

5.(V)

(4)方程以+。)2+。+32=產(chǎn)(/￡11)表示圓心為(a,b),半徑為/的圓.(X)

(5)已知方程^十V一2mx+4y+5=0表示圓，則m的取值范圍是(1,+

°°).(X)

題組二走進教材

2.(選擇性必修IP88T4)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(—1,1)和3(1,3),

則圓C的方程為萬一2)2+y2=io.

［解析］設(shè)圓心坐標為C(a,O),

?..點A(—1,1)和8(1,3)在圓C上,

：.\CA\=\CB\,

即.3+1)2+1=7(a—1)2+9,解得。=2,

二圓心為C(2,0),

半徑|C4|=N(2+1)2+1=?,

...圓C的方程為(x—2)2+y2=10.

3.(選擇性必修IP98T2(1))以點(2,—1)為圓心且與直線3x—4y+5=0相切

的圓的方程為(C)

A.(x-2)2+(y+l)2=3

B.(%+2)2+(廠1)2=3

C.(x—2)2+(y+1)2=9

D.(X+2)2+(J-1)2=9

［解析］因為圓心(2,—1)到直線3x—為+5=0的距離d［6+；+5=3,

所以圓的半徑為3,即圓的方程為(x—2)2+。+1)2=9.故選C.

題組三走向高考

4.(2022.全國甲卷)設(shè)點M在直線2x+y—1=0上，點(3,0)和(0,1)均在。M

上，則。M的方程為(x—l)2+(y+1)2=5.

［解析］解法一：...點M在直線2x+y—1=0上，

二設(shè)點”為(兄1—2a),又因為點(3,0)和(0,1)均在CDM上，

...點M到兩點的距離相等且為半徑R,

：..(a—3)2+(l—2a)2=,2+(—2a)2=R,

a2—64?+9+4/—4a+l=5/,解得a=l,

-1),R=小，

Q)M的方程為(x—l)2+(y+l)2=5.

解法二：記A(3,0),8(0,1),則依B=—/

從而可知A3中垂線的方程為3x—y—4=0,

'2x+y~l=0

由《可求得M(l,—1),

、3x一廠4=0

又/=|M4『=5.

/.。〃的方程為(x—l)2+(y+l)2=5.

5.(2020.高考全國II卷)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線

2x-y-3=0的距離為(B)

A.乎B.羋

「逆n”

J55

［解析］設(shè)圓心為P(xo，州)，半徑為廠，：圓與x軸，y軸都相切，.［1x()1=

|yo|=r,又圓經(jīng)過點(2,1),.,.xo=yo=廠且(2—期)2+(1—〉0)2=/，(r-2)12+(r

—iy=r2,解得r=1或r=5.①r=1時，圓心P(l,1),則圓心到直線2》一y一3

=0的距離d=J；2+；_；)2=￥；②廠=5時，圓心P(5,5),則圓心到直線2x—

廠3=°的距離公指豐普.故選B.

彎點突破?巨曲探界

1圓的方程——自主練透

例1.圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C

相切，則圓C的方程為(B)

A.f+y2—2x—3=0B.jr+y2—4x=0

C.x2+y2+4x=0D.^+/+2%-3=0

|3。+4|

［解析］設(shè)圓心C(a,0)(a>0),由題意知V^+7=2解得。=2,故圓C的

方程為(x—2)2+y2=22,即f+方一心=。，故選B.

2.(2022.高考全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(—1,1),(4,2)中的三點的一個

圓的方程為(x—2)2+(y—3)2=13或十(y—l)2

百或(X—2)2+(y—1)2=5(寫出其中一個即可).

［解析］依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+/)x+Ey+/7=o,

若過(0,0),(4,0),(-1,1),

尸0,CF=0,

則《16+4r)+F=0,

解得4,

ll+l-r)+E+F=0,[E=-6,

所以圓的方程為x1Jry2—4x—6y=0,

即(x—2)2+(y—3)2=13；

同理可求過(0,0),(4,0),(4,2)的圓的方程為f+yZ—M—ZyuO,即(》一2)2

+Cy-1)2=5；

過(0,0),(4,2),(—1,1)的圓的方程為f+y2—|x—呆=o,即Q—，++'一

2=空.

9，

過(-1,1),(4,0),(4,2)的圓的方程為f+F—墨-2廠與=0,即(x一金

+C1)2T

3.(2024.湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)圓心在直線x+y-l=O上且與直線2%-y

—1=0相切于點(1,1)的圓的方程是(x+l)2+(y—2)2=5.

［解析］依題意，過切點(1,1)的圓的半徑所在直線方程為j-l=-1(x-l),

x~\~y—1=0,fx=-1,

即x+2y-3=0,由I—2廠3=0解得1尸2因此所求圓的圓心為(一

1,2),半徑r=A；(-l-l)2+(2-l)2=V5,所以所求圓的方程為(尤+1)2+。-2)2

=5.

名師點撥：求圓的方程的兩種方法

1.直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.

2.待定系數(shù)法

(1)若已知條件與圓心他，0)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，依據(jù)已知條

件列出關(guān)于a,b,廠的方程組，進而求出a,b,廠的值;

(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知

條件列出關(guān)于。，E,R的方程組，進而求出。，E,R的值.

3.常見圓的方程的設(shè)法

標準方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法

圓心在原點x2+y2=r2x1+y2—r2=0

過原點(x—a)2+(y—b)2=a2+b2xi+y1+Dx+Ey=Q

圓心在

(x—a)2+y2=r1x2+y2+Dx+F=0

X軸上

圓心在

^+(y-b)2=r2x1+y2+Ey+F=0

y軸上

與X軸122

(x—a)2+(y—Z?)2=b2x+y+Dx+Ey+^D=0

相切

x1+y2+Dx+Ey+^E2=0

與y軸相切(x—a)2+(y—b)2="

【變式訓(xùn)練】

1.已知圓c的圓心在x軸的正半軸上，點MO,小)在圓c上，且圓心到

直線2x—y=0的距離為竽，則圓C的方程為(x—2/+y2=9.

［解析］設(shè)圓C的圓心坐標為(a,0),a>Q,半徑為廠，則￥=清*?二。

=±2.'：a>0,：.a=2,戶=(2—。產(chǎn)+3一小戶=9,圓C的方程為(龍一2戶十

>2=9.

2.(2023弓可南安陽調(diào)研)過點(0,2)且與直線y=x—2相切，圓心在x軸上的

圓的方程為(D)

A.(x+l)2+y2=3B.(X+1)2+^2=5

C.(x+2)2+y2=4D.(X+2)2+/=8

［解析］設(shè)圓心坐標為(a,0),則?(a-Op+(0-2)2］解得。=一？，

又戶=(—2—0)2+(0—2>=8,故圓的方程為(x+2)2+>2=8,.?.選D.

直線與圓的位置關(guān)系——自主練透

1.(2024?廣東佛山七校聯(lián)考)曲線C：x=——y2—2y與直線Z：x—y—m=0

有兩個交點，則實數(shù)機的取值范圍是(B)

A.—y［2—l<m<1+^/2B.2Wm<l+y/^

C.-1——2D.12WmW2

［解析］由％=陶一丁2一2丁可知1三0,得到f+y2+2y=0,即f+(y+l)2=

L%20,

作出曲線C：%=，一四―2y的圖形如下:

當直線/：%—y—機=0經(jīng)過點A(0,—2)時，直線與曲線有兩個交點，此時

2—m=0,解得m=2；

|1一列

當直線與曲線相切時，圓心(0,一1)到直線x—y—m=0的距離d=

A/I+I

\l-m\

丁二'

解得m=p+l或m=—正+1；

因為直線x—y—m=0可化為丁=龍一加，由截距一機<0得加>0,則機=6十

此時直線與曲線只有一個交點；

故滿足條件的實數(shù)機的取值范圍為2<m<l+木.

故選B.

2.(2022.四川資陽、遂寧等七市聯(lián)考)圓C：<+產(chǎn)+2》一2y—2=0上到直線

Z：x+y+y/2=0的距離為1的點共有(C)

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［解析］圓C：/+V+2x—2y—2=0即(尤+1)2+。―1產(chǎn)=4的圓心為C(—

1,1）,半徑為r=2.又C到直線/的距離為二。。上到直

線/距離為1的點有3個，故選C.

［引申1］若本例1中曲線C與直線機：依一y—2左=0只有一個公共點，則左

4

=

的取值范圍為3

口一244

［解析］當直線機與曲線C相切時=1,解得左=0或?又直線過點

郎+1

4

（0,—2）時左=1,由圖可知人的取值范圍是0WN1或左=『

［引申2］本例2中，若圓與直線如x+y+c=0相交，則c的取值范圍為（一

2、歷,2、歷）；若圓上到直線機距離為1的點有2個,則c的取值范圍為（—3?

—、回）U（也,3、”）；若圓上到直線m距離為1的點有4個，則c的取值范圍

為（一也，霹）.

［解析］圓與直線/相交"［彳+'<20—20c<2也

圓上到直線/距離為1的點有2個臺111京+d<30_3小<c<一巾或小

<c<3y［2.

圓上到直線/距離為1的點有4個臺號<1臺一也<c<VI

名師點撥：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

1.幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

2.代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

3.點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓

相交.

4.判斷圓上到定直線的距離為定值的點的個數(shù)問題的關(guān)鍵是比較定值、圓

心到直線的距離、半徑的大小.

【變式訓(xùn)練】

1.(多選題)已知直線/：/ro;+(/n+l)y—5加一3=0(機WR)與圓。1：%2—6x+

>2—8y+16=0,則下列結(jié)論正確的有(AB)

A.直線/過定點(2,3)B.相交

C.相切D.相離

x-\~y-5=0>

［解析］直線/的方程可化為機(x+y—5)+丁-3=0,由;'八得

〔廠3=0

%=2,rn

(或?qū)⒅本€/的方程化為y—3=一啟口"(x—2))....直線/過定點(2,3),

尸3,

A正確；將x=2,y=3代入f—6x+y2—8y+16=—7<0,定點在圓內(nèi)，直線

與圓相交，B正確；C、D錯誤.故選AB.

2.(多選題)(2021.新高考II卷)已知直線/：ax+力一/=0與圓C：x2+y2=

戶，點A(a,b),則下列說法正確的是(ABD)

A.若點A在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點A在圓。外，則直線/與圓。相離

D.若點A在直線/上，則直線/與圓C相切

［解析］...點A在圓C上，.?./+〃=/,

|OXa+OXb一—||戶|

:圓心C(0,0)到直線/的距離為d=直線

■\/a2+Zj2yjcr+b2

與圓C相切，故A正確;

...點A在圓C內(nèi)，.../+廬〈戶,

|OXa+OXb一|一|

二?圓心C(0,0)到直線/的距離為d=>r,???直線

yla2+b2y/a2+b2

與圓C相離，故B正確;

二,點A在圓C外，，/+02>戶,

\QXa-\-QXb-r\\r\

?.?圓心C(0,0)到直線/的距離為d=<r,???直線

y]a2+b2yjcP+b2

與圓c相交，故c錯誤;

...點A在直線/上，.，./+廿=/,

|0Xa+0X6一\^\

?.?圓心C(0,0)到直線/的距離為d=2r，「?直線

yjc^+b2yjc^+b

與圓C相切，故D正確.故選ABD.

森康三與圓有關(guān)的最值問題——多維探究

角度1斜率型最值

例(2024.貴州聯(lián)考)若點P在曲線C：心+產(chǎn)一2%—6y+l=0上運動，則言

的最大值為一年一

［解析］曲線C方程化為(X—1)2+(＞一3)2=9,是以(1,3)為圓心，3為半徑

的圓，由表示點P(x,y)與點(一3,0)連線的斜率，不妨設(shè)去=左，即直線/：

山一3+3川

kx—y+3k=0,又P在圓上運動，故直線與圓。有公共點，則楙2十］一＜,化

24V24

簡得79—24左W0,解得0WZW了,故x+3的最大值為萬?

角度2截距型最值

例(2024.江蘇常州一中調(diào)研)點(x,y)在曲線丫=小一卓一2上,則|3x—4y+

4|的取值范圍為(B)

-218

A.5*TB.[2,18]

19

C.[1,9]D.5,5

［解析］解法一：如圖，曲線y=產(chǎn)，-2為圓N+(y+2)2=4的上半圓,

圓心A(0,—2),半徑為2,BQ,-2),

令3x—4y=f,則當直線/：3尤一4y—1=0過點3(2,—2)時，r=14；

當直線/與半圓相切時^=2?<0),

即/=—2,.\3x-4yef-2,14],從而|3x—4y+4|w[2,18].故選B.

解法二：|3x—4y+4|表示點(x,y)到直線3x—4y+4=0距離的5倍，點A到

|-4X(-2)+4|12.

直線3x-4y+4=0的距離|AD|=>2,

即直線3x-4y+4=0與圓相離，點B到直線3x—4y+4=0的距離|3C|=

|3X2-4X(-2)+4|18

.32+(二4)2—5|3x—4y+4|最小值為5(|AD|-2)=2,|3x—4y+4|最大

值為518cl=18,則|3x—4y+4|的取值范圍為[2,18].

角度3與距離有關(guān)的最值

彳列(2024.江蘇南京金陵中學(xué)月考)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)曲線x=

?上的點p到直線l,x-y-2=0的距離的最大值為a,最小值為b,則a

一b的值為(C)

A.坐B.j

C.乎+1D.2

［解析］將F化為f+G—i)2=i,x*0,所以圓心(0,1),半徑廠

=1,因為圓心到直線x—y—2=0的距離d=乎，所以圓上的點到直線的最小

距離6=平一1,最大值為(0,2)到直線的距離，即。=三=2吸，則a—6=乎+

1.故選C.

［引申］本例中若P(x,y),則f+y2+2x的最大值為2+2、也.

［解析］f+y2+2x=(x+l)2+y2—1表示半圓上的點到(―1,0)距離的平方

減1,而半圓上點至(J(—4,0)距離的最大值為止+1,.../+;y2+2x的最大值為(6

+1)2—1=2+2*\/2.

名師點撥：與圓有關(guān)的最值問題的常見解法

要明確目標代數(shù)式的幾何意義

(1)形如〃=?形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.

XCL

(2)形如力形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

(3)形如(x—a)2+(j—切2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平

方的最值問題.

(4)圓上的點到定點(定直線)距離的最大值與最小值可轉(zhuǎn)化為圓心到定點(定

直線)距離與半徑的和與差.

【變式訓(xùn)練】

(2024.江西穩(wěn)派上進名校聯(lián)盟聯(lián)考)“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚

互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標系中的

“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點P(x,y)是陰影部分(包括邊界)的動點，

則的最小值為(c)

A23

A.—B.—2

4

C.—]D.—1

［解析］記A(2,0),則左=卷為直線AP的斜率，故當直線AP與半圓％2

Ji乙

|一1—2總

+。-l)2=l(x>0)相切時，得上最小，此時設(shè)AP：y=k(x-T),故=1?

44

解得］或左=0(舍去)，即左min=-1故選C.

育與“圓的切線——師生共研

例J1.(2024.浙江強基聯(lián)盟聯(lián)考)過圓f+y2=i上點《一坐，陰的切線方

程為y=x+也.

［解析］由題知，kop=-L則k切緣=1,所以切線方程為y=x—(—+

羋,即y=x+j.

2.(2024.四川達州外國語學(xué)校測試)已知圓C：(x+1)2+(>一2>=4,則過點

P(l,3)與圓C相切的直線I的方程為x=l或3x+4y—15=0.

［解析］當過點尸的直線斜率不存在時，其方程為x=l,顯然到圓心C(—

1,2)的距離等于半徑2,故是圓的一條切線；當過點P的直線斜率存在時，設(shè)其

\-k-2-k+3\3

方程為y—3=k(x—1),即kx—y—左+3=0,由=2得2，故

、皆+1

切線的方程為3x+4y—15=0.

［引申］本例2中過兩切點的直線方程為2x+y—4=0.

［解析］解法一：設(shè)兩切點為A、B,由CALBL,CB1PB知P、A、C、B

四點共圓且其方程為f+卜一114兩圓方程相減得AB方程為2%+y—4=0.

解法二：kpc=；,故可設(shè)過切點A、3的直線的方程為2x+y+c=0,設(shè)A3

AC2羋.即C到AB的距離耳

交PC于由AC=2,PC=小知CH=

~PC〉75

解得c=—4或4(舍去)，故AB方程為2x+y—4=0.

名師點撥：解決直線與圓相切問題的策略

注意

考慮

斜率

不存

在的

情況

】

訓(xùn)練

【變式

4

+y-

線/：x

。為直

,點

/=2

f+;

圓。：

)已知

基檢測

一中雙

南昆明

4?云

(202

QR

形OE

四邊

，當

切點

R是

線，E,

兩條切

C的

是圓

,QR

，QE

動點

一個

上的

=0

(A)

方程為

R的

直線E

時，

最小

面積

l=0

—y+

B.%

1=0

尤+廠

A.

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