2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線與圓

專題07直線與圓

2024年真題研析

一、多選題

1.(2024新高考II卷?10)拋物線C：丁=4尤的準(zhǔn)線為/,尸為C上的動點(diǎn)，過尸作

OA:Y+(y-4-=1的一條切線，。為切點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為8,貝IJ()

A.1與。A相切

B.當(dāng)尸，A,8三點(diǎn)共線時，|尸。|=后

C.當(dāng)|PB|=2時，PA±AB

D.滿足1尸4月夫?yàn)榈狞c(diǎn)P有且僅有2個

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=T,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，P,A,B

三點(diǎn)共線時，先求出尸的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)|尸耳=2先算出尸的坐標(biāo)，

然后驗(yàn)證％MKB=T是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，|尸明=歸耳，于是問題轉(zhuǎn)化

成1PH=仍尸|的尸點(diǎn)的存在性問題，此時考察"的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個數(shù)即可，亦可

直接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線V=4x的準(zhǔn)線為x=-l,

。4的圓心(0,4)到直線廠一1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和OA相切，A選項(xiàng)正確；

一、單選題

1.(2023新高考I卷-6)過點(diǎn)(0,-2)與圓f+y-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,則

sina=()

A.1B.姮C.典D.逅

444

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線

的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可

得公+8左+1=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：因?yàn)?+4x-l=0,即（x—2y+y2=5,可得圓心C（2,0）,半徑

r=A/5，

過點(diǎn)尸（0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B,

因?yàn)閨P<="2+（_2）2=24,貝！J|PA|=J|PC『一「=JL

h劣曰?/AV5V10V3^6

可sin^APC=—產(chǎn)=---,cos尸C=—產(chǎn)=—,

27242夜4

貝（IsinZAPB=sin2NAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x巫x^=巫，

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即/AP3為鈍角,

所以sina=sin（兀一ZAPS）=sinZAPB=

法二：圓/+、2-4*-1=0的圓心C（2,0）,半徑r=百,

過點(diǎn)P（0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B,連接AB,

可得|PC|=衣+（一2）2=2后，則\PA\=\PB\=產(chǎn)=也，

因?yàn)閨_21cosZAPS=|一21CB|cosZAC8

S.ZACB=Ti-ZAPB,貝1|3+3—6cosZAP5=5+5-10COS（TI-ZAP5）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosZAPB=--<0,

4

即/AP3為鈍角，貝!Jcosa=COS（JT-NAPZ?）=-COSNAPB=；,

且a為銳角，所以sina=—cos2a=些5；

方法三：圓尤2+/_以-1=0的圓心C（2,0）,半徑r=百,

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=履-2,即近7-2=0,

則'/,==15,整理得上2+8左+1=0,且△=64—4=60>。

“2+1

設(shè)兩切線斜率分別為k3k”則kx+k2=-8,%=1,

可得上_左21=1（ki+&y—4上他=2V15，

所以tana=}=岳,即2吧=小，可得cosc=^

1+kxk2cosavl5

nta.22-2sina1

叫!Jsina+cosa-sina-x------=1，

15

且ae（0,兀），貝！］sina>0,解得sina=.

故選：B.

2.（2022新高考H卷-3）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA',BB',CC',￡>r>'是桁，相

鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中

O2，CG，84，AA是舉，on，￡>G，s，%是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

奈=°57^=加7^=%，胃1=心?已知匕，白，％成公差為0」的等差數(shù)列，且直線Q4

D/\

的斜率為0.725,則/二（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設(shè)。〃=。6=。?|=網(wǎng)=1,則可得關(guān)于％的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)。A=DQ=C4=網(wǎng)=1,則CC,=k「BBi=",

DP,+Cq+BB+AA

依題意，有&-0.2=-0.1=笈2，且ll=0.725,

。2+DC1+CT+B4

所以生乎空=°儂，故-。-9,

故選：D

二、填空題

3.（2022新高考I卷?14）寫出與圓爐+^］和（蘢-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的

方程.

【答案】y=-J3龍+］5或〉=￡7工一2皂5或x=-l

442424

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］：顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+〃y+c=o,

工B?」|3+4Z?+c|

于是右岸印'

Jl+Z?2

故。2=1+廿①，|3+4Z?+c|=|4c|.于是3+4〃+c=4c或3+48+c=Tc,

,244

再結(jié)合①解得I或，或<

c=l255

1c=---c=——

[7〔3

所以直線方程有三條，分別為x+l=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.

（填一條即可）

［方法二］:設(shè)圓V+y2=l的圓心0（0,0）,半徑為a=1,

圓(X—3)2+(y—4)2=16的圓心C(3,4),半徑々=4,

^\OC\=5=rl+r2,因此兩圓外切,

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=O符合題意；

又由方程(尤-3)2+”-4=16和Y+/=1相減可得方程3尤+4y-5=0,

即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x-3y=0,

4

直線OC與直線x+l=O的交點(diǎn)為

設(shè)過該點(diǎn)的直線為y+0"(x+i),則，T解得左=三，

3行」24

從而該切線的方程為7x-24y-25=0.(填一條即可)

［方法三］:圓/+丁=1的圓心為。僅⑼，半徑為1,

圓(x-3)~+(>-4)2=16的圓心。1為(3,4),半徑為4>

兩圓圓心距為斤彳=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖，

當(dāng)切線為1時，因?yàn)椋?耳4，所以勺=-3=,設(shè)方程為y=-33+k>0)

d=-=1535

O到1的距離rJ~"v，解得/=],所以i的方程為＞=-；%+],

，

V+l6444

當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為依+y+p=0,其中。＞0,k＜0,

k」

y/1+k224725

由題意＜，解得—x-----

|3左+4+p\252424

P=---

V1+F24

當(dāng)切線為n時，易知切線方程為--1,

故答案為：y=3》+51或＞=三7元一2§5或x=-l.

442424

4.（2022新高考H卷15）設(shè)點(diǎn)A（-2,3）,3（0,“），若直線AB關(guān)于y=。對稱的直線與圓

5+3f+㈠+2）2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是

【答案】

【分析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于y="對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心到直

線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：4（-2,3）關(guān)于y=o對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2,2a-3）,8（0,。）在直線y

上，

所以A3所在直線即為直線/,所以直線/為尸二x+a,即S-3）x+2y-24=0；

圓C:（x+3y+（y+2）2=l,圓心C（—3,—2）,半徑廠=1,

依題意圓心到直線I的距離d=

“"3)2+22

1313

即（5-54）92＜（“一3）9一+22,解得即“e

D乙乙.

-13一

故答案為：j,-

5.（2023新高考H卷J5）已知直線/：x-7町+1=0與。C:（尤—iy+y2=4交于A,8兩點(diǎn),

Q

寫出滿足“AABC面積為的m的一個值_____

【答案】2（2,-2,，-3中任意一個皆可以）

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長|相|,以及點(diǎn)C到直線AB的距離，結(jié)合面

積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線48的距離為d,由弦長公式得|A邳=2"-/,

所以力,=：'4'2>/4-/=5,解得：［=述或］=也，

2355

,,|1+1|2-r24A/5?22后曲伯C-

由d==./；，所以1-------或/-----------7=^^，解得：加=±2或

y/l+mVl+mNl+m5<l+m5

m=±—.

2

故答案為：2（2,-2,；,-g中任意一個皆可以）.

必備知識速記

一、直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與x軸相交，則以了軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)直至與/重合所成的角稱

為直線/的傾斜角，通常用分，2,…表示

（1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0

（2）傾斜角的取值范圍ae［0,萬）

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為a,則a的正切值稱為直線的斜率，記為左=tana

（1）當(dāng)&=工時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

（2）傾斜角a與斜率上的關(guān)系

當(dāng)左=0時，直線平行于軸或與軸重合；

當(dāng)左>0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨左的增大而增大;

當(dāng)左<0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨左的增大而增大;

3、過兩點(diǎn)的直線斜率公式

已知直線上任意兩點(diǎn)，4（苞，％）,8（尤2，%）則左="—―

X2—X]

（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無關(guān).

（2）若％=々，則直線AS的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°

4、三點(diǎn)共線

兩直線AB,AC的斜率相等-4B、C三點(diǎn)共線；反過來，AB、C三點(diǎn)共線，則直線

AB,AC的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在.

二、直線的方程

1、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-yi=k(x-x1)不含垂直于無軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y一%二

兩點(diǎn)式不含直線％=芭（％A%）和直線＞=

%一X"不

截距式w不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

ab

Ax+Bj+C=0

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

(A2+B?w0)

2、求曲線（或直線）方程的方法

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法

則需找到兩個點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方

程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）

3、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)6的坐標(biāo)分別為（百，%）,（馬，為）且線段48的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（X，＞），貝U

X+M

X=-----

＜2，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

/V=2

4、兩直線的夾角公式

若直線y=《x+4與直線y=+的夾角為a,貝l]tana=f2,，

1+卒2

三、兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

4:4%+與,+￡=0A^B2—A2Bl=0且

W+BXB2—o

1?:4%+32y+c?=o81G—B?C]w0

/?y=k,x+b,'一一,

:71（斜率存在）

左=后2,4或

i2'-y=k2%+%匕?%=-1或尤與&中有一個為0,

,“二"(斜率不存在)X=Xy,X=X2,XlW%2另一個不存在.

l2:x=x2

四、三種距離

1、兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)片(%,%),6(尤2,%)的距離公式為I<61=依-")2+(乂-%)2-

特別地，原點(diǎn)o(o,0)與任一點(diǎn)P(尤,

2、點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)心(尤0,%)到直線l-.Ax+By+C=0的距離』=四瑁型士￡1

A/A2+B-

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)《(%,%)到/的距離d=|〃LXol；若直線為/：y=n,則點(diǎn)

月(%,%)到I的距離d=|n-y0I

3、兩條平行線間的距離

已知44是兩條平行線，求4,間距離的方法：

(1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

(2)設(shè)/i：Ar+Bv+C1=0,/2：Ac+By+G=0,則？與I,之間的距離d=

A/A2+B2

注：兩平行直線方程中，x,y前面對應(yīng)系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式f(x)=g2+ax+q土)生/+刈彳+生型函數(shù)求解,首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者

利用單調(diào)性求解.

五、圓

1、圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a>+(y-6)2=產(chǎn)，圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r(r>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標(biāo)為

DE\業(yè)以y/D2+E2-4F

—,,半徑r=

22)2

(3)圓的直徑式方程：若4(和％),3(々,％)，則以線段A8為直徑的圓的方程是

(%-%1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

(1)點(diǎn)尸(%,%)與圓(x-a『+(y-b)2=r-的位置關(guān)系:

①(無一。)2+(y-b)2>/O點(diǎn)尸在圓外;

②(尤-a)。+(y-b)2=尸o點(diǎn)P在圓上;

③(x-a)2+(y-b>=點(diǎn)尸在圓內(nèi).

(2)點(diǎn)尸(%,%)與圓尤2+/+瓜+4+p=(J的位置關(guān)系:

①x；+y；+Dx。+號0+尸>0=點(diǎn)P在圓外;

②片+y；+￡)尤0+號0+/=0O點(diǎn)P在圓上;

:)

③*+尤+瓜()+坳)+e<00點(diǎn)7在圓內(nèi).

六、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系判斷

(1)幾何法(圓心到直線的距離和半徑關(guān)系)

圓心(°力)至1|直線Ax+By+C=Q的距離，則d=IA憶"+。.

VA2+B2

d<ro直線與圓相交，交于兩點(diǎn)尸,。，|人。|=242一相；

d=ro直線與圓相切；

d>ro直線與圓相離

（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）

（Ax+By+C=Q

由+（y-b）2=〃'

消元得到一元二次方程px2+qx+r=0，px2+qx+r=0判別式為4,貝U：

A>00直線與圓相交；

A=0o直線與圓相切；

A<00直線與圓相離.

七、兩圓位置關(guān)系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓0,02的半徑分別是（不妨設(shè)R>r）,且兩圓的圓心距為d,貝必

d<R+r=兩圓相交；

d=R+廠<=>兩圓外切；

R-r<d<R+r=兩圓相離

d=R-r=兩圓內(nèi)切；

0<d<R-ro兩圓內(nèi)含（d=0時兩圓為同心圓）

設(shè)兩個圓的半徑分別為R,r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示:

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

幾何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【直線與圓常用結(jié)論】

一、直線

1>點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)尸（不，為）關(guān)于點(diǎn)e（x0，為）的對稱點(diǎn)為

Xj+x2

P(%,%)，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有V2

%=

2

可得對稱點(diǎn)P'(x2，為)的坐標(biāo)為(2%-不，2%-%)

2、點(diǎn)關(guān)于直線對稱

點(diǎn),%)關(guān)于直線/:Ar+為+C=0對稱的點(diǎn)為尸'(馬，％)，連接PP，交/于Af點(diǎn),

則/垂直平分尸尸，，所以尸P,/,且加為pp中點(diǎn)，又因?yàn)?在直線/上，故可得

k1,kppr——1

解出(々，必)即可?

A^JA±AC

2+B2+=0

3、直線關(guān)于點(diǎn)對稱

法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再

由兩點(diǎn)式求出直線方程；

法二：求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對稱

求直線4:亦+6y+c=0，關(guān)于直線(：公+0+f=O(兩直線不平行)的對稱直線4

第一步：聯(lián)立6算出交點(diǎn)P(x。，％)

第二步：在4上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))0(%,%),利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱

點(diǎn)。'(々，力)

第三步：利用兩點(diǎn)式寫出4方程

5、常見的一些特殊的對稱

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x,-y),關(guān)于V軸的對稱點(diǎn)為(-x,y).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為(y,尤)，關(guān)于直線丁=-%的對稱點(diǎn)為(-y,-x).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線尤=。的對稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=6的對稱點(diǎn)為(x,2b-y')-

點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,6)的對稱點(diǎn)為(2a-x,2b-y)-

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=上的對稱點(diǎn)為(左-y,k—x)＞關(guān)于直線x-y=Z的對稱點(diǎn)為

(k+y,x-k)■

6、過定點(diǎn)直線系

過已知點(diǎn)P(尤0,%)的直線系方程y-%=^(x-尤0)(左為參數(shù)).

7、斜率為定值直線系

斜率為人的直線系方程y=區(qū)+6(6是參數(shù)).

8、平行直線系

與已知直線Ax+By+C=O平行的直線系方程Ar+By+；l=O(%為參數(shù)).

9、垂直直線系

與已知直線Ar+珍+C=0垂直的直線系方程&-Ay+4=0(力為參數(shù)).

10、過兩直線交點(diǎn)的直線系

過直線4：Ax+4y+G=o與4：4x+B2y+G=o的交點(diǎn)的直線系方程：

Ax+8]y+G+彳+z?2y+C])=0(4為.

二、圓

1、圓的參數(shù)方程

①/+V=產(chǎn)(/>0)的參數(shù)方程為卜="°s"(，為參數(shù))；

[y=rsin^

@(x-a)2+(y-Z?)2=r2(r>0)的參數(shù)方程為一"+((9為參數(shù)).

[y=b+rsinO

注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為

(a+rcos0,b+rsin0)(。為參數(shù)，(a,匕)為圓心，r為半徑)，以減少變量的個數(shù)，建立三

角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解

最值.

2、關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論

2

(1)過圓/+y2=/上一點(diǎn)P(x0,%)的圓的切線方程為xox+yoy=r-

2

(2)過圓(x—a)?+(y—b)2=r上一■點(diǎn)P(x0,%)的圓的切線方程為

(%-a)(x-a)+(x)-b)(y-b)=戶

(3)過圓x2+y2+Dx+段+戶=0上一點(diǎn)尸(％,%)的圓的切線方程為

xttx++D-x；"。+E-寸+尸=0

(4)求過圓/+V=/外一點(diǎn)尸(%,%)的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：

①所求切線一定有兩條；

②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論.設(shè)切線方程為

y-y0=k(x-x0),利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于k的方程，求出必直.若求

出的女值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的女值只有一個，則說明斜

率不存在的情形符合題意.

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?江西新余?二模）已知直線了—0=0交圓C：/+/一2瓜一2y=0于N兩

點(diǎn)，貝『'△MCN為正三角形''是"a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】求出圓的圓心及半徑后，結(jié)合正三角形的性質(zhì)可計算出當(dāng)為正三角形時。

的值，結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.

【詳解】由C：/+/一2&一2y=0可得其圓心為半徑廠=2,

-k/3-a

圓心到直線x一毆=0的距離

V1W

若以1辦為正三角形，則有"

即a2+go=0,解得a=0或a=-幣,

故"4MCN為正三角形”是“a=0”的必要不充分條件.

故選：B.

2.（2024.陜西西安.三模）若過點(diǎn)P（0,l）可作圓/+'2_2計4>+0=0的兩條切線，則。的取

值范圍是（）

A.（3,+oo）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5,+oo）

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外即可求解.

【詳解】圓爐+y2-2x-4y+a=0,即圓+（丁一2）2=5-a,貝!）5-a>0,解得〃<5.

過點(diǎn)尸（0,1）有兩條切線，則點(diǎn)P在圓外，J（l_0y+（2_1）2>^/^,即2>5-a,解得

a>3.

故3<a<5.

故選：C

3.（2024?北京?三模）已知A（-l,0）,8（1,0）,若點(diǎn)P滿足PAJLPB,則點(diǎn)尸到直線

/:〃Z（X-A/§）+〃GT）=0的距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先確定尸的軌跡以及直線/過的定點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)特點(diǎn)求最值.

【詳解】由尸A，依可得點(diǎn)尸的軌跡為以線段為直線的圓，圓心為（0,。），半徑為1,

又直線/:w（x-百）+〃（y-l）=0>其過定點(diǎn)（抬,1）,

故距離的最大值為"71+1=3.

故答案為：C

4.（2024?四川成都?三模）已知直線4：x-ay+l=。?C:（x-a）2+（j；-l）2=1相交于

A3兩點(diǎn)，若AASC是直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1或-1B.幣或一幣C.或-1D.-y或

【答案】A

【分析】根據(jù)題意ULBC是等腰直角三角形，可得圓心C到直線4的距離為正，利用點(diǎn)

2

到直線的距離公式求解.

【詳解】根據(jù)題意，圓C的圓心半徑廠=1,易知AASC是等腰直角三角形，

-a+

解得a2=1)

所以。=1或-1.

故選：A.

5.（2024?湖南邵陽?三模）已知直線/：尤-y-2=0與圓0：x2+y2=l,過直線/上的任意

一點(diǎn)尸作圓。的切線P4,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則的最大值為（）

3兀27r7T71

A.—B.—C.—D.一

4326

【答案】C

【分析】由題意可得sinNAP。=血，可知當(dāng)OP最小時，ZAPB最大,結(jié)合點(diǎn)到直線的

距離公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：圓0:/+/=1的圓心為0(0,0),半徑為1,

121

則圓心。到直線/的距離為戈=0>1,可知直線/與圓。相離,

OA1

因?yàn)榍?/p>

NAP3=2/APO,sinNAPO=OP~\OP\*

當(dāng)|OP|最小時，貝Usin/APO最大，可得ZAP。最大，即44P3最大,

又因?yàn)閨。目的最小值即為圓心。到直線/的距離為

sinZAPO=—,ZAPO=-,所以NAP3取得最大值色.

242

故選：C.

6.(2024.重慶?二模)已知圓。:1+丁=3,尸是圓。外一點(diǎn)，過點(diǎn)p作圓0的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A,8,若=則|8|=()

A.76B.3C.273D.后

【答案】C

【分析】設(shè)ZAPO=/BPO=a,|OP|=x(x>有)，可得cos/APB=1-：，進(jìn)而可得

PAPB=|PA|2cosZAPB=|=>(x2=|,求解即可.

【詳解】由/+丁=3,可得圓心。(0,0),半徑廠=6,

A

P

設(shè)ZAPO=ZBPO=a,\OP\=x(x>百),

貝(Isincr=,coscr="JPA|=|PB|=^x2-3,

26

cos^APB=COS2<7=1-2sina=l——-,

x

貝!]有而.而=|可12cosZAPB=|=(X2_3)1]_§)=2

n2xJ27f+36=0,

解得(2爐-3)(X2-12)=0,-.-%2>3,.-.X2=12,即x=.

故選：C.

7.(2024.北京.三模)已知圓C:(x-白『+(y-l)2=i和兩點(diǎn)A(T,0),B?,0)?>O),若圓

C上存在點(diǎn)P,使得聲.而=0，貝！R的取值范圍為()

A.(0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【答案】B

【分析】由西.方=0知點(diǎn)尸的軌跡方程是以A3位直徑的圓，可得卜-1區(qū)|0。<，+1,即

可求出f的取值范圍.

【詳解】可?而=0說明尸在以為直徑的圓1+丫2=/上，

而尸又在圓C上，因此兩圓有公共點(diǎn)，

則圓心距位于半徑差的絕對值與半徑和的閉區(qū)間中，

所以1T<|OC|Wf+l,gp|f-l|<2<r+l,又f>0,解得1MY3.

故選：B

8.（2024.山東煙臺?三模）若圓尤2+9+辦+血了+2。-3=0與％軸沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,-H?）

【答案】C

【分析】求出圓心坐標(biāo)利用幾何法得到不等式，解出即可.

【詳解】x?+y?+以+^y+2a-3=0即（尤+'l'J+y+=^a2-2a+^-,

—6r—2。H—>0,解得。<3或a>5,

44

且其圓心坐標(biāo)為若該圓與x軸沒有交點(diǎn)，

則-2a+g解得“?2,3）U（5,6）

故選：C.

9.（2024.北京.三模）已知直線/:ax+（a+l）y+2=0,H0:x2+/=16,下列說法箱卷的

是（）

A.對任意實(shí)數(shù)。，直線/與圓。有兩個不同的公共點(diǎn)；

B.當(dāng)且僅當(dāng)。=-；時，直線/被圓。所截弦長為4貝；

C.對任意實(shí)數(shù)。，圓。不關(guān)于直線/對稱；

D.存在實(shí)數(shù)。，使得直線/與圓。相切.

【答案】D

【分析】求出直線/所過的定點(diǎn)，并判斷該定點(diǎn)與圓。的位置關(guān)系，再逐項(xiàng)分析判斷即可

得解.

fx+y=0fx=2

【詳解】直線/：。（尤+y）+y+2=o,由:…解得.即直線/恒過定點(diǎn)

U+2=01y=-2

A（2,-2）,

圓。的半徑r=4,|OA|=722+（-2）2=2V2<4,即點(diǎn)A（2,-2）在圓。內(nèi),

對任意實(shí)數(shù)。，直線/與圓。有兩個不同的公共點(diǎn)，A正確，D錯誤；

直線/不過圓。的圓心，因此對任意實(shí)數(shù)“，圓。不關(guān)于直線/對稱，C正確；

直線Q4的斜率上=-1,當(dāng)時，直線/的斜率為---=1,因此直線

2a+1

此時直線/被圓。所截弦是過點(diǎn)A的最短弦，最短弦長為262Tom2=4a,

因此當(dāng)且僅當(dāng)“=-之時，直線/被圓。所截弦長為4&，B正確.

故選：D

10.（2024?江西鷹潭?三模）已知機(jī)ER,直線4:如+>+2加=0與6：X-沖+4加=0的交點(diǎn)

P在圓C：（%-3）2+（廣4）2=/（『>0）上，貝"的最大值是（）

A.4A/2B.3亞C.2乖D.375

【答案】D

【分析】根據(jù)兩直線方程可知兩直線分別過定點(diǎn)且垂直，可求得P點(diǎn)軌跡方程，再由圓與

圓的位置關(guān)系找出圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】易知直線4：困+V+2m=0恒過定點(diǎn)A（-2,0）,

直線l2-.x-my+4m=。恒過定點(diǎn)B（0,4）,

且機(jī)X1+1X（T〃）=0,易知直線4與互相垂直，即可得ZAPB=90°,

所以尸點(diǎn)軌跡是以A3為直徑的圓，圓心為A8的中點(diǎn)（-L2）,半徑為正；

可得P點(diǎn)軌跡方程為（x+if+（y-2）2=5；

又因?yàn)槭c(diǎn)在圓C上，所以可得圓（x+iy+（y-2）2=5與圓C有公共點(diǎn)，

當(dāng)兩圓內(nèi)切（圓C在外）時，廠取得最大值；

此時滿足J（3+iy+（4-2）2=/-解得廠=3百.

故選：D

二、多選題

11.(2024.湖南長沙.三模)已知圓C:(x+2『+y2=4,直線

Z:(m+l)%+2_y-l+/7i=0(meR),貝|()

A.直線/恒過定點(diǎn)

B.當(dāng)m=0時，圓C上恰有三個點(diǎn)到直線/的距離等于1

C.直線/與圓C可能相切

D.若圓C與圓尤2+丁-2》+8,+。=0恰有三條公切線，則a=8

【答案】AD

【分析】本題先根據(jù)直線1的方程判斷出直線1恒過的定點(diǎn)，再判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)

系，可解決選項(xiàng)A和選項(xiàng)C的問題；根據(jù)圓心到直線/(機(jī)=。)的距離判斷滿足條件點(diǎn)的個

數(shù)，可解決選項(xiàng)B的問題；由選項(xiàng)D的條件可得兩圓外切，由此可求得參數(shù)a的值.

【詳解】由直線/:(〃？+l)x+2y-l+機(jī)=。(機(jī)eR),得w(x+l)+x+2y-l=0,

(x+1=0(x=—l

因?yàn)樾R,則滿足g[八，解得]，

[x+2y-l=0[y=l

所以直線恒過定點(diǎn)(-1,1),故選項(xiàng)A正確.

因?yàn)楫?dāng)機(jī)=0時，直線/為:x+2y-1=0,

則圓心C(-2,0)到直線/的距離為

則此時直線/與圓相交所得劣弧的頂點(diǎn)到直線/的距離4=2-警e(0,1),

所以圓上只有2個點(diǎn)到直線的距離為1,故選項(xiàng)B錯誤.

因?yàn)橹本€/過定點(diǎn)(-1,1),又(-1+2)2+12<4,

所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線/與圓C一定相交，故選項(xiàng)C錯誤.

由圓的方程x2+y2-2x+Sy+a=0可得，(x—l)2+(^+4)2=17—a,

所以圓心為(LT),半徑為

因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，

則“1+2）2+（0+4）2=5=2+117-a,解得a=8,故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

12.（2024?山西臨汾?三模）已知是以C（l,2）為圓心，血為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，且

滿足CEJ.CF,尸是砂的中點(diǎn)，若存在關(guān)于（3,0）對稱的A8兩點(diǎn)，滿足丙.而=0,則

線段AB長度的可能值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】BCD

【分析】由已知得出尸點(diǎn)軌跡是以c為圓心，1為半徑的圓，得出1Pq的范圍，再結(jié)合直

角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得出范圍，進(jìn)而判斷出答案.

【詳解】因?yàn)镃E，C￡|CE|=|（才|=夜，

所以忸制=J|CE[+|c殲=2,

因?yàn)镻是斯中點(diǎn)，所以|”|=義所|=1,

所以尸點(diǎn)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

設(shè)（3,0）為點(diǎn)則|C￡）|=J（l_3）2+（2_0）2=^/^=2夜,

所以|尸。以20-1,2&+1],

又可?麗=0，A8兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)0（3,0）對稱，

所以AP/R為直角三角形，且。為斜邊48中點(diǎn)，貝！）|筋|=2|「4，

所以|"04應(yīng)-2,4忘+2],

故選：BCD.

13.（2024?河南鄭州三模）已知直線/:原+勿+1=0（a,不同時為0）,圓

C:x2+y2-2x=0,貝!]（）

A.當(dāng)從一2a=1時，直線/與圓C相切

B.當(dāng)a+b=-2時，直線/與圓C不可能相交

C.當(dāng)。=1/=-1時，與圓C外切且與直線/相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線

D.當(dāng)。=1,6=-1時，直線/與坐標(biāo)軸相交于A8兩點(diǎn)，則圓C上存在點(diǎn)尸滿足

PAPB=0

【答案】ACD

【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離

即可判斷A,利用特殊值判斷B,根據(jù)拋物線的定義判斷C,求出以48為直徑的圓的方

程，即可判斷兩圓相交，從而判斷D.

【詳解】圓+丁-2》=0即（》一1）2+9=1,圓心為C（l,0）,半徑r=l；

對于A：若/一2a=1,則圓心到直線的距離

”匕+1|_|。+1|—匕+1|「一

[a'+HJ42+2cl+1J（a+1『，

所以直線/與圓C相切，故A正確；

對于B：當(dāng)a=0,6=-2時滿足。+6=-2,此時直線方程為了=-;，

則圓心到直線的距離為：＜小顯然直線與圓相交，故B錯誤；

對于C：當(dāng)。=1,6=-1時直線/:x-y+l=0,則直線x-y+l+四=0與直線/平行，

1+V2-1

"+（-以

依題意動圓圓心到直線X7+1+右=。的距離與到C。,。）的距離相等,

且點(diǎn)C(1,O)不在直線x-y+l+&=0上，

根據(jù)拋物線的定義可知動圓圓心的軌跡是一條拋物線，故C正確；

對于D：不妨令5(0,1),A5的中點(diǎn)為又|鉆|=0,

所以以為直徑的圓的方程為卜+

X\CD\=1-1-1J+Q-OJ=^2<^+1,所以圓。與圓C相交，

14.(2024.山東青島?三模)已知動點(diǎn)M,N分別在圓￡:(x-iy+(y-2)2=l和

C2:(尤-3)2+(y-4)2=3上，動點(diǎn)尸在x軸上，則()

A.圓C?的半徑為3

B.圓G和圓C?相離

C.|PM|+|PN|的最小值為2&U

D.過點(diǎn)P做圓G的切線，則切線長最短為指

【答案】BD

【分析】求出兩個圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓G關(guān)于x對稱的圓方程，利用圓的性

質(zhì)求出最小值判斷C；利用切線長定理求出最小值判斷D.

【詳解】圓G的圓心51,2),半徑a=1,圓C?的圓心C?(3,4),半徑2=6，

對于A,圓G的半徑為白，A錯誤；

對于B,|CCI=2A/5>1+石，圓G和圓G相離，B正確

對于C,圓G關(guān)于X軸對稱的圓為G：(xT)2+(y+2)2=l,C0(l,-2),連接C°C2交X于點(diǎn)

P1,連接4G，

由圓的性質(zhì)得，+|PN,pG卜1+|PC?卜石=\PC0\+\PC2|-1-V3

>iq,C2|-l-V3-2VK)-l-V3,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸與《重合，

且M,N是線段《G/G分別與圓G和圓Cz的交點(diǎn)時取等號，c錯誤；

對于D,設(shè)點(diǎn)P&0),過點(diǎn)尸的圓C1的切線長IPA1=y/pc；_AC；=-1)2+22-12道,

當(dāng)且僅當(dāng)f=l,即尸。,0)時取等號，D正確.

15.(2024?浙江溫州?二模)已知圓G：/+y2=6與圓G：/+y2+2x-a=。相交于A,?兩

點(diǎn).若SAGAB=2SAC/K,則實(shí)數(shù)。的值可以是()

2214

A.10B.2C.—D.—

33

【答案】BD

【分析】

根據(jù)題意，由條件可得弦48所在的直線方程，然后將以『8=22『8轉(zhuǎn)化為圓心到直線

的距離關(guān)系，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得弦48所在的直線方程為￡-Cz:2x+6-Q=0,

因?yàn)閳AG：/+y2=6,圓心G(0,0),

圓G:+y2+2x-a=0,圓心G(TO)，

設(shè)圓心G(0,0)與圓心G(TO)到直線AB的距離分別為d、a,

因?yàn)?2S,即51ABl=2x—|AB|-d2,

\6-a\\-a\

所以4=24,又4=M@=L\4

TT，

即/=2XE?,化簡可得3a2