河北省承德市重點高中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷（含答案）

河北省承德市重點高中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=3?i，則z的虛部為（）A．-2 B．-1 C．?2i D．22．下列說法中不正確的是（）A．零向量與任一向量平行B．方向相反的兩個非零向量不一定共線C．單位向量是模為1的向量D．方向相反的兩個非零向量必不相等3．在△ABC中，若AB=3，BC=4，A．?16 B．16 C．9 D．04．若α∈(0，π2)，A．26+16 B．26?165．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．有無數(shù)解6．已知△ABC的三邊長分別為a，a+3，a+6，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為（）A．23 B．34 C．457．已知點O是△ABC所在平面內(nèi)一點，若非零向量AO與向量(ABA．∠OAB=∠OAC B．OAC．|OB|=|OC8．將函數(shù)y=sin2x+3cos2x的圖象向右平移φ(0<φ<π2)個單位長度后得到f(x)的圖象，若f(x)A．(π8，C．[π4，二、多選題9．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則（）A．z+z為實數(shù) B．z?C．z2為實數(shù) D．z10．已知函數(shù)f(x)=|tanx|，則下列關(guān)于函數(shù)A．函數(shù)f(x)的最小正周期為πB．函數(shù)f(x)在(kπ，C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=πD．f(11．已知非零向量a，b滿足|aA．若a，b共線，則|B．若a⊥bC．若a2+16D．a(chǎn)12．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(sinA+sinBA．c?a=acosC B．a(chǎn)>c C．c>a 三、填空題13．計算：|3+i1?i14．已知|a|=3，向量b在a上的投影向量為?2315．已知某扇形材料的面積為3π2，圓心角為π3，則用此材料切割出的面積最大的圓的周長為16．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若O為△ABC的重心，OB⊥OC，3b=4c，則cosA=．四、解答題17．已知虛數(shù)z滿足|z|=5（1）求證：z+5iz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線（2）若z是方程2x2+4x+k=0(k∈R18．已知函數(shù)f(（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[?43，19．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，（1）求角A；（2）若△ABC的周長為33，且△ABC外接圓的半徑為1，判斷△ABC的形狀，并求△ABC20．已知向量a，b滿足|a|=2，(（1）求向量a與b的夾角θ；（2）求|a21．2023年的春節(jié)，人們積蓄已久的出行熱情似乎在這一刻被引爆，讓旅游業(yè)終于迎來真正意義上的“觸底反彈”.如圖是某旅游景區(qū)中的網(wǎng)紅景點的路線圖，景點A處下山至C處有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲?乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運行的速度為130m/min，索道AB長為（1）求山路AC的長；（2）乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？22．已知圓O的半徑為2，圓O與正△ABC的各邊相切，動點Q在圓O上，點P滿足AO+（1）求PA2（2）若存在x，y∈(0，+∞)，使得

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由z(1+i)=3?i，則z=3?i1+i=1?2i，所以z故答案為：A．

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則得z=1?2i，再結(jié)合虛部的概念即可得到答案．2．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)規(guī)定：零向量與任一向量平行，A正確，不符合題意；方向相反的兩個非零向量一定共線，B錯誤，符合題意；單位向量是模為1的向量，C正確，不符合題意；根據(jù)相等向量的定義：長度相等方向相同的兩個向量稱為相等向量，所以方向相反的兩個非零向量必不相等，D正確，不符合題意；故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量的定義、共線向量、相等向量的定義求解.3．【答案】B【解析】【解答】由AB=3，則AB2+B所以BC?故答案為：B．

【分析】根據(jù)題意得到AB⊥BC，再根據(jù)數(shù)量積和向量的加法法則即可求解．4．【答案】D【解析】【解答】因為α∈(0，π2所以cos(α?所以cos=2故答案為：D.

【分析】根據(jù)角的范圍，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式，利用兩角和的余弦公式進行求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】由正弦定理asinA=∵sin30°<∴5∵a>b，∴A>B，∴B只能為銳角的一個值，∴△ABC只有一個解.故答案為：C.

【分析】利用正弦定理得sinB=6．【答案】B【解析】【解答】設(shè)△ABC的最小內(nèi)角為α，由正弦定理得asinα=a+6又余弦定理得cosα=(所以a+62a=a+152(a+6)，解得故答案為：B．

【分析】設(shè)△ABC的最小內(nèi)角為α，利用正弦定理得到cosα=a+62a，再利用余弦定理得到7．【答案】D【解析】【解答】因為(AB所以BC與(AB因為AO與(AB|AB|cosB+ABC均無法判斷，D對.故答案為：D.

【分析】計算得出(AB→|8．【答案】C【解析】【解答】由y=sin2x+3將函數(shù)y=2sin(2x+π3)的圖象向右平移φ(0<φ<則f(x)=2sin[2(x?φ)+π由?π2+2kπ≤2x?2φ+π3又f(x)在(π，則kπ+π12+φ≥4π3即5π4又0<φ<π2，則當(dāng)k=1時，π4≤φ≤5π故答案為：C．

【分析】根據(jù)輔助角公式和圖象的平移變換得到f(x)=2sin(2x?2φ+π3)9．【答案】A,C,D【解析】【解答】因為z為純虛數(shù)，設(shè)z=mi(m∈R且m≠0)，則z由z+z由z?z由z2由=z故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)z=mi(m∈R且m≠0)，則z10．【答案】A,B,C【解析】【解答】函數(shù)f(x)=|tan由上圖象，易知：f(x)最小正周期為π、(kπ，kπ+π又f(π所以f(π故答案為：ABC.

【分析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)畫出f(x)=|tanx|圖象，即可判斷A、B、C的正誤，由正切函數(shù)及誘導(dǎo)公式求11．【答案】B,D【解析】【解答】對于A，由4=|a?4所以當(dāng)a，b同向時，?8a?b對于B，若a⊥b，則a?b=0對于C，由|a?4b|2對于D，由4=|a?4故答案為：BD．

【分析】當(dāng)a，b同向時即可判斷A；根據(jù)a⊥b，則a?b=0，再對|12．【答案】A,C,D【解析】【解答】由正弦邊角關(guān)系知：(a+b)2所以a2+b2?由上知：c?aa>0，即由c?a=acosC知：sinC?又0<C<π2，故0<C2<故答案為：ACD

【分析】利用正弦邊角關(guān)系可得a2+b2?c2=2b(c?a)13．【答案】5【解析】【解答】|3+i故答案為：5

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運算法則及模的公式即可求出答案。14．【答案】-6【解析】【解答】設(shè)向量a，b的夾角為由b在a方向上的投影向量為?2則|b|?cosθ?a所以a?故答案為：-6．

【分析】設(shè)向量a，b的夾角為15．【答案】2π【解析】【解答】設(shè)扇形所在圓半徑為r，∴1如圖：設(shè)割出的圓半徑為a，圓心為C，∴|CO|=ar=3=|CO|+|DC|=3a，故a=1，所以最大的圓周長為2π.故答案為：2π

【分析】根據(jù)條件求出扇形半徑r=3，設(shè)割出的圓半徑為a，圓心為C，由r=3=|CO|+|DC|=3a，求得a=1，從而求得圓的周長.16．【答案】5【解析】【解答】連接AO，延長AO交BC于D，由題意得D為BC的中點，OB⊥OC，所以O(shè)D=BD=CD=12a因為∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=94a又3b=4c，則bc故cosA=b故答案為：56

【分析】根據(jù)∠ADB+∠ADC=π及余弦定理建立方程得出b217．【答案】（1）證明：設(shè)z=a+bi(a，b∈R，所以z+5i所以z+5iz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a+b（2）解：同（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R，b≠0)，因為z是方程2x所以2(a+bi)所以2a2?2b2因為a2+b把a=?1，b=±2代入2a所以k=10，z=?1±2i.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得z+5iz=z+zi18．【答案】（1）解：由函數(shù)f(可得A=2，T4=2，即T=8=2πω，所以又因為f(?1)=2，即π4×(又由0<φ<π，所以φ=3所以函數(shù)f(x)的解析式為f(（2）解：由題意，函數(shù)y=f=2sin因為x∈[?43，所以當(dāng)π4x=π2，即x=2時，當(dāng)π4x=?π3，即x=?4【解析】【分析】（1）由函數(shù)f(x)的圖象，求得A=2，T4=2，得到f(x)=2sin(π4x+φ)19．【答案】（1）解：因為m⊥n，所以即2ccosA=acosB+bcosA.由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，因為sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，所以2sinCcosA=sinC.因為C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以因為A∈(0，π)，所以（2）解：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則R=1.由正弦定理，得a=2RsinA=3因為△ABC的周長為33，所以b+c=2由余弦定理，得a2即3=12?3bc，所以bc=3.則b+c=23所以△ABC為等邊三角形，△ABC的面積S=1【解析】【分析】（1）由m⊥n，可得2ccosA=acosB+bcosA，后由正弦定理結(jié)合sin(A+B)=sinC，即可得答案；

（2）由（1），△ABC的周長為33，且△ABC外接圓的半徑為1，可得b+c=23，然后由余弦定理可得20．【答案】（1）解：因為(a?2b因為|a|=2，所以4?4而a?b=2又θ∈[0，（2）解：因為|a|=2，所以|a所以|a【解析】【分析】（1）由|a|=2，(a?2b)21．【答案】（1）解：在△ABC中，因為cosA=1213，從而sinB=sin[π?(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=5由正弦定理ABsinC=AC所以山路AC的長為1260m；（2）解：假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲在D點，乙在E點.此時，AD=(100+50t)m，AE=130tm，所以由余弦定理得D=7400(t?3537)2故當(dāng)t=35【解析】【分析】（1）利用cosA=1213，cosC=35，可得sinA=522．【答案】（1）解：方法1，由題意知∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，∴OA∵AO∴PO=QP∵|∴=3=3=3+16+16+16+2PO方法2，如圖，以點O為坐標原點，直線OA為y軸，過點O與直線OA垂直的直線為x軸建立直角坐標系，則A(0，由AO+AQ=2AP得∵|OQ|=2PB=(?2則PA+[(（2）解：方法1，∵CP∵OA+OB+OC兩邊平方得：(，由（1）得OA?OB=?8∴15(x+