《彈性力學(xué)》 課件全套 王者超 第1-9章 緒論-空間問題

彈性力學(xué)2

第1章緒論§1.1彈性力學(xué)概述§1.2彈性力學(xué)的基本假設(shè)§1.3彈性力學(xué)理論發(fā)展過程§1.4彈性力學(xué)理論發(fā)展過程§1.5本書主要內(nèi)容3

§1.1彈性力學(xué)概述（一）彈性力學(xué)與材料力學(xué)區(qū)別細(xì)長桿件材料力學(xué)公式如何解決？？？4

§1.1彈性力學(xué)概述w假設(shè)平面截面假設(shè)簡化受力近似高階小量5

§1.1彈性力學(xué)概述研究對(duì)象

材料力學(xué)：基本上只研究桿件。

彈性力學(xué)：既研究桿件，也研究深梁、板殼、堤壩、地基等

實(shí)體結(jié)構(gòu)。

研究方法

材料力學(xué)：也考慮以上幾方面條件，但不是十分嚴(yán)格的,常常引用近似的計(jì)算假設(shè)（如平面截面假設(shè)）來簡化問題，并在許多方面進(jìn)行了近似的處理。

彈性力學(xué)：嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程；在邊界上考慮受力或約束條件，并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。

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§1.1彈性力學(xué)概述求解難度：

材料力學(xué)的研究對(duì)象是桿件，從微段平衡入手：一維數(shù)學(xué)問題，求解的基本方程是常微分方程，數(shù)學(xué)求解沒有困難。

彈性力學(xué)的研究對(duì)象是彈性體，從微分單元體入手：三維數(shù)學(xué)問題，綜合分析的結(jié)果是偏微分方程邊值問題，在數(shù)學(xué)上求解困難重重，除了少數(shù)特殊問題，一般彈性體問題很難得到解析解。

載荷處理方法：

材料力學(xué)經(jīng)常把高度集中的表面載荷簡化為集中力。

彈性力學(xué)則把集中力還原成作用在局部表面上的表面力。7

§1.1彈性力學(xué)概述（二）彈性的概念彈性：指物體變形與載荷存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且當(dāng)外力作用除去后，物體可以完全恢復(fù)到原來狀態(tài)。這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是線性的，也可以是非線性的。

英文釋義：capableofrecoveringsizeandshapeafterdeformation.本課程只討論應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系的情況，即物體是線彈性的。彈性是對(duì)物體性質(zhì)的一種理想假設(shè)，適用于在一定條件下描述固體的力學(xué)性質(zhì)。

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§1.1彈性力學(xué)概述最簡單的彈性力學(xué)問題彈簧受到拉力的作用將產(chǎn)生伸長位移，根據(jù)中學(xué)所學(xué)的知識(shí)可以知道彈簧在受力狀態(tài)下的力和位移的關(guān)系。9

§1.1彈性力學(xué)概述材料力學(xué)中彈性力學(xué)問題低碳鋼受到拉應(yīng)力作用將產(chǎn)生拉應(yīng)變。材料力學(xué)知識(shí)告訴我們：在比例極限范圍內(nèi)，低碳鋼應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。10

§1.1彈性力學(xué)概述本課程要解決的問題實(shí)際應(yīng)用中研究對(duì)象多數(shù)是實(shí)體結(jié)構(gòu)，并且受力和變形是三維的。在此條件下，結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力、變形和位移就不能像上述問題那么簡單就能表達(dá)出來。11

§1.1彈性力學(xué)概述（三）彈性力學(xué)的應(yīng)用12

§1.1彈性力學(xué)概述13

§1.1彈性力學(xué)概述14

§1.1彈性力學(xué)概述15

§1.1彈性力學(xué)概述16

§1.1彈性力學(xué)概述17

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)連續(xù)性（Continuous）均勻性（Homogeneous）各向同性（Isotropic）小變形（FiniteDeformation）線彈性（LinearElastic）無初始應(yīng)力材料力學(xué)基本假設(shè)彈性力學(xué)又引進(jìn)的假設(shè)18

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)（一）連續(xù)性英文釋義：

continuingintimeorspacewithoutinterruption.假設(shè)內(nèi)容：（1）整個(gè)彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間不存在空隙；

（2）彈性體在整個(gè)變形過程保持連續(xù)，原來相鄰的兩個(gè)點(diǎn)變形后仍是相鄰點(diǎn)。19

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)作用：物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間（坐標(biāo)）的連續(xù)函數(shù)。因此，可以利用高等數(shù)學(xué)中的微積分知識(shí)來處理連續(xù)介質(zhì)問題。注解：任何物體都是由分子、原子組成的，從微觀上講任何物體都是稀疏分布的、不連續(xù)的。作為土木工程一個(gè)重要的研究對(duì)象，土是由顆粒組成的，顆粒之間存在著孔隙，從細(xì)觀上講，土也是不連續(xù)的。當(dāng)宏觀尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于微（細(xì)）觀尺寸時(shí)，使用連續(xù)性假設(shè)并不會(huì)引起顯著誤差。20

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)（二）均勻性英文釋義：1.ofthesameorasimilarkindornature;2.ofuniformstructureorcompositionthroughout.假設(shè)內(nèi)容：（1）彈性體是由相同或相似性質(zhì)的材料組成；（2）各個(gè)部分的結(jié)構(gòu)或組成成分不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。21

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)作用：（1）彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)變化而變化；（2）取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個(gè)物體。注解：土、混凝土等材料，如果不細(xì)究其不同組分交界面的局部應(yīng)力，可以在宏觀尺寸足夠大的情況下視為均勻材料。22

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)（三）各向同性英文釋義：

exhibitingpropertieswiththesamevalueswhenmeasuredalongaxesinalldirections.

假設(shè)內(nèi)容：彈性體在同一點(diǎn)處的性質(zhì)與考察方向無關(guān)。23

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)作用：

彈性常數(shù)不隨坐標(biāo)方向變化而變化。注解：大多數(shù)金屬材料是各向同性的。木材、復(fù)合材料、地殼結(jié)構(gòu)一般都不是各向同性的。24

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)（四）小變形英文釋義：finite:havingdefiniteordefinablelimits.

假設(shè)內(nèi)容：物體在外力或其他作用下，物體產(chǎn)生的變形與其本身尺寸相比可以忽略不計(jì)。25

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)材料力學(xué)中如何定義線應(yīng)變？

作用：

（1）可以使用變形前的幾何尺寸在代替變形后的尺寸，簡化問題復(fù)雜程度。（2）考慮幾何關(guān)系時(shí)可以略去位移公式的二階小量，使幾何方程為線性方程。注解：大變形分析必須考慮幾何關(guān)系中的二階甚至高階項(xiàng)。26

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)（五）線彈性假設(shè)內(nèi)容：彈性體的變形與載荷之間存在著一一對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系。作用：彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。27

§1.2彈性力學(xué)基本假設(shè)（六）無初始應(yīng)力假設(shè)內(nèi)容：物體處于自然狀態(tài)，即力和溫度等外界因素作用之前，物體內(nèi)部是沒有應(yīng)力的。作用：物體所受應(yīng)力僅由外力和溫度變化引起。28

§1.3彈性力學(xué)理論發(fā)展歷程感性認(rèn)識(shí)（或初步理性認(rèn)識(shí)）理性認(rèn)識(shí)（或深入理性認(rèn)識(shí)）指導(dǎo)實(shí)踐并發(fā)現(xiàn)或提出新問題29

§1.3彈性力學(xué)理論發(fā)展歷程這時(shí)期主要是通過實(shí)驗(yàn)探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。1678年，胡克通過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了彈性體的變形與受力之間成比例的規(guī)律。1807年，楊做了大量實(shí)驗(yàn)，提出和測定了材料的彈性模量。伯努利（1705）和庫侖（1776）研究了梁的彎曲理論。一些力學(xué)家開始了對(duì)桿件等的研究分析。（一）發(fā)展初期30

§1.3彈性力學(xué)理論發(fā)展歷程（二）線性理論發(fā)展階段（約于1821－1855）這時(shí)期建立了線性彈性力學(xué)的基本理論。納維（1820）從分子結(jié)構(gòu)理論出發(fā)，建立了各向同性彈性體的方程，但其中只含一個(gè)彈性常數(shù)?？挛鳎?820－1822）從連續(xù)統(tǒng)模型出發(fā)，建立了彈性力學(xué)的平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程、幾何方程和各向同性的廣義胡克定律。31

§1.3彈性力學(xué)理論發(fā)展歷程格林（1838）應(yīng)用能量守衡定律，指出各向異性體只有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。湯姆遜由熱力學(xué)定理證明了上述結(jié)果。拉梅等再次肯定了各向同性體只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。至此，彈性力學(xué)建立了完整的線性理論，彈性力學(xué)問題已經(jīng)化為在給定邊界條件下求解微分方程的數(shù)學(xué)問題。32

§1.3彈性力學(xué)理論發(fā)展歷程（三）基礎(chǔ)理論發(fā)展階段（約于1854－1907）在這段時(shí)期，數(shù)學(xué)家和力學(xué)家應(yīng)用已建立的線性彈性理論，去解決大量的工程實(shí)際問題，并由此推動(dòng)了數(shù)學(xué)分析工作的進(jìn)展。圣維南提出了局部性原理和半逆解法。艾里解決了彈性力學(xué)的平面問題。赫茲解決了彈性體的接觸問題。33

§1.3彈性力學(xué)理論發(fā)展歷程（四）深入發(fā)展階段（1907至今）1907年以后，非線性彈性力學(xué)迅速地發(fā)展起來?？ㄩT（1907）提出了薄板的大撓度問題；卡門和錢學(xué)森提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問題；力學(xué)工作者還提出了大應(yīng)變問題，同時(shí)，線性彈性力學(xué)也得到進(jìn)一步的發(fā)展，出現(xiàn)了許多分支學(xué)科，如薄壁構(gòu)件力學(xué)、薄殼力學(xué)、熱彈性力學(xué)、粘彈性力學(xué)、各向異性彈性力學(xué)等。34

中國科學(xué)家錢學(xué)森，錢偉長，徐芝倫，胡海昌,等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)?！?.3彈性力學(xué)理論發(fā)展歷程（四）深入發(fā)展階段（1907至今）35

§1.4彈性力學(xué)研究方法根據(jù)彈性體的靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)等條件，建立區(qū)域內(nèi)的微分方程組和邊界條件，并應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法求解這類微分方程的邊值問題，得出的解答是精確的函數(shù)解。1）解析法

（本課程主要討論的研究方法）根據(jù)變形體的能量極值原理，導(dǎo)出彈性力學(xué)的變分方程，并進(jìn)行求解。這也是一種獨(dú)立的彈性力學(xué)問題的解法。由于得出的解答大多是近似的，所以常將變分法歸入近似的解法。2）變分法（能量法）36

§1.4彈性力學(xué)研究方法微分方程的近似數(shù)值解法。它將彈性力學(xué)中導(dǎo)出的微分方程及其邊界條件化為差分方程進(jìn)行求解。3）差分法近半個(gè)世紀(jì)發(fā)展起來的非常有效、應(yīng)用非常廣泛的數(shù)值解法。它首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，再將變分原理應(yīng)用于離散化結(jié)構(gòu)，并使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解的方法。4）有限單元法37

§1.4彈性力學(xué)研究方法模型試驗(yàn)和現(xiàn)場試驗(yàn)的各種方法。5）實(shí)驗(yàn)法對(duì)于許多工程實(shí)際問題，由于邊界條件、外荷載及約束等較為復(fù)雜，所以常常應(yīng)用近似解法─變分法、差分法、有限單元法等求解。偉大的領(lǐng)袖毛主席教導(dǎo)我們說：“人的正確思想，只能從社會(huì)實(shí)踐中來，只能從社會(huì)的生產(chǎn)斗爭、階級(jí)斗爭和科學(xué)實(shí)驗(yàn)這三項(xiàng)實(shí)踐中來”38

§1.5本書主要內(nèi)容彈性力學(xué)主要研究彈性體在外界因素（力、約束、溫度等）作用下應(yīng)力、應(yīng)變和位移的分布規(guī)律，從而為解決相關(guān)工程所提出的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定問題提供依據(jù)。應(yīng)力理論應(yīng)變理論廣義胡克定律與彈性常數(shù)彈性力學(xué)問題的一般原理平面問題空間問題線性熱彈性力學(xué)問題（選講）彈性介質(zhì)中波的彈性理論（選講）39

第2章應(yīng)力理論§2.1體力和面力§2.2應(yīng)力與應(yīng)力張量§2.3斜截面應(yīng)力公式§2.4

平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性§2.5應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式§2.6主應(yīng)力與主應(yīng)力方向§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力§2.8應(yīng)力球張量與應(yīng)力偏張量§2.9平面應(yīng)力§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡微分方程40

§2.1體力和面力（一）概念彈性力學(xué)的基本概念:外力、應(yīng)力、形變和位移。研究對(duì)象之外的物體對(duì)研究對(duì)象的力,為外力（externalforce）。41

§2.1體力和面力

彈性力學(xué)的基本概念:外力、應(yīng)力、形變和位移。（一）概念（1）體力(bodyforce)是作用于物體微粒體積上的力。

物體微粒體積稱之為體元。舉例：重力、慣性力、電磁力。多由物理場作用產(chǎn)生。（2）面力(surfaceforce)則是作用于物體表面微粒集合

上的力。表面微粒集合稱之為面元。舉例：風(fēng)力、液體壓力、接觸力。體力和面力在屬性上均屬于外力。42

§2.1體力和面力（二）數(shù)學(xué)定義-體力xzyo

VPf

Ffxfyfzf:極限矢量，即物體在P點(diǎn)所受體力的集度。方向就是

F的極限方向。fx,fy,fz：體力分量,沿坐標(biāo)正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)負(fù)方向?yàn)樨?fù)。單位：N/m3=kg?m/s2?m3=kg/m2?s2基本量綱：質(zhì)量-M，長度-L，時(shí)間-T體力量綱：L-2MT-243

§2.1體力和面力（二）數(shù)學(xué)定義-面力f:極限矢量,即物體在P點(diǎn)所受面力的集度。方向就是

F的極限方向。單位：N/m2=kg?m/s2?m2=kg/m?s2面力量綱：L-1MT-2fx,fy,fz：面力分量,沿坐標(biāo)正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)負(fù)方向?yàn)樨?fù)。xzyof

SP

Ffyfzfx

例：表示出下圖中正的體力和面力§2.1體力和面力xyxyfxfyfxfyfxfyfxfy45

§2.2節(jié)應(yīng)力與應(yīng)力張量（一）內(nèi)力(internalforce)發(fā)生在物體內(nèi)部的力，即物體本身不同部分之間相互作用的力。假想切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力矩)。46

§2.2節(jié)應(yīng)力與應(yīng)力張量（二）應(yīng)力(stress)-概念應(yīng)力：面積微元上所承受的附加內(nèi)力，或內(nèi)力在一點(diǎn)的集中程度。F1F2ΔADFΔFTyΔFTzΔFN面積上的內(nèi)力合力⊥截面∥截面47

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（二）應(yīng)力(stress)-概念Chapter3.1正六面體微元:

外法線與坐標(biāo)軸同向的三個(gè)面稱為正面，記為dSi，它們的單位法向矢量為

i＝ei，ei是沿坐標(biāo)軸的單位矢量；另三個(gè)外法線與坐標(biāo)軸反向的面元稱為負(fù)面?！?.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（二）應(yīng)力-正六面體微元49

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（二）應(yīng)力-正負(fù)定義

L-1MT-250

應(yīng)力與面力，在正面上，兩者正方向一致，在負(fù)面上，兩者正方向相反?！?.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（二）應(yīng)力-正負(fù)定義51

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（二）應(yīng)力-產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：物體中分子或原子位置變化，而這種變化由外力作用引起。若，產(chǎn)生拉應(yīng)力。若，產(chǎn)生壓應(yīng)力。附加內(nèi)力場→應(yīng)力產(chǎn)生。52

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（三）柯西應(yīng)力原理應(yīng)力矢量的大小和方向不僅與點(diǎn)位置有關(guān)，而且和面元法線方向有關(guān)。53

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（四）應(yīng)力張量(stresstensor)從應(yīng)力矢量的定義可知，應(yīng)力除了有大小、方向和作用點(diǎn)外，還必須明確過該點(diǎn)的哪個(gè)微分面。將經(jīng)過物體內(nèi)同一點(diǎn)的各個(gè)微分面的應(yīng)力情況，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。顯然，經(jīng)過同一點(diǎn)的微分面有無限多個(gè)，不可能把每個(gè)微分面的應(yīng)力矢量都求出來以表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。因此，過物體內(nèi)任意一點(diǎn)P分別作三個(gè)與坐標(biāo)平面平行的特殊微分截面，將這三個(gè)微分面上的應(yīng)力矢量分別向三個(gè)坐標(biāo)軸投影可以得到9個(gè)應(yīng)力分量，形成應(yīng)力張量。54

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（四）應(yīng)力張量如圖所示當(dāng)外法線n的方向與x坐標(biāo)軸的方向一致時(shí)，則過平面C上點(diǎn)P的應(yīng)力分量為

，

，

。下標(biāo)第一個(gè)字母表示應(yīng)力分量所在面的外法線方向；下標(biāo)第二個(gè)字母表示應(yīng)力分量的指向。55

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（四）應(yīng)力張量如圖當(dāng)外法線n的方向與y坐標(biāo)軸的方向一致時(shí)，則過平面C上點(diǎn)P的應(yīng)力分量為

，

，

。如圖當(dāng)外法線n的方向與z坐標(biāo)軸的方向一致時(shí)，則過平面C上點(diǎn)P的應(yīng)力分量為

，

，

。56

§2.2節(jié)應(yīng)力與應(yīng)力張量（四）應(yīng)力張量在三維坐標(biāo)系內(nèi)，用六個(gè)平行于坐標(biāo)面的截面在P點(diǎn)做切面。其中外法線與坐標(biāo)面正向同向的面元為正面，反之則為負(fù)面。正面負(fù)面57

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（四）應(yīng)力張量上述表達(dá)中，第一個(gè)指標(biāo)表示面元法線方向，面元指標(biāo)；第二個(gè)指標(biāo)表示應(yīng)力分解方向，方向指標(biāo)。在正面上，沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量為正；而在負(fù)面上，沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量為負(fù)。應(yīng)力張量與給定點(diǎn)的空間位置有關(guān)，談到應(yīng)力張量總是針對(duì)物體中某一確定點(diǎn)而言的，且應(yīng)力張量完全確定了一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。若確定了一點(diǎn)應(yīng)力張量的九個(gè)分量（六個(gè)獨(dú)立分量），則可以求出通過該點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力。58

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（四）應(yīng)力張量59

§2.2

應(yīng)力與應(yīng)力張量（四）應(yīng)力張量60

§2.3斜截面應(yīng)力公式（一）斜截面應(yīng)力公式推導(dǎo)M為空間中任意一點(diǎn)，已知該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，并表示為應(yīng)力張量。作一個(gè)與坐標(biāo)傾斜的面元，其單位法向量為n=(l,m,n)，設(shè)其上應(yīng)力矢量為

f=(fx,fy,fz)。當(dāng)此面元無限接近M點(diǎn)時(shí)，f就表示過該點(diǎn)斜截面上的應(yīng)力。pMxyzf61

§2.3斜截面應(yīng)力公式（一）斜截面應(yīng)力公式推導(dǎo)設(shè)斜截面ABC面積為單位1，則三角形MBC面積為l，MAC為m，MAB為n。根據(jù)力的平衡可得：62

§2.3斜截面應(yīng)力公式（二）例題已知某點(diǎn)應(yīng)力張量如下：單位：MPa求：（1）在法向?yàn)槠矫嫔系膽?yīng)力矢量；

解：

ff=57i+54j-42k63

（2）平行于平面ABC的斜截面上的應(yīng)力矢量?！?.3斜截面應(yīng)力公式（二）例題A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,2)M平面ABC方程為：

平面ABC單位法向量：ff=-42i-14j+77k64

§2.3斜截面應(yīng)力公式（三）應(yīng)用強(qiáng)度校核邊界條件65

§2.4平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性如果將物體分成若干個(gè)任意形狀的單元體，當(dāng)物體受外力作用后處于平衡狀態(tài)，則每一個(gè)單元體都是平衡的。取三組與坐標(biāo)平面平行的截面，將物體分割成無數(shù)個(gè)微分平行六面體（內(nèi)部）或四面體（表面），如右圖。（一）平衡微分方程66

§2.4平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性（一）平衡微分方程67

§2.4平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性68

§2.4節(jié)平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性（一）平衡微分方程根據(jù)x方向力平衡條件：考慮微元體力,整理上式可得：69

§2.4平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性（一）平衡微分方程同理可得y和z方向的平衡微分方程：綜合，可簡寫為：70

§2.4平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性（二）切應(yīng)力互等定理考慮力矩平衡條件，沿z軸方向取矩：即：前兩項(xiàng)為四階微量，而后兩項(xiàng)為三階微量，因此可表達(dá)為：71

§2.4平衡微分方程與應(yīng)力張量對(duì)稱性（二）切應(yīng)力互等定理即：同理：即應(yīng)力張量是對(duì)稱的，也稱之為剪應(yīng)力互等定理?？梢姡?個(gè)應(yīng)力分量中，只有6個(gè)應(yīng)力分量是相互獨(dú)立的。72

§2.5應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式（一）二維73

（一）二維§2.5應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式74

§2.5應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式（一）二維聯(lián)立上兩式，可得：同理，用y’斜截面可推出σy’：觀察

與

的關(guān)系。75

§2.5應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式（二）三維設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸之間的方向余弦組成的矩陣為：與二維求解同理，可得x‘平面上的應(yīng)力分量：y‘和z‘平面同理。76

§2.5應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式（二）三維根據(jù)上述表達(dá)式，兩個(gè)坐標(biāo)系下，應(yīng)力分量關(guān)系可由下式表示：

式中，稱為轉(zhuǎn)換矩陣，轉(zhuǎn)換矩陣中每行或每列元素平方和為1；而任意兩行或兩列對(duì)應(yīng)元素乘積之和為0。注意，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，各應(yīng)力分量改變，但9個(gè)分量作為一個(gè)整體所描述的一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不會(huì)改變的。77

§2.6主應(yīng)力與主方向問題：對(duì)于任一確定的點(diǎn)，能否找到這樣一個(gè)坐標(biāo)系，使該點(diǎn)在此坐標(biāo)系平面上只有正應(yīng)力分量而無剪應(yīng)力。主平面(principleplane)：無剪應(yīng)力的平面，其法線方向稱為主應(yīng)力方向。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力(principlestress)。解決方法：通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求出剪應(yīng)力為零的主平面。78

§2.6主應(yīng)力與主方向（一）主應(yīng)力假設(shè)主平面法向矢量[n]，此平面主應(yīng)力為σ，根據(jù)斜截面應(yīng)力公式，可得：變換為：ypMxzσ79

§2.6主應(yīng)力與主方向（一）主應(yīng)力與主方向上述方程組存在非零解，故系數(shù)矩陣行列式為零，即：求解上式可得：式中：80

§2.6主應(yīng)力與主方向（一）主應(yīng)力與主方向該方程為研究對(duì)象的應(yīng)力狀態(tài)方程，稱為主應(yīng)力特征方程，它有三個(gè)實(shí)根，記作σ1，

σ2，

σ3，即三個(gè)主應(yīng)力。將三個(gè)主應(yīng)力代入：并聯(lián)立：即可求應(yīng)力主方向。81

§2.6主應(yīng)力與主方向（二）基本性質(zhì)

不變性由于特征方程的三個(gè)系數(shù)是不變量，所以作為特征根的主應(yīng)力及相應(yīng)主方向都是不變量。實(shí)數(shù)性即特征方程的根永遠(yuǎn)是實(shí)數(shù)。n1,n2,n382

正交性

特征方程無重根時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力必兩兩正交；

特征方程有一對(duì)重根時(shí)，在兩個(gè)相同主應(yīng)力的作用平面內(nèi)呈現(xiàn)雙向等拉(或等壓)狀態(tài)，可在面內(nèi)任選兩個(gè)相互正交的方向作為主方向；特征方程出現(xiàn)三重根時(shí)，空間任意三個(gè)相互正交的方向都可作為主方向?！?.6主應(yīng)力與主方向（二）基本性質(zhì)83

§2.6主應(yīng)力與主方向（二）基本性質(zhì)、、為應(yīng)力張量的第一、二、三不變量。對(duì)某一點(diǎn)，其應(yīng)力張量不變量不隨坐標(biāo)變化而變化，為常數(shù)。特征方程的三個(gè)根是確定的實(shí)數(shù)，即主應(yīng)力大小與主應(yīng)力方向與坐標(biāo)系無關(guān)，取決于結(jié)構(gòu)外力與約束條件，即主應(yīng)力不變性。三個(gè)主應(yīng)力數(shù)值大小排序，，即極值性。三個(gè)主應(yīng)力方向相互垂直，總能找到一個(gè)以三個(gè)主應(yīng)力方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正交坐標(biāo)系，即正交性。84

§2.6主應(yīng)力與主方向（三）主應(yīng)力坐標(biāo)系在任意一點(diǎn)，都能找到一組三個(gè)相互正交的主方向，沿每點(diǎn)主方向的直線稱為該點(diǎn)的主軸。

處處與主方向相切的曲線稱為主應(yīng)力跡線。

以主應(yīng)力跡線為坐標(biāo)曲線的坐標(biāo)系稱為主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量可以簡化成對(duì)角型。在主方向空間：例：已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為（單位：MPa）試求主應(yīng)力分量及主方向。解：此點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)張量的矩陣形式為：§2.6主應(yīng)力與主方向首先，求出應(yīng)力不變量為于是，特征方程為§2.6主應(yīng)力與主方向例求解此特征方程，得三個(gè)主應(yīng)力分別為將三個(gè)主應(yīng)力值依次分別代入上式中的任意兩式，并利用關(guān)系式

，聯(lián)立求解即可得到三個(gè)主方向的方向余弦?！?.6主應(yīng)力與主方向例§2.6主應(yīng)力與主方向例例如為求

1的方向余弦，l1、m1、n1，將

1＝214.6代入上式的前兩式得同樣可得其余兩組方向余弦為：主應(yīng)力：主方向方向余弦：89

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力彈性理論適用于材料屈服之前。而大量實(shí)驗(yàn)證明，剪應(yīng)力對(duì)某些材料屈服起決定作用。第三強(qiáng)度理論以最大剪應(yīng)力為判據(jù)判斷材料屈服，而第四強(qiáng)度理論屈服判據(jù)與八面體剪應(yīng)力有關(guān)。問題：對(duì)于任一確定的點(diǎn)M，能否找到這樣一個(gè)微分面，使得該面上的剪應(yīng)力達(dá)到最大值？思路：過點(diǎn)M取一特殊的坐標(biāo)平面，使得xyz坐標(biāo)軸與三個(gè)主應(yīng)力方向分別重合。90

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力（一）最大剪應(yīng)力選取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向，設(shè)主應(yīng)力為、、，已知，則法線為的斜截面上應(yīng)力矢量大小為：正應(yīng)力為：剪應(yīng)力為：σ91

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力當(dāng)法線變化(斜截面)時(shí)，剪應(yīng)力隨之變化。最大剪應(yīng)力是在約束下的條件極值。引進(jìn)拉格朗日乘子，求泛函極值。相應(yīng)極值條件為：（一）最大剪應(yīng)力92

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力（一）最大剪應(yīng)力分情況討論上述方程組的解：①，方程組第四式不成立。②，或

，或此時(shí)為主平面情況，，取得極小值。93

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力（一）最大剪應(yīng)力設(shè)、、互不相等，則：同理：③，或，或以為例，代入方程組前三式得：94

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力（一）最大剪應(yīng)力④、、均不為零此時(shí)，若，則即：95

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力（二）八面體剪應(yīng)力八面體是由法線與主軸等夾角的八個(gè)面組成的體。96

§2.7最大剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力（二）八面體剪應(yīng)力八面體是由法線與主軸等夾角的八個(gè)面組成的體。由斜截面應(yīng)力公式可得：八面體正應(yīng)力：八面體剪應(yīng)力：為第四強(qiáng)度理論中等效應(yīng)力。97

§2.8應(yīng)力球張量與應(yīng)力偏張量（一）應(yīng)力張量分解平均主應(yīng)力應(yīng)力張量分解應(yīng)力球張量用來表示物體受各向同性外部作用。應(yīng)力球張量改變單元體體積，不影響變形（剪力為零），記作M。應(yīng)力偏張量用來表示物體受到外部各方向差異作用，其效應(yīng)使得物體形狀發(fā)生變化。應(yīng)力偏張量僅改變單元體形狀，記作S。98

§2.8應(yīng)力球張量與應(yīng)力偏張量（二）應(yīng)力偏張量不變量應(yīng)力偏張量具有對(duì)稱性，可以求得應(yīng)力偏張量的主偏應(yīng)力和主方向。按照求解主應(yīng)力和主方向方法，可以求得偏應(yīng)力張量的特征方程為：式中：特征方程的三個(gè)解為主偏應(yīng)力，主偏應(yīng)力帶回方程，與方向余弦之和為1聯(lián)立，可得主方向。99

§2.8應(yīng)力球張量與應(yīng)力偏張量（三）主偏應(yīng)力與主方向性質(zhì)

偏應(yīng)力張量與應(yīng)力張量主應(yīng)力大小之差為平均主應(yīng)力。偏應(yīng)力張量與應(yīng)力張量主方向一致。證明：設(shè)為應(yīng)力張量的任一主應(yīng)力，為對(duì)應(yīng)主方向，根據(jù)主應(yīng)力定義：可得將應(yīng)力張量分解為球張量和偏張量得：整理得因此，對(duì)于張量

，其偏應(yīng)力張量的主偏應(yīng)力為，主方向仍為。100

§2.9平面應(yīng)力（一）定義平面應(yīng)力是指有且僅有一個(gè)主應(yīng)力為零的狀態(tài)。例如，板表面不受力。板邊沿受的面力和體內(nèi)受的體力平行于板面作用，沿z方向不變化。因此，此面上應(yīng)力分量全部為零。設(shè)板厚方向?yàn)閦，則應(yīng)力張量可表示為：yzxytba101

§2.9平面應(yīng)力（二）應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式若坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)后應(yīng)力分量表達(dá)式。102

§2.9平面應(yīng)力（二）應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式103

§2.9平面應(yīng)力（三）主應(yīng)力與主方向任意斜截面上剪應(yīng)力為：主方向上剪應(yīng)力為零，即：或104

§2.9平面應(yīng)力（三）主應(yīng)力與主方向?qū)⒋胝龖?yīng)力分量，得到主應(yīng)力大小為：105

§2.9平面應(yīng)力（四）最大剪應(yīng)力任意斜截面上剪應(yīng)力為：令：即：當(dāng)時(shí)，剪應(yīng)力取得極小值。代入得：因此，最大剪應(yīng)力為：106

§2.9平面應(yīng)力（五）示例某一試件受等值拉應(yīng)力和剪應(yīng)力作用，平面應(yīng)力可表示為：式中為應(yīng)力的大小，求主應(yīng)力和主方向。

解：特征方程為：107

§2.9平面應(yīng)力（五）示例且聯(lián)立得：且聯(lián)立得：或：108

§2.9平面應(yīng)力（五）示例

即，主應(yīng)力空間內(nèi)為單軸受拉狀態(tài)。Chapter3.5

圓柱坐標(biāo)系中的應(yīng)力張量§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程110

對(duì)圓形、圓環(huán)形、楔形和扇形等物體受力作用產(chǎn)生的應(yīng)力和位移，宜采用極坐標(biāo)求解。極坐標(biāo)的采用使得其物體邊界線表示較為簡便，從而使得邊界條件和方程求解得到極大簡化。在極坐標(biāo)系下，平面內(nèi)任一點(diǎn)P的位置，用徑向坐標(biāo)和環(huán)向坐標(biāo)表示。極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系均為正交坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸均為直線，有固定方向，量綱都為長度。極坐標(biāo)系環(huán)向坐標(biāo)為曲線，在坐標(biāo)軸在不同點(diǎn)有不同方向，徑向坐標(biāo)量綱為長度，環(huán)向坐標(biāo)無量綱。§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程111

§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程

圓柱坐標(biāo)系中的應(yīng)力張量或112

在柱坐標(biāo)系中用r、、z確定一點(diǎn)的位置(如圖所示),在所取的扇形微單元體上作用正應(yīng)力分量

r、

、

z，剪應(yīng)力分量

zr、

r、

z等?！?.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程Chapter3.5§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程114

將單元體向roz平面投影§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程115

將單元體向xoy平面投影§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程116

（一）剪應(yīng)力互等定理§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程對(duì)形心取矩，根據(jù)力矩平衡：方程兩邊同除，并略去高階小量，得：117

（二）平衡方程§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程方向平衡方程：代入上式，并略去高階小量：118

（二）平衡方程§2.10極坐標(biāo)系下應(yīng)力張量對(duì)稱性與平衡方程同理，方向在軸對(duì)稱條件下忽略體力，平衡方程化為：119

第3章應(yīng)變理論外力(或溫度變化)作用下，物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。物體的這種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，稱為變形。本章任務(wù)有兩個(gè)：1、分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)；2、建立幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。120

第3章應(yīng)變理論§3.1相對(duì)位移張量§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)§3.4應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式§3.5主應(yīng)變與主方向§3.6最大切應(yīng)變八面體切應(yīng)變§3.7應(yīng)變球張量與應(yīng)變偏張量§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系§3.10平面應(yīng)變§3.11極坐標(biāo)系下幾何方程與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程121

§3.1相對(duì)位移張量

在外力作用下，物體整體發(fā)生位置和形狀的變化，一般說來各點(diǎn)的位移不同。122

如果各點(diǎn)的位移完全相同，物體發(fā)生剛體平移或平動(dòng)；

如果各點(diǎn)的位移不同，但各點(diǎn)間的相對(duì)距離保持不變，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)等剛體移動(dòng)?！?.1相對(duì)位移張量123

如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對(duì)距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形。這種變形一方面表現(xiàn)在微線段長度的變化，稱為線應(yīng)變或正應(yīng)變；一方面表現(xiàn)在微線段間夾角的變化，稱為切應(yīng)變?！?.1相對(duì)位移張量124

§3.1相對(duì)位移張量

物體在外力的作用下產(chǎn)生變形，同時(shí)也產(chǎn)生位置的變化。（一）位移與變形-概念（1）位移在外力作用下，物體各點(diǎn)位置發(fā)生變化，即發(fā)生了位移。若物體內(nèi)各點(diǎn)發(fā)生位移后仍保持各點(diǎn)初始狀態(tài)的相對(duì)位置，則物體只發(fā)生了剛體平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，這種位移稱之為剛體位移。（2）變形若物體內(nèi)各點(diǎn)發(fā)生位移后改變了各點(diǎn)間初始狀態(tài)的相對(duì)位置，則物體同時(shí)產(chǎn)生了形狀和大小的變化，則稱物體產(chǎn)生了變形。125

（一）位移與變形-位移矢量§3.1相對(duì)位移張量描述物體位置變化的矢量為位移矢量。上述位移矢量包含兩部分：剛體位移與變形。126

（二）相對(duì)位移張量§3.1相對(duì)位移張量平面Oxy平面內(nèi)物體相鄰兩點(diǎn)和。受力后，移動(dòng)至和。P點(diǎn)到Q點(diǎn)的矢量表示為，

點(diǎn)到的矢量表示為127

（二）相對(duì)位移張量§3.1相對(duì)位移張量在移動(dòng)過程中P點(diǎn)位移分量為：Q點(diǎn)位移分量為：矢量沿坐標(biāo)軸分量為：矢量沿坐標(biāo)軸分量為：128

（二）相對(duì)位移張量§3.1相對(duì)位移張量分析點(diǎn)P和點(diǎn)Q位移以及矢量和之間關(guān)系。將Q點(diǎn)位移分量對(duì)P點(diǎn)按泰勒級(jí)數(shù)展開，可得：即：129

（二）相對(duì)位移張量§3.1相對(duì)位移張量根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q位移分量表達(dá)式：記矢量和變位前后變化量為，則：130

（二）相對(duì)位移張量§3.1相對(duì)位移張量因此矢量在變位前后，其位移分量變化量為：于是有：131

（二）相對(duì)位移張量§3.1相對(duì)位移張量即：點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間相對(duì)位移分量可用上式表達(dá)。其系數(shù)矩陣組成的張量稱為相對(duì)位移張量。二維情況下：表示由當(dāng)為1和2時(shí)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)組成的張量。三維情況下：132

（一）應(yīng)變張量-數(shù)學(xué)定義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量分解二維相對(duì)位移張量，如下：對(duì)稱張量反對(duì)稱張量物體變位過程中發(fā)生變形的應(yīng)變張量物體剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量133

（一）應(yīng)變張量-數(shù)學(xué)定義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量三維相對(duì)位移張量軸向(縱向)應(yīng)變：g：切應(yīng)變g直角改變量六個(gè)應(yīng)變分量§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量135

（二）應(yīng)變張量-物理意義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量物體變形：線段的伸長或縮短；線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；xyOPABvu變形前變形后PABuv注：略去了二階以上高階無窮小量。136

（二）應(yīng)變張量-物理意義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量PA的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：P點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化xyOPABuv137

（二）應(yīng)變張量-物理意義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量自學(xué)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛量138

（一）均勻應(yīng)變§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)當(dāng)位移分量u、v、w是坐標(biāo)x、y、z的線性函數(shù)，由這種位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變稱為均勻應(yīng)變。均勻應(yīng)變的位移分量（u、v、w

）用矩陣形式表示為：式中、、、、、、

......均為常數(shù)。139

（一）均勻應(yīng)變以等截面巖石試件的壓縮為例，如圖所示，試件的下端面與不動(dòng)的光滑剛體平面相接觸，試件內(nèi)坐標(biāo)為（、、）點(diǎn)的位移分量為：其中和均為常數(shù)，為泊松系數(shù)。在變形后，該點(diǎn)的坐標(biāo)（、、）為：§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)140

（一）均勻應(yīng)變變形前，可在彈性體內(nèi)找一圓球面方程：變形后，由式解、、并代入式，得：

式為一橢圓球面的方程?？梢?，變形前的圓球面，經(jīng)過變形后為橢球面，即圓球面變成橢球面。§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)141

（一）均勻應(yīng)變均勻應(yīng)變有下列性質(zhì)：各應(yīng)變分量在物體內(nèi)為常數(shù)，此即均勻應(yīng)變。變形后，物體內(nèi)的平面仍為平面。變形后，物體內(nèi)任一直線仍為直線。原平行直線變形后仍為平行直線。

兩平行直線可視為兩平行平面與另一平面的交線，由前述結(jié)論可知，兩平行平面在變形后仍為兩平行平面。它們與變形后的另一平面的交線自然仍為平行直線。正平行六面體變?yōu)樾逼叫辛骟w。

變形前的正平行六面體，經(jīng)變形后，平行面仍保持平行，由性質(zhì)（1）可知，剪應(yīng)變一般不全為零，即變形前互相垂直的平面，經(jīng)過變形后不再垂直而變成斜平行六面體。圓球面變成橢球面，證明如上?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)142

（二）剛性位移若應(yīng)變張量中六個(gè)應(yīng)變分量均為零，則微單元體的體積和形狀都不變，此時(shí)物體所發(fā)生的位移稱為剛性位移。§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)143

（二）剛性位移求，應(yīng)求:u是x的常函數(shù)位移分量：§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)144

（二）剛性位移類似方法求：可得：其中，均為常數(shù)。同理可得：其中，分別表示剛體沿x、y、z

軸的平移常數(shù)，用表示?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)145

（二）剛性位移其中：p、q、r為物體繞各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)146

（三）純應(yīng)變?nèi)魬?yīng)變分量不等于零，而轉(zhuǎn)動(dòng)分量、、均等于零，這樣的應(yīng)變叫做純應(yīng)變。由為零，可得：此三等式是全微分的條件，這時(shí)必存在一個(gè)函數(shù)（x，y，z），使得：§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)147

（三）純應(yīng)變即：因而函數(shù)稱為位移矢量的勢函數(shù)，則位移旋度為零，即：純應(yīng)變也稱為無旋應(yīng)變§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)148

§3.4應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式用于求解不同坐標(biāo)系下應(yīng)變張量分量之間關(guān)系。P點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)在坐標(biāo)系Oxyz中，可用以下應(yīng)變張量表示：P點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)在坐標(biāo)系中為：149

§3.4應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式若計(jì)：則，應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式可寫作：注意，轉(zhuǎn)換矩陣中每行或每列元素平方和為1。150

（一）主應(yīng)變與主方向§3.5主應(yīng)變與主方向問題：對(duì)于某一點(diǎn)而言，是否存在一個(gè)坐標(biāo)系，使得該點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)只有正應(yīng)變分量，而剪應(yīng)變分量為零。根據(jù)斜截面應(yīng)變公式：為常數(shù)。上述方程組存在非零解，故系數(shù)矩陣行列式為零。151

（一）主應(yīng)變與主方向§3.5主應(yīng)變與主方向即特征方程為：式中：

、、為應(yīng)變張量的第一、二、三不變量。對(duì)某一點(diǎn)，其應(yīng)變張量不變量不隨坐標(biāo)變化而變化，為常數(shù)。特征方程的三個(gè)解為主應(yīng)變，主應(yīng)變代回方程，與方向余弦之和為1聯(lián)立，可得主方向。152

（二）基本性質(zhì)§3.5主應(yīng)變與主方向主應(yīng)變性質(zhì)：不變性、實(shí)數(shù)性、極值性主方向性質(zhì)：正交性在主方向空間：153

（三）示例§3.5主應(yīng)變與主方向假設(shè)某物體內(nèi)位移場如下式：式中，A為常數(shù)，確定：在點(diǎn)P（1,1,0）處主應(yīng)變。解：根據(jù)上節(jié)示例，得：154

（三）示例§3.5主應(yīng)變與主方向在點(diǎn)P（1,1,0）的應(yīng)變張量為：特征方程為：即：可得：155

§3.6最大切應(yīng)變八面體切應(yīng)變在材料屈服強(qiáng)度研究中，有時(shí)采用基于應(yīng)變的表達(dá)式。與§2.7節(jié)類似，可以得到最大剪應(yīng)變與八面體剪應(yīng)變。（一）最大剪應(yīng)變選取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向，設(shè)主應(yīng)變?yōu)椤?、，已知，則法線為的斜截面上應(yīng)變矢量大小為：正應(yīng)變?yōu)椋杭魬?yīng)變?yōu)椋寒?dāng)法線變化時(shí)，剪應(yīng)變隨之變化。最大剪應(yīng)變是在約束下的條件極值。156

（一）最大剪應(yīng)變與§2.7節(jié)求解最大剪應(yīng)力方法相同，可得最大剪應(yīng)變?yōu)椋海ǘ┌嗣骟w剪應(yīng)變八面體是由法線與主軸等夾角的八個(gè)面組成的體。八面體正應(yīng)變?yōu)椋喊嗣骟w剪應(yīng)變?yōu)椋河尚苯孛鎽?yīng)變公式可得：§3.6最大切應(yīng)變八面體切應(yīng)變157

§3.7應(yīng)變球張量與應(yīng)變偏張量（一）應(yīng)變張量分解平均主應(yīng)變：各個(gè)方向主應(yīng)變大小相同，故稱之為應(yīng)變球張量。表示物體受各向同向外部作用使得物體體積大小發(fā)生變化。稱之為應(yīng)變偏張量。表示物體受到外部各方向差異作用使得物體形狀發(fā)生變化。158

（二）應(yīng)變偏張量不變量應(yīng)變偏張量具有對(duì)稱性，可以求得應(yīng)變偏張量的主偏應(yīng)變和主方向。按照求解主偏應(yīng)力和主方向方法，可以求得偏應(yīng)變張量的特征方程為：式中，特征方程的三個(gè)解為主偏應(yīng)變，主偏應(yīng)變帶回方程，與方向余弦之和為1聯(lián)立，可得主方向。偏應(yīng)變張量與應(yīng)變張量主應(yīng)變大小之差為平均主應(yīng)變。偏應(yīng)變張量與應(yīng)變張量主方向一致?！?.7應(yīng)變球張量與應(yīng)變偏張量159

§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（一）應(yīng)變協(xié)調(diào)物體變形后仍保持其連續(xù)性和整體性。應(yīng)變協(xié)調(diào)與不協(xié)調(diào)的情況：160

（二）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程在二維情況下，有2個(gè)位移分量（、），但有3個(gè)應(yīng)變分量(

、、），因此3個(gè)應(yīng)變分量不獨(dú)立。根據(jù)幾何方程：可得：§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程161

（二）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程類似地，三維情況下：§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程162

（一）單連通體（域）和多連通體（域）定義如果物體所占的區(qū)域只有一個(gè)連續(xù)邊界，就稱此物體為單連通體（域）；反之，如果物體所占的區(qū)域多于一個(gè)連續(xù)邊界，就稱此物體為多連通體（域）。也可以把單連通體定義為沒有孔洞的物體，把多連通體定義為開有一些孔洞的物體，圖3.9-1為平面單連通體，圖3.9-2為平面多連通體，圖3.9-3為一個(gè)錨環(huán)，它是一圓環(huán)環(huán)繞與其共面但不相交的軸旋轉(zhuǎn)而成的物體。它是空間多連通體的一個(gè)例子。圖3.9-1單連通體圖3.9-2平面多連通體圖3.9-3空間多連通體§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系163

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明

對(duì)于單連通體，為什么滿足了（3.9-1）所示的協(xié)調(diào)方程后位移函數(shù)就單值連續(xù)呢？（3.9-1）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系164

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明由式（3.9-2）其中由式（3.9-3）給出，由（3.9-4）給出。（3.9-3）（3.9-4）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系165

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明由式（3.9-3）和（3.9-4）二式可得：（3.9-5）（3.9-6）（3.9-7）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系166

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明上面三式分別是位移分量、、的微分方程。若應(yīng)變分量和轉(zhuǎn)動(dòng)分量已知，求上面三式的積分，就可分別求得位移分量、、?，F(xiàn)在來證明：在求上述積分時(shí)，必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（3.9-1）式。

從數(shù)學(xué)分析上可知，方程是可以積分的?！?.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系167

如果A、B、C存在關(guān)系：（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明即：全微分的條件，也是線性積分與積分路線無關(guān)的條件。對(duì)單連通域，滿足這個(gè)條件后，所得積分是單值的。把上述積分的條件（3.9-8）式運(yùn)用于（3.9-5）式，此時(shí)則可積分的條件為：§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系168

利用（3.9-5）式，并經(jīng)整理后，可把上式寫為：（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明由（3.9-4）式不難驗(yàn)證：利用（3.9-9）式，化簡的第三式，將式重寫如下：（3.9-9）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系169

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明類似地，將可積分條件（3.9-8）式分別運(yùn)用于（3.9-6）、（3.9-7）兩式，分別可得下面兩組可積分條件：從、、式得三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量、、對(duì)坐標(biāo)、、的九個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，如果應(yīng)變分量已知，則轉(zhuǎn)動(dòng)分量可以確定?！?.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系170

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明現(xiàn)將、、三式所示的偏導(dǎo)數(shù)重新排列如下：§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系171

進(jìn)一步對(duì)、、三式分別運(yùn)用可積分條件（3.9-8）式，[例如，對(duì)式運(yùn)用可積分條件]，并稍加整理，可分別得到如下三式：（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系172

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明在、、三式所示的關(guān)系中，有些關(guān)系是相同的，如：式的第三式與的第二式相同。式的第二式與的第一式相同。式的第三式與的第一式相同。所以僅有六個(gè)關(guān)系式是不同的，這不同的六個(gè)關(guān)系式完全與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（3.9-1）相同，因此應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、、的必要和充分的可積分條件，也是（3.9-5）至（3.9-7）三式的必要和充分的可積分條件。因而在單連通域里如六個(gè)應(yīng)變分量已知，并滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則保證可以求得正確的位移分量。§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系173

§3.10平面應(yīng)變（一）平面應(yīng)變概念平面應(yīng)變是指有且僅有一個(gè)主應(yīng)變?yōu)榱愕臓顟B(tài)。例如，荷載作用在無限長擋土墻上，由于在墻厚方向約束無限大，因此，墻厚方向應(yīng)變分量全部為零。設(shè)墻厚方向?yàn)閦，則應(yīng)變張量可表示為：174

（一）平面應(yīng)變概念對(duì)具有以下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)變問題處理：（1）構(gòu)件縱向（如Z軸方向）的尺寸遠(yuǎn)大于橫向（如x,y軸方向）尺寸；（2）與縱向（z軸）垂直的各橫截面的尺寸和形狀相同；（3）所有外力均與縱軸（z軸）垂直，并且沿縱軸（z）軸沒有變化；（4）物體的約束（支承）條件不隨Z軸變化。長直堤壩、隧道圓柱形長管（受油壓、水壓）作用圓柱形長輥軸（受垂直與軸的均勻壓力）§3.10平面應(yīng)變175

（一）平面應(yīng)變概念-對(duì)比平面應(yīng)力對(duì)具有以下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)力問題處理：（1）構(gòu)件縱向（如Z軸方向）的尺寸遠(yuǎn)小于橫向（如x,y軸方向）尺寸；如等厚度薄板；（2）外力作用于周邊上，并于xoy平面平行，體積力垂直z軸；（3）由于板的厚度很小，故外力可看作沿著z軸均勻分布，且為常量。yzxytba§3.10平面應(yīng)變176

（二）應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式若坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)后應(yīng)變分量表達(dá)式：??§3.10平面應(yīng)變177

（二）應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式（三）主應(yīng)變與主方向任意斜截面上剪應(yīng)變?yōu)椋骸?.10平面應(yīng)變178

（三）主應(yīng)變與主方向主方向上剪應(yīng)變?yōu)榱?，即：可得：或代入正?yīng)變分量，得到主應(yīng)變大小為：§3.10平面應(yīng)變179

（四）最大剪應(yīng)變?nèi)我庑苯孛嫔霞魬?yīng)變?yōu)椋毫睿杭矗寒?dāng)時(shí)，剪應(yīng)變?nèi)〉脴O值。代入得：因此，最大剪應(yīng)變?yōu)椋骸?.10平面應(yīng)變180

（五）示例如右圖所示，三個(gè)應(yīng)變片位于等邊三角形三個(gè)邊上，三個(gè)應(yīng)變片測得軸向方向上的應(yīng)變，其值分別為：求x1'x2'§3.10平面應(yīng)變181

（五）示例解：與軸夾角為與軸夾角為聯(lián)立上述兩式：可由旋轉(zhuǎn)確定，§3.10平面應(yīng)變182

§3.11極坐標(biāo)系下幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（一）幾何方程考慮極坐標(biāo)系下微元ABCD變形變形前為ABCD，變形后為各點(diǎn)位移分別向徑向和環(huán)向分解：183

（一）幾何方程設(shè)A點(diǎn)位移為:則B沿方向位移為:沿方向位移為:D沿方向位移為:D沿方向位移為:于是，徑向應(yīng)變:§3.11極坐標(biāo)系下幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程184

（一）幾何方程環(huán)向應(yīng)變:做輔助線為半徑作圓弧交于點(diǎn)，交于點(diǎn)?！?.11極坐標(biāo)系下幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程185

環(huán)向應(yīng)變：做輔助線：延長交于，過做平行線交于E故有：（一）幾何方程

與相似，因此，§3.11極坐標(biāo)系下幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程186

化簡得：在軸對(duì)稱條件下，，幾何方程化為：（一）幾何方程§3.11極坐標(biāo)系下幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程187

（二）協(xié)調(diào)方程類似于直角坐標(biāo)系下協(xié)調(diào)方程推導(dǎo)過程，可得極坐標(biāo)系下協(xié)調(diào)方程：軸對(duì)稱時(shí)，應(yīng)變分量與無關(guān)，故可簡化為：§3.11極坐標(biāo)系下幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程188

第4章廣義胡克定律與彈性常數(shù)§4.1廣義胡克定律§4.2各向同性彈性§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)§4.4橫觀各向同性彈性189

問題的提出§4.1廣義胡克定律彈性力學(xué)問題中，物體的受力與變形情況，需用15個(gè)變量來描述。即：6個(gè)應(yīng)力分量，3個(gè)位移分量，6個(gè)應(yīng)變分量。已學(xué)的基本方程-9個(gè)。包括：變形體的平衡微分方程（微元體的力平衡）3個(gè)，幾何方程（應(yīng)變-位移關(guān)系）6個(gè)。未知變量的個(gè)數(shù)（15）多于方程數(shù)（9）。因此，必須研究受力物體的應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系-物理方程（本構(gòu)方程）。對(duì)于彈性問題，即廣義胡克定律。190

§4.1廣義胡克定律（一）單向應(yīng)力狀態(tài)下胡克定律對(duì)于各向同性的均勻材料，單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于線彈性階段材料，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可由下式表示：νν191

（二）平面應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律對(duì)于各向同性的均勻材料，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在小變形的情況下，正應(yīng)力和剪應(yīng)變沒有關(guān)系，而剪應(yīng)力只與剪應(yīng)變有關(guān)，且應(yīng)力的

疊加原理是適用的。平面雙向拉（壓）應(yīng)力純剪應(yīng)力狀態(tài)由于應(yīng)力

x的作用：x方向應(yīng)變?yōu)?/p>

y方向應(yīng)變?yōu)橛捎趹?yīng)力

y的作用：y方向應(yīng)變?yōu)閤方向應(yīng)變?yōu)?/p>

同時(shí)有

x和

y作用在x方向及y方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

（二）平面應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律在

x和

y作用下，z方向的應(yīng)變

192193在剪應(yīng)力作用下，X-Y平面內(nèi)的剪應(yīng)變與純剪時(shí)相同，即：

式中，為剪切彈性模量

純剪應(yīng)力狀態(tài)（二）平面應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律194

（三）三維應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律用相同的方法，可以導(dǎo)出三維應(yīng)力狀態(tài)下的各向同性均勻材料的廣義胡克定律，其形式為：（各向同性均勻材料的含義，即材料內(nèi)部各處的不同方向具有相同的

v、E、G值）195將上式的前三式左右兩邊相加后，則有如令則上式可寫為或上式表明：彈性變形時(shí)，體積變化與三個(gè)正應(yīng)力之和即應(yīng)力張量的球張量成正比，而與應(yīng)力偏量無關(guān)。

（三）三維應(yīng)力狀態(tài)§4.1廣義胡克定律196

（三）三維應(yīng)力狀態(tài)-應(yīng)變表示應(yīng)力§4.1廣義胡克定律v197

§4.1廣義胡克定律（三）三維狀態(tài)下胡克定律198

§4.1廣義胡克定律（三）三維狀態(tài)下胡克定律其中，（）為彈性常數(shù)。上式建立了應(yīng)力與應(yīng)變之間的一般關(guān)系，稱之為廣義胡克定律。式中共有36個(gè)常數(shù)。199

§4.1廣義胡克定律（四）彈性常數(shù)矩陣的對(duì)稱性上述36個(gè)常數(shù)并不都是獨(dú)立的，從§4.3節(jié)能量角度考慮，彈性常數(shù)矩陣是對(duì)稱的，即極端各向異性的彈性體其獨(dú)立彈性常數(shù)只有21個(gè)。根據(jù)材料本身性質(zhì)的對(duì)稱性，獨(dú)立的彈性常數(shù)個(gè)數(shù)將發(fā)生變化:若材料具有一個(gè)對(duì)稱面，則彈性常數(shù)減少至13個(gè)；若材料具有三個(gè)正交的對(duì)稱面，即材料具有正交各向異性，則彈性常數(shù)減少至9個(gè)；若材料是橫觀各向同性的，則彈性常數(shù)減少至5個(gè)；若材料是各向同性的，則彈性常數(shù)只有2個(gè)。200

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對(duì)稱性證明假設(shè)材料具有一個(gè)對(duì)稱面，證明彈性常數(shù)可由21個(gè)減少至13個(gè)。材料在坐標(biāo)系下，其應(yīng)力張量為：

其應(yīng)變張量為：201

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對(duì)稱性證明則根據(jù)廣義胡克定律，其本構(gòu)方程可表達(dá)為：現(xiàn)在如圖所示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)后應(yīng)力張量為：202

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對(duì)稱性證明旋轉(zhuǎn)后應(yīng)變張量為：新坐標(biāo)系下應(yīng)力與應(yīng)變分量關(guān)系仍可用廣義胡克定律表示：203

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對(duì)稱性證明坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后應(yīng)力、應(yīng)變分量關(guān)系可用轉(zhuǎn)換公式獲得新舊坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為：且有：根據(jù)上述兩式得：204

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對(duì)稱性證明將上述關(guān)系帶入轉(zhuǎn)軸后廣義胡克定律得：因此：同理：如此，彈性常數(shù)矩陣變?yōu)椋簭椥猿?shù)減少至13個(gè)。205

§4.1廣義胡克定律（五）彈性常數(shù)矩陣對(duì)稱性證明特別地，在正交各向異性條件下，彈性常數(shù)矩陣為：206

§4.2彈性常數(shù)（一）拉梅常數(shù)

在主坐標(biāo)系內(nèi)考慮各向同性材料，由于，對(duì)影響與對(duì)和對(duì)影響相同，因此有同理，對(duì)和對(duì)影響、對(duì)和對(duì)影響、以及對(duì)和對(duì)影響相同：因此，各向同性材料只有兩個(gè)常數(shù)和。207

§4.2各向同性彈性（一）拉梅常數(shù)若令常數(shù)、稱為拉梅常數(shù)。通過坐標(biāo)變換，可得任意坐標(biāo)系下表達(dá)式：式中208

（二）工程彈性常數(shù)工程中，各向同性材料常采用彈性模量和泊松比表示，即：式中，為剪切模量?！?.2各向同性彈性209

（二）工程彈性常數(shù)根據(jù)上式，三個(gè)正應(yīng)變相加得：式中，，，K

為體積變形模量。至此，各向同性彈性材料可由以下三對(duì)參數(shù)表示：（、），（、），（，）§4.2各向同性彈性210

（三）工程彈性常數(shù)關(guān)系證明考慮純剪狀態(tài)下彈性體受力與變形：純剪狀態(tài)下，彈性體應(yīng)力張量與應(yīng)變張量可表示為：根據(jù)廣義胡克定律：式中，G為剪切模量?！?.2各向同性彈性211

（三）工程彈性常數(shù)關(guān)系證明轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系到主坐標(biāo)系，根據(jù)廣義胡克定律：對(duì)比式與式，不難得到：§4.2各向同性彈性212

（四）常見材料彈性常數(shù)§4.2各向同性彈性213

（五）彈性常數(shù)關(guān)系§4.2各向同性彈性214

（六）示例試求體積彈性模量、拉壓彈性模量、泊松比與彈性常數(shù)、μ

之間的關(guān)系。解：在求解體積彈性模量K時(shí)，利用如圖所示的三向均勻壓縮狀態(tài)，令為常數(shù)。由于，故得§4.2各向同性彈性215

（六）示例可得另外，由K為體積彈性模量的定義，在三向均勻壓縮時(shí)，有即所以σ=Kθ§4.2各向同性彈性216

（六）示例在求拉壓彈性模量、泊松比與、之間的關(guān)系時(shí)，利用如右圖所示的單向拉伸圓截面桿，則可令:其中b、c

為常數(shù)，則有將代入，得§4.2各向同性彈性217

（六）示例由于是單向拉伸受力狀態(tài)，則有則有將代入式中的中，得將式與進(jìn)行比較可得§4.2各向同性彈性靜水壓縮實(shí)驗(yàn)體積模量（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性單軸拉伸實(shí)驗(yàn)使用物理關(guān)系，有彈性模量和泊松比：相反，有

（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性純剪實(shí)驗(yàn)使用物理方程，

xy

=2G

xy，

因此，

G也是剪切模量。（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性各向同性彈性本構(gòu)關(guān)系用其他參數(shù)表示：正應(yīng)力只產(chǎn)生正應(yīng)變；剪應(yīng)力只產(chǎn)生剪應(yīng)變。每個(gè)應(yīng)變等于各個(gè)應(yīng)力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變之和。（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性彈性常數(shù)的限制實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，E、G、K總為正值，有大多數(shù)材料為正值，而

，有即材料彈性不可壓縮，如橡膠。（七）彈性常數(shù)的測定§4.2各向同性彈性223

§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)在彈性體的變形過程中，外力（體積力和表面力）作功，轉(zhuǎn)化為物體中儲(chǔ)存的能量。假設(shè)物體的變形是絕熱的，在時(shí)間內(nèi)，一物體總能量的增加，等于外力所作的功。動(dòng)能先看動(dòng)能質(zhì)量微元其速度在坐標(biāo)軸上的投影為內(nèi)能224

在同一時(shí)間內(nèi)，作用于彈性體上的外力所作的功為體力功面力功如物體表面的方向余弦為

，則表面力為：

§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)225

格林公式將上列面積分變換為體積分，得考慮物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，平衡微分方程擴(kuò)展為幾何方程§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)226

能量表示物體的特性，是物體的狀態(tài)的單值函數(shù)，所以必定是全微分，可寫為§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)稱為應(yīng)變能密度函數(shù)。227

可以作為六個(gè)形變分量的函數(shù)，的全微分為應(yīng)力和應(yīng)變張量均能分解為球張量和偏張量,因此可將彈性應(yīng)變能分解為兩部分:§4.3彈性應(yīng)變能函數(shù)228

因此總應(yīng)變能與坐標(biāo)選擇無關(guān)，也為一個(gè)不變量。由高等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于一個(gè)多元函數(shù)，根據(jù)積分交換定律有?！?.3彈性應(yīng)變能函數(shù)229

§4.4橫觀各向同性彈性(transverselyisotropy)（一）概念橫觀各向同性是指材料在某一平面內(nèi)性質(zhì)相同，但與垂直于該平面內(nèi)材料性質(zhì)不同。典型橫觀各向同性材料：沉積巖、復(fù)合路面等。存在一個(gè)彈性對(duì)稱軸（z軸），在垂直該軸的平面內(nèi)材料各向同性（在此平