專題09 圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十大題型）（解析版）

專題09圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十大題型）【題型目錄】題型一圓的基本概念辨析題型二求圓中弦的條數(shù)題型三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦題型四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題題型五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型六三角形的外接圓題型七確定圓的條件題型八圓中角度的計(jì)算題型九圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算題型十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值【知識(shí)梳理】【經(jīng)典例題一圓的基本概念辨析】【例1】（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法：（1）長(zhǎng)度相等的弧是等??；（2）相等的圓周角所對(duì)的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、弧的定義及弦的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：（1）長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯(cuò)誤；（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯(cuò)誤；（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，正確，綜上所述，四個(gè)說(shuō)法中正確的只有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓中有關(guān)定義，能夠熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），作于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】分兩種情況畫出圖形，由勾股定理求出，則可得出答案．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在上，如圖，連接，

圓O的直徑，，，，，；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖，

同理可得出，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形中，，E點(diǎn)沿線段由A向D運(yùn)動(dòng)（到D停止運(yùn)動(dòng)），F(xiàn)點(diǎn)沿線段由C向B運(yùn)動(dòng)（到B停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度相同，連接，作于P點(diǎn)，則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)O，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到點(diǎn)O為正方形的中心，利用得到整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為直徑的半圓，再利用圓的周長(zhǎng)的公式解答即可．【詳解】解：如下圖，連接，交于點(diǎn)O，由題意得：，四邊形為正方形，，，，，，O為正方形的中心，正方形中，，，，，，，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為直徑的半圓，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的軌跡的性質(zhì)，圓，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)確定出點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，為的直徑，是的弦，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，已知，．求的度數(shù)．【答案】【分析】連接．由，可得，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到，從而．又，得到，進(jìn)而求得．【詳解】連接．，，，，．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的直徑與半徑關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角，熟練運(yùn)用等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求圓中弦的條數(shù)】【例2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，，，點(diǎn)，，以及點(diǎn)，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）

A．條 B．條 C．條 D．條【答案】A【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有，共2條．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】試題分析：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，根據(jù)定義作答．解：由圖可知，點(diǎn)A、B、E、C是⊙O上的點(diǎn)，圖中的弦有AB、BC、CE，一共3條．故選B．考點(diǎn)：圓的認(rèn)識(shí)．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓中有條直徑，條弦，圓中以A為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有條，劣弧有條．【答案】1344【詳解】圓中有AB一條直徑，AB、CD、EF三條弦，圓中以A為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有四條，劣弧有四條，故答案為1，3，4，4．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接三角形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個(gè)與全等的三角形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于E，連接BO并延長(zhǎng)交于D，連結(jié)ED，再證△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE；（2）連結(jié)AO并延長(zhǎng)交于A′，OA=OA′，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交于B′，OB=OB′，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于C′，OC=OC′，利用邊角邊判定方法先證△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三邊對(duì)應(yīng)相等判定方法可證△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【詳解】解：（1）如圖1，DE為所作；連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于E，連接BO并延長(zhǎng)交于D，連結(jié)ED，∵OB=OD=OE=OC，在△BOC和△DOE中，，∴△BOC≌△DOE（SAS），∴BC=DE；（2）如圖2，△A′B′C′為所作．連結(jié)AO并延長(zhǎng)交于A′，OA=OA′，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交于B′，OB=OB′，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交于C′，OC=OC′，在△BOC和△B′OC′中，，∴△BOC≌△B′OC′（SAS），∴BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），∴AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），∴AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【點(diǎn)睛】本題考查僅用無(wú)刻度的直尺畫線段，畫三角形，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的性質(zhì)與三角形全等判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦】【例3】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（4，0），B（0，4），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為2的⊙B上，通過(guò)畫圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，∴C在⊙B上，且半徑為2，取OD＝OA＝4，連接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝CD，當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，∴BD＝4，∴CD＝4+2，∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值為2+1；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．【詳解】∵圓中最長(zhǎng)的弦為直徑，∴．∴故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長(zhǎng)概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的有（填序號(hào)）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等??；（3）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；（4）面積相等的兩個(gè)圓是等圓；（5）同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等?。敬鸢浮浚?）（3）（4）【分析】根據(jù)弦、等圓、等弧的定義分別分析即可．【詳解】解：（1）直徑是圓中最大的弦，說(shuō)法正確；（2）長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等弧，說(shuō)法錯(cuò)誤，在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧，不但長(zhǎng)度相等，彎曲程度也要相同；（3）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓，說(shuō)法正確；（4）面積相等的兩個(gè)圓是等圓，說(shuō)法正確；（5）同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧，說(shuō)法錯(cuò)誤，同一條弦所對(duì)的兩條弧不一定是等弧，除非這條弦是直徑．故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握弦、等圓、等弧的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【分析】由和組成的弦，在中，弦最長(zhǎng)為直徑14，而可求，所以的最大值可求.【詳解】連結(jié)，，∵

∴∴為等邊三角形，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)∴，∵為的一條弦∴最大值為直徑14

∴的最大值為.【點(diǎn)睛】利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，可以解決圓中一些最值問(wèn)題.【經(jīng)典例題四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題】【例4】（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D兩個(gè)半徑都是的圓外切于點(diǎn)C，一只螞蟻由點(diǎn)A開(kāi)始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長(zhǎng)度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來(lái)，則螞蟻停的那一個(gè)點(diǎn)為（

）

A．D點(diǎn) B．E點(diǎn) C．F點(diǎn) D．G點(diǎn)【答案】A【分析】先求出螞蟻爬行一圈所走的路程，再根據(jù)停下來(lái)時(shí)重復(fù)的圈數(shù)和余數(shù)，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，每段長(zhǎng)度為四分之一的圓周長(zhǎng)，即，又知繞行8段為一循環(huán)，則爬行一圈的路程為，∵，，∴行走后才停下來(lái)，那一個(gè)點(diǎn)為D點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)，圖形類規(guī)律探究，解答的關(guān)鍵是理解題意，能根據(jù)爬行一圈的路程得出重復(fù)的圈數(shù)，再由余數(shù)確定最終的位置．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，的面積為，點(diǎn)M，N分別在、線段上運(yùn)動(dòng)，則長(zhǎng)度的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，長(zhǎng)度的最小即為線段的長(zhǎng)度，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，再由等面積法確定，由圓的面積得出，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，長(zhǎng)度的最小即為線段的長(zhǎng)度，∵，，，∴，∴，∴，解得：，∵的面積為，設(shè)半徑為r，∴，，即長(zhǎng)度的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓與三角形綜合問(wèn)題，包括含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，圓的面積等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·甘肅天水·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，BC，AB為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，若S3＝9π，則S1+S2等于．【答案】9π．【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式，可以得到S1+S2的值，從而可以解答本題．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×，∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3，∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案為：9π．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2023秋·上海徐匯·六年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谀┠惩瑢W(xué)用所學(xué)過(guò)的圓與扇形的知識(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)號(hào)，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4，兩個(gè)小圓的半徑均為2，請(qǐng)計(jì)算圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積．【答案】陰影部分的周長(zhǎng)為，陰影部分的面積為【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)和面積公式分別求出陰影的周長(zhǎng)和面積，再進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：；.答：陰影部分的周長(zhǎng)為，陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的面積、周長(zhǎng)公式的運(yùn)用；能夠熟練運(yùn)用公式，并正確化簡(jiǎn)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【例5】（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，，的半徑長(zhǎng)為，與相交，且點(diǎn)在外，那么的半徑長(zhǎng)可能是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接交于，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)相交兩圓的位置關(guān)系得出的范圍即可．【詳解】解：連接交于，如圖，

在中，由勾股定理得：，則，，，與相交，且點(diǎn)在外，必須，即只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記相交兩圓的性質(zhì)和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，P是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段PA的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值是（）

A． B．2 C． D．【答案】A【分析】連接，如圖，先解方程得，再判斷為的中位線得到，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，過(guò)圓心C時(shí)，最小，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，最小，然后計(jì)算出即可得到線段的最小值．【詳解】解：連接，如圖，

當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∵Q是線段的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，當(dāng)最小時(shí)，最小，而過(guò)圓心C時(shí)，最小，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，最小，∵，∴，∴線段的最小值是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了三角形中位線．確定位置是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E是正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），連接，過(guò)點(diǎn)A作交于F，垂足為P，連接，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，則的最小值為．

【答案】【分析】以為直徑作，連接，交為點(diǎn)P，根據(jù)點(diǎn)圓最值的性質(zhì)，則為最小距離，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓上一段圓弧上，如圖，取中點(diǎn)H，連接，交為點(diǎn)P，則為所求，

∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)圓最值的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在矩形中，，．(1)若以為圓心，8長(zhǎng)為半徑作，則、、與圓的位置關(guān)系是什么？(2)若作，使、、三點(diǎn)至少有一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，至少有一點(diǎn)在外，則的半徑的取值范圍是．【答案】(1)點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，點(diǎn)在上(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到圓的位置關(guān)系，比較與圓的半徑之間的大小關(guān)系，即可得解；（2）根據(jù)題意，和點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，即可得解．【詳解】（1）解：連接，，，，的半徑為8，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，點(diǎn)在上；（2）解：，，，又以點(diǎn)為圓心作，使，，三點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，的半徑的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六三角形的外接圓】【例6】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則外接圓半徑的長(zhǎng)為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，設(shè)的外心為M，由B，C的坐標(biāo)可知M必在直線上，由圖可知線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由此可得，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)D，連接，由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：設(shè)的外心為M，、，M必在直線上，由圖可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)D，連接，中，，，由勾股定理得：，即外接圓半徑的長(zhǎng)為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形外接圓的半徑，能夠根據(jù)網(wǎng)格和三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷出外心的位置是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為2，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出OH和BH的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出BC的長(zhǎng)，最后運(yùn)用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，連接AO，BO，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵O為三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=OB=1，∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3∴∴故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是等邊內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，，連接，若，則的長(zhǎng)度最小值是．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和，求得，，如圖，作的外接圓，連接、、、，根據(jù)圓周角定理可得，從而求得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)垂直平分線的判定可得垂直平分，從而可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求得，則，，再由三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)A、D、O在一條直線上時(shí)，最小，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，如圖，作的外接圓，連接、、、，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴垂直平分，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，，在中，，∴當(dāng)點(diǎn)A、D、O在一條直線上時(shí)，最小，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外接圓、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角形三邊關(guān)系、垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）[探索發(fā)現(xiàn)]有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學(xué)想用些大小不同的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把Rt△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.[理解應(yīng)用]我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請(qǐng)你通過(guò)操作探究解決下列問(wèn)題(1)如圖2.在中，∠A=105°，試用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕跡).（2）如圖3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，請(qǐng)求出△ABC的最小覆蓋圓的半徑[拓展延伸]（3）如圖4,在中，已知AB=15，AC=12,BC=9，半徑為1的在的內(nèi)部任意運(yùn)動(dòng)，則覆蓋不到的面積是【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）r=2；（3）.【分析】（1）由題意，這個(gè)三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點(diǎn)，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖（見(jiàn)解析）即可；（2）如圖（見(jiàn)解析），的最小覆蓋圓為的外接圓，由已知條件可得，則圓心角；連接OA、OB，過(guò)O作，由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中利用勾股定理求解即可；（3）由已知條件可是直角三角形，利用的面積減去圓的面積即可得.【詳解】（1）由題意，這個(gè)三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點(diǎn)，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖如下：（2）如圖，的最小覆蓋圓為的外接圓連接OA、OB，過(guò)O作（圓周角定理），則是等腰三角形在中，由勾股定理得：解得：故的最小覆蓋圓的半徑為2；（3）是直角三角形又故所求的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)，理解題意，將其轉(zhuǎn)化為三角形外接圓問(wèn)題是解題關(guān)鍵.【經(jīng)典例題七確定圓的條件】【例7】（2023秋·九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）下列說(shuō)法中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①任何三角形有且只有一個(gè)外接圓；②任何圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)圓；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根據(jù)圓的確定，進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)三角形的定義進(jìn)行判斷即可；③直角三角形的外心在斜邊上，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進(jìn)行判斷；④根據(jù)三角形的外心是三條邊的中垂線的交點(diǎn)，進(jìn)行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．【詳解】解：①任何三角形有且只有一個(gè)外接圓，是真命題；②任何圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)，是真命題；④三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；⑤不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和圓的確定．熟練掌握不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線【答案】B【分析】連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無(wú)法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，∵B，C為切點(diǎn)，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無(wú)法證明與相互垂直平分，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，把沿折疊，得到，連接．若，，當(dāng)取最小值時(shí)，的值等于．【答案】【分析】點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再利用勾股定理，列出方程，解出即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，．由折疊可知：，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．（1）如圖1．當(dāng)時(shí)，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)時(shí)，若直線，求的長(zhǎng)度；②如圖3，當(dāng)時(shí)，在直線l變化過(guò)程中．請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，計(jì)算等邊△ABC的面積，由同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，可得△PBC的面積；（2）①如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O．證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問(wèn)題；②如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于AC，當(dāng)B'、P、H共線時(shí)，△ACB′的面積最大，求出PH的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，∴等邊△ABC的面積=，∵PB=3AP，∴△BPC的面積為；故答案為：12；（2）①如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等邊三角形，∵PB=5，且B，B′關(guān)于PE對(duì)稱，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴∠PBO=30°，∴OP=PB=，OB=，∴BB′=5；②如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于AC，由題意可得：B'在以P為圓心半徑長(zhǎng)為6的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)HP的延長(zhǎng)線交圓P于點(diǎn)B′時(shí)面積最大，在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，∵PA=2，∵∠PAH=60°，∴AH=1，PH=，∴BH=6+，∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱變換，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【經(jīng)典例題八圓中角度的計(jì)算】【例8】1（2023·甘肅白銀·?？既＃┤鐖D，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，交圓O于點(diǎn)F，則等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到答案．【詳解】解：

連接，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，∴為等邊三角形，∵，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)半徑相等，平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是的弦，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到，利用三角形內(nèi)角和定理，得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，，，，，，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．【答案】/90度2【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性質(zhì)即可得解；（2）先確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是個(gè)圓，再利用圓的知識(shí)和兩點(diǎn)這間線段最短確定最短長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可得解．【詳解】（1）∵，，∴，∴.∵四邊形是矩形，∴，，∴，故答案為．（2）∵，點(diǎn)E在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為O，則當(dāng)O，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)∵，，∴，∴，∴，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，最短距離，圓等知識(shí)的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，C為上一點(diǎn)，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的面積與的面積之比為，求的值．【答案】(1)∠BOC的度數(shù)為50°(2)【分析】（1）設(shè)，先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)建立方程求解即可；（2）過(guò)C作于H，設(shè)，根據(jù)三角形面積之比求出，則由勾股定理得，進(jìn)而得到，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，解得，∴；（2）解：過(guò)C作于H，設(shè)，∵的面積與的面積之比為，∴，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股可得，在中，由勾股可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算】【例9】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖的方格紙中，每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為1，A、O兩點(diǎn)皆在格線的交點(diǎn)上，今在此方格紙格線的交點(diǎn)上另外找兩點(diǎn)B、C，使得的外心為O，求的長(zhǎng)度為何（）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，由此得到，從而確定B、C的位置，然后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵的外心為O，，，，、是方格紙格線的交點(diǎn)，、的位置如圖所示，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關(guān)鍵是掌握三角形的外心的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】連接，由勾股定理得，，從而即可得到，最后由計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，，，弦于點(diǎn)，，是的直徑，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的相關(guān)概念進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M是邊上的一點(diǎn)，將沿對(duì)折至，連接，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，則的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】由翻折可得，故可確定點(diǎn)的軌跡，即可求解．【詳解】解：由題意得：故點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：

設(shè)則在中，，∴解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題．矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，確定點(diǎn)的軌跡是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，在射線上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)．求：(1)圓心O到的距離．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，如圖，根據(jù)含度的直角三角形三邊的關(guān)系求出即可；（2）連接，如圖，利用勾股定理計(jì)算出和即可得答案．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖，，，，在中，，，即圓心到的距離為；（2）解：連接，如圖，，∴在中，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圓的概念，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)．【經(jīng)典例題十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值】【例10】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，判斷出當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，由此即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】如圖，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓．所以，當(dāng)點(diǎn)落在DE上時(shí)，取得最小值．過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于G，解,得，，進(jìn)一步求得，從而解得．【詳解】解：如圖，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓．所以，當(dāng)點(diǎn)落在DE上時(shí)，取得最小值．

過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于G，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴∴，∵E是的中點(diǎn)，，∴，∴∴由折疊的性質(zhì)可知∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，確定點(diǎn)在何位置時(shí)，的值最小，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為．

【答案】/【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類討論當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，當(dāng)P在上時(shí)，即可求解．【詳解】解：在矩形中，，∴，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，

∵，．∴在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A，，C三點(diǎn)共線時(shí)，最短，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，當(dāng)P在上時(shí)，如圖所示，此時(shí)，

綜上所述，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，圓外一點(diǎn)到圓上的距離的最值問(wèn)題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接和．(1)求證：四邊形是菱形；(2)求的最小值；(3)若與垂直，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，即可得證；（2）根據(jù)題意得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，進(jìn)而勾股定理求得的長(zhǎng)，當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，即可求解；（3）根據(jù)題意作出圖形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得出，，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，連接，如圖所示，∵是的中點(diǎn)，是等邊三角形∴，∴，當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，∴的最小值為（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，，∴，在中，，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓外一點(diǎn)到圓上的距離，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理計(jì)算出直角三角形的斜邊，然后根據(jù)直角三角形的斜邊為它的外接圓的直徑得到這個(gè)三角形的外接圓的半徑．【詳解】解：直角三角形的斜邊，因?yàn)橹苯侨切蔚男边厼樗耐饨訄A的直徑，所以這個(gè)三角形的外接圓的半徑為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形的未知邊．注意：直角三角形的外接圓的半徑是其斜邊的一半．2．（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D中外接圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，分別作垂直平分線，交點(diǎn)為外心，再過(guò)外心分別向軸，軸的垂線，確定坐標(biāo)．【詳解】解：外接圓圓心的坐標(biāo)為．

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓的定義．本題解題的關(guān)鍵是作圖找出三角形的外心．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，分別以O(shè)、P為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，直線交于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓弧，交于點(diǎn)A，連接交于點(diǎn)B，連接．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)作圖痕跡，直線垂直平分，，利用線段垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形的等邊對(duì)等角求得，，再利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得即可．【詳解】解：連接，根據(jù)作圖痕跡，直線垂直平分，，則，，∴，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-作垂線、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，得到直線垂直平分是解答的關(guān)鍵．4．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，，的半徑長(zhǎng)為3，與相交，且點(diǎn)B在外，那么的半徑長(zhǎng)r可能是（

）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7【答案】B【分析】連接交于，根據(jù)勾股定理求出，求出和，再根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出r的范圍即可得答案．【詳解】解：如圖，連接交于，則，在，由勾股定理得：＝＝＝5，∴，∵，，∴，∵使與相交，且點(diǎn)B在外，∴的半徑長(zhǎng)r的取值范圍為：2＜r＜4，∴只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記相交兩圓的性質(zhì)和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的半徑為4，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．28【答案】D【分析】由中知要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最大值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，∵，∴，∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴，若要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最大值，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則、，∴，又∵，∴，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時(shí)點(diǎn)的位置．6．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．【答案】6或【分析】先解方程求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)較大的根為斜邊和直角邊，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：，，解得：，①當(dāng)直角邊分別為2，6時(shí)，斜邊為：，∵直角三角形的外接圓的直徑即為直角三角形斜邊的長(zhǎng)，∴此時(shí)直角三角形外接圓的直徑為，②當(dāng)斜邊為6時(shí)，此時(shí)直角三角形外接圓直徑為6．故答案為：6或．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圓．解題的關(guān)鍵是正確的求出一元二次方程的根，注意分類討論．7．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標(biāo)為．【答案】【分析】先畫出圖形，證明，可得的外心是斜邊的中點(diǎn)，從而可得答案．【詳解】解：如圖，∵、、，∴，

∴的外心是斜邊的中點(diǎn)，∴外接圓的圓心坐標(biāo)為：，即；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，求解直角三角形的外心坐標(biāo)，熟記直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，E是邊長(zhǎng)為4的正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是．

【答案】【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，設(shè)半圓的圓心為點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)N，則的最小值是，根據(jù)用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，設(shè)半圓的圓心為點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)N，則的最小值是，∵E是邊長(zhǎng)為4的正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，，過(guò)點(diǎn)O作于H，∵邊長(zhǎng)為4的正方形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)N重合，點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，且．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段和最小原理，圓的最值性質(zhì)，熟練掌握線段和最小原理，圓的最值性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，則線段的取值范圍是．

【答案】【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出，再根據(jù)題意可知點(diǎn)G在以點(diǎn)C為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)G與重合，利用勾股定理求出，則，即可得到．【詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，在中，由勾股定理得，∴在正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，點(diǎn)G在以點(diǎn)C為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)G與重合，在中，，，，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、點(diǎn)，的半徑為5，點(diǎn)C是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，那么長(zhǎng)的取值范圍是．【答案】【分析】如圖，在y軸上取一點(diǎn)，連接，，由勾股定理求出，由三角形中位線定理求，當(dāng)C在線段上時(shí)，的長(zhǎng)度最小值，當(dāng)C在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)度最大值，即可求解．【詳解】解：如圖，在y軸上取一點(diǎn)，連接，，∵，，∴，，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴是的中位線，∴，當(dāng)C在線段上時(shí)，的長(zhǎng)度最小值為：，當(dāng)C在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)度最大值為：，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線