2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)25 微專(zhuān)題 矩 形 學(xué)案（含答案）

微專(zhuān)題25矩形

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.矩形的性質(zhì)與判定(6年5考，常在幾何題中涉及考查)

(1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形

(2)矩形的性質(zhì)

邊對(duì)邊平行且相等

角四個(gè)角都是直角

對(duì)角線(xiàn)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等

既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，有①條

對(duì)稱(chēng)性

對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為兩條②的交點(diǎn)

(3)矩形的判定

①有一個(gè)角是③的平行四邊形是矩形；

角

②有三個(gè)角是④的四邊形是矩形

對(duì)角

對(duì)角線(xiàn)⑤的平行四邊形是矩形

線(xiàn)

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2.矩形面積

面積計(jì)算公式：S＝ab(a，b表示邊長(zhǎng)).

練考點(diǎn)

1.如圖，在矩形ABCD中，O為對(duì)角線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E.

(1)若對(duì)角線(xiàn)BD長(zhǎng)為4，∠AOB＝60°，則AB的長(zhǎng)為，BC的長(zhǎng)為；

(2)若∠DAE＝2∠BAE，則∠EAC的度數(shù)為；

(3)若BE∶ED＝1∶3，AB＝2，則AD的長(zhǎng)為.

第1題圖

2.如圖，要使平行四邊形ABCD成為矩形，需添加的條件是()

第2題圖

A.AB＝BCB.AC⊥BD

C.AC＝BDD.∠1＝∠2

3.已知矩形的一邊長(zhǎng)為6cm，一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為10cm，則矩形的面積為

cm2.

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)與矩形有關(guān)的證明及計(jì)算(6年5考，常在幾何題中涉及考查)

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例如圖①，在?ABCD中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)

線(xiàn)于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形ACED是矩形；

例題圖①

(2)若AB＝13，AC＝12，求四邊形ADEB的面積；

(3)如圖②，連接BD，若tan∠ABC＝2，求證BD＝2AD；

2

例題圖②

(4)如圖③，過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線(xiàn)，交DE于點(diǎn)G，在(3)的條件下，試判斷AB與

AG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

例題圖③

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真題及變式

命題點(diǎn)與矩形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算(6年5考，常在幾何題中涉及考查)

拓展訓(xùn)練

1.(北師八下習(xí)題改編)如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，M，

N分別是BC，OC的中點(diǎn).若MN＝2，則AC的長(zhǎng)為.

第1題圖

2.如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按圖②操作，將矩形紙片

ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上的點(diǎn)E處，折痕為AF；再按

圖③操作，沿過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)H處，折痕為FG，則

A，H兩點(diǎn)間的距離為.

第2題圖

3.(2024廣東黑白卷)北宋數(shù)學(xué)家賈憲提出一個(gè)定理“從長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)上任一點(diǎn)

作兩條分別平行于兩鄰邊的直線(xiàn)，則所得兩長(zhǎng)方形面積相等(如圖①中S矩形AEOM

＝S矩形CFON)”.問(wèn)題解決：如圖②，M是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

M作EF∥BC分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BM，DM.若CF＝4，EM＝3，

DF＝2，則MF＝.

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第3題圖

4.如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線(xiàn)BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF，使得另一邊

EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C.

(1)設(shè)Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則

S1S2＋S3(用“＞”“＝”或“＜”填空)；

(2)寫(xiě)出圖中的三對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明.

第4題圖

新考法

5.[代數(shù)推理](人教八下習(xí)題改編)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝

20，兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O.以O(shè)B，OC為鄰邊作第1個(gè)平行四邊形OBB1C，對(duì)

角線(xiàn)相交于點(diǎn)A1，再以A1B1，A1C為鄰邊作第2個(gè)平行四邊形A1B1C1C，對(duì)角線(xiàn)

相交于點(diǎn)O1；再以O(shè)1B1，O1C1為鄰邊作第3個(gè)平行四邊形O1B1B2C1…依此類(lèi)推.

則第6個(gè)平行四邊形的面積為()

第5題圖

A.6B.3

C.15D.12

6.[條件開(kāi)放](2024貴州)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，

AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列條件：

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①AB∥CD，②AD＝BC.

(1)請(qǐng)從以上①②中任選1個(gè)作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；

(2)在(1)的條件下，若AB＝3，AC＝5，求四邊形ABCD的面積.

第6題圖

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考點(diǎn)精講

①2②對(duì)角線(xiàn)③90°(或直角)④90°(或直角)⑤相等

教材改編題練考點(diǎn)

1.(1)2，2；(2)30°；(3)2

2.C33

3.48

高頻考點(diǎn)

例(1)證明：∵∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

∵DE⊥BC，

∴AC∥DE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

∴AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形，

∵∠ACE＝90°，

∴四邊形ACED是矩形；

(2)解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，

∴在Rt△BCD中，BC＝－＝－＝5，

2222

∵四邊形ABCD是平行四邊??形，??1312

∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，

∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠E＝90°，

∴四邊形ADEC是矩形，

∴BC＝AD＝CE＝5，

∴BE＝2BC＝10，

∵AD∥BE，AC⊥BE，

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∴S四邊形ADEB＝×(5＋10)×12＝90，

1

∴四邊形ADE2B的面積為90；

(3)證明：∵四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AC＝DE，AD＝BC＝CE.

在Rt△ABC中，

∵tan∠ABC＝，

??

∴＝2，即A?C?＝2BC.

??

設(shè)?A?D＝BC＝a，則AC＝DE＝2a，BE＝2BC＝2a，

又∵DE⊥BE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BD＝BE＝2a，

∴＝2＝，2

???2

∴B??D＝222?AD4；

(4)解：AB＝22AG，理由如下：

∵AG⊥CD，

∴∠AGD＋∠CDE＝∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠AGD＝∠DCE，∴△ADG∽

△DEC，

∴＝.

????

∵四??邊?形?ABCD是平行四邊形，四邊形ACED是矩形，

∴AB＝DC，AD＝CE，∠DCE＝∠ABC，

∴tan∠ABC＝tan∠ECE＝＝2，即DE＝2CE，

??

∴＝＝＝，??

??????1

∴A??B＝?2?AG2.??2

真題及變式

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1.8【解析】∵M(jìn)，N分別是BC，OC的中點(diǎn)，∴MN＝OB，∵M(jìn)N＝2，∴OB

1

＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2OB，∴2AC＝BD＝2OB＝8.

2.【解析】如解圖，連接AH.由折疊性質(zhì)可知，CF＝HF，AE＝AD＝3，

∵AB1＝05，∴BE＝CF＝HF＝2，在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF－HF＝3

－2＝1，∴AH＝＋＝＋＝.

2222

????3110

第2題解圖

3.6【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)M作GH∥AB分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，∴四邊

形BEMH與四邊形DGMF均為矩形，由定理知S矩形BEMH＝S矩形DGMF，∴S△BEM＝S

·

△DFM，∴BE·EM＝DF·MF.∵BE＝CF＝4，EM＝3，DF＝2，∴MF＝＝

11????4×3

＝6.22??2

第3題解圖

4.解：(1)＝；【解法提示】∵S1＝BD·ED，S矩形BDEF＝BD·ED，∴S1＝S矩形BDEF，

11

22

∴S2＋S3＝S矩形BDEF，∴S1＝S2＋S3.

1

(2)答案不唯2一，如：△BCD∽△CFB∽△DEC.

選擇△BCD∽△DEC.

證明：∵四邊形ABCD和BDEF均為矩形，∴∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋

∠BDC＝90°，

∴∠EDC＝∠CBD，

又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，

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∴△BCD∽△DEC.

5.B【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，∴BC＝16，∴S矩形ABCD

＝AB·BC＝192，OB＝OC，∵以O(shè)B，OC為鄰邊作第1個(gè)平行四邊形OBB1C，

∴平行四邊形OBB1C是菱形，∴A1B1⊥BC，OB1＝AB＝12，∴?＝BC·OB1

1

???1?2

＝×16×12＝96，易得?AB