2025浙江溫州中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷試題（含答案解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省溫州中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知，則的化簡結(jié)果是(

)A． B． C． D．2．有以下關(guān)于的等式：（1）；（2）；（3）；（4），其中是的函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．已知，則（

）A． B． C．4 D．24．如圖，一枚棋子在正方體的棱上移動(dòng)，從每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都等可能地移到和它相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)中的任何一個(gè)．若棋子的初始位置為點(diǎn)，則移動(dòng)三次后到達(dá)點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．5．直線與軸交于點(diǎn)，與函數(shù)在第一象限的圖象交于兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．46．已知函數(shù)，滿足，則（

）A．0 B．2 C．4 D．87．如圖，在中，為的中點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)．過點(diǎn)作內(nèi)角平分線的平行線交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．已知為實(shí)數(shù)，設(shè)，（表示中的最大值），則的最小值是（

）A． B．673 C．1346 D．20199．如圖，三棱錐的各棱長均為1，點(diǎn)分別在棱上，則的最小值是（

）A． B． C． D．310．在1，2，3，…，2019中，可以表示為（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）的形式的數(shù)有（

）A．980個(gè) B．988個(gè) C．990個(gè) D．998個(gè)二、填空題11．不等式的解是．12．已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．甲、乙、丙、丁，戊五位同學(xué)排成一排，甲不能站在排頭和排尾，乙和丙至少有一人與甲相鄰，則滿足條件的排法數(shù)為．14．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．15．已知為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，，，則．16．已知a，b，c為整數(shù)，滿足，，則的最小值是．三、解答題17．解方程組：18．如圖，在中，于點(diǎn)為的中點(diǎn)，過作交直線于點(diǎn)．求證：．19．如圖，已知是拋物線上的四個(gè)不同的點(diǎn)．(1)試用表示直線的解析式．(2)已知過點(diǎn)過點(diǎn)過點(diǎn)．①證明：三點(diǎn)共線．②若點(diǎn)在第一象限，且，求直線的解析式．20．小明將枚硬幣任意擺放在圖中的點(diǎn)上（每個(gè)點(diǎn)的硬幣個(gè)數(shù)不限，可以為）．

(1)對于圖定義一次“操作”：從一個(gè)至少有2枚硬幣的點(diǎn)取走枚硬幣，并分別在與此點(diǎn)相鄰的點(diǎn)上各放置枚硬幣．對小明的每種擺法，若點(diǎn)處無硬幣，則總能經(jīng)過若干次該“操作”，使點(diǎn)處有硬幣，求的最小值．(2)對于圖定義一次“操作”：從一個(gè)至少有枚硬幣的點(diǎn)取走枚硬幣，若該點(diǎn)有兩個(gè)相鄰點(diǎn)，就分別在每個(gè)相鄰的點(diǎn)處各放置枚硬幣；若該點(diǎn)只有一個(gè)相鄰點(diǎn)，就只在該相鄰點(diǎn)處放置枚硬幣．對小明的每種擺法，若點(diǎn)處無硬幣，則總能經(jīng)過若干次該“操作”，使點(diǎn)處有硬幣，求的最小值．21．如圖所示，在△ABC中，是邊CA上的兩點(diǎn)，連接BD，BG．過點(diǎn)A，G分別作BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，連接CF．若BE＝EF，求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《浙江省溫州中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案BBBCCDBABC1．B【分析】利用二次根式的定義可得，即，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，∴∵∴∴，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的有關(guān)性質(zhì)．2．B【分析】本題考查了函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．函數(shù)的概念：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，如果對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量，根據(jù)函數(shù)的概念分析即可．【詳解】解：（1），則，對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，是的函數(shù)；（2），對于x的每一個(gè)確定的值，y的值不唯，不是的函數(shù)；（3），對于x的每一個(gè)確定的值，y的值不唯，不是的函數(shù)；（4），對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，是的函數(shù)；綜上所述，是的函數(shù)的有（1），（4），共2個(gè)，故選：B．3．B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，掌握銳角三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)銳角三角函數(shù)的計(jì)算得到，將原式的分子、分母同時(shí)除以，再代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，故選：B．4．C【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求隨機(jī)事件的概率，掌握畫樹狀圖或列表法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．畫樹狀圖或列表法把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：畫樹狀圖或列表法把所有等可能結(jié)果表示如下，∴共有種等可能結(jié)果，其中移動(dòng)三次后到達(dá)點(diǎn)的有種，∴移動(dòng)三次后到達(dá)點(diǎn)的概率為，故選：C．5．C【分析】如圖所示，過點(diǎn)B作于E，過點(diǎn)C作于F，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為G，先求出，得到，，同理可得，再聯(lián)立得，則，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作于E，過點(diǎn)C作于F，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為G，∵A、G分別是直線與y軸，x軸的交點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，G點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴，∴，同理可得，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立得，∴，∵，∴，即，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線求解．6．D【分析】本題考查了求函數(shù)值，根據(jù)得出方程組，進(jìn)而根據(jù)加減消元法得出之間的故選，進(jìn)而求根據(jù)，即可求解．【詳解】解：，得，，得，，得，代入，得，把代入，得．

故選：D．7．B【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線截線段成比例的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．如圖，過點(diǎn)作的平分線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，可得，，，，，由此得到，，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作的平分線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∴，∵為中點(diǎn)，，∴，∵為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，∴，∵平分，∴點(diǎn)到的距離相等，，，，，，，，故選：B．8．A【分析】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，由題意得，①，②，⑤，再相加可得答案．【詳解】解：，①，②，③，④，為任意實(shí)數(shù)，，⑤，①+②+⑤，得，，∴的最小值是．故選：A．9．B【分析】由題意得，三棱錐每個(gè)面都是等邊三角形，將三棱錐中含有的三個(gè)面（即）展開如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，得到的最小值為，由等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算，勾股定理得到，，由此即可求解．【詳解】解：由題意得，三棱錐每個(gè)面都是等邊三角形，將三棱錐中含有的三個(gè)面（即）展開如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，∴的最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，即的最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題屬于求多條線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱求最短路徑，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，勾股定理的運(yùn)用，解此類題的基本思路是將所求的多條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上或同一平面圖形內(nèi)求解，解本題的關(guān)鍵是將含有所求四條線段的三個(gè)面展開再求解，對空間想象力有一定的要求．10．C【分析】本題主要考查新定義，整式的混合運(yùn)算，理解新定義的含義，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，令，則，所以均可表示為的形式，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可求解．【詳解】解：令，則，，均可表示為的形式，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在中，可以表示為的形式的數(shù)有（個(gè)），故選：C．11．【分析】本題主要考查絕對值的性質(zhì)，求不等式組的解集，掌握絕對值的非負(fù)性，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的性質(zhì)得到，，則，所以原式化簡得，由此得到，根據(jù)不等式組的取值方法即可求解．【詳解】解：∵，∴，，解得，，∴原不等式化簡為，∴，∴，∴，即原不等式的解是，故答案為：．12．【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，求不等式的解集，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)根的判別式得到，由不等式的性質(zhì)解得，或，令，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得，整理，得，∴或，令，則該函數(shù)圖象開口向上，又，∴當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：．13．60【分析】本題考了查排列與組合問題，排列與組合問題常用方法∶特殊元素特殊位置優(yōu)先分析；相鄰元素捆綁法；不相鄰插空法；逆向分析法．由于甲不能站在排頭和排尾，得到排頭有4種情況后，排尾有3種情況，則第2有3種情況，第3有2種情況，第4有1種情況，根據(jù)排列組合公式可得排法數(shù)；由于乙和丙至少有一人與甲相鄰，當(dāng)甲第2時(shí)，乙和丙排第4和排尾，根據(jù)排列組合公式可得排法數(shù)；當(dāng)甲第3時(shí)，乙和丙排排頭和排尾，根據(jù)排列組合公式可得排法數(shù)；當(dāng)甲第4時(shí)，乙和丙排排頭和第2，根據(jù)排列組合公式可得排法數(shù)；用前面的排法數(shù)減去后面3種情況的排法數(shù)數(shù)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得甲只能排在中間3個(gè)位置．①甲排在第二位．當(dāng)乙排在第一位或第三位時(shí)，丙，丁，戊三人可以隨意排，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為；當(dāng)丙排在第一位或第三位時(shí)，同理可得，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為；在甲排在第二位時(shí)，滿足條件的24種排法里有4種相同的排法，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為．②甲排在第三位．同理易得，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為．③甲排在第四位．同理易得，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為．綜上，滿足條件的排法數(shù)為．故答案為∶60．14．或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，熟練掌握絕對值不等式的解法，二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先運(yùn)算絕對值不等式得到或或，再分別求出兩個(gè)不等式中的取值范圍即可．【詳解】解：，或，整理，得或，當(dāng)恒成立時(shí)，即對應(yīng)的二次函數(shù)在范圍內(nèi)在軸上方，∵二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，∴，，當(dāng)恒成立，即時(shí)，，，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故答案為：或．15．/8度【分析】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．作的外接圓，延長交圓于點(diǎn)，連接，【詳解】解：如圖，作的外接圓，延長交圓于點(diǎn)，連接，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，故答案為：．16．2116【分析】本題考查整式的運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是利用因式分解把已知和所求整式變形．根據(jù)已知條件把已知和所求式子進(jìn)行整理變形，即可解答．【詳解】解：．，，，，可因式分解，變?yōu)椋?，，原式，故為一個(gè)平方數(shù)，且，，為整數(shù)，，，至少有一個(gè)是偶數(shù)，于是為偶數(shù)，，．故答案為：2116．17．或【分析】本題考查了三元二次方程組的解法，解題關(guān)鍵是先利用平方差公式結(jié)合等量代換令，，，將式子變換為，再熟練運(yùn)用消元法把三元化為二元，再解二元一次方程組，即可解題．【詳解】解：，由①，得，由②，得，由③，得．令，，，則，解得或，或，整理得或，解得或．18．見解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答的關(guān)鍵．過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，證明，得到．證明，，得到，從而．證明，得到，因此，得證．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則∵M(jìn)為的中點(diǎn)，．，∴．在和中，，，．，，．又，，．，．，，，，∴．19．(1)(2)①見解析；②【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是會(huì)用待定系數(shù)法求得直線的解析式．（1）先表示出，然后利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；（2）①先利用待定系數(shù)法求得直線，直線，直線的解析式，然后將點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別代入直線，直線，直線的解析式，得到和，和，和之間的數(shù)量關(guān)系，然后化簡得到直線AC的解析式，再令求得與y軸的交點(diǎn)，得證A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，先由點(diǎn)D和點(diǎn)B的坐標(biāo)得到點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后得到和的長，進(jìn)而得到和的面積，再由列出方程得到的值，最后代入直線的解析式．【詳解】（1）解：點(diǎn)都在拋物線上，．設(shè)直線的解析式為，則解得，；（2）①證明：由（1）得，直線，的解析式為，同理可得，直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，∵點(diǎn)分別在上，∴在中，當(dāng)時(shí)，，∴直線經(jīng)過點(diǎn)，即三點(diǎn)共線．②解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)．由①，得直線的解析式為，又，，，，，．，，，，．點(diǎn)在第一象限，∴直線的解析式為．20．(1)最小值為；(2)最小值為．【分析】（）根據(jù)最終的平衡狀態(tài)可以確定最小值即可；（）根據(jù)最終的平衡狀態(tài)可以確定最小值即可；本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)每個(gè)點(diǎn)上最多有一個(gè)點(diǎn)得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，不滿足題意，∴，不妨設(shè)，當(dāng)點(diǎn)或點(diǎn)處有枚硬幣時(shí)，則經(jīng)過一次“操作”就能使點(diǎn)處有硬幣；當(dāng)點(diǎn)，處的硬幣數(shù)小于或等于枚時(shí)，由對稱性有如圖，種情況（其中字母邊上的數(shù)字代表該點(diǎn)處初始狀態(tài)的硬幣數(shù)），經(jīng)驗(yàn)證，經(jīng)過若干次“操作”總能使點(diǎn)處有硬幣，∴的最小值為；（2）解：當(dāng)處有枚硬幣時(shí)，經(jīng)過一次“操作”就能使處有硬幣，當(dāng)初始狀態(tài)，處都沒有硬幣時(shí)，處至少要有枚硬幣，才能使得處有枚硬幣，當(dāng)初始狀態(tài)，處都沒有硬幣時(shí)，經(jīng)如圖，檢驗(yàn)（相應(yīng)的數(shù)字代表每次“操作”后的硬幣數(shù)），當(dāng)處有枚硬幣時(shí)，符合題意．∴的最小值為．21．見解析【分析】過點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)AE與BG的交點(diǎn)為K，連KM．根據(jù)AE∥GF，可得，再由BE=EF，可得BK=GK，從而得到，BK=KG=MK，進(jìn)而得到∠ABG=∠BMK，再由，，可得，然后根據(jù)MG∥BC，可得，從而得到，可證得△KAM∽△CBF，從而得到∠