2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第一章 幾何最值壓軸題之將軍飲馬 （含解析）

第1節(jié)將軍飲馬

前言：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河"這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩.而由此卻引申出一系列非常有趣的

數(shù)學(xué)問題，稱為“將軍飲馬”問題.

1模型認(rèn)識.

問題描述：如圖，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？

.8軍營

將軍/

河

問題簡化：如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最??？

問題解決：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A1,連接PA',則PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB.

當(dāng)A；P、B三點(diǎn)共線的時候.PA，+PB=A，B,此時為最小值.（兩點(diǎn)之間線段最短）

思路概括

作端點(diǎn)（點(diǎn)A或點(diǎn)B）關(guān)于折點(diǎn)（上圖P點(diǎn)）所在直線的對稱，化折線段為直線段.根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”可得最小值.

引例1:在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)是（0,1）,點(diǎn)B坐標(biāo)是（3,2）.在x軸上取一點(diǎn)P,使得PA+PB最小，則點(diǎn)P坐

標(biāo)是?

解析：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A1連接AB,與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.

由題意得點(diǎn)A'坐標(biāo)為(0,-1),

..?直線A，B的解析式為y=x-l,與x軸交點(diǎn)為(1,0),

??.PA+PB最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,0).

模整展除了基本的模型之外,我們也可以利用類似的理論構(gòu)造類似的圖形.可用于求最值的定理有：

①兩點(diǎn)之間線段最短；

②點(diǎn)與直線的連線中，垂線段最短；

(1)點(diǎn)-點(diǎn)：一定兩動

在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N,使得△PMN周長最小.

分析：此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA(折點(diǎn)M所在直線)、OB(折點(diǎn)N所在直線)的對稱點(diǎn)，化折線段P

M+MN+NP為P'M+MN+NP",當(dāng)P'、M、N、P"共線時，△PMN周長最小.

弓例2:如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，/AOB=3(T,OP=8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，則△P

MN周長的最小值是.

解析：△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA對稱點(diǎn)P、P”,化PM+PN+

MN為P'N+MN+P"M.

當(dāng)P；N、M、P”共線時，得△PMN周長的最小值，即線段PP”長，連接OP'、OP”,可得AOPP”為等邊三角形，.?.PP"=OP'

=OP=8.

【思考】NAOB還可以是多少度？

點(diǎn)-點(diǎn)：兩定兩動

在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長最小.

分析：考慮PQ是條定線段,故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、0B對稱，化折線段

PM+MN+NQ為P,M+MN+NQ',當(dāng)P、M、N、Q，共線時，四邊形PMNQ的周長最小.

引例3：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)是(1,3),點(diǎn)Q坐標(biāo)是(4,2),分別在y軸、x軸上取點(diǎn)M、N,則四邊形PMNQ周長

的最小值是.

解析：考慮到PQ是定值，只需PM+MN+NQ的值最小即可.作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P,坐標(biāo)是(-1,3),作點(diǎn)Q關(guān)于x

軸的對稱點(diǎn)Q',坐標(biāo)是(4,-2).

連接P'Q'.與y軸、x軸交點(diǎn)即為M、N,此時四邊形PMNQ的周長最小，

最小值為PQ+PQ=V52+52+V32+I2=5應(yīng)+V10.

(2)點(diǎn)-線：點(diǎn)與直線的連線中，垂線段最短在OA、0B上分別取M、N使得PM+MN最小.

分析：此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于0A對稱的點(diǎn)P,將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為PM+MN,即過點(diǎn)P作OB垂線分

別交OA、0B于點(diǎn)M、N,即可得PM+MN最小值

弓I例4:如圖，在R3ABC中，NACB=90。，AC=3,BC=4,AD平分NBAC,分別在AD、AC上取點(diǎn)M、N,連接

CM、MN,則CM+MN的最小值是.

解析：：AD是角平分線，二點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N在線段AB上，連接MN1.有CM+MN=CM+MN；考慮至UM、

N皆為動點(diǎn)，，過點(diǎn)C作AB的垂線，與AD、AB交點(diǎn)即是M、N',此時CM+MN最小.

最小值CN即R3ABC斜邊高線長，即CM=￡,.?.CM+MN的最小值為f

⑶PA-PB型：三角形兩邊之差小于第三邊在直線1上取點(diǎn)P使得PA-PB最大.

分析：PA-PB型一般求最大值，且A、B初始位置在折點(diǎn)所在直線（上圖中1）兩側(cè)，與PA+PB型不同.

作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)B1,

則PA-PB=PA-PB'<AB',

當(dāng)A、B;P共線時，止匕時PA-PB=AB，最大.

弓I例5:如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點(diǎn)O,N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=6.P為對角

線BD上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值為

解析：作點(diǎn)M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)M',根據(jù)對稱性可知M在AB上且AM'=2,連接PM；則PM'=PM,

PM-PN=PM'-PN<MN,

當(dāng)M；N、P共線時，此時PM'-PN=M'N,取到最大值.

ANAC=i=M^B,/.AAMN^AABC,

即4AMN是等腰直角三角形，

M'N=AM'=2,

3平移型將軍飲馬

⑴造橋選址

問題描述：已知將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短?

分析：考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可.問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與N

B連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點(diǎn)落在A，位置.

問題化為求AN+NB最小值，顯然，當(dāng)A；N、B三點(diǎn)共線時，值最小，并可得N點(diǎn)位置，即可確定橋的位置.

思路概括

當(dāng)兩條線段分離時，可通過平移，將其化成共端點(diǎn)的折線段，求最值問題即是常規(guī)將軍飲馬問題.

⑵將軍遛馬

問題描述：如圖，將軍在A點(diǎn)處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路（長度為定值）,再返回軍營，問怎么

走路程最短?

B軍營

將軍4

MN

河

問題簡化：已知A、B兩點(diǎn)，MN長度為定值，確定MsN位置使得AM+NB值最小?

分析：將AM平移使M、N重合.AM=A'N,將AM+BN轉(zhuǎn)化為A'N+NB.

構(gòu)造點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A",連接A"B,可依次確定N、M位置，可得路線.

引例6：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)B.在原點(diǎn),點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4),E為CD

的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上兩個動點(diǎn)，且PQ=2.要使四邊形APQE的周長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為.

解析：考慮PQ、AE為定值..?.只需AP+QE最小即可.如圖,將AP平移至AQ考慮AQ+QE最小值門(>2,，AA，=2,即點(diǎn)A，

的坐標(biāo)為(2,4)作點(diǎn)A，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A“，則點(diǎn)A”坐標(biāo)為(2,-4),連接A”E,與x軸交點(diǎn)即為Q點(diǎn).

又點(diǎn)E坐標(biāo)為(6,2),可得直線A-E解析式為y=|x-7,解方程:支-7=0彳導(dǎo)x=學(xué).?.點(diǎn)Q坐標(biāo)為左移2個單位即

為點(diǎn)P，1點(diǎn)P坐標(biāo)為(|,0).

問題設(shè)計

解題思路：作端點(diǎn)關(guān)于折點(diǎn)所在直線的對稱.

題型總結(jié)：為了便于構(gòu)造對稱，通常將軍飲馬問題存在于角平分線、等腰(邊)三角形、正方形中，折點(diǎn)所在直線通常為對稱軸，

直接作對稱即可.

變式分析：⑴非軸對稱圖形確定對稱點(diǎn)的位置；

⑵確定折點(diǎn)所在直線.

(1)非軸對稱圖形確定對稱點(diǎn)的位置

引例7:如下左圖.在等邊△ABC中，AB=6,N為AB上一點(diǎn)且BN=2AN,BC的高線AD交BC于點(diǎn)D,M是AD上的動點(diǎn)，連

結(jié)BM、MN,貝！]BM+MN的最小值是.

變式：如上右圖，在R3ABD中，AB=6,/BAD=3(T,ND=9(r,N為AB上一點(diǎn)且BN=2AN,M是AD上的動點(diǎn),連結(jié)BM、MN,

則BM+MN的最小值是.

解析：M點(diǎn)為折點(diǎn)，作B點(diǎn)關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，即C點(diǎn)，連接CN,即為所求的最小值.過點(diǎn)C作AB垂線，利用勾股定理求得

CN的長為2小

變式：對稱點(diǎn)并不一定總是在已知圖形上，補(bǔ)出圖形，可得BM+MN最小值為2V7

(2)確定折點(diǎn)所在直線

引例8:如圖在矩形ABCD中,AB=6,AD=3動點(diǎn)P滿足Sp皿=?Z4BCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB

解析：由SPAB=[SZ48CD可作出P點(diǎn)軌跡為直線MN(AM=BN=2).作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B；化折線PA+PB為PA+PB：

當(dāng)A、P、B，共線時，取到最小值，選A.

真題演練

1.如圖，在RtAABO中,ZOBA=90°,A(4,4),點(diǎn)C在邊AB上，且AC:CB=1:3,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P

為邊OA上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

y

55,

A.(2,2)B.—)一

.22.

88

C.一，一D.(3,3)

.33.

2.如圖，在△ABC中,AC=BC,NACB=90。,點(diǎn)D在BC上,BD=3,DC=L,點(diǎn)P是AB上的動點(diǎn)，則PC+PD

的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

3.如圖,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6.AB=12,AD平分/CAB,點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的動

點(diǎn)，貝（JCE+EF的最小值為（）

C.3V3D.2V3

4.如圖，在銳角三角形ABC中.BC=4,/ABC=60。，BD平分/ABC,交AC于點(diǎn)D,M、N分別是BD、BC±

的動點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）

C.2V3D.4

5.如圖,正方形ABCD的邊長是4,M在DC上，且DM=1,N是AC邊上的一動點(diǎn)，則△DMN周長的最小值是.

6.如圖,在菱形ABCD中，AC=6也BD=6,E是BC的中點(diǎn)，P、M分別是AC、AB上的動點(diǎn).連接PE、PM,

貝!]PE+PM的最小值是（）

A.6B.3V3C.2V6D.4.5

7.如圖，在RtAAOB中，ZAOB=90°,OA=3,OB=4,以點(diǎn)0為圓心,2為半徑的圓與0B交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作

CDXOB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)P是邊OA上的動點(diǎn).當(dāng)PC+PD最小時，OP的長為（）

8.如圖，在矩形ABCD中，BC=10,NABD=30。,若點(diǎn)M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點(diǎn)，則AM+MN的

最小值為.

9.如圖.在扇形BOC中，ZBOC=60°,OD平分NBOC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為半徑OB上一動點(diǎn).若OB=2，則

陰影部分周長的最小值為.

10.如圖，矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,5）,D是OB的中點(diǎn)，E是OC上的一點(diǎn)，當(dāng)^ADE的周長最小

時，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

c.(0,2)D.(0,y)

11.如圖，矩形ABCD中，AB=10,BC=5,點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上,且AE=CG,BF=DH,則四邊形EFGH周長的

最小值為（）

A.5A/5B.10V5C.10V3D.15A/3

12.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F將對角線AC三等分，且AC=12，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點(diǎn)P的個數(shù)是

)

13.如圖，ZAOB=60°,點(diǎn)P是NAOB內(nèi)的定點(diǎn)且（OP=舊,若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，則△PMN周

長的最小值是（）

14.如圖,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1,1）,B（3,3）是第一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1,且CA=CB,在y軸上取一點(diǎn)

D,連接AC、BC、AD、BD，使得四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值為

15.如圖,NAOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動點(diǎn)，點(diǎn)N(3,0)是0B上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，Z

AOB=30°,要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

16.如圖，已知正比例函數(shù)丫=kx(k>0)的圖像與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),P為y軸上的一個動點(diǎn)M、

N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖像上的兩個動點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為

次+bx+c與直線〃=1+3交于人、B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC,已知A(0,3),

C(-3,0).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸1上找一點(diǎn)M，使IMB-MDI的值最大，并求出這個最大值.

18.如圖,拋物線y=a/+b久-4與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵動點(diǎn)P、Q以相同的速度從點(diǎn)0同時出發(fā)，分別在線段OB、0C上向點(diǎn)B、C方向運(yùn)動，連接CP、DQ,請直接寫出CP+DQ

的最小值.

19.如圖①，要在一條筆直的路邊1上建一個燃?xì)庹?，?同側(cè)的A、B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確定燃?xì)庹镜奈恢?

使鋪設(shè)管道的路線最短.

(1)如圖②,作出點(diǎn)A關(guān)于1的對稱點(diǎn)A',線段A'B與直線1的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是

最短的.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點(diǎn)C,連接AC、BC',證明AC+CB<AC+CB.請完成這個證明.

⑵如果在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域.請分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案(不需

說明理由).

①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；

②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.

④

第1節(jié)將軍飲馬

I.C.

解析：點(diǎn)D關(guān)于折點(diǎn)P所在直線OA的對稱點(diǎn)D1,可得D坐標(biāo)是（0,2）,直線CD解析式為y=；%+2,又直線

OA解析式為y=x,聯(lián)立方程:；%+2=x,解得:x=|,故點(diǎn)P坐標(biāo)（皆）,故選C.

2.解析：作點(diǎn)C關(guān)于P點(diǎn)所在直線AB的對稱點(diǎn)C,當(dāng)C、P、D共線時，PC+PD最小,最小值為5,故選B.

3C.

解析：作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱，對稱點(diǎn)C在AB上且在AB中點(diǎn).化折線段CE+EF為CE+EF,當(dāng)C、E、F共線時

得最小值，。孑=|。樂故選（1

4C.

解析：作點(diǎn)N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN1.因?yàn)镸、N皆為動點(diǎn)，所以過點(diǎn)C

作AB的垂線，可得最小值，選C.

5解析：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，即點(diǎn)B,連接BN交AC于點(diǎn)N,此時△DMN周長最小，DN+MN=BM=

22

V3+4=5,CDMN=5+1=6,.,.周長最小值為6.

6.C.

解析：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM'.當(dāng)E、P、M，共線時，EP+PM最

小，最小值即為菱形的高，可用面積法：

"羅=BC.EAT,代入解得：EM'=與故選C.

7.B.

解析：延長B0交圓于點(diǎn)M,連接MD,與A0交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，,?.點(diǎn)C是0B中點(diǎn)，CD==|,：P、0分

別是MD、MC中點(diǎn)二0P=；即0P的長為：，故選B.

244

8.15.

解析：如圖,作射線BP使得/DBP=30。，則點(diǎn)N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)N，在射線BP上，過點(diǎn)A作BP的垂線，垂

足記為AM+MN最小值時的點(diǎn)N：???BC=10,二AB=106AN=15,.?.最小值為15.

9.。企+9

解析：作點(diǎn)D關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D1,連接CD',則CD的長即為CE+DE的最小值，連接OD,：/BOC=60。，且OD

平分NBOC,；./COD=9（r,，CD=2或，故陰影部分周長的最小值是卜或+；）

10.B.

解析：作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D1,坐標(biāo)為（2,0）連接AD,與y軸交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)由題意得直線AD解析

式為V=+|，故點(diǎn)E坐標(biāo)為（0.、故選B.

11.B.

解析：考慮到四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF最小值，此處E為折點(diǎn)，作F關(guān)于AB對稱點(diǎn)F',則BF1

=BF=DH=CM,.,.MF'=BC=5,MH=DC=10,HF'=周長最小值為10V5,故選B.

12.D.

解析：考慮在AD上任取一點(diǎn)P,所得PE+PF的最小值和最大值.先求PE+PF最小值：作點(diǎn)E關(guān)于直線AD的對

稱點(diǎn)E,連接PE;AE',貝PE+PF=PE'+PF,當(dāng)E；

P、F共線時，取到最小值，此時

PE'+PF=E'F=yjAE'2+AF2=4西<9,顯然

PE+PF>9,.?.在AD上存在兩個點(diǎn)P使得PE+PF=9,在正方形的邊上有8個這樣的點(diǎn)P,故本題選D.

13.D.

解析：此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA的對稱點(diǎn)P、P",化小PMN周長為P'N+MN+MP".當(dāng)P、

N、M、P”共線時，得最小值，利用60。角翻倍得/