2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練：最值模型之阿氏圓模型解讀與提分訓練（解析版）

專題34最值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的

數(shù)學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進

行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

........................................................................................................................................................1

模型1.阿氏圓模型.......................................................................................................................................................1

習題練模型］

.......................................................................................................................................................12

例題講模型］

模型1.阿氏圓模型

模型解讀

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B,動點尸滿足PA/PB=k（左為常數(shù)，且厚1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

模型證明

如圖1所示，。。的半徑為廣，點A、8都在。O夕卜，P為。。上一動點，已知（即1=左），連

0B

接PA、PB,則當“PA+hP8”的值最小時，尸點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

VZPOC=ZBOP,C.KPOC^LBOP,.?.生=左，IPk-PB=PCo

PB

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+P。'的最小值。

其中與A與C為定點，尸為動點，故當A、P、C三點共線時，“P4+PC，值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構(gòu)造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)

一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“八力+尸8”最值問題，其中P點

軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

模型運用

例1.（2024?安徽合肥?二模）在44BC中，ZACB=90°,AC=6,3c=8,點。是平面上一點，且CD=4,

連接AD、BD,則下列說法正確的是（）

A.4。長度的最大值是9B.|AD+如的最小值是

C.ZCBD=30°D.△ABD面積的最大值是40

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、點和圓的位置關(guān)系等知識，牢記相關(guān)性質(zhì)是解題

關(guān)鍵，根據(jù)點和圓的位置關(guān)系直接判斷A、C、D,根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)及勾股定理、兩點之間線段

最短判斷B即可.

【詳解】解：A、?.?AC=6,點。是平面上一點，且CD=4,

.,.點A、C、。在同一直線上且。在AC延長線上時，AD長度的最大值是6+4=10,故本選項不符合題意;

1ECD?DCA.-.△CDE^AC4D\-=—=-\DE=-AD

CDCA3ADCD33

22

\mAD+BD=DE+BD?BE：.當B、D、E共線時§AD+BD最小，

此時，|AD+BD=BE=^|^+8?=當普，故本選項符合題意；

C、?點。是平面上一點，且CD=4,.:。點在以點C為圓心，4為半徑的圓上,

.?.NCBD隨著點。的變化而變化，故本選項不符合題意；

D、?.?。點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，

如下圖，當。C所在直線垂直于AB時，△ABD面積的最大，

在AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=^62+82=10-

\5.0=1倉68=1倉巾0CH,\CH-4.8,\D”=4.8+4=8.8，

△/iDc22

\反鉆°=!創(chuàng)。8.8=44,面積的最大值是44,故本選項不符合題意；故選：B.

例2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點P是圓B上的一個動

點，則PD--PC的最大值為.

2

AD

【答案】—

2

13

【解析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=3,根據(jù)題意要求構(gòu)造—PC,在BC上取M使得此時PM=—,

22

則在點P運動的任意時刻，均有PM=-PC,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.連接PD,對于APDM,

2

PD-PM<DM,故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值”.

一2

例3.（2023?北京?九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。。，尸是。。上一動點，則夜

PA+PB的最小值為.

【答案】2指

【分析】及PA+PB=6（PA+與PB）,利用相似三角形構(gòu)造乎即可解答.

【詳解】解：設(shè)。O半徑為r,

DC

OP=r=gBC=2,0B=&r=2金，取。8的中點/,連接P/,：.OI=IB=也,

：等釜=&，型=述=應(yīng)，:.多=嗡，NO是公共角，：.△BOPS^POI,

01，2OP2OIOP

；.￡L=2L=絲,：.PI=J3LPB,:.AP+顯PB=AP+PI,

PBOP222

...當A、P、/在一條直線上時，AP+變PB最小，作于E,

2

萬

：NA8O=45°,；.IE=BE==BI=l,:.AE=AB-BE=3,

2

：.AI=yj32+l2=710，；?AP+4PB最小值=A/=Vio,

6

,:亞PA+PB=^(/?4+—PB),.?.0必+必的最小值是04/=0*歷=2宕.故答案是2君.

2

【點睛】本題是“阿氏圓''問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形.

例4.(2024?江蘇?無錫市九年級期中)如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點〃、點N,。。半徑

為3,點A(0,1),點B(2,0),點P在弧MN上移動，連接％,PB,則3E4+PB的最小值為一.

【答案】每

r)AApi

【分析】如圖，在y軸上取一點C(0,9),連接尸C,根據(jù)器=器=；,/4OP是公共角，可得AAOPS4

POC,得尸C=3必，當民C,尸三點共線時，3B4+PB的值最小為BC,利用勾股定理求出BC的長即可得答案.

【詳解】如圖，在y軸上取一點C(0,9),連接PC,

：。。半徑為3,點A(0,1),點3(2,0),：.OP=3,OA=1,OB=2,OC=9,

QAQp1

NA。尸是公共角，:.△NOPSXPOC,：.PC=3PA,

?）PA+PB=PC+PB,：.當B,C,P三點共線時，3PA+PB最小值為BC,

二BC=Sc?+OB。=也2”=屈,，3必+尸2的最小值為屈?故答案為：底

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及最小值問題，正確理解C、P、B三點在同一條直線上時

3PA+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

例5.（2024?山東?模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,尸在以3為圓心

3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為.

【解答】解：在上取點E,使=-.-AB=2BC=6,

2ABBP2

PFBP11

???ZPBE=ZABP,「.APB石SA4s尸，—=一=_,：.PE=—PA,

PAAB22

在BD延長線上取叱=9,???BD=1,則生="=3,

PBBD

PFPR

5L-：ZPBD^ZFBP,:.^PBD^\FBP,—=——=3,:.PF=3PD,

PDBD

1

:.PA+6PD=2(-PA+3PD)=2(PE+PF),

.?.當「為跖和圓的交點時PE+PF最小，即P4+6PD最小，且值為2EF,

...EF=4BE2+BF。=J(|y+9?=,.?.P4+6PD的最小值為2EF=3庖，故答案為：3歷.

例6.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,D、E分別是邊3C、

AC上的兩個動點，且DE=4,尸是DE的中點，連接上4,PB,則PA+’PB的最小值為

4

【解答】解：如圖，在8上取一點八使得bj連接尸尸，

1CF1cp1CFCP

XDCE=90°,DE=4,DP=PE,PC=—DE=2,=—,—=—,

2CP4CB4CP-CB

PFCF111

-.?ZPCF=ZBCP,:."CFs獨CP,..——=—=-,:.PF=-PB,PA+-PB=PA+PF,

PBCP444

\-PA+PF..AF,AF=yJCF2+AC2=

2

?警一的最小值為半

例7.（2024?福建??？家荒＃┤鐖D，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且即1=2,N為邊BC

上一動點.連接肱V,將ABMN沿M2V翻折得到APMN,點尸與點8對應(yīng)，連接弘PC,貝UR4+2尸C的

最小值為?

【答案】6H

【分析】由折疊的性質(zhì)可得，點尸在以加為圓心，以2為半徑的圓上，在線段處上取一點E,使得旌=1,

利用相似三角形的性質(zhì)得到PE=^PA,從而得到尸A+2PC=2^PA+PC^=2（PE+PC）>2CE，當且僅當

P、C、E三點共線時，取得最小值2CE,即可求解.

【詳解】解：由題意可得：PM=BM=2.??點尸在以M為圓心，以2為半徑的圓上，

MPME1

在線段網(wǎng)上取一點E,使得ME=1,貝！J3E=3'：AM=AB-BM=4,MP=2：.——=——=-

AMPM2

PEME]]

又ZEMP=ZPMA：.AEMP^APMA：.—=——=不'PE=彳PA

PAPA/22

PA+2PC=2^PA+尸C）=2（PE+PC）＞2CE

如下圖所示，當且僅當P、C、E三點共線時，取得最小值2CE

CE=BE1+BC2=36，,PA+2PC的最小值為：6卡

例8.（2024.廣東?校考二模）（1）初步研究：如圖1,在△E4B中，已知B4=2,42=4,。為AB上一點且AQ=1,

證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2,已知正方形4BCD的邊長為4,的半徑為2,點P是。A上的

一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3,已知菱形48C。的邊長為4,ZA=60°,。4的

半徑為2,點P是。A上的一個動點，求2PC-P8的最大值.

圖1圖2圖3

【答案】（1）見解析；（2）10；（3）2后

【分析】（1）證明△B4QSAA4P,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明尸氏2尸。；

（2）在AB上取一點0,使得AQ=1,由（1）得PB=2PQ,推出當點C、P、。三點共線時，PC+P。的值

最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當點尸在C0

交。A的點P時，PC-P。的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC-P8的最大值.

PAAB

【詳解】解：(1)證明：：B4=2,AB=4,AQ=1,：.PA2=AQ-AB=4..

AQrA

PQpA1

又,.?NA=NA,LPAQ^LBAP.=——.：.PB=2PQ；

PBAB2

（2）如圖，在上取一點Q,使得4。=1,連接AP,PQ,CQ.

：.AP=2,AB=4,AQ=l.由(1)得PB=2PQ,：.2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).

?：PC+PQ>QC,當點C、P、。三點共線時，尸C+尸。的值最小.

'：QC=^QB2+BC2=5,2PC+PB=2(PC+PQ)>10.的最小值為10.

DC

（3）如圖，在AB上取一點Q,使得AQ=1,連接4P,PQ,CQ,延長CQ交。A于點P,過點C作C7/垂

直A2的延長線于點和易得AP=2,AB=4,AQ=1.

由⑴得尸B=2PQ,：.2PC-PB=2PC-2PQ=2(PC-PQ),

???PC-PQ<QC,，當點P在C。交。A的點P時，PC-PQ的值最大.

QC=4QH2+CH2=國,：.2PC-PB=2(PC-PQ)及用....2PC-P2的最大值為2折'.

【點睛】本題考查了圓有關(guān)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點之間線

段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建相似三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為

兩點之間線段最短解決.

例9.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線、=依2+法+5與x軸交于兩點，與>軸交于點

C,AB=4.拋物線的對稱軸尤=3與經(jīng)過點A的直線y=依-1交于點。，與x軸交于點E.

（1）求直線AD及拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點"，使得"DM是以AD為直角邊的直角三角

形?若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以點8為圓心，畫半徑為2的圓，點、P為OB

上一個動點，請求出尸C+；尸4的最小值.

【答案】（1）直線AD的解析式為y=xT;拋物線解析式為y=f-6x+5

（2）存在，點M的坐標為（4,-3）或（0,5）或（5,0）（3）歷

【分析】（1）根據(jù)對稱軸x=3,AB=4,得到點A及8的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）先求出點。的坐標，再分兩種情況：①當NZM"=90。時，求出直線A4的解析式為解方

程組廠2，<，即可得到點M的坐標；②當NAZ）M=90。時，求出直線DM的解析式為y=-x+5,

=x-ox+5

fy=-x+5BFPB

解方程組2u〈，即可得到點M的坐標；（3）在AB上取點尸，使叱=1,連接CF,證得二=2，

=尤+5PBAB

又ZPBF=ZABP,得到APBFSAABP,推出P尸=gE4,進而得到當點C、P、/三點共線時，PC+；PA的

值最小，即為線段C尸的長，利用勾股定理求出CF即可.

【詳解】（1）解：：拋物線的對稱軸尤=3,AB=4,.-.A（l,0）,5（5,0）,

將A（l,0）代入直線、=辰-1,得左—1=0,解得左=1,.?.直線AD的解析式為y=x-l；

a+b+5=0a=l

將A（l,0）,5（5,0）代入y=ax2+bx+5,解得

25a+5Z?+5=0b=-6

：.拋物線的解析式為y=Y-6x+5；

（2）存在點M,,?,直線AT）的解析式為y=%-1,拋物線對稱軸％=3與x軸交于點￡.

?,?當％=3時，y=x-l=2,/.￡)(3,2),

①當NZMM=90。時，設(shè)直線AM的解析式為y=-x+J將點A坐標代入,

得-1+。=0,解得。=1,?,?直線AM的解析式為y=-％+1,

y=—x+1/"一I或x=4

解方程組2????點M的坐標為（4,一3）；

y=x-6x+5信y=0y=-3'

②當NADM=90。時，設(shè)直線DM的解析式為y=r+d,將。（3,2）代入,

得-3+d=2,解得d=5,「?直線DM的解析式為y=—％+5,

Iy=—x+5[x=0\x=5/、/、

解方程組J；=d_6x+5,解得Jy=5或jy=0'???點河的坐標為(0,5)或(5,0)

綜上，點M的坐標為（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如圖，在A3上取點尸，使砥=1,連接CF,

..DD_O.竺」..型.B^_PB

PB2AB42PBAB

PFBF11

XVZPBF=ZABP：?APBFS^ABP,;.==gpPF=-PA,

9PAPB22

.??PC+《PA=PC+P尸NCF,.?.當點C、P、/三點共線時，尸C+工厚的值最小，即為線段C廠的長,

22

2222

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,：.(jF=^QC+OF=75+4=A/41>；?PC+g/M的最小值為百.

【點睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì),

勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

習題練模型]

1.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）如圖，在矩形A8CD中，已知AB=3,BC=6,E為AD邊上一動點，將△ME

沿BE翻折到AEBE的位置，點A與點尸重合，連接DECF,則。的最小值為（）

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關(guān)

31

鍵.在3c上取點G,使3G=—,連接PG,DG,證明一》0￡8尸，可得出FG=—CF,貝lj

22

DF+^FC=DF+GF>DG,當。、F、G三點共線時，DF+gFC最小，在RtaCDG中，利用勾股定理

求出DG即可.

3

【詳解】解：如圖，在BC上取點G,使BG=],連接bG,DG.

?.?△ME沿BE邊翻折到△出E,:.BF=AB=3,XvBC=6,=空=!，；.器，,

nr2nC2ornC

GFBF11

又ZFBG=NCBF,.△FBG^CBF,「.——=——=-,/.FG=-CF,

CFBC22

:.DF+-FC^DF+GF>DG,當。、F、G三點共線時，。尸+工尸C最小，

22

在RtACDG中，CD=AB=3,CG=BC-BG=4.5,/BCD=90。,

DG=Vcn2+CG2=,即。P+工PC的最小值為3叵.

222

2.（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形ABCD中AB=8,4）=6,點E是矩形ABCD內(nèi)部一個動

點，且￡B=4,連接CE,則DE+三分之二CE的最小值為（）

A.8B.—C.—D.9

33

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得：點E在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運動，在上取一點F,使8尸=|,連接

102

EF,由矩形的性質(zhì)可得BC=AZ>=6,6=帖=8,推出。尸=—,證明45砂6/^8?！?得到￡尸二—。石，

33

22

推出?！?］?！?。￡+瓦"即當。、E、尸共線時，+取最小值，最小值為。尸，最后根據(jù)勾股

定理求出。尸，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：點E在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運動，在BC上取一點歹，使8尸=|,

Q1Q

連接跖，?.,矩形A3CD中，AB=8,AD=6,ABC=AD=6,CD=AB=8,ACF=BC-BF=6--=—,

BEBF2FF22

EB=4,「?,又丁NB=/R,/\BEFsLBCE,--fEF=—CE,

22

DE+-CE^DE+EF,.?.當￡）、E、尸共線時，DE+§CE取最小值，最小值為。尸，

DF=A/CF2+C￡>2+82=y,故選:B.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì),勾股定理，線段和最短問題，解

題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

3.（2024?安徽六安.模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，己知AB=3,BC=6,E為AD邊上一動點，將AME

沿班翻折到△降的位置，點A與點"重合，連接小,CF,則江+”的最小值為()

A.2B.姮C.4D.迪

222

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關(guān)

31

鍵.在BC上取點G,使3G=5，連接尸G,DG,證明AFBGSACB?,可得出FG=/CF,貝lj

DF+}-FC=DF+GF>DG,當。、F、G三點共線時，+最小，在Rt^CDG中，利用勾股定理

22

求出。G即可.

3

【詳解】解：如圖，在BC上取點G,使BG=5，連接FG,DG.

???△A&E沿3右邊翻折到△沖石，:.BF=AB=3,又?.?3C=6,..■!?=!，器;=3，：.第=三,

Dr2nC2orDC

DE11|j

又ZFBG=NCBF,.^FBG^^CBF,/.-=—=:.FG=—CF,DF+-FC=DF+GF>DG,

CFBC222

當。、F、G三點共線時，。尸最小，在RtzXCDG中，CD=AB=3,

CG=BC-BG=4.5,ZBCD=90。,DG=ylCD2+CG2=,即。F的最〃、值為^.故選：D.

222

4.（2024.山東泰安?二模）如圖，在RAABC中，ZACB=90°,CB=2及,AC=9,以C為圓心，3為半

徑作。C,尸為。C上一動點，連接轉(zhuǎn)、BP,則《AP+3尸的最小值為（）

A

C.3D.4

【答案】c

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題

的關(guān)鍵.在C4上截取CAf,使得CN=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)證明加尸=：上4,

可得;AP+BP=PM+PBNBM,利用勾股定理求出8M即可解決問題.

【詳解】解：如圖，在C4上截取CM,使得CM=1,連接尸M,PC,BM.

.PCCM

CA=9,：2

.PC=CMCA,'^A~~CP

PMPC111

VZPCM=ZACP,：.^PCM^^ACP,：.——=—=-,/.MP=-PA,：.-AP+BP=PM+PB>BM,

PAAC333

VPM+PB>BM,在3△BCM中，ABCM=90°,CM=1,CB=2立,

BM=yJCM2+CB2=J12+（2V2）2=3,：.^AP+BP>3,，gaP+BP的最小值為3.故選：C.

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,點P為邊CO的中點，點E在邊AD

上，連接3尸，點尸為3尸上的動點，則所+叵所的最小值為.

10

【答案】6

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.作FC8c于點G,證明

△BFG^ABPC,求得FG=叵BF,當E,F,G三點共線時，所+叵BF有最小值，最小值為EG的長,

1010

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：矩形ABC。中，AB=6,AD=9,點P為邊CO的中點，

2222

ACP=|CZ)=|AB=3,Bp=yjBC+CP=79+3=3710-

作FG_LBC于點G,AFG//CP,：.Z^BFG^^BPC,

/.FG=—BF,AEF+—BF=EF+FG,

1010

當E,F,G三點共線時，功+巫B尸有最小值，最小值為EG的長,

10

此時EG=Afi=6,￡/+亞8尸的最小值為6,故答案為：6.

10

6.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）如圖所示，正方形ABCD邊長為8,M為BC中點，E為AC上的動點，F(xiàn)為

BE上的點，且班1=3,連接DE,貝!I2MF+DE的最小值是（）

A.屈B.3幣C.2714D.2V17

【答案】D

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，取CM的中點N,連接EN,證

明ABFMS^BNE,得出NE=2FM,從而得出2MF+DE=NE+DE,連接DN交AC于E，當。、E、N

在同一直線上時，NE+DE最小,即2MR+DE最小，最小為ON,再由勾股定理求出DN的長即可.

【詳解】解：取CM的中點N,連接EN,

AD

丁四邊形ABC。為正方形，邊長為8,M為3C中點，ABC=CD=8,BM=CM=4,4c0=90。,

為AC上的動點，:.BE=BC=8,:.BE=2BM,

BNBE

為CM中點，Z.MN=CN=2,：.BN=BM+MN=6,,:BF=3,：.BN=2BF,：.—=——=2,

BFBM

NE

■:NFBM=NNBE,：.ABFM^ABNE,：.——=2,/.NE=2FM,：.2MF+DE=NE+DE,

FM

連接。N交AC于￡，當。、E、N在同一直線上時，NE+DE最小,即2Mp+/）E最小，最小為CN,

,*,DN=y/cif+CN2=2717?，2MR+DE最小值為2比7,故選：D.

7.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）如圖，邊長為2的正方形A3CD中，E、E分別為3C、CD上的動點，BE=CF,

連接AE、BF交于點P,則PD+%C的最小值為一.

【分析】證明AABE絲ABCF(SAS),則NA4E=NCBHZAPB=180°-(ZS4E+ZABP)=90°,如圖，記

的中點為。，則尸在以。為圓心，A3為直徑的圓上，如圖，連接OPOC,由勾股定理得，OC=君，如

圖，在。C上取點G使。G=好，則CG=S5,連接尸G,GD,證明AGOPSAP。。，則變.=」!，即

55PC5

PG=—PC,由尸。+苴PC=PG+P￡>,可得當G、P、。三點共線時，P￡>+且PC的值最小，為GD,如圖，

555

CH1

「HCR-----=----

作于則GH〃BC,NCGH=NOCB,sinZCGH=sinZOCB,則亍==，即4石也，

CGOC-----

5

可得CH=:,即￡>//=：,由勾股定理得，GH=|,根據(jù)DG7DH2+GH2，計算求解即可.

【詳解】解：：正方形A3CD,AAB=BC=CD=2,ZABC=ZBCD=90°,

又,/BE=CF,：.AABE'BCF(SAS),ZBAE=ZCBF,

ZBAE+ZABP=ZCBF+ZABP=90°,：.ZAPS=18O°-（ZBAE+ZABP）=9O°,

如圖，記AB的中點為。，則P在以。為圓心，為直徑的圓上，

如圖，連接。尸，OC,由勾股定理得，OC=^BC1+OB2=A/5>

如圖，在OC上取點G使。G=且，則CG=±5,連接PG,GD,

55

V—=^=—,NGOP=NPOC,:.AGOPSROC,；.”=好，即尸G=@PC,

OP5OCPC55

PD+*PC=PG+PD,.?.當G、P、D三點共線時，PD+（PC的值最小，為GD,

如圖，作G"_LCD于H,：.GH//BC,:.NCGH=NOCB,：.sinZCGH=sinZOCB,

CH_1

.?.栗=黑，即而=有，解得Of",.?.OH="

CGCJC--—55

由勾股定理得，GH=y/CG2-CH2=|,由勾股定理得，DG=-JDH-+GH2=2>故答案為：2.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，90。圓周角所對的弦為直徑，相

似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識.熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，90°

圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?浙江溫州.模擬預(yù)測）如圖，在正方形A3。中，點N分別在邊A3,2C上（不與頂點重合），

且滿足AM=3N,連接AN,DM交于點、P.E,F分別是邊AB,BC的中點，連結(jié)接尸E,PF.若正方

形的邊長為8,則尸E+廠的最小值為.

2

DC

【分析】由四邊形ABCD是正方形，得=ZABC=ZBAD=90°,證明AAD揚名ABANeAS),根據(jù)

性質(zhì)得出/APD=90。，點M、N無論在何處，均有/APD=90。，即點尸在以A￡＞中點為圓心，AD為直徑

的圓上，用點G表示AD的中點，連接GB,用點H表示G尸的中點，用點。表示GH的中點，連接

EH、QE、PG、PQ,以G為圓心，AG為半徑畫”圓，然后證明AGQP~AGPP,則更=些=d=!，

4PFGPGF2

故尸E+〈P尸的最小值也就是尸E+Q尸的最小值，當點尸、E、Q三點共線時，PE+QP最小，最小值為線段

E。的長度，最后由勾股定理即可求解.

【詳解】?.,四邊形ABCD是正方形，=ZABC=ZBAD=90°,

X'.'AD=BA,：.^ADM^^BAN（SAS）,：.ZADM=ZBAN,

VZBAN+ZDAN=90°,：.ADAN+ZADM=90°,：.ZAPD=90°,

...點M、N無論在何處，均有/APD=90。，即點P在以AD中點為圓心，AD為直徑的圓上，用點G表示AD

的中點，連接GF,用點”表示G尸的中點，用點。表示GH的中點，連接班、QE、PG、PQ,以G為圓

心，AG為半徑畫(圓，如圖中的A//,

：M在A3上運動且不與43重合，.?.點尸的軌跡就是不與A、〃重合,

VGP=GH=AG=-AD=4,GQ=-GH=2,GF=2GH=8,

22

.GQ_2_\GP_4_j_.GQGP

**GP-4-2?GF-8-2???不一而‘

?:NPGQ=NFGP,:.AGQP~AGPF,==—=-,

~PFGPGF2

PE+^PF的最小值也就是PE+QP的最小值，

?..點P在AH上，，當點P、E、Q三點共線時，PE+QP最小，最小值為線段石。的長度,

:點G、尸分別是正方形ABC。邊AD、3c的中點，，四邊形G4B廠是矩形,

；點E、”分別是矩形G4放邊AB、GP的中點，，四邊形AEHG是矩形，E”=AG=4,ZEHQ=90°,

■：QH=GQ=^GH=2,：.在RuEHQ中，由勾股定理得EQ=^EH2+QH2=^42+22=2—，

即：PE+；尸廠的最小值為2石，故答案為：26.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定

理，兩點之間線段最短，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

9.（2024?廣西?一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，NB4c=60。，點、D,E分別在半徑AB,

3

AC±,且5D=CE=2,點尸是弧5C上的動點，連接OF,EF,則OF+—E/的最小值為

2

【答案】國

3

【分析】連結(jié)AF,延長AC到G使CG=3,連結(jié)GF,過G作AH±AB于H,先證△胡EsAGAF,得出尸G二^跖,

3

根據(jù)兩點間距離最短得出尸G+尸DNGD,即ED+gEFNOG,當點G,尸,￡）三點在同一直線上時G尸+尸。最

31Q

短即即+］跖最短=Z）G,然后利用30。直角三角形先證求出AH=5AG=5,利用銳角三角函數(shù)求出

G居AGcos30o=9xXI=2叵，利用勾股定理求解即可.

22

【詳解】解：連結(jié)AR延長AC到G使CG=3,連結(jié)G凡過G作于從

..AE_4_2AF_6_2.AE_AF_2

：.AG=AC+CG=6+3=9,CE=2,AE=AC-CE=4,

*AF-6-3AG-9-3*AF-AG-3