第3節(jié)　空間直線、平面的平行

第3節(jié)空間直線、平面的平行考試要求1.以立體幾何的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.【知識(shí)梳理】1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想，解題過(guò)程中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.(2)在應(yīng)用判定定理與性質(zhì)定理時(shí)，一定要寫全定理滿足的條件，否則可能是假命題.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)條.()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.(2)若a∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.2.(必修二P143T1改編)如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無(wú)數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交答案D解析因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.3.(必修二P138例3改編)如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)___________.答案平行四邊形解析因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.4.考查下列兩個(gè)命題：“________”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件就可以使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)，m為直線，α為平面)，則此條件為_(kāi)_______.①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α.答案l?α解析①由線面平行的判定定理知l?α；②由線面平行的判定定理知l?α.考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn).求證：BE∥平面PAD.證明法一如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.法二如圖，延長(zhǎng)DA，CB相交于點(diǎn)H，連接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.法三如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HE，∵E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.角度2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，∴PA∥GH.感悟提升1.判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn)).(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線.訓(xùn)練1如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(1)證明如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，且四邊形ACEF是矩形，所以EM∥OA且EM＝OA，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE，又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3(2024·濰坊質(zhì)檢)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為棱B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn).(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn).證明(1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1.∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，∴BF∥A1G.∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交BC于H，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn).感悟提升證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn).(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值.解(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.如圖，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn).在△A1BC1中，O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.感悟提升解決面面平行問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過(guò)于“模式化”.(2)解答探索性問(wèn)題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法.訓(xùn)練3(2024·重慶診斷)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝eq\r(3)，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，若直線D1P∥平面EFG，則線段D1P長(zhǎng)度的最小值是________.答案eq\f(\r(7),2)解析如圖，連接D1A，AC，D1C，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，所以AC∥EF，又EF?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以EF∥平面ACD1，易知EG∥AD1，所以同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG.因?yàn)橹本€D1P∥平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.在△ACD1中，AD1＝eq\r(2)，AC＝2，CD1＝2，所以S△AD1C＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(7),2).當(dāng)D1P⊥AC時(shí)，線段D1P的長(zhǎng)度最小，所以線段D1P長(zhǎng)度的最小值為eq\f(S△AD1C,\f(1,2)AC)＝eq\f(\f(\r(7),2),\f(1,2)×2)＝eq\f(\r(7),2).【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.如圖，已知P為四邊形ABCD外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BD，PD上的點(diǎn)，若EF∥平面PBC，則()A.EF∥PAB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能答案B解析由線面平行的性質(zhì)定理可知EF∥PB.2.如果AB，BC，CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過(guò)它們中點(diǎn)的平面和直線AC的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.AC在此平面內(nèi) D.平行或相交答案A解析如圖，把這三條線段放在正方體內(nèi)，可得AC∥EF，AC?平面EFG，EF?平面EFG，故AC∥平面EFG.3.下列命題中正確的是()A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α答案D解析A中，a可以在過(guò)b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，故D正確.4.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于()A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5.(2024·成都診斷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是()①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④答案A解析對(duì)于①，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因?yàn)锳B∥C1D1，且AB＝C1D1，所以四邊形AD1C1B為平行四邊形，故AD1∥BC1，故①正確；對(duì)于②，易證BD∥B1D1，AB1∥DC1，BD?平面BDC1，B1D1?平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理可得AB1∥平面BDC1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，故平面AB1D1∥平面BDC1，故②正確；對(duì)于③，由正方體ABCD－A1B1C1D1易知，AD1與DC1異面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)锳D1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正確.故選A.6.(2024·杭州質(zhì)檢)已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，則“α∥β”的充要條件是()A.平面α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與β平行B.存在直線l與α，β所成的角相等C.存在平面γ，滿足γ∥α且γ∥βD.平面α內(nèi)存在不共線的三個(gè)點(diǎn)到β的距離相等答案C解析對(duì)于A，如果α∩β＝l，則在α內(nèi)與l平行的直線有無(wú)數(shù)條，這無(wú)數(shù)條直線都與平面β平行，但此時(shí)α不平行于β，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果α∩β＝m，在空間內(nèi)必存在直線l?α，l?β，且l與m平行，此時(shí)l也與兩個(gè)平面平行，即直線l與α，β所成的角都等于0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果α∥β，則一定存在平面γ，滿足γ∥α且γ∥β，若γ∥α且γ∥β，則也一定有α∥β，則“α∥β”的充要條件是“存在平面γ，滿足γ∥α且γ∥β”，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)必存在不共線的三個(gè)點(diǎn)到β的距離相等，但當(dāng)α∩β＝m時(shí)，同樣可以在α內(nèi)找到不共線的三個(gè)點(diǎn)到β的距離相等，故D錯(cuò)誤.故選C.7.(2024·新鄉(xiāng)模擬)在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是()答案B解析對(duì)于A，如圖①，連接B1N，由正方體的性質(zhì)可知BM∥B1N，又B1N與平面CNQ相交，所以直線BM與平面CNQ不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖②，連接AC，AQ，由正方體的性質(zhì)可知NQ∥AC，故平面CNQ即為平面ACNQ，而B(niǎo)M∥AQ，BM?平面CNQ，AQ?平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故B正確；對(duì)于C，如圖③，連接BQ，由中位線定理及正三棱柱的性質(zhì)可知NQ∥BC，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，如圖④，過(guò)點(diǎn)M作CQ的平行線交A1B1于點(diǎn)D，則D是線段A1B1上靠近點(diǎn)B1的四等分點(diǎn)，連接BD，由MD∥CQ，MD?平面CNQ，CQ?平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，MD∩BM＝M，MD，BM?平面BDM，則平面BDM∥平面CNQ，而平面ABB1A1與平面BDM、平面CNQ分別相交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故D錯(cuò)誤.故選B.8.設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________.(填序號(hào))答案①或③解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確.9.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)答案點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，易證得FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，F(xiàn)H∩HN＝H，F(xiàn)H，HN?平面FHN，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________.答案eq\r(2)解析因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).11.如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).設(shè)平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.證明(1)取PB中點(diǎn)G，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，且FG＝eq\f(1,2)BC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，且DE＝FG，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以DF∥GE，因?yàn)镈F平面PBE，GE?平面PBE，所以DF∥平面PBE.(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF?平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.12.如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點(diǎn)，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥NG，又DE?平面MNG，NG?平面MNG，所以DE∥平面MNG，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.【B級(jí)能力提升】13.(多選)(2024·蘇州質(zhì)量評(píng)估)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，則()A.平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAD平行B.平面PAD和平面PBC的交線與底面ABCD平行C.平面PAB和平面PCD的交線與底面ABCD平行D.平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行答案ACD解析設(shè)平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l平行，且不在平面PAD內(nèi)，則在平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAD平行，故A正確；若l∥平面ABCD，l?平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，則l∥BC，同理，l∥AD，則BC∥AD，這與四邊形ABCD為梯形矛盾，故B錯(cuò)誤；設(shè)平面PAB∩平面PCD＝m，∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴AB∥m，又AB?平面ABCD，m平面ABCD，∴m∥平面ABCD，故C正確；假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一條直線a與BC平行，則BC∥平面PAD，又BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，則BC∥AD，不符合題意，∴平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行，故D正確.14.(2024·武漢調(diào)研)如圖所示，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，P是棱AD上一點(diǎn)，且AP＝eq\f(a,3)，過(guò)B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝()A.eq\f(2\r(2),3)a B.eq\f(\r(2),3)a C.eq\f(\r(2),2)a D.eq\f(2\r(3),3)a答案A解析如圖，連接BD，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四邊形DD1B1B是平行四邊形，∴B1D1∥BD.又∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，∴PQ∥BD，∴∠PQD＝∠BDC＝45°，又∵∠PDQ＝∠BCD＝90°，∴PQ＝eq\r(2)PD.又∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱