導(dǎo)數(shù)解答題之指對(duì)函數(shù)五大題型（學(xué)生版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)專題12導(dǎo)數(shù)解答題之指對(duì)函數(shù)五大題型匯總

dan

題型1指數(shù)找基友....................................................................1

題型2對(duì)數(shù)單身狗....................................................................2

題型3指對(duì)互化......................................................................4

題型4指對(duì)分離與不分離.............................................................5

題型5凹凸翻轉(zhuǎn)......................................................................7

naan

指數(shù)找基友：在處理不等式和零點(diǎn)問題時(shí)，如果指數(shù)部分+X整式有可能連續(xù)求導(dǎo)，甚至要

用到隱零點(diǎn)，比較復(fù)雜，此時(shí)，我們只需把所有X的式子和ex變換到一起，一般可以同除

整式，或者同除ex部分，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，例如ex-ax>0我們可以化成ex>ax,進(jìn)一步化成

a=ex/x,構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex/x;再例如當(dāng)x>0時(shí)求證：(2-x)ex<x+2,我們可以化作ex

(2-x)/(x+2”1,然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex(2-x)/(2+x),證明其W1即可，通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，

ex和所有含有x的式子變換到一起了，我們形象地稱之為，指數(shù)找基友

【例題1】(2022秋?山東濱州?高三校聯(lián)考期中)已知/Q)=asin久(a€R),g(x)=ex.

(1)求g(x)在％=。處的切線方程;

(2)若a=1,證明G(x)=f(x)+Inx在(0,1)上單調(diào)遞增;

(3)設(shè)FQ)=世普(a豐0)對(duì)任意xe[o,4，F(xiàn)(x)>以成立求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【變式1-1]1.(2023春?安徽?高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函婁好(久)=a%2

—ex~r.

(1)當(dāng)a=T時(shí)，證明：f(x)在R上為減函數(shù).

(2)當(dāng)xe[0,合時(shí)，f(x)Wacosx,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式1-1]2.(2021?黑龍江哈爾濱?哈九中?？既?已知函婁好㈤=1%3-sinx.

(1)證明：函數(shù)人切有三個(gè)零點(diǎn)；

(2)若對(duì)Vxe[o,引，不等式研+acosx>儲(chǔ)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式1-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(久)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0

時(shí)，/Q)=喑，曲線y=/O)在點(diǎn)(1)(1))的切線與%軸平行，尸(乂)是外切的導(dǎo)函數(shù).

(1)求k的值及當(dāng)》<。時(shí)，函數(shù)”久)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)。(久)=(x2+久)?廣(久)對(duì)于任意%>0,證明g(x)<1+e-2.

【變式1-114.(2021秋?吉林四平?高三四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù);'(X)

=aex+bcosx+|x2+l(其中a,6為實(shí)數(shù))的圖象在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程為y=久+1.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;

(2)求函數(shù)。(久)=廣(%)—3%的最小值；

(3)若對(duì)任意的xeR,不等式獷(X)2|X3+2&2+%恒成立，求實(shí)；I數(shù)的取值范圍、

題型2對(duì)數(shù)單身狗

析即可，例如y=(2+x)ln(x+1)-2x,如果要證明x>0時(shí)y>0,我們便可把2+x提出來，使之

變成y=(2+x)(ln(x+1)-芻分別分析2+x和ln(x+1)-系就可以了，這個(gè)過程使ln(x+1)系

數(shù)不含x整式，我們形象地稱之為對(duì)數(shù)單身狗，再求導(dǎo)就容易多了;

【例題2】(2022秋?寧夏銀川?高三?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù);'(X)=2ex~2+ax.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)對(duì)任意x>0,求證：/(x)>x(lnx+a)

【變式2-1]1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中校考期末)已知函數(shù)/0)=(%+1)

Inx—a(x—1).

(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)乂〉1時(shí)，/(乃>。恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式2-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(*)="1.

(1)當(dāng)』=1時(shí),求丁為的最大值;

(2)討論關(guān)于x的方程f(%)=m-Inx的實(shí)根的個(gè)數(shù).

【變式2-1]3.(2022?四J11瀘州?四川省敘永第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(*)=In

x—ax2+(2—a)x,a>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)aCN*,若關(guān)于X的不等式/(x)W—1在(0,+8)上恒成立，求a的最小值.

【變式2-1]4.(2021秋?浙江杭州?高三校聯(lián)考期中)已知/(久)=號(hào)，直線]為曲線y=f(x)

在處的切線，直線，與曲線y=/(均相交于點(diǎn)(s/(s))且s<t.

(1)求珀勺取值范圍；

(2)(i)證明：lnx<1+，(x-e)—點(diǎn)?(久一eA+5?(久一e)3；

(ii)證明：s>-yt—3tlnt.

題型3指對(duì)互化

批尊重點(diǎn)

指對(duì)互化與同構(gòu)：

1.所謂指對(duì)互化，如下：X=elnx=lnex,x2ex=e2lnxex—e2lnx+x>2lnx+x+1

指對(duì)互化是指對(duì)同構(gòu)的基礎(chǔ)，

2.常見類型：

①乘積，如ae。<構(gòu)造方法如下

構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)

與左側(cè)一致：aea<Inb-einb/(X)=xe"

與右側(cè)一致:ealnea<blnb/(x)=xlnx

對(duì)數(shù)化：a+Ina<Inb+In(Inb)/(x)=x+Inx

②商，如?<白，構(gòu)造方法如下

構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)

x

與左側(cè)一致：￡卷e

X

與右側(cè)一致：鼻<白,用)=而

對(duì)數(shù)化：?！餫<Inb—In(Inb)f(x)=x—Inx

③和差，如e?！繿<b±Inb

構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)

與左側(cè)一致：ea±a<elnb±Inb/(x)=ex±x

與右側(cè)一致：ea±lneaVb±inb,/(x)=x±Inx

【例題3](2022秋?黑龍江?高三開學(xué)考試)已知函數(shù)/⑴=ln(l+%)-第(a>0).

(1)若x=l是函數(shù)久久)的一個(gè)極值點(diǎn)，求。的值；

(2)若/(久)2。在(°，+8)上恒成立，求a的取值范圍；

ZX2020

(3)證明：(器?<；1(C為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【變式3-1】1.(2021秋?廣東深圳?高三深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知

函數(shù)f(x)="(1+久)一^^,其中a6(0,1］.

(1)討論函數(shù)了(久)在區(qū)間［0,1］上的單調(diào)性；

S、卡、p,2021、2°20.420212020.5

(2)求證：(,)<e<(旃)-

【變式3-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=ln(l+K)—署(a>0).

(1)若函數(shù)在％=1處的切線與%軸平行，求a的值；

(2)若/'CO》。在［0,+8)上恒成立,求a的取值范圍；

(3)證明：(翳)2°"</e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【變式3-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(久)=ln(l+x)—署(a>0).(注

:［叭1+切，=占

(1)若久=1是函數(shù)f(%)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；

(2)若/'(X)>0在［0,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

(3)證明：(黑)<;.

【變式3-1】4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函婁好(%)=M,g(x)=籌(e是自然對(duì)

數(shù)的底)，

(1)若函數(shù)9(久)是(1,+8)上的增函數(shù)，求k的取值范圍.

(2)若對(duì)任意的x>0,都有f(久)<%+1,求滿足條件的最大整數(shù)k的值.

題型4指對(duì)分離與不分離

既含有指數(shù)函數(shù)同時(shí)又含有對(duì)數(shù)函數(shù)題目，也就是所謂的"指對(duì)混合型"。我們一般通過適

當(dāng)變形，一分為二，指對(duì)分離，以其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)可掌控的特殊函數(shù)進(jìn)處理。適當(dāng)變形，化歸

轉(zhuǎn)化，可以掌控，是解決問題的關(guān)鍵。

【例題4](2022春四J11遂寧?高三射洪中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=e，.

(1)討論函數(shù)gO)=—x—a的單調(diào)性;

Q4

(2)證明：/(%)+Inx+->^.

【變式4-1]1.(2021秋?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí))已知/⑺=a

-旭+1.

a

(1)a=l時(shí),求/(久)的單調(diào)區(qū)間和最值;

(2)①若對(duì)于任意的xe(0,+8),不等式,(幻2旦產(chǎn)恒成立，求a的取值范圍；②求證:

ex-1—2y/x—Inx+->0

【變式4-1】2.(2022年高三壓軸解)已知函數(shù)人嗎=喈(k為常數(shù)，e=2.71828…是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=/。)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與%軸平行.

⑴求如勺值;

(2)求/■(%)的單調(diào)區(qū)間;

⑶設(shè)g(x)=Q2+x)[(x),其中廣。)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意久>0,g(x)<1+

e~2

【變式4-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=f%2—ln%+%+l,g(%)=a/

+^+ax—2a—1,其中aeR

(1)若a=l,其函數(shù)。(刀)在[1,3]的值域;

(2)若對(duì)任意的久e(0,+8),5(%)>廣(x)恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式4-1]4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函婁好(久)=/—久2

(1)令。(久)=/(%)-ax+|(x2-a2),若xN0時(shí)，g(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)x>0時(shí).證明:/(x)—ex>x\nx—x2—x+l

題型5凹凸翻轉(zhuǎn)

歲型重點(diǎn)

證明不等式問題中有一類不等式形式復(fù)雜，由即首先知道兩個(gè)函數(shù)(其中一個(gè)常常是對(duì)數(shù)函

數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的組合，另一個(gè)則是指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的組合)組合而成，我們往往指

對(duì)分離，然后研究函數(shù)的圖像，兩個(gè)函數(shù)圖像凹凸性剛好相反，稱凹凸反轉(zhuǎn)，這個(gè)名詞非常

形象的闡述了這類題目的解題思想。

問題1：若F(x)>0對(duì)XGD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))

情況①：轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x),通過分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，若f(x)min>g(x)max,則問

情況②：轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x),通過分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，若f(x)min=

f(x1)>g(x)max=g(x2),則問題得證。

問題2:若F(x)20對(duì)xwD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x),

通過分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，若f(x)min>g(x)max,且f(x)min=f(x0)=g(x)max=

g(x0)則問題得證。

凹凸反轉(zhuǎn)的局限性：解法局限性一:不涉及"單調(diào)構(gòu)造”

通過下文介紹的方法步驟，一定可以排除整體單調(diào)的函數(shù)組合。但是單調(diào)函數(shù)的組合有時(shí)也

可以通過"最大值小于最小值”的方式說明問題，而且單調(diào)函數(shù)的組合，如果真構(gòu)造成功了C

下圖)，嚴(yán)格來說也屬于“凹凸反轉(zhuǎn)"，

(1)若/(X)<g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，e*+(2：)x-i21nx+1.

【變式5-1]1.(2019?天津紅橋?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(X)=ln(e'+fc)(k為常數(shù))是實(shí)

數(shù)集R上的奇函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)求k的值；

(2)討論關(guān)于x的方程如鑒=%2-2e%+爪的根的個(gè)數(shù).

【變式5-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xe、Tnx,ln2?0.693,粕

，1.648均為不足近似值.

(1)當(dāng)久時(shí)，判斷函婁好(X)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)>以恒成立.

【變式5-1】3.(2022?河北衡水?河北衡水中學(xué)?？家荒?設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-e」3g(久)

=a(%123—1)—1.

(1)判斷函數(shù)y=/(%)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

(2)記h(x)=g(x)-/(%)+之宇，討論%(%)的單調(diào)性；

入e

(3)若/'(x)<。(久)在(1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式5-1]4.(2022春?高三課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)了(久)=ex-a-ln(x+a).

⑴當(dāng)a=小寸，求f。)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)當(dāng)也1時(shí),證明：/(%)>0.

1.(2022?四川?四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？级?已知函數(shù)/"(x)=e-a