二次根式的運(yùn)算的四種類型-2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊（含答案）

專題01二次根式的運(yùn)算的四種類型

類型一：利用基礎(chǔ)法則進(jìn)行計(jì)算

類型二：運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算

類型三：運(yùn)用等式規(guī)律進(jìn)行計(jì)算

類型四：與二次根式有關(guān)的化簡求值運(yùn)算

類型一：利用基礎(chǔ)法則進(jìn)行計(jì)算

1.計(jì)算：

(1)2712+V48-V27；

V45.

⑺病x網(wǎng)一畢

(10)718-V24-V3；

類型二：運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算

2.計(jì)算：

2

(l)(V2-l)+2>/8-(V5-2)(V5+2):

試卷第1頁，共6頁

(2)(2+可一(3-2礎(chǔ)3+2回；

(6)(2V3-1)(2V3+1)-(1-2V3)2；

⑺僅行一392一卜+3⑹(4-3后卜

(8)(V3+V2)2-(V7+V2)(V7-V2).

類型三：運(yùn)用等式規(guī)律進(jìn)行計(jì)算

3.閱讀下列材料，然后解答下列問題：

1ix(G)

出+「(0；

1W一科萬亞

方丁(6+可氏0廣y；

11、町-2)

Er(/+2)心一2)；

以上這種化簡的方法叫分母有理化.

1

(1)7T7?6=——■

⑵丁T—r(〃為正整數(shù))=______.

V/7+1+V/7

⑶化簡：7^I+7F77I+7CT+-+Vi5ot^=——

(4)化簡下列式子的值：看+尋存+正匕+...+而出訪.

4.【閱讀材料】

在進(jìn)行二次根式化簡時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如這樣一類的式子，其實(shí)我們還可

3_3x7522x(百-1)

以將其進(jìn)一步化簡:

V5-75x75V3+1(V3+1X73-1)

試卷第2頁，共6頁

2(V3-1)

=G-1.以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

(V3)2-l2

【解決問題】

（1）仿照上面的解題過程，化簡：將\

(2)計(jì)算：|—j=---H-/=---f=+—---j=H---H/—---,-|x(J2025+1).

(企+1V3+V2V4+V3J2025+J2024J

⑶已知"耳匕,6=37r求/+〃的值.

5.材料閱讀：在二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如白.耳，的計(jì)算，需要運(yùn)用分式

1_V2_y/2

的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”,例如：忑=國二3

22x(73+72)2V3+2V2=迫=2=2百+2近.類似地，將分子

癢0=(百一+@=(可

轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：立=立=6@=2；

1V2V2

百-1_(石T)X(6+1)_(旬_3-1_2

.根據(jù)上述知識(shí)，請你完成下列問

6百x(百+1)(省『+03+^33+^3

題:

⑴比較大?。?7-7TT3J（填“>”，或“=”）；

⑵計(jì)算：1772+72773+V3W4+"，+V2024+V2025；

2

⑶若"E求5/-10°+15的值.

6.有這樣一類題目：將八土2酎化簡,如果你能找到兩個(gè)數(shù)僅、"，使病+〃2=.且

mn--Jba土2需將變成力/+〃2±2"?〃，即變成（加土〃）？，從而使J（Z±2〃'得以化簡.

⑴例如，5+2#=3+2+2#=(V3)2+(V2)2+20x0=(6+72)2,

???75+276=J(V3+V2)2=，請完成填空.

(2)仿照上面的例子，請化簡”-2g;

(3)利用上面的方法，設(shè)/=46+4后,5=73-75,求N+5的值.

試卷第3頁，共6頁

7.小明在解決問題：已知--石，求2q2—8q+l的值.

2+0

他是這樣分析與解的：

.一，一一2_6

.?2+6一(2+司(2一碼",

「?a-2=—y/3，

??.(。-2)2=3,4―4。+4=3,

?'-a2-4a=-1

???2Q2—8Q+1=2(Q2—4a)+l=2x(-1)+1=-1,

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：

1]

⑴6+后——,右+Q------

⑵化簡：舟而+而:而+…+后:9?

(3)若a=，請按照小明的方法求出4/一8a+1的值.

8.閱讀材料：

材料一：兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代

數(shù)式互為有理化因式.

例如：V3X73=3,(V6-V2)(V6+V2)=6-2=4,我們稱百的一個(gè)有理化因式是

V3，V6-V2的一個(gè)有理化因式是n+VL

材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?，分母同乘分母的有理化因

式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化.

例如.-L-6-叵0+1.(0+i『一3127y

2V3273x736'V2-1(72-1)(72+1)

解答下列問題：

(1)根據(jù)以上概念直接在橫線上寫出2g-君的一個(gè)有理化因式」

(2)右若a。=2-一-7百=，,-求/_3a。+1l的町值且；

⑶請?jiān)谝韵聠栴}①和②任選一個(gè)題作答:

試卷第4頁，共6頁

①設(shè)實(shí)數(shù)X,。滿足(x+G+2024)卜+抄+2024)=2024,求x+y+2024的值.

②化簡：

3+73—A/O

類型四：與二次根式有關(guān)的化簡求值運(yùn)算

9.計(jì)算：已知，x=2-C,y=2+V3,求/+丁2-中的值.

10.已知：x=A/3+2,y=-V3+2.計(jì)算:

⑴孫；

(2)x2+y2-xy.

1L若"A?1

尸/國，求代數(shù)式/+3盯+廿的值.

1

12-已知y=13^9求下列各式的值:

(l)x2+xy+y2；

yx

⑵

O

13.我們已經(jīng)知道(屈+3)(屈-3)=4,因此將而與分子、分母同時(shí)乘“、/行+3"，分母就

88(713+3)8"+3)=2屈+6,從而可以達(dá)到對根式化簡的

變成了4.例如:

VB-3-(VB-3)(VB+3)-

目的.根據(jù)上述閱讀材料解決下列問題:

J474

已知.二百？6二工？

(1)化簡a,b；

(2)求代數(shù)式2a2+ab+2b2的值.

14.先閱讀下列的解答過程，然后再解答:

形如土2?的化簡,只要我們找到兩個(gè)正數(shù)。、6,使。+6=加，ab=n，使得

(yfa)2+(4b)2=m,y[a-y/b=y[n,那么便有：ylm±2y/n=y](y/~a±4b)2=y[a±4b(Q>b)

例如：化簡J7+4百

解：首先把g+4G化為『7+2萬，這里加=7,〃=12,由于4+3=7,4x3=12

即(CP+訴2=7,V3XV4=V12

???g+4百=V7+2V12=7(7?+V3)2=2+73

試卷第5頁，共6頁

⑴填空："-26=，也+46=

(2)化簡：J19-4而.

11

⑸已知=丁的.

⑴化簡X,歹；

(2)求代數(shù)式/一5盯+/的值；

(3)若x的小數(shù)部分為a,求J(a-1)2的值.

a-b+〃一+4b

16.先化簡，后求值:其中a=—,b=2.

y/a+y[by[a-2y[b2

試卷第6頁，共6頁

1.(1)573

(2)6+g

(3)2

(4)-；

⑸3-幾

(6)4

⑺17

(8)5-5A/2

19

⑼三

o

(10)-亞

【分析】本題考查了二次根式的混合、零次幕的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì).

(1)先把每個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；

(2)先根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)嘉、絕對值的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可；

(3)先算括號里面的，再算二次根式的除法即可；

(4)先分母有理化，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算，然后合并即可；

(5)先根據(jù)二次根式的乘除法法則運(yùn)算，再把各二次根式化為最簡二次根式，最后合并同

類二次根式即可；

(6)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算；

(7)先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡二次根式后合并即可；

(8)先根據(jù)二次根式的除法和乘法法則運(yùn)算，然后化簡二次根式后合并即可；

(9)先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式后進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)

算；

(10)先進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，然后化簡二次根式后合并即可.

［詳解］(1)解：2V12+V48-V27

=2x273+4V3-3V3

=46+46-36

=5^/3;

答案第1頁，共16頁

（2）解:

=3--+l+V3-l

2

=V3+|；

(3)解：2V27+1V108-12j1UV12

3

=(6石+26-46/2月

=4鳳2班

=2；

「i、）2

(4)解:

712x3-3731

+V3-2

33

=2-V3--+V3-2

3

]_

3

；H-V3+V24-

（5）解:

7

=V48^3-3^|^3+276-gx45

=4-3X-+2>/6-3V6

3

=4—1--\/6

=3—5/6;

(6)解：(-V6)2-V25+^(-3)2

=6—5+3

=4；

⑺解：屈x后陪

答案第2頁，共16頁

=A/400-V9

=20-3

=2+3-(2拒+3收)

=5-572;

(10)解：V18-4^1-724^^3

=3亞-2亞-J24+3

=3夜-2后-2及

=-V2?

2.⑴20+2

(2)6+473

(3)275-3

(4)1+276

(5)66-43

(6)4A/3-2

答案第3頁，共16頁

(7)49-12715

(8)276

【分析】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式和完全平方公式的運(yùn)用.

(1)先根據(jù)完全平方公式、二次根式的性質(zhì)與化簡、平方差公式計(jì)算，再合并即可;

(2)先根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算，然后合并即可；

(3)先根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，然后合并即可.

(4)根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案.

(5)根據(jù)平方差公式和完全平方公式將題目中的式子展開，然后計(jì)算加減法即可.

(6)利用平方差公式及完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算較簡便.

(7)利用完全平方公式和平方差公式展開，再算加減即可；

(8)根據(jù)完全平方公式和平方差公式將題目中的式子展開，然后計(jì)算加減法即可.

【詳解】(1)解：(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2)

=2+1-2亞+4a-(5-4)

=3+272-1

=272+2;

(2)解：(2+6)2一(3-2后)(3+2近)

=4+473+3-(9-8)

=4+46+3-1

=6+4百；

(3)解：(V5-V2)(V5+V2)-(V5-1)2

=5-2-(5-2>/5+1)

=5-2-6+275

=2A/5-3;

(4)解：(3V2-2A/3)(3V2+2A/3)-(V2-V3)2

=@⑹。為網(wǎng)2_(2+3一2伺

答案第4頁，共16頁

=18-12-5+2逐

=1+2y/6；

(5)解：(2A/5-7)(2V5+7)-(V5-3)2

=20-49-(5+9-675)

=20-49-14+6指

=675-43；

(6)解：(2A/3-1)(2A/3+1)-(1-2V3)2

=12-1-(1+12-473)

=12-1-13+4>/3

=4A/3-2；

(7)解：(275-373)2-(4+372)(4-372)

=20+27-12715-(16-18)

=20+27-12715+2

=49-12715；

(8)解：(石+夜『_(行+后)(后一行)

=3+2+276-(7-2)

=3+2+276-5

=25/6.

3.(1)V7-V6

(2)yjn+1-4n

(3)9

W

2

【分析】本題考查分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算:

答案第5頁，共16頁

(1)利用分母有理化進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)利用分母有理數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行計(jì)算即可；

(4)先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：萬]而二(同兩(鳳網(wǎng)"舵

1_J"+1-~fn_I------7

⑵+1+G+1+(J/7+1-而)

]]]]

⑶V2+l+V3+V2+V4+V3+'''+V100+V99

=V2-l+V3-V2+---+Vi00-V99

=Vioo-i

=10-1

=9；

⑷V3+l+V5+V3+V7+V5+'"+V99+V97

=|(V3-l+V5-V3+V7-V5+...+V99-V97)

=1(V99-1)

3V1T-1

一2'

4.(1)V7+V6

(2)2024

⑶10

【分析】本題考查分母有理化.二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，熟練掌握以上知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

(1)分子分母分別乘(S+即可；

(2)每一個(gè)分母都乘以它的有理化因式化簡后合并，再利用平方差公式計(jì)算即可.；

(3)由條件可得：a=43-y/2,6=石+也，可得：a+b=26,ab=l,再利用平方差公

答案第6頁，共16頁

式計(jì)算即可.

A

【詳解】⑴解：E1T產(chǎn)y聞jl+齊/6函"G+亞r:

⑵解：］卷+京匕+號用+…+痂乙3＞（亞石+1）

舁6**_______

0T+1202572024________x(72025+1)

(l+V2)(V2-lj(72+V3)(A/3-V2)(J2025+J2O24)(J2025々2024)

=(應(yīng)-1+石-應(yīng)+…+j2025-j2024)x(j2025+l)

=(72025-1)x(72025+1)

=2025-1

=2024.

(3)解：?-a=廠1廠=廠噂，_廠=43-42,

<3+V2(V3+V2)(V3-V2)

,_1_y/3+42_/TH

7T7F(舁3)(用血尸+g，

cib—,ab—I,

，/+/=g+32_2M=（2石f-2=10.

5.（1）＜

（2）44

⑶25

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

（1）先分母有理化得到一方=當(dāng)也，——=，『，然后比較大小即可；

3-V72VH-32

（2）先分母有理化，然后合并同類二次根式；

（3）先利用分母有理化得到a=。+1,則移項(xiàng)得到fl-l=V3,再兩邊平方可得到/-2a=2,

然后把5/_10a+15變形位5（/_2a）+15,最后利用整體代入的方法計(jì)算.

答案第7頁，共16頁

3+773+43+V7

【詳解】（1）解：廠「（3一⑺（3+S廠百

]_而+3_而+3_Vn+3

VTT-3-(7TT-3)(VIT+3)~11-9-2,

3+V7VTT+3

???-----<------,

22

]]

"3-V7<VTT-3；

故答案為：<;

]]]]

⑵軋1+V2+V2+V3+V3+V4++J2024+J2025

=V2-l+V3-V2+V4->^+……+J2025-J2024

=72025-1

(3)解：?.?4=

V3-1(V3-1)(V3+1)

a-1=V3，

a?—2〃+1=3,

?**/—2a—2，

.，.5〃—10(2+15=5(/-2Q)+15=5x2+15—25.

6.(1)V3+V2

⑵6-1

(3)2+-V10+—

22

Q(Q>0)

【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)：必=14=0（。=0）,即可得出相應(yīng)結(jié)果.

-a（a<0）

（2）根據(jù)（1）中“5+2指=3+2+2指=（6）2+（血『+2后xg=（G+0）2”，將代數(shù)式

轉(zhuǎn)化為完全平方公式的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡求值，即可得出結(jié)果.

答案第8頁，共16頁

(3)根據(jù)題意，首先把/式和8式分別轉(zhuǎn)化為完全平方公式的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)二次根式

的性質(zhì)把工式和B式的結(jié)果分別算出，最后把/式和B式再代入N+2中，求出A+B的值.

【詳解】(1)??-5+2V6=2+3+2A/6=(V2)2+(V3)2+2x^2XV3=(V2+A/3)2

???75+276=7(73+V2)2=V3+V2

故答案為：V3+V2

(2)?.-4-2A/3=3+1-2A/3=(73)2+1-273=(V3-1)2

???74-2V3=7(V3-1)2=V3-1.

(3)?.?/=6+4近=4+2+4亞=("『+(亞『+2、"*拒=(2+偽2

?',/=-76+4^2=2+V2

6-2行_5+1-2逐_的+『-2x1x7^_（逐—ip

,B=3—Vs=

22

B=73-V5

???把/式和5式的值代入中，得：

^+5=2+72+-710--72=2+-710+—

2222

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡求值問題，完全平方公式.解本題的關(guān)鍵在熟練掌握二次

>0)

根式的性質(zhì)："=14=，o(a=o)和熟練運(yùn)用完全平方公式g±4=/±2仍+/.

-a(a<0)

7.⑴百-血',—(V5—V3j

⑵4

(3)5

【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，分母有理化.

(1)根據(jù)例題可得：對每個(gè)式子的分子和分母中同時(shí)乘以與分母中的式子相乘符合平方差

公式的根式，去掉分母，然后合并同類二次根式即可求解；

(2)將式子中的每一個(gè)分式進(jìn)行分母有理化，問題隨之得解；

(3)根據(jù)小明的分析過程，°-1=也得02-2a=l,可求出代數(shù)式的值.

答案第9頁，共16頁

1也-6c也rz_r

【詳解】(1)

1Vs-7345-y[3_\(f-75-73

TTT^r(逐+礎(chǔ)回石廠小7片「一，

故答案為：V3-V2,卡一網(wǎng);

2

111

VTT+V9VB+VTTV12T+VT19

拒-邪VB-VTTVm-Vn?

(而+例(而-W)(Vi3+VTTj(Vi3-VTT)(7121+7119)(7121-7119)

VTT-V9Vil-ViTV12T-VTT9

=--------1----------1---1-----------

222

=1[(VTT-79)+(Vi3-Vn)+-??+(V12T-VTT9)]

=1[71!-79+713-711+---+7121-7119)

=1(-V9+Vn-VH+VB----VTT9+V12T)

=4；

1

(3)

???“=行=(0.1)(行+1)

?'?a—1=V2，

**?a—2。=1,

；.4。~-8a+1=4(。~—2a)+1=5.

8.(1)273+75

(2)21+1273

⑶選①，2024；選②，V2+V3

【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、平方差公式，解答本題的關(guān)鍵是明確

分母有理化的方法，可以找出相應(yīng)的有理化因式.

答案第1。頁，共16頁

（1）根據(jù)題目中的材料，可以求出26-6的有理化因式;

(2)先求出°=~~忑=2+6,a-2=G，得到/=4°一1,再代入/_30+1求解即可;

(3)選①，將原子化成x++2024=+2024—、和y+J廿+2024=+2024—x,

兩式相加，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；

選②，先將分子分母分別用結(jié)合律重新整理后，再有理化，接受運(yùn)用乘法計(jì)算即可.

【詳解】（1）W：（273-V5）（2V3+V5）=（2V3）2-（V5）2=12-5=7,

???2c-A/5的有理化因式為273+75,

故答案為：2艮#＞；

（2）解:

a—2=V3，

二(a-2y=3,即/-40+4=3,

???a2=4a-1,

?*,a3—3a+1=QXQ2—3a+1

—a(4a—1)—3a+1

=4a2—a—3。+1

=(2a-I)?

=(3+2何

=21+1273;

(3)解:選①，

(x+&+2024)(y+7/+2024)=2024,

.x+&+2024=------:="+2024-y

"y+J-+2024、-

答案第11頁，共16頁

同理y+77+2024=6+2024-x,

兩式得x+y=0,

：.x+y+2024=2024；

3+6+&3+（百+?）

選②‘.3+6-指一3--百j

（3+0+炯（3+卡-封

9-（V6-V3）2

（3+76）2-3

672

=V2+\/3.

9.13

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式、平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)

算是解題的關(guān)鍵.

利用完全平方公式、平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：x2+y2-xj

=（x-y）2+xy

=（2-V3-2-V3）2+（2-V3）（2+V3）

=12+1

=13.

10.（1）1

⑵13

【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，代數(shù)式求值.

（1）利用平方差公式計(jì)算孫的值；

（2）先計(jì)算出x+y的值，再利用完全平方公式得到/+/-孫=（x+y『-3xy,然后利用

整體代入的方法計(jì)算.

【詳解】（1）解：x=-\/3+2,y=-V3+2,

xy=（V3+2）［-V3+2）=4-3=1；

答案第12頁，共16頁

(2)解：?.?X=6+2,y=-G+2,

???x+y=4,

???x2+y2-xy

=42-3x1

=16-3

=13.

11.17

1尸七化

【分析】本題考查了分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，先把x

2-5

簡，再根據(jù)完全平方公式把龍2+3盯+/變形后代入計(jì)算即可.

12+V3/T

【詳解】解：??“二羽=（2一司（2+百廣+5

1_2-6瓜

y=E=a=273,

???x2+3xy+y2=（x+歹『+xy

=（2+V3+2-V3）2+（2+V3）（2-V3）

=16+1

=17.

12.（1）11

⑵10

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，分母有理化:

（1）先利用分母有理化法則求出x=G+VI丫=拒-也,進(jìn)而得到x+y=2VL砂=1,

再根據(jù)完全平方公式的變形求解即可;

（2）根據(jù)上+一2中進(jìn)行求解即可.

xyxy

11

【詳解】（1）解：?”

V3-V2?丫一出w

答案第13頁，共16頁

__r/T_V3-V2nrnr

可否可/「一(6+碼回

:.x+y=4i+6+6-6=2百，xy=(6+后)x(g-拒)=3-2=1,

???x2+xy+y2=(x+y)2-xy=12-1=11；

yx

(2)解：-+-

xy

_x2+y2

xy

(x+y)2-2xy

xy

_12-2

1

=10.

13.(l)a=V5-l,/)=V5+l

(2)28

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及乘法公式，熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及乘法公式是

解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)題中所給方法進(jìn)行求解即可；

(2)由(1)可得。+6=2右，砧=4,然后對所求代數(shù)式進(jìn)行化簡，進(jìn)而代值求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得:

(g)

44x4x

a==^5—1,

4

(6+1)

44x4x

b==^5+1；

V5—1