反比例函數(shù)（壓軸專練）（六大題型）解析版-2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

反比例函數(shù)壓軸專練（六大題型）

題型1:存在性問題

1.如圖，直線y=|x與雙曲線＞=￡（左HO）交于/,8兩點，點/的坐標(biāo)為（九-3）,點c是雙曲線第一象

限分支上的一點，連接3c并延長交X軸于點。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接寫出點8的坐標(biāo)；

⑵點用、N是了軸上的動點（M在N上方）且滿足比乂=1,連接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）點尸是雙曲線上一個動點，是否存在點P,使得NODP=NDOB,若存在，請直接寫出所有符合條件的P

點的橫坐標(biāo).

【答案】⑴左=6,5（2,3）；

(2)1+765;

（3）點P的橫坐標(biāo)為：4-2^5,4+273,4-273

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，相似三角形的性質(zhì)與判定；

（1）運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)即可求解；

（2）根據(jù)BC=2CD,求得點C的坐標(biāo)，再把將軍飲馬模型在坐標(biāo)系中直接運(yùn)用，根據(jù)勾股定理求解即可;

（3）根據(jù)題意畫圖分析，根據(jù)平行求相關(guān)函數(shù)關(guān)系式，再求兩條線的交點解方程組，即可得解.

【解析】（1）解：根據(jù)題意可知點4冽，-3）在直線y=a和雙曲線歹=k?左W0）的圖象上，

3

-m=-3,角星得m=-2,

：.點A的坐標(biāo)為（-2,-3）,代入雙曲線歹=勺后/0）得：

k=(-2)x(-3)=6,

由圖象可知點5與點A關(guān)于原點對稱,

???3(2,3)；

(2)過點8、C分別作％軸的垂線，垂足分別為E、F,作點B關(guān)于V軸的對稱點點？，并向下平移一個

單位記為5〃，連接5〃。，

則5E〃CF,BE〃=L

:ADCFS^DBE,

.CFDC

?:BC=2CD,5(2,3),*(—2,3),B”(-2,2),

DC1clc

??=—,BE=3,

DB3

：,CF=\,即點。的縱坐標(biāo)為1,

???點c在反比例函數(shù)y=9的圖象上，

X

???C(6,1),B"C=^(2-1)2+[6-(-2)]2=J1+64=病,

.?.MB+MN+NC的最小值即為8皮+丁。=1+而；

(3)當(dāng)/0D尸=4003時，當(dāng)。尸在x軸下方時，DP//AB,

設(shè)直線BC的解析式為y=kxx+b,

由(2)可知：5(2,3),C(6,l),

2左+6=3k=-

解得?}2

6k+b=\

xb=4

y=—x+4,

2

當(dāng)y=0時，一gx+4=0,解得x=8,

3

DP//AB,直線力B的解析式為y=

3

???設(shè)直線DE的解析式為y=-x+n,

把。(8,0)代入得：12+〃=0,

n=—12,

y——x—12,

2

由尸是直線DE與反比例函數(shù)的交點可得：

3-

y=-x-12

v2解得石=4+2行，X2=4-2A/5,

y=-

lx

此時點尸在第三象限，西=4+2右不符合題意,

當(dāng)。尸在x軸上方時，則與下方的D尸關(guān)于x軸對稱,

3

可得直線DP的解析式為：y=--x+12,

3

y=——x+12

聯(lián)立/得士=4+2#,x=4-2-s/3,

62

y=-

X

此時點尸在第一象限，兩個都符合題意,

，點尸的橫坐標(biāo)為：4-2百4+2后,4-.

1k

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=-5》+3與反比例函數(shù)y=((x>0)的圖象交于點工(。,2),

8(4力)兩點.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點C是第一象限內(nèi)一點，連接4C,8C,使/C〃龍軸，8C〃y軸，連接CM,OB.若點尸在V軸上，

且AOPA的面積與四邊形OACB的面積相等，求點P的坐標(biāo)；

(3)在直線08上有一動點M,過M點做y軸的平行線交反比例函數(shù)于點N,當(dāng)以M、N、B、。四個點為頂

點的四邊形是平行四邊形時，求N點坐標(biāo)；

(4)在平面內(nèi)是否存在兩點〃、0,使得四邊形是矩形，且該矩形面積為15?若存在，請直接寫出〃

點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4

【答案】(1)?=—(x>0)

x

(2)(0,4)或(0,-4)

(4)存在，〃(7,7)或。,-5)

【分析】(1)根據(jù)點4。,2),5(4,6)在一次函數(shù)了=-3》+3的圖象上求出。、6的值，得出A、B兩點的

坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可;

(2)延長C/交V軸于點E,延長CB交x軸于點尸，構(gòu)建矩形OECF,根據(jù)

S四邊形WCfi=S矩形OECF-S^OAE~S^OBF，設(shè)點尸(0,⑼，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義解答即可；

(3)先求出直線的函數(shù)關(guān)系式為y="x,設(shè)再分為當(dāng)點M在線段。8延長線上時及當(dāng)點M

在線段上時，兩種情況進(jìn)行分類討論求解即可；

(4)分為當(dāng)點打在直線N3的上方時及當(dāng)點8在直線的下方時，兩種情況分類討論求解即可.

【解析】(1)解：.??點4%2),僅4,6)在一次函數(shù)歹=-3》+3的圖象上，

—a+3=2,b=—x4+3,

22

..〃=2,Z?—1,

???點A的坐標(biāo)為(2,2),點§的坐標(biāo)為(4,1),

又?.?點/(2,2)在反比例函數(shù)y=±的圖象上，

X

「"=2x2=4,

4

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為>=-(x>0)；

x

(2)解：延長。1交V軸于點石，延長。5交x軸于點廠，

???4C〃x軸軸,

則有軸，(/，工軸，點。的坐標(biāo)為(4,2)

二?四邊形OECF為矩形，且C￡=4,C尸=2,

一S四邊形0/C3=S矩形0反尸—S^OAE-S^OBF

=2x4——x2x2——x4xl

22

=4,

設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,m),

則S0p=gx2?|加|=4,

m=±4,

二點尸的坐標(biāo)為(0,4)或(0,T).

(3)解：設(shè)直線。2的函數(shù)關(guān)系式為〉=。丫,

??,點3的坐標(biāo)為(4,1),

?.4P=1,

1

???直線的函數(shù)關(guān)系式為N=Jx，

4

設(shè)""1'q']

如圖，當(dāng)點M在線段08延長線上時,

???以M、N、B、C四個點為頂點的四邊形是平行四邊形,

MN〃BC且MN=BC,

由可得N”,4

???點。的坐標(biāo)為(4,2),點8的坐標(biāo)為(4,1),

：.MN=BC=\,

141

-t—=I,

4t

解得：/=26+2或/=-26+2（舍去）,

當(dāng)點M在線段05上時，

4I,

------1=I,

t4

解得：”2百-2或/=-2百-2(舍去),

(4)解：存在，

如圖，當(dāng)點H在直線的上方時,

過點〃作交的延長線于點凡

???點A的坐標(biāo)為(2,2),點3的坐標(biāo)為(4,1),

AB=V22+l2=V5，

?.?矩形45"。面積為15,

:.AB?BH=15,即63"=15,

:.BH=3下,

?.?四邊形Z8H0是矩形,

:"ABH=ZACB=NBRH=90°,

ZCAB+ZABC=90°,ZABC+ZRBH=90°,

NCAB=ZRBH,

:ACABS^RBH,

ACBCAB

BR~RH~BH

2_1_V5

贏―麗—亞

:.BR=6,RH=3,

.?.“(7,7)；

當(dāng)點、H在直線AB的下方時,

則點H與點(7,7)關(guān)于點3對稱,

設(shè)加,〃),

m+7,〃+7

-------=4,-------1,

22

:.m=\,n--5,

綜上所述，〃（7,7）或（1,-5）.

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及與幾何結(jié)合問題，涉及的知識有：直線與坐標(biāo)軸

的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，

作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，一條直線與反比例函數(shù)〉=:的圖象交于4（1,4）、3（4,”）兩點，與x軸交于。點，軸，

（2）如圖乙，若點E在線段4。上運(yùn)動，連接CE,作/CE尸=45。，EF交4c于F點.

①試說明ZXCDES^EAF；

②當(dāng)△ECF為等腰三角形時，直接寫出尸點坐標(biāo).

【答案】⑴①了二：，②〃=1,。（5,0）

⑵①見解析；②。,2）或（1,4）或（1,8-4夜）

【分析】（1）①把/的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式，②根據(jù)反比例函數(shù)的解析

式，求得8的坐標(biāo)，即可得到〃的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，進(jìn)而求得與x軸的

交點。的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)題意易證A/CD是等腰直角三角形，利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可證得；②分

。/=位,即=/。,即=以三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CF的長，則尸的坐標(biāo)可以求得.

【解析】（1）解：①把/（1,4）代入y得：4=1,

解得：k=4,

4

則反比例函數(shù)解析式是：＞=—；

44

②把％=4代入歹=一得：〃=：=1,

x4

.*.5(4,1),

設(shè)直線48的解析式為v=,

把4(1,4)、8(4,1)代入＞=凡+*得：I=4《+6'

[k'=—\

解得：入＜，

[b=5

則直線N3的解析式是：y=-x+5,

令V=0,解得：x=5,

則。的坐標(biāo)是：0(5,0)；

(2)解:①???/(l,4),O(5,0),/C，x軸，

CD=AC=4,

9：ACLCD,

工NCAD=NCDA=45。,

又?；/FEC=45。,

：.ZAFE=ZACE+ZFEC=ZACE+45°,/DEC=/ACE+ACAD=ZACE+45°,

???ZAFE=/DEC,

：./\CDEs△區(qū)4尸，

②???△EC廠為等腰三角形分三種情況.如圖乙：

圖乙

當(dāng)CF=CE時，ZCEF=ZCFE=45°,

又,:ZCAB=45°,

???4,尸重合，則尸的坐標(biāo)是(1,4)；

當(dāng)斯=FC時，NFCE=ZCEF=45°,

ACE是等腰直角4CD的角平分線，

是期的中點，ZFEC=ZECD=45°,

：.EF//CD,

二方是/C的中點,

CF=1,

尸的坐標(biāo)是：（1,2）；

③當(dāng)￡F=C￡?時，

/\CDES&EAF,

ACDE2AEAF,

：.CD=EA=4,

???AD=yJCD2+AC2=472

DE=AF=AD-EA=442-4

；.CF=^C-T1F=4-（4V2-4）=8-4V2,

的坐標(biāo)是：（1,8-4收）.

綜上，點尸的坐標(biāo)為：（1,2）或（1,4）或0,8-4后）.

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定條件坐標(biāo)與圖

形，等腰三角形的存在問題，綜合性性強(qiáng).

424

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=彳'+12與雙曲線歹=-一交于45兩點（點A在點5左邊），

3x

過4。兩點作直線，與雙曲線的另一交點為。，過5作直線49的平行線交雙曲線于點C.

（1）則點A坐標(biāo)為點3坐標(biāo)為并求直線8C的解析式；

Q

（2）如圖2,點P在V軸負(fù)半軸上，連接P8,交直線49于點E,連接CE、PA,且=77s弱虛，將線段

R9在〉軸上移動，得到線段尸‘。'（如圖3）,請求出|尸'8-。'0的最大值;

⑶如圖4,點/在x軸上，在平面內(nèi)是否存在一點N,使以點C、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在,

請直接寫出符合條件的N點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（-6,4）,（-3,8）,y=-jx+6

⑵

（3）點N的坐標(biāo)為（10,-6）或（12-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）

4-

y=—x+12

3

【分析】（1）聯(lián)立方程組24即可得出點45的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法先求出直線的解析式,

V=-----

Ix

再求出的解析式即可；

（2）設(shè)尸（0,a）,先表示出，再求出％CE=45,結(jié)合廉研=^SABCE，求出。=-4,從而得

出尸（0,-4）,將點5向上平移4個單位長度，得到點與（-3,12）,設(shè)點用、巴關(guān)于了軸對稱，則鳥（3,12）,

連接。當(dāng)并延長交y軸于點。，即可得解；

（3）設(shè)M（見0）,N（s,t）,分三種情況：當(dāng)CD為對角線時，當(dāng)CO為邊時，菱形為CZ）MN時，當(dāng)CD為邊

時，菱形為CD7W時；分別利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可.

4

y=—x+12

3

【解析】（1）解：聯(lián)立方程組24,

y=—

IX

:點A在點8左邊，

.?./(-6,4),5(-3,8),

設(shè)直線AO的解析式為y=kx(k豐0),

將”(-6,4)代入解析式得：-6左=4,

解得：k=j

2

...直線ZO的解析式為y=

BC〃OA,

2

設(shè)直線2C的解析式為：y=--x+b,

將2(-3,8)代入解析式得：一：義(-3)+6=8,

解得：6=6,

2

直線3C的解析式為：v=-jx+6；

(2)解：?.?點A、。關(guān)于原點對稱，A(-6,4),

D(6,—4),

:點P在V軸負(fù)半軸上，

設(shè)尸(0,。)，

令直線A5交了軸于尸，

4

在y=§x+12中，當(dāng)x=0時，y=i2,即廠(0,12),

PF=12—a,

1x13

SA*BP=S.APF—S.BPF=~(12-a)x6--x(12-a)x3=18--a,

2,

y=——x+6

-3

聯(lián)立

24

y=—

X

解得:

：.C(12,-2),

：?BC=^[12-(-3)]2+(-2-8)2=5岳，

作。G_L8C于G,連接CD、BD,則BD=J(-3-+[8-(-4)了=15,C￡>=^(12-6

222

由勾股定理得：BG=NBD?-DG。=-225-/，CG=y/CD-DG=740-A>

■:CG+BG=BC=5岳,

J225-力2+，40-/=5而，

解得：h獸叵（負(fù)值舍去）,

13

.八廠_18后

13

BC〃CU,

.c1D廠八廠1</7718V13

??S=—BC,DG=—x57、Jx--------=45,

△BCE2213

?S^PAB=百^/\BCE，

38

A18——Q=—x45,

215

解得：a=-4,

???P(0,—4),則OP=4,

如圖，將點3向上平移4個單位長度，得到點耳（-3,12）,則8用=P。=4=戶。，則34。下為平行四邊形,

P'B=O'Bl,

設(shè)點與、鳥關(guān)于y軸對稱，則與（3,12）,連接。坊并延長交y軸于點O,

/.\P'B-O'D\=\O'B}-O'D\=\0'B2-。到的最大值為DB2=J（6-3『+（-4-12『=7265；

（3）解:由（2）可得：C（12,-2）,D（6,-4）,

設(shè)M（加,0）,Ng）,

?.?以點GD、M、N為頂點的四邊形是菱形，

12+6=加+s

當(dāng)。為對角線時,-2+（-4）=0

加=8

解得：＜s=10,即N（10,-6）,

t=-6

12+機(jī)=6+5

當(dāng)CQ為邊時，菱形為時，1-2+0=-4+，

J（s-12）2+[,一（一2）]=J（S—加）2+?_0）2

加=6+2y/6m=6—2^6

解得：卜=12+26或卜=12—26，即N02+2后,2）或N02—2指,2）；

t=2t=2

12+5=6+m

當(dāng)CQ為邊時，菱形為CDW時，《-2+￡=-4+0

m=6Im=18

解得：＜s=o或r=6(不符合題意，舍去)，即N(0,-2)；

n=—2[〃=-2

綜上所述，點N的坐標(biāo)為(10,-6)或92-2跖2)或(12+2跖2)或(0,-2).

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、求一次函數(shù)解析式、三角形面積公式、勾股定理、

菱形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

題型2：動點問題

12

5.已知反比例函數(shù)了=一,直線4：y=kx+m(k^0),直線人與反比例函數(shù)交于點4),8(-21)，與x

X

(1)求直線4的解析式；

⑵過點C作無軸的垂線4，4上有一動點過點M作y軸的垂線段與夕軸交于點N,連接8V,求

AM+MN+NB的最小值和此時M點的坐標(biāo)；

(3)在(2)問的前提下，當(dāng)/〃+九W+N5取得最小值時，作點〃關(guān)于x軸的對稱點。在坐標(biāo)軸上有一

動點P,^ZPAC=ZQCA,求點尸的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的過程.

【答案】(l?=2x-2

(2)/M+ACV+8N的最小值為2回+1；M(LT)

⑶(3,0)或\g，o］或卜j

【分析】(1)利用反比例函數(shù)解析式求出/、2坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線人的解析式即可；

(2)先求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點M的橫坐標(biāo)，則MN=1；如圖所示，過點3作

BH//MN,BH=MN,連接AH,則證明四邊形是平行四邊形，得至1］氏￥=〃腹，

則當(dāng)/、m、X三點共線時，+有最小值，即此時++有最小值，最小值為/〃+1,利

57

用勾股定理得到4f7=2a,則/M+兒W+3N的最小值為2亞'+1；求出直線解析式為》=5才-5,

進(jìn)而可得M0T)；

(3)根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得到0(1,1),如圖3-1所示，當(dāng)點P在x軸上

時，則C0〃2P,可得4P〃了軸，則點P的坐標(biāo)為(3,0)；

如圖3-2所示，在直線C。上且在點0上方找一點K,連接/K使得/K=CK,設(shè)K(1J),由勾股定理得到

(l-3)2+(Z-4)2=Z2,解方程得到小島，同理可得直線4K解析式為蚱卜+：則直線尸。與x軸,

y軸分別交于卜：,0；/,￡(，由等邊對等角得到NKC=/0C4,則當(dāng)點尸在射線/K(不包括/)上

時都滿足題意，再由尸在坐標(biāo)軸上，可得點尸的坐標(biāo)為或卜彳).

121212

【解析】(1)解：在歹=一中，當(dāng)y=—=4時，x=3；當(dāng)x=-2時，y=—=-6,

XXX

；./(3,4),5(-2,-6),

3左+加=4

把4(3,4),8(-2,-6)代入了=丘+加優(yōu)*0)中得:

-2k+加=-6

k=2

解得

m=-2,

???直線4的解析式為片27；

(2)解：在y=2x-2中，當(dāng)y=2x-2=0時，x=l,

,直線4軸，

/.點M的橫坐標(biāo)為1,

：Wy軸，

:.MN=\；

如圖所示，過點、B作BH〃MN,BH=MN,連接MHAH,則

四邊形是平行四邊形，

BN=HM,

,AM+MN+BN=AM+HM+\,

.?.當(dāng)/、M、〃三點共線時，+有最小值，即此時4W+MN+8N有最小值，最小值為/〃+1,

?.?/(3,4),7/(-1,-6),

；?AH=J(-l-3『+(-6-4)2=2回,

：./M+MV+3N的最小值為2回+1；

設(shè)直線AH解析式為y=kxx+bx,

3kl+4=4

把/(3,4),“(-1,-6)代入y=《x+4中得:

-左+4=-6

解得，

4=—

[2

57

...直線/"解析式為y=,

57

在〉=—x-不中，當(dāng)x=l時，、=-1,

-22

(3)解；由(2)知朋'(1,-1),

?.?點〃■與點0關(guān)于原點對稱，

.1.2(1,1),

VC(1,O),

.?.CQ〃y軸，

如圖3-1所示，當(dāng)點尸在X軸上時,

NPAC=ZQCA,

/.CQ//AP,

，AP//y^,

：/（3,4）,

點尸的坐標(biāo)為（3,0）；

如圖3-2所示，在直線C。上且在點。上方找一點K,連接/K使得NK=CK,

設(shè)

（1-3）2+（1-4）2=/,

解得/=:，

同理可得直線4K解析式為y=3+7:,

44

373777

在＞=:工+:中，當(dāng)歹=:1+:=。時，x=一；；當(dāng)％=0時，y=-,

444434

二直線尸%+:與X軸一軸分別交于［一10］，U，

AK=CK,

：.ZKAC=ZKCA,即/gC=/0C4,

當(dāng)點P在射線NK（不包括4）上時都滿足題意，

又在坐標(biāo)軸上，

二點p的坐標(biāo)為或

綜上所述，點尸的坐標(biāo)為(3,0)或卜：,0)或(0,：).

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊對等角,

一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化一軸對稱等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

6.如圖1,已知雙曲線了=&經(jīng)過口/BCD的C、。兩點，且點4-1,0),3(0,-2),C(2,2).

(1)求雙曲線和直線DC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖2,點尸在雙曲線了=勺上，點0在y軸上，若以點A、B、P、。為頂點的四邊是平行四邊形，請

直接寫出滿足要求的所有點。的坐標(biāo)；

⑶如圖3,以線段為對角線作正方形點T是邊相(不含點A、尸)上一個動點，點/是5

的中點，MNLHT,交AB于點、N.當(dāng)T在加上運(yùn)動時，/7W的度數(shù)是否會變化？若會的話，請給出你

的證明過程.若不是的話，只要給出結(jié)論.

4

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為^=一；直線。。的函數(shù)關(guān)系式為丁=-2X+6

x

⑵滿足要求的所有點。的坐標(biāo)為：0(0,6)、。(0,-6)、0(0,2)

(3)/7W的度數(shù)不會變化，等于45。

【分析】(1)把。(2,2)代入y=幺求出左值，可得反比例函數(shù)解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出。點坐標(biāo),

利用待定系數(shù)法即可得出直線DC解析式；

(2)可分兩種情況：AB為邊、4B為對角線討論，然后運(yùn)用中點坐標(biāo)公式即可解決問題；

(3)過點N作于S,作尸于R,連接人力、NT,根據(jù)正方形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可

得NR=NS,利用HL可證明RtATW^RtAffiN,得出4RNT=NSNH,由此可得/7W=/7WS=90。，

即可得到△7W是等腰直角三角形，因而/.THN=45°為定值.

k

【解析】(1)解：??,雙曲線V=—經(jīng)過口45C。的。、。兩點，且點4(—1,0),5(0,-2),C(2,2),

x

左=2x2=4,

4

反比例函數(shù)的解析式為：y=—,

???四邊形Z8S是平行四邊形，4-1,0),8(0,-2),C(2,2),

[a+b=4

設(shè)直線。。的函數(shù)關(guān)系式為：y=ax+b,則/7.

a-2

解得:

b=6

???直線。。的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+6.

4

(2)解：由(1)知：反比例函數(shù)的解析式為:片一

x

4

???點尸在雙曲線^=—上，點。在y軸上,

x

.?.設(shè)o(o,y),尸m

①如圖1,當(dāng)4B為邊時,

若四邊形/BP。為平行四邊形，則曰尸=0,

解得：x=l,

：.尸(1,4),

.0+4

??N，

2

,20中點坐標(biāo)為(0,2),8(0,-2),

?_2+打

??—乙，

2

解得：坨=6,

2(0,6).

如圖2,若四邊形/BQP為平行四邊形，

?/四邊形ABQP為平行四邊形,

：.AP//BQ,AP=BQ,

4-1,0),

/.P(-l,-4),則/尸=4,

/.AP=BQ=4,

?：5(0,-2),

0(0,-6).

②如圖3,當(dāng)48為對角線時,

二?四邊形/尸3。為平行四邊形，

AP//BQ,AP=BQ,

V4-1,0),

/.P(-l,-4),則/尸=4,

/.AP=BQ=4,

???2(0,2).

綜上所述，滿足要求的所有點。的坐標(biāo)為：0(0,6)、0(0,-6)、2(0,2).

(3)解：當(dāng)T在"'上運(yùn)動時，/77W的度數(shù)不會變化，等于45。，理由如下:

過點"作用*_1_/〃于S,作NR工AF于R,連接NH,NT,如圖所示，

NFAB=NHAB=45°,

：.NR=NS,

7點M是印1的中點，MNLHT,

：.NT=NH,

RtATRN=RtMiSN(HL),

/.ZRNT=ZSNH,

NTNH=ARNS=90°,

???A7W是等腰直角三角形，

，Z7W=45°.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式等知識，運(yùn)用分類討論是解決第(2)小題

的關(guān)鍵，除用中點坐標(biāo)公式外，也可通過構(gòu)造全等三角形來解決第(1)題和第(2)題.

7.已知：如圖，正比例函數(shù)'的圖象與反比例函數(shù)了=幺的圖象交于點力(3,2).

O\CX

⑴試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)X取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？

⑶是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中0<加<3,過點Af作直線軸，交V軸于點3；過點

A作直線/C||y軸，交x軸于點C,交直線M3于點。.當(dāng)四邊形O4DM的面積為6時，請判斷線段9與

DM的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴了="y=-

3x

(2)0<x<3

(3)BM=DM,理由見解析

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合：

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可;

(3)先推出5。，08,CD±OC,貝U0C=3,由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到

63

40c=a=3,則S四邊形03℃=S△OBM+24oc+S四邊形0力A”二12,據(jù)此求出08=4,則以/二^,再由

3

BD=0C=3,即可得到3河=?！?,.

2

【解析】(1)解：把4(3,2)代入)="中得：2=3*解得〃=§,

2

???正比例函數(shù)解析式為V=§x；

kk

把4(3,2)代入>=—中得：2=-,解得上=6,

x3

???反比例函數(shù)解析式為>=9;

X

(2)解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)0<x<3時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；

(3)解：BM^DM,理由如下：

：3Z)〃x軸，CD〃y軸，

Z.BD±OB,CDLOC,

：4(3,2),

/.0C=3,

..?點/和點M都在反比例函數(shù)圖象上,

6

??S/^OBM=S^AOC=5=3，

???四邊形CUZW的面積為6,

??S四邊形05DC-S4OBM+^/\AOC+S四邊形Q4OM二12，

.??ocoB=n,

：.OB=4,

：.-x4BM=3

2f

3

:,BM=—,

2

又,：BD=0C=3,

3

：.BM=DM=~,

2

題型3：旋轉(zhuǎn)問題

YY]

8.如圖①，一次函數(shù)必=2x+4的圖像交反比例函數(shù)%=—圖像于點A,B,交x軸于點C,點3為

X

⑴求反比例函數(shù)的解析式;

(2)如圖②，點/為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點，過點M作x軸垂線，交一次函數(shù)M=2x+4圖像

于點N,連接9,若ABMN是以為底邊的等腰三角形，求ABMN的面積;

(3)如圖③，將一次函數(shù)弘=2x+4的圖像繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45。交反比例函數(shù)%="■圖像于點。，E,求點

X

E的坐標(biāo).

【答案】⑴Y

X

(2)8

IM+1]

⑶￡

【分析】(1)首先確定點3坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求反比例解析式即可;

(2)設(shè)點N的坐標(biāo)為&2f+4),則點，根據(jù)題意，是以為底邊的等腰三角形，則點8

在"N的垂直平分線上，易得;（2/+4+。）=6,解得t的值，進(jìn)而確定點刊，N的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形

面積公式求解即可；

（3）設(shè)一次函數(shù)乂=2x+4的圖像與y軸交于點尸，過點尸作尸于。，過。作軸于尺，過點

尸作尸尸，0R,交尺。延長線于點P,證明AEP0絲AQRC,由全等三角形的性質(zhì)可得以=0尸，F(xiàn)P=QR,

/、[a=b

設(shè)。39,易得求解即可確定點。坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法解得直線co的解析式，聯(lián)

[4一6=〃+2

立直線C0的解析式>==x+：與反比例函數(shù)解析式尸9,求解即可獲得答案.

33x

【解析】（1）解：對于一次函數(shù)%=2%+4,

當(dāng)％=1時，可有y=2x+4=6,

???點8（1,6）,

將點5的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式%=上，

X

可得左=1x6=6,

即反比例函數(shù)表達(dá)式為V=9；

X

（2）設(shè)點N的坐標(biāo)為。2+4）,則點河?,

若ABMN是以MN為底邊的等腰三角形，則點8在的垂直平分線上，

則有（2'+4+，=6,

解得看=1（舍去）或%=3,

AM（3,2）,TV（3,10）,

則%”'=9的.國-/）=9（10-2）x（3-1）=8；

（3）設(shè)一次函數(shù)必=2x+4的圖像與V軸交于點尸，過點B作尸0LCD于。，過。作軸于R,過點

尸作尸尸，Q?,交及。延長線于點P,如下圖，

對于一次函數(shù)y=2x+4,

令x=o,可有y=4,即尸的坐標(biāo)為(0,4),

令y=o,可有0=2x+4,解得x=-2,即C的坐標(biāo)為(-2,0),

由題意可知，一次函數(shù)必=2x+4的圖像繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45。交反比例函數(shù)%=—圖像于點。，E,

X

??."。。=45。，

?.?FQLCD,

：.ZCFQ=90°-ZFCQ=45°=ZFCQ,

：.CQ=FQ,

?：FQLCD,FPLPR,軸，

/.ZPFQ+ZPQF=ZPQF+ZRQC=90°,

...ZPFQ=/RQC,

又,.?ZFPQ=ZQRC=90°,

；.AFPQ4QRC（AAS）,

；?CR=QP,FP=QR,

設(shè)。（。,6）,

,/C（-2,0）,尸（0,4）,

OC=2,OF=PR=4,OR=a,QR=b,

a=b[a=1

可有

4-b=a+2解得kl

設(shè)直線CQ的解析式為y=kx+6(k小0),

將點0(1,1),C(—2,0)代入，

1=k+b

可得0=-2k+b'解得

12

直線CQ的解析式為y="x+：,

聯(lián)立直線C0的解析式+］與反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=

33x

12

y=-x—

曰十日

r可得,彳,33,可得；1》+；2=一6,

633x

y=-

lx

整理可得，+2x-18=0,

解得西=一1=-1-V19(不合題意，舍去),

,V19+1

??y----------,

3

：.EF

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定

與性質(zhì)、解一元二次方程等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

的思想分析問題.

X

⑵如圖2,當(dāng)直線V=x+"經(jīng)過點/時，它與反比例函數(shù)了=匚的另一個交點記為3,在y軸上找一點

X

使的周長最小，求出M的坐標(biāo)及周長的最小值；

(3)如圖3,點尸是反比例函數(shù)圖象上4點左側(cè)一點，連接加＞,把線段"繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點P的

對應(yīng)點。恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點P的坐標(biāo).

【答案】⑴"=±2e

⑵△MAB周長的最小值為2(&+0)，點M的坐標(biāo)為［o,g)

⑶尸［-臼

【分析】(1)聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可;

(2)將4。,3)代入反比例函數(shù)的解析式求得。=一1,再將47,3)代入y=x+〃，即可求解出"的值，聯(lián)立

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，求出點2的坐標(biāo)，作點/關(guān)于丁軸的對稱點H,連接8H,交y軸與點

M,連接此時△跖48的周長最小，為48的長，利用兩點的距離公式解答即可，設(shè)直線48解析式為

y=kx+b,利用待定系數(shù)法求出解析式，令x=0,即可求出點M的坐標(biāo)；

(3)過點尸，。作x軸的垂線，與過點A作x軸的平行線，分別交于點及尸，設(shè)點尸■機(jī)＜0),證明

△QAF知APE(AAS),根據(jù)/(-1,3),得到/E=0尸=-(1+加),￡尸=4F=3+—,進(jìn)而得出

m

/(2+\,4+加)，根據(jù)尸點在反比例函數(shù)上，代入解析式，求解即可.

'-3

y——3

【解析】⑴解：根據(jù)題意X，則一=x+〃，

y=x+nX

即―+3=0,

???反比例函數(shù)＞=口的圖象與一次函數(shù)y=x+"的圖象只有一個公共點，

X

.?.〃2—4xlx3=0,BPn2=12,

n=+2^3；

(2)解：?.?反比例函數(shù)＞=口的圖象經(jīng)過點”(a,3),

X

a

a=—1f

.?./(-1,3),

將4(一1,3)代入y=x+〃，貝|J3=—1+”，

二4,

二?一次函數(shù)的解析式為：V=%+4,

3

聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式得y='—x，則=x+4,

y=x+4X

即f+4x+3=0,

再=—l,x2=—3,

當(dāng)x=-3時，y=1,

根據(jù)題意得:5(-3,1),

???AM=A'M,

.-.AM+BM+AB=A'M+BM+AB=A'B+AB,

此時的周長最小，為4B+/3的長，

...AB=了+（3-1）2=272,A'B=^[1-（-3）]2+（3-1）2=2#＞，

42+/8=2（夜+司；

設(shè)直線48解析式為了=丘+6,

]_

l=-3k+b2

則,解得

3=k+b工，

2

???直線42解析式為y=gx+g,

令x=0,則尸g,

點”的坐標(biāo)為[o,1^;

(3)解：過點尸，。作x軸的垂線，與過點A的x軸的平行線，分別交于點旦尸,

圖3

設(shè)點p（機(jī),一：）（機(jī)＜o(jì)）,

???4（-1,3）,

E（加,3）,

/.AE=-1—m=—（1+m\^EP=3——|=3+-

Vm）m

由旋轉(zhuǎn)知：AP=AQ,ZPAQ=90°

???/LEAP+NQAF=NEAP+AAPE=90°,

AQAF=/APE,

???4E=4F=90°,

，△勿尸之△HPE（AAS）,

3

AE=QF=-（l+m）,EP=AF=3+—

mf

H—,4+加],

:。點在反比例函數(shù)上，

二.（4+加）（2+7]=-3,艮0加2+7加+6=0,

解得加=-6或m=-1（舍去），

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，軸對稱求最短距離，等腰直角三角形的性質(zhì)，全

等三角形的判定與性質(zhì).利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；熟練掌握對稱的性質(zhì)及等腰三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型4：新定義題

10.在平面直角坐標(biāo)系中，定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點為整點?如圖，已知雙曲線>=?(x>0)經(jīng)過